EFICIENCIA DE UN MÉTODO EN DIFERENCIAS FINITAS EN LA VALORACIÓN DE DERIVADOS DE LOS TIPOS DE INTERÉS

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1 Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) -25 EFICIENCIA DE N MÉTODO EN DIFERENCIAS FINITAS EN LA VALORACIÓN DE DERIVADOS DE LOS TIPOS DE INTERÉS Lourdes Gómez del Valle*, Julia Maríez Rodríguez** Dpo. Ecoomía Aplicada Faculad de Ciecias Ecoómicas y Empresariales iversidad de Valladolid Avda. Valle del Esgueva Valladolid - España *lourdes@eco.uva.es, ** ulia@eco.uva.es Recibido 27 de ocubre de 2005, acepado 6 de febrero de 2007 Resume Los modelos paraméricos de los ipos de ierés se basa, habiualmee, e resriccioes arbirarias sobre la edecia y la volailidad del proceso esocásico de los ipos de ierés y el precio del riesgo de mercado. Si embargo, recieemee se ha comezado a aplicar écicas o paraméricas para explicar su comporamieo y aplicarlo poseriormee a la valoració de derivados del ipo de ierés. El pricipal icoveiee de esos modelos es que o es posible obeer ua solució aalíica y es ecesario aplicar méodos uméricos para su resolució. Habiualmee e la lieraura se ha uilizado el Méodo de Simulació de Moe Carlo. Si embargo, e ese rabao se muesra mediae gráficas de eficiecia que co los Méodos e Diferecias Fiias se obiee solucioes más eficiees y ua imporae reducció del cose compuacioal. Además, se presea cómo mediae la uilizació de los Méodos e Diferecias Fiias sobre el modelo o paramérico de asas de ierés de Sao (997) se obiee curvas de redimieo más próximas a las observadas e el mercado que las obeidas co los modelos paraméricos clásicos que figura e la lieraura. Palabras clave: esrucura emporal de ipos de ierés, opcioes europeas sobre boos, simulació Moe Carlo, diferecias fiias.

2 2 Gómez del V., Maríez R. / Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) -25 EFFICIENCY OF A DIFFERENCE FINITE METHOD TO PRICE INTEREST RATE DERIVATIVE SECRITIES Lourdes Gómez del Valle*, Julia Maríez Rodríguez** Dpo. Ecoomía Aplicada Faculad de Ciecias Ecoómicas y Empresariales iversidad de Valladolid Avda. Valle del Esgueva Valladolid - Spai *lourdes@eco.uva.es, ** ulia@eco.uva.es Received Ocober 27 h 2005, acceped February 6 h 2007 Absrac The parameric models of he erm srucure are geerally based o arbirary parameric resricios over he drif ad he volailiy of he sochasic process of he ieres raes ad he marke price of risk. However, recely oparameric echiques have sared o be applied o explai he behavior of he ieres raes ad o price ieres rae derivaives. The mai drawback of hese models is ha a closed form soluio of he pricig parial differeial equaio is o kow ad umerical mehods are ecessary. Therefore, he Moe Carlo Simulaio approach has bee usually applied. However, i his paper we show by meas of efficiecy graphs ha Fiie Differece Mehods are more efficie ad do provide ad impora reducio of he compuaioal cos. Moreover, we show ha implemeig a Fiie Differece Mehod o he oparameric ieres rae model of Sao (997) we obai yield curves which are closer o hose observed i he marke ha hose obaied wih he classic parameric models i he lieraure. Keywords: Term srucure of ieres raes; Bod opios; Parial differeial equaios; Moe Carlo simulaio, Fiie differece.

3 Gómez del V., Maríez R. / Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) INTRODCCIÓN Las úlimas décadas ha sido u período revolucioario e la egociació de los acivos derivados e odo el mudo y e paricular, so los derivados de los ipos de ierés los acivos co mayor egociació e los mercados globales. La valoració de esos derivados es más complea que la de oro ipo de derivados como, por eemplo, opcioes sobre capial u opcioes sobre ídices, debido a que es ecesario eer e cuea la oalidad de la curva de redimieo y el comporamieo de los ipos de ierés. Los primeros modelos esocásicos de la esrucura emporal de los ipos de ierés surgidos e la lieraura fiaciera fuero los modelos edógeos. Esos describe los movimieos de la curva de ipos a parir de ua especificació paricular de las variables de esado o facores, deermiadas por ua ecuació diferecial esocásica. Iicialmee, se cosideró que la curva esaba deermiada por ua úica variable de esado, el ipo de ierés isaáeo, dado lugar a los primeros modelos que aparece e la lieraura clásica, por eemplo: Mero (973), Vasiceck (977), Doa (978) y Cox e al (985). E los úlimos iempos el desarrollo eórico e la modelizació de la diámica de la esrucura emporal ha esado orieado fudamealmee e dos direccioes. E primer lugar, se ha eido e cuea variables de esado adicioales e los modelos dado lugar a modelos mulifacoriales como Brea y Scwharz (979), Duffie y Ka (996) y Che (996). Si embargo, ese aumeo de geeralidad se cosigue aumeado ambié la compleidad de los modelos. E geeral, o se cooce la solució aalíica de esos modelos que por el corario so más realisas y la dificulad de resolver ecuacioes e derivadas parciales co ua dimesió superior a dos ha dado lugar a su fala de implemeació prácica. E segudo lugar, se ha meorado la especificació de la diámica de los ipos de ierés, como por eemplo Cha e al. (992), Aï-Sahalia (996a), Sao (997) y Jiag (998). Esa exesió de los modelos uifacoriales reflea el deseo de icorporar o liealidades e el ipo de ierés al coado y a la vez, eviar las dificulades que colleva la resolució de ecuacioes e derivadas parciales e modelos de más de u facor. Los modelos uifacoriales ha recibido umerosas críicas a causa de varias razoes. E primer lugar, las curvas de redimieo implícias esá limiadas e lo que se refiere a la forma, debido a la especificació paricular del modelo. E segudo lugar, esos modelos implica correlació perfeca de los movimieos locales de los boos co diferees vecimieos. Si embargo, sigue siedo muy

4 4 Gómez del V., Maríez R. / Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) -25 aracivos para los académicos y los profesioales del mercado. Los modelos uifacoriales proporcioa ua herramiea que permie explicar el comporamieo de los ipos de ierés y de la esrucura emporal. Además, so secillos de implemear desde u puo de visa compuacioal. E ocasioes, los ivesigadores impoe arbirariamee resriccioes al proceso esocásico del ipo de ierés. Aï-Sahalia (996b) demuesra que odos los modelos paraméricos del ipo de ierés puede ser esadísicamee rechazados cuado se compara la fució de desidad dada por cada modelo co los daos hisóricos de SA. Para solucioar ese problema Aï-Sahalia (996a) especifica la edecia del proceso como ua fució co reversió a la media, como e los modelos clásicos de la lieraura, y la difusió como ua fució o paramérica. Sao (997) y Jiag (998) propoe esimar la edecia, la difusió y el precio del riesgo de mercado uilizado écicas o paraméricas. E los modelos o paraméricos o es posible obeer ua solució aalíica para los valores de los derivados de los ipos de ierés, por lo ao es ecesario aplicar méodos uméricos para obeer valores aproximados. Sao (997), Jiag (998) y Ferádez (200) valora boos cupó cero y/o derivados del ipo de ierés uilizado el Méodo de Simulació de Moe Carlo. Aï-Sahalia (996a) aplica u Méodo e Diferecias Fiias, pero supoe que la edecia presea reversió lieal a la media y úicamee esima la volailidad de forma o paramérica. Los efoques esádar para calcular los precios de los derivados de los ipos de ierés so: el Méodo de Simulació de Moe Carlo y la resolució de la ecuació e derivadas parciales. Como la mayoría de los problemas de valoració de derivados del ipo de ierés se puede formular como la esperaza del valor descoado de u pago fial, el Méodo de Simulació de Moe Carlo se coviere auomáicamee e ua herramiea eficiee para valorar derivados del ipo de ierés cuya solució exaca o se cooce. E la mayoría de los casos el Méodo de Simulació de Moe Carlo es el más secillo de aplicar, icluso si ecesidad de u coocimieo profudo del modelo de valoració. Cuado se efrea co el problema de valorar u derivado uevo co fucioes compleas de pagos, los profesioales de los mercados suele cofiar siempre e el Méodo de Simulació de Moe Carlo para geerar ua esimació del precio del uevo derivado, auque exisa oros méodos uméricos que ofrezca solucioes más eficiees y permia explorar sus propiedades de meor forma. a desveaa del Méodo de Simulació de Moe Carlo es que es ecesario realizar u úmero elevado de simulacioes para poder

5 Gómez del V., Maríez R. / Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) coseguir u deermiado grado de exaciud, ya que el error esádar de las esimacioes es iversamee proporcioal a la raíz cuadrada del úmero de simulacioes. Para meorar su eficiecia de compuació exise diferees écicas de reducció de la variaza que permie dismiuir el error esádar. El segudo efoque, la resolució de la ecuació e derivadas parciales, cosise e resolver la ecuació uméricamee. Los méodos uméricos que se uiliza habiualmee so los Méodos e Diferecias Fiias, de Elemeos Fiios, ec. Los Méodos e Diferecias Fiias, que so los que se uiliza e ese rabao, se basa e la elecció de u esquema de discreizació para así resolver la ecuació e derivadas parciales uméricamee. E la cosrucció del esquema de diferecias fiias, se aproxima los operadores difereciales que gobiera las ecuacioes difereciales del modelo mediae operadores e diferecias fiias. El esquema umérico que proviee de ese procedimieo de discreizació se puede clasificar como esquema explício o esquema implício. El obeivo fudameal de ese rabao cosise e demosrar que cuado o se cooce la solució exaca de la ecuació e derivadas parciales de valoració de la curva de redimieo y derivados del ipo de ierés, los Méodos e Diferecias Fiias so más eficiees que el Méodo de Simulació de Moe Carlo, que es el más uilizado e la lieraura. Además, se cosigue ua imporae reducció e el iempo compuacioal ecesario para la obeció de los precios. Ese hecho es especialmee imporae cuado se uiliza modelos o paraméricos y se obiee la esrucura emporal e su oalidad y o sólo el precio de u derivado e cocreo. Para ello, ese rabao se basa e gráficas de eficiecia obeidas a parir de los modelos clásicos de la esrucura emporal (Vasiceck (977) y Cox e al (985)) e los que se cooce la solució exaca. Adicioalmee, se aplica u Méodo e Diferecias para la obeció de las curvas de redimieo del mercado de SA uilizado modelos o paraméricos y se observa que se ecuera más próximas a las observadas que las obeidas co los modelos clásicos e la lieraura, e los cuales sí se cooce la solució exaca del modelo. Fialmee, como e la lieraura exisee, se muesra que exise imporaes diferecias ere los precios de oros derivados de los ipos de ierés, (como por eemplo los caps o echos ) obeidos co modelos paraméricos y aquellos obeidos co los modelos o paraméricos. Ese hecho refuerza la idea de que los modelos o paraméricos resula más adecuados para la valoració de derivados del ipo de ierés, lo cual esá e líea co la lieraura reciee.

6 6 Gómez del V., Maríez R. / Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) -25 La esrucura de ese rabao es la siguiee. E la Secció 2 se describe el fucioamieo de los modelos de valoració de las curvas de redimieo y los derivados del ipo de ierés. E la Secció 3 se comea diferees méodos para resolver la correspodiee ecuació e derivadas parciales y se los compara e érmios de eficiecia. E la Secció 4 se aplica u Méodo e Diferecias Fiias para obeer las curvas de redimieo uilizado ua esimació o paramérica (Sao 997) y daos del mercado de SA, para compararlas co las obeidas co los modelos clásicos. Fialmee, se obiee los precios de alguos derivados, las opcioes sobre los boos cupó cero y los echos sobre ipos de ierés. 2. LOS MODELOS La esrucura emporal de los ipos de ierés ha recibido ua aeció cosae durae las úlimas décadas, ao por profesioales como por ivesigadores cieíficos. E cuao a los modelos que raa de explicar el comporamieo de los ipos de ierés, como paso previo a la valoració de los derivados de los ipos de ierés, exise básicamee dos efoques. E el primero se icluye los modelos homogéeos e el iempo que describe los movimieos de la curva de ipos a parir de ua especificació paricular de las variables de esado o facores, deermiados por ua ecuació diferecial esocásica. Iicialmee, se cosideró que la curva veía descripa por ua úica variable: el ipo de ierés isaáeo. Poseriormee, aplicado u razoamieo de o arbirae o u efoque de equilibrio, se obiee ua ecuació e derivadas parciales y se resuelve (bie aalíicamee o uilizado écicas uméricas) suea a las correspodiees codicioes e la froera. Dos eemplos clásicos dero de ese efoque so los modelos de Vasiceck (977) y Cox e al. (985), quiees cosidera como úico facor el ipo de ierés isaáeo. Por el corario, los modelos o homogéeos se ausa perfecamee a la curva de redimieo y, como eemplo, se propoe los siguiees modelos: Ho y Lee (986), Black, Derma y Toy (990), Hull y Whie (990) y Heah e al. (992), ere oros. E los mercados fiacieros se uiliza, frecueemee, esos modelos. Si embargo, presea imporaes icoveiees, como por eemplo, el de ser recalibrados cosaemee para ser cosisees co la esrucura emporal observada. Alguos auores, como Jiag (998), criica que se igora la evidecia de que exise oporuidades de arbirae e las curvas observadas de la esrucura emporal de los ipos de ierés. Por lo ao, al esimar el modelo cada día para maeer el ause perfeco

7 Gómez del V., Maríez R. / Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) a la curva de ipos, es muy posible que ése o ega e cuea las hipóesis fudameales ecesarias para elimiar las oporuidades de arbirae y lleve a ua icorreca esimació de los precios de las opcioes sobre ipos de ierés. Ese rabao se cera úicamee e modelos markoviaos homogéeos e el iempo co ua úica variable de esado que es el ipo de ierés isaáeo r, y se supoe que esa variable sigue u proceso esocásico como el siguiee: dr = f ( r )d ρ( r )dz, () dode f(r) y ρ(r) represea la edecia y la volailidad isaáea, respecivamee, y Z el proceso de Wieer esádar. Sea (, r; T) el precio e el isae de u acivo derivado del ipo de ierés que vece e T. La ecuació e derivadas parciales que proporcioa el precio de ese íulo esá deermiada por la siguiee expresió (Duffie,996): 2 ρλ (2) 2 r 2 r 2 ( f ) ρ r c = 0, 0 T, co c(, r; T) el ao coiuo de pago del derivado y λ(, r), T, el precio de riesgo de mercado, que es el mismo para odos los derivados del ipo de ierés y esá dado por el mercado, Börk (998). La ecuació (2) es u problema de Cauchy co la codició fial ( T, r; T ) g( r) = (3) Las codicioes fial y froera depederá del modelo de ipo de ierés elegido y del derivado a valorar. La solució de Feymam-Kac del problema (2)-(3) viee dada por Friedma (975) s τ (4) (,r;t ) = E exp rˆ( )dτ c( r,s )ds exp rˆ( τ )dτ ( T,r; T ) T co rˆ el ipo de ierés eural al riesgo s drˆ = ( f ( rˆ ) λ ( rˆ )) d ρ( rˆ ) dz. El acivo más secillo que se puede valorar uilizado la ecuació (2) es u boo cupó-cero, (, r; T) = B(, r; T), que paga a su vecimieo, T, ua caidad fia que es el pricipal de u.m. Ese corao da lugar a c(, r; T) = 0 y la codició fial

8 8 Gómez del V., Maríez R. / Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) -25 B(, r; T) = (5) Oros casos se puede raar de forma similar (Duffie, 996). Si se cosidera ua opció europea sobre u boo cupó cero que vece e TB, el valor de la opció, (, r ; T) = V(, r ; TV), co precio de eercicio K y fecha de vecimieo TV, TV TB, viee deermiada por la solució de (2), co c(, r) = 0 y la codició fial V(T V, r; T V ) = max (B(T V, r; T B )- K, 0) cap es u présamo a ipo variable co u ipo de ierés garaizado por debao de u ivel r ). El valor de u cap es ambié la solució de (2), pero co la codició fial igual a su valor omial y ) c = mi( r, r ). Si embargo, e ocasioes la defiició del problema varía e ese ipo de derivados (Duffie, 996). La imposició de hipóesis diferees sobre la edecia y la volailidad de los ipos de ierés y el precio del riesgo de mercado proporcioa diferees modelos. E la lieraura de la esrucura emporal exise dos modelos que puede cosiderarse como clásicos: Modelo de Vasiceck: Vasiceck (977) asume que la edecia posee reversió lieal a la media, y la volailidad y el precio del riesgo de mercado so cosaes, ( m r), β, 0, f ( r) = β m > (0) ρ r) = ρ, ρ, () ( 0 0 R λ r) = λ λ. (2) ( 0, 0 R Modelo de CIR: Cox e al. (985) supoe que la edecia posee reversió lieal a la media, y la volailidad y el precio del riesgo de mercado depede del ipo de ierés de la siguiee forma: ( m r), β, 0, f ( r) = β m > (3) ρ r) = ρ r, ρ, (4) ( 0 0 R λ0 λ ( r) = r, λ0 R. (5) ρ La elecció del proceso esocásico que sigue el ipo de ierés y el precio del riesgo de mercado e los modelos de Vasiceck y CIR da lugar a que esos modelos posea ua propiedad especial. El precio de u boo cupó-cero, que es solució de (2) sueo a la codició fial (5), se puede represear formalmee mediae ua iegral e érmios 0

9 Gómez del V., Maríez R. / Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) del proceso esocásico subyacee y su solució exaca es coocida (Duffie y Ka, 996). La solució de ambos modelos es ampliamee coocida y exesamee aalizada e Vasiceck (997) y Cox e al. (985). A parir de la serie de iempo de los ipos de ierés es muy difícil deermiar a priori la forma fucioal de la edecia y la volailidad del proceso esocásico. Por ao, para eviar la imposició de resriccioes paraméricas sobre la edecia y la volailidad, e la reciee lieraura se ha uilizado écicas o paraméricas. Es decir, o se impoe resriccioes a priori sobre la esrucura de los ipos, sio que se dea que los daos se exprese por sí mismos. Sao (997) y Boudoukh e al. (999) propusiero esimadores o paraméricos de la edecia y de la volailidad basádose e sus aproximacioes. Jiag (998), si embargo, propuso u esimador a parir de las propiedades locales del proceso de difusió y la edecia a parir del desarrollo de su desidad de rasició para pequeñas variacioes e el iempo. 3. MÉTODOS NMÉRICOS E esa secció se compara la aproximació y eficiecia del efoque de la Simulació de Moe Carlo y del Méodo e Diferecias Crack-Nicolso para valorar acivos derivados del ipo de ierés. La Simulació de Moe Carlo y los Méodos e Diferecias Fiias suele uilizarse para valorar acivos cuado o se cooce la solució exaca. E paricular, Sao (997), Jiag (998) y Ferádez (200) obiee la solució de los modelos o paraméricos preseada mediae la simulació de Moe Carlo. Aï-Sahalia (996a) uiliza u Méodo e Diferecias Fiias, pero su modelo es semi-paramérico ya que la edecia se supoe co reversió a la media y el precio de riesgo del mercado es cosae. El Méodo de Simulació de Moe Carlo se ha mosrado como ua écica muy versáil. Básicamee, es u procedimieo umérico para esimar el valor de la esperaza de ua variable aleaoria. Eso permie aplicarlo a problemas represeados por ua esperaza. La simulació colleva la geeració de variables aleaorias co ua desidad de probabilidad dada y, uilizado la ley de los grades úmeros, se calcula la media de esos valores como ua esimació de la esperaza de la variable aleaoria, como (4). E el coexo de la valoració de derivados, el Méodo de Moe Carlo esá formado por los siguiees pasos. E primer lugar, se simula

10 0 Gómez del V., Maríez R. / Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) -25 ua muesra de la variable de esado subyacee e el modelo de derivados, como el ipo de ierés de acuerdo a la disribució de probabilidad eural al riesgo, durae la vida de los derivados. E segudo lugar, ua vez obeida la muesra, se acualiza la corriee de pagos de los derivados. Fialmee, se calcula la media de los valores de la corriee de pagos acualizados. Los dos facores pricipales a eer e cuea cuado se aplica el Méodo de Simulació de Moe Carlo so la precisió y el cose compuacioal. Geeralmee, se preede maeer u equilibrio ere ambos aspecos. El error esádar del esimador de Moe Carlo es iversamee proporcioal a la raíz cuadrada del úmero de simulacioes. De ese modo, reducir el error esádar e u 50% requiere 4 veces más simulacioes. Exise écicas de reducció de la variaza, ales como la écica de la variable aiéica o la de la variable de corol, que se ha desarrollado co el fi de meorar la eficiecia de las simulacioes. E ese rabao se implemea la écica de la variable aiéica para aumear la velocidad de covergecia del méodo. Por oro lado, los Méodos e Diferecias Fiias se suele uilizar para aproximar la solució de la ecuació e derivadas parciales (2) (Moro y Mayers, 994; Wilmo, 2000). Esos méodos cosise e ecorar aproximacioes e diferecias fiias para las derivadas parciales co el fi de reemplazar la ecuació e derivadas parciales por ua represeació e diferecias, lo que permie aplicar u efoque umérico. El resulado cosise e reemplazar la ecuació e derivadas parciales por ua relació ere los valores de la fució e los puos o odos de ua red. De ese modo, la ecuació diferecial se aproxima por u couo de ecuacioes algebraicas, para los valores de la fució e los odos de la red. La ecuació e derivadas parciales (2) se puede coverir e ua ecuació progresiva e el iempo si se susiuye la variable por * = T -. Después de realizar el cambio de variable, esa ecuació se coviere e * T * 2 2 = ρ 2 2 r ( f ρλ) r c = 0, 0 < <, Se cosidera ua discreizació de esa ecuació mediae el Méodo e Diferecias Fiias co ua poderació emporal 0 < θ <. Co el fi de simplificar la oació se represea mediae r

11 Gómez del V., Maríez R. / Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) -25, ) ( 2 ) ( 2 r r a ρ = ). ( ) ( ) ( ) ( r r r f r b λ ρ = Se deoa por la aproximació a la solució e el puo ), ( * r de la malla, es decir, ), ( * r, obeida mediae el θ-méodo (Wilmo, 2000), ) ( ) ( 2 ) ( 2 * * * * * c c r r b a b a θ θ θ θ θ θ = dode a = a(r), b = b(r) y ( ) * r, c c =. Ese méodo co ua poderació simérica θ = /2 se cooce como esquema Crack- Nicolso y es u méodo de segudo orde e iempo y espacio. Por eemplo, si se divide el paso por 2, el error se divide por 4. Cuado se preede aalizar la eficiecia de diferees écicas de aproximació es imporae realizar disios experimeos uméricos co el fi de mosrar su precisió. Para ello se suele realizar los siguiees pasos. E primer lugar, es ecesario u problema es, es decir, u problema del que se coozca la solució exaca, lo que os permiirá realizar comparacioes. Se eiede que, poseriormee, las écicas se preede aplicar a modelos e los que o se coozca la solució exaca. E segudo lugar, la solució aproximada obeida se compara co la exaca co algua medida de error. Fialmee, se suele eer e cuea el cose compuacioal de las écicas uméricas uilizadas para calcular la solució aproximada (aquí se uiliza el iempo de CP). Así pues, se compara el error absoluo (valor absoluo de la diferecia ere la solució exaca y la aproximada) free al cose requerido e la compuació, medido e iempo de CP. Se uiliza ambas écicas para aproximar la solució de los Todos los experimeos se ha realizado co ua SN Worksaio usado el paquee de sofware de la librería NAG de Forra y el iempo de CP es la medida del cose compuacioal uilizado por el ordeador.

12 2 Gómez del V., Maríez R. / Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) -25 modelos de Vasiceck y CIR para diferees ipos de ierés. Se ha realizado la comparació para diferees ipos de ierés y valores de los parámeros y las coclusioes fuero las mismas. E la Figura se presea los resulados obeidos para los siguiees valores: =, θ = /2 y los parámeros obeidos e la Secció 4 para los modelos de Vasiceck y CIR. Cada gráfica muesra el error producido por los diferees méodos free al cose compuacioal, ambos represeados e escala logarímica. E las dos primeras gráficas se ecuera los valores obeidos co el modelo de Vasiceck para r = 0.04 y r = 0.2, respecivamee, y las dos segudas co el de CIR, para los mismos ipos de ierés. E la primera gráfica se muesra que el Méodo e Diferecias obiee ua aproximació de 0-2 co u cose compuacioal de 0-5. Si embargo, para la misma precisió, el Méodo de Moe Carlo requiere u cose compuacioal de 0, es decir, 000 veces superior. Error,0E-02,0E-05,0E-08 Error,0E-04,0E-07,0E-0,0E-,E-03,E-0,E0 CP,0E-3,E-02,E00,E02 CP,0E-03,0E-03 Error,0E-06,0E-09 Error,0E-06,0E-2,E-03,E-0,E0,E03 CP,0E-09,E-03,E-0,E0,E03 CP Figura. Gráficas de eficiecia para los modelos Vasiceck y CIR y ipos de ierés del 4% y 2%. Méodo e Diferecias Fiias: (-*-), Moe Carlo: (--)

13 Gómez del V., Maríez R. / Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) Además, el Méodo e Diferecias puede llegar icluso a u error del orde de 0 -, mieras que el de Moe Carlo es siempre mayor o igual a 0-6. Eso quiere decir que co el Méodo e Diferecias se llega a eer dígios sigificaivos correcos e corase co el de Moe Carlo que como máximo se llega a coseguir 6. E odos los casos se observa que el Méodo e Diferecias es más eficiee que el de Moe Carlo: para u mismo cose compuacioal la precisió obeida co el primero es mucho mayor. Si e lugar de cosiderar el iempo de CP se cosidera el iempo real e u Peium IV, la diferecia ere ambos méodos es la siguiee: para ua precisió de 0-7 la simulació de Moe Carlo ecesia uos 75 miuos mieras que el Méodo e Diferecias Fiias obiee la solució e segudos. Esos experimeos se ha realizado para alguos modelos paraméricos, porque se cooce la solució exaca. Si se aplica el méodo de Moe Carlo a modelos o paraméricos, las diferecias e eficiecia so aú mayores. De hecho, el cose compuacioal de la simulació de Moe Carlo para aproximar la solució es demasiado caro. Por eemplo, si se realiza 0000 simulacioes usado 00 períodos de iempo por día, como se hace e los exos clásicos, se requiere 6 días para obeer el precio de u boo cupó cero. Si embargo, el Méodo e Diferecias calcula varios precios de boos cupó cero para 200 ipos de ierés e pocos segudos y co mayor precisió. De ese modo, e la secció siguiee se uilizará ese Méodo e Diferecias para resolver la ecuació e derivadas parciales (3) para u modelo o paramérico. 4. APLICACIÓN EMPÍRICA E esa secció se obiee el precio o paramérico de acivos derivados del ipo de ierés usado el Méodo e Diferecias descripo e la secció aerior. E la lieraura previa Aï-Sahalia (996a), Sao (997), Jiag (998) y Ferádez (200) compara los precios semi-paraméricos o o paraméricos de acivos derivados obeidos co modelos diferees. Si embargo, cuado es posible y exise daos e el mercado, se compara los precios o paraméricos obeidos mediae el Méodo e Diferecias co los observados. Se ha comprobado que los modelos o paraméricos co la resolució mediae méodos e diferecias proporcioa resulados adecuados. Tambié se valora oros acivos derivados del ipo de ierés comparado los resulados obeidos e modelos paraméricos (Vasiceck y CIR) co los o paraméricos, y se observa imporaes diferecias.

14 4 Gómez del V., Maríez R. / Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) -25 Variable r r - r N Media e-6 Máximo Míimo Desviació ípica ρ ρ ρ Tabla. Esadísicos de los daos 0,2 Tipos de ierés 0,6 0,2 0,08 0, Tiempo 0,05 0,0 Diferecias 0, ,005-0,0-0, Tiempo Figura 2. Tipos de ierés y primeras diferecias Para poder esimar los coeficiees de la ecuació diferecial esocásica () es preciso dispoer de ua serie de iempo del ipo de

15 Gómez del V., Maríez R. / Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) ierés isaáeo libre de riesgo. E ese rabao se uiliza, cocreamee, las observacioes diarias de los redimieos de los Treasury Bills del mercado secudario de Esados idos, lo cual es ua prácica habiual e la lieraura (Sao, 997; Jiag, 998). Esa elecció se basa ambié e u compromiso ere u vecimieo lo suficieemee pequeño pero que a su vez o icluya los efecos propios de los mercados. El período de esimació se cosidera desde eero de 970 hasa diciembre de 999, y se rasforma los redimieos e ipos de ierés aual si realizar igú ause específico por fies de semaa o vacacioes. E las Figuras 2 y 3 se represea los ipos de ierés y sus primeras diferecias, respecivamee. E la Tabla se recoge los esadísicos más imporaes para el ipo de ierés y sus diferecias. Los daos se obiee de la Reserva Federal de los Esados idos h.5. Para poder esimar el precio del riesgo de mercado se ecesia daos adicioales del mercado. Co el fi de obeer la edecia y la difusió del proceso esocásico () y del precio de riesgo del mercado por medio de esimació o paramérica, aquí se uiliza las aproximacioes de primer orde de Sao 2. a forma de esimarlas es mediae el Méodo del Núcleo. E paricular, la esperaza codicioada de las aproximacioes de primer orde de µ(r) y 2 (r) esá expresadas mediae las siguiees igualdades: E [ r r r = r] N = = N 2 [( r r ) r = r] ( r r) K[ ( r r ) / h] N = K = = N [( r r ) / h] 2 ( r r) K[ ( r r ) / h] E, = K [( r r ) / h] dode h es la achura de bada, N es el amaño de la muesra, es el iervalo de iempo rascurrido hasa ua ueva observació del ipo de ierés y K(.) es ua fució úcleo adecuada, defiida por ua, 2 Sao (997) ivesiga el desarrollo de las aproximacioes de primero, segudo y ercer orde para alguos modelos paraméricos habiuales e la lieraura. Él demosró que co daos diarios, icluso la aproximació de primer orde proporcioa aproximacioes idisiguibles de la fució verdadera.

16 6 Gómez del V., Maríez R. / Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) -25 desidad de probabilidad ormal esádar. Las aproximacioes aeriores recibe el ombre de esimadores de Nadaraya-Waso y se puede obeer de la eoría de regresió o paramérica (Härdle, 999; Sco, 992; Silverma, 992). La achura de bada para la desidad margial se obiee a parir de la regla de Silverma (992) y aquí se uiliza validació cruzada para las oras fucioes. Las badas de cofiaza al 95% se obiee mediae el algorimo de boosrap por bloques de Efro y Tibishirai (993). El precio de riesgo del mercado se obiee, como e Sao (997), a parir de los redimieos e el mercado secudario de los Treasury Bills a 3 meses. Ese precio de riesgo del mercado evia oporuidades de arbirae. β m ρ0 Vasiceck ( ) ( ) ( ) CIR (.35543) ( ) ( ) Tabla 2. Esimacioes del proceso esocásico Para la comparació, e ese rabao se esima los modelos de Vasiceck y CIR, e (7)-(9) y (0)-(2), respecivamee. Se calcula los parámeros del proceso esocásico mediae el Méodo Geeralizado de Momeos (GMM) (Hase, 982; Gree, 993). Co el fi de eviar el sesgo de discreizació, se uiliza los momeos codicioados exacos (Aï-Sahalia, 996a; Jiag, 997). E la Tabla 2 se proporcioa los valores de los parámeros esimados del proceso del ipo de ierés co el esadísico ere paréesis. El precio de riesgo del mercado de los modelos de Vasiceck y CIR se obiee miimizado la expresió 2 ( ˆ ), N RMSE = B i B i (3) N i= dode N es el úmero de observacioes, Bi es el precio para la i - ésima observació y Bˆ i es el precio esimado (Corzo y Schwarz, 2000). El couo de boos cupó cero icluido e la muesra se obuvo a parir de los redimieos de los íulos del esoro a vecimieo cosae e iguales a T =, 3, 5, 7 y 0 años. B(, T) = exp(- (T - ) R (, T)). Los parámeros del precio de riesgo del mercado esimados e Vasiceck y CIR y sus correspodiees RMSE ere paréesis so

17 Gómez del V., Maríez R. / Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) ( ) y ( ), respecivamee. La edecia, la volailidad y el precio de riesgo del mercado, paraméricos y o paraméricos, esá represeados e la Figura 3. Nuesra defiició del precio de riesgo del mercado es esádar y se puede ecorar e Kwok (998), auque Sao (997) y Jiag (998) lo defie como λ*(r) = ρ(r) λ(r). Aquí se uiliza esa úlima forma para su represeació gráfica. E la Figura 3 a) se muesra la desidad margial o paramérica y se observa claramee que o es ormal, sio que esá sesgada y que posee ua cola a la derecha mayor que la de la fució de desidad ormal. Desidad a) 0 0% 4% 8% 2% 6% 20% Tipos de ierés Tedecia b) 0,03 0-0,03-0,06-0,09-0,2-0,5 0% 4% 8% 2% 6% 20% Tipos de ierés Volailidad 0,08 c) 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,0 0 0% 4% 8% 2% 6% 20% Tipos de ierés Prima 0, 0,05 0-0,05-0, -0,5 d) -0,2 0% 4% 8% 2% 6% 20% Tipos de ierés Figura 3. Fució de desidad o paramérica, edecia, volailidad y precio del riesgo de mercado (prima). Modelo o paramérico: (líea egra gruesa), iervalos de cofiaza al 5%: (líea discoiua), modelo CIR: (líea gris gruesa) y modelo Vasiceck: (líea egra fia) La Figura 3 b) muesra que la fució de edecia o paramérica oma valores muy cercaos a cero para valores baos y medios del ipo

18 8 Gómez del V., Maríez R. / Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) -25 de ierés y decrece rápidamee para valores del ipo de ierés alo. Ese hecho muesra la exisecia de reversió a la media débil cuado los ipos de ierés so baos y fuere cuado los ipos so alos. Además, la edecia o paramérica es oalmee disia de las de Vasiceck y CIR represeadas ambié e la Figura 3 b). Ese hecho cofirma lo observado empíricamee por Aï-Sahalia (996a) y Jiag (998): el érmio edecia del proceso del ipo de ierés esá cercao a cero para la mayoría de los ipos de ierés y globalmee iee u comporamieo o lieal. Ese hecho ambié fue cofirmado por Coley (997). 0,2 0, Error 0,08 0,06 0,04 Vasicek CIR Noparam 0, Período de vecimieo Figura 4. Errores para boos cupó cero co diferees vecimieos e el período de predicció El primer aspeco imporae que se observa e la Figura 3 c) es que la volailidad es globalmee ua fució creciee del ipo de ierés. Ese hecho apoya la coeura del efeco ivel y rechaza los modelos de volailidad cosae, ales como el Vasiceck. Por lo ao, los ipos de ierés baos esá asociados a iveles baos de volailidad, lo cual sugiere que es más probable que los ipos de ierés permaezca e iveles baos. a especificació de la fució de difusió como e el modelo de CIR es ua aproximació relaivamee buea sólo para ipos de ierés baos, porque para valores alos la volailidad crece más leamee que el ipo de ierés.

19 Gómez del V., Maríez R. / Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) E la Figura 3 d) se muesra el precio de riesgo del mercado. a propiedad a desacar de esa fució esimada es que e geeral es o ula, lo que cofirma los resulados de Ro y Wadha (995), Sao (997) y Jiag (998). Además, es cosisee co la exesa lieraura sobre el érmio prima de riesgo, como e Fama (984). E la gráfica se puede observar la diferecia ere las fucioes esimadas de forma paramérica y la o paramérica. E el primer caso se supoe fucioes mucho más simples, por eemplo, Vasiceck (997) supoe que es cosae, o icluso ulas (basádose e la hipóesis de las expecaivas locales). Además, el precio de riesgo del mercado o paramérico es básicamee egaivo, lo que respode a ua prima posiiva para el comporamieo del riesgo del ipo de ierés. Es posible oar que e las badas de cofiaza al 95% de la edecia, la difusió y el precio de riesgo del mercado esimados se esrecha para valores del ipo de ierés pequeños, dode realmee hay más observacioes. Si embargo, esas badas se separa cuado el ierés es mayor. Eso reflea el hecho de que uesra cofiaza e las esimacioes para ipos de ierés alos (dode hay meos observacioes) decrece. De ahí que se ecesie u gra úmero de daos para las écicas de esimació o paraméricas. Co el fi de valorar derivados del ipo de ierés, se debe resolver uméricamee la ecuació (2) suea a la codició fial (3) y las correspodiees codicioes froera. E cuao a los modelos de Vasiceck y CIR presea solucioes exacas ampliamee coocidas (Vasiceck, 997; Cox e al., 985; Reboao, 996). E primer lugar, se calcula los precios de los boos cupó cero e el modelo o paramérico co el Méodo e Diferecias Fiias co la codició fial (5) y la codició froera co (ver Aï-Sahalia, 996a) lim r B(,r;T = 0 (4) ) Se calcula los precios de los boos para diferees vecimieos T =, 3, 5, 7 y0 años a lo largo del período de la muesra: de eero del 2000 a mayo del 200. Se compara co los precios observados e el mercado uilizado el RMSE descripo e (3) y los resulados se represea e la Figura 4. Esa gráfica muesra que para odos los vecimieos el error e el modelo o paramérico es meor que e los de Vasiceck y CIR. Además, para vecimieos mayores la diferecia e los errores ere los modelos paraméricos y el o paramérico es más aceuada. Es decir, que el modelo o paramérico, a pesar de o coocerse solució exaca, proporcioa valores más precisos. El méodo e diferecias fiias proporcioa de forma eficiee ua

20 20 Gómez del V., Maríez R. / Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) -25 solució umérica adecuada. Precio de eercicio Tipo aualizado Vecimieo opció ( ) ( ) (0.0002) ( ) ( ) (0.0035) ( ) ( ) (0.0035) ( ) ( ) (0.0034) Tabla 3. Precios de opcioes europeas de compra Ese rabao valora opcioes call europeas co vecimieo e TV sobre u boo cupó cero co vecimieo e TB, < TV < TB. El precio de esa opció es la solució de la ecuació [2] suea a la codició fial [6] y la codició froera [4]. E la Tabla 3 se recoge los precios de las opcioes call sobre boos cupó cero a 5 años para varios vecimieos y precios de eercicio co diferees modelos. Todos los precios correspode a boos co valor omial. Los precios de eercicios se expresa como proporcioes de los correspodiees precios de obligacioes para cada modelo. Los errores boosrap esádar se obiee como e Aï-Sahalia (996a). Los cuaro elemeos de cada celda comezado desde arriba so: el precio o paramérico, el error boosrap esádar, el precio del modelo de Vasiceck y el de CIR. E la Tabla 3 se observa que hay imporaes diferecias ere los precios paraméricos de las opcioes y los o paraméricos. Para obeer los precios de los caps sobre ipos de ierés, es ecesario resolver la ecuació (2) co la codició fial (3) y la codició froera (4). Si embargo, u cap es u corao que puede ierprearse como u swap e el cual los pagos sólo se realiza si iee valor posiivo. Por ao u cap se puede valorar como ua carera de opcioes europeas sobre los ipos de ierés y cada opció

21 Gómez del V., Maríez R. / Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) de la carera recibe el ombre de caple. Siguiedo a Che (996) y como es usual e la lieraura, se supoe que el cap es sobre el ao LIBOR. Más dealladamee, si el pricipal del caple es L y los pagos de los ipos de ierés se hace e los isaes de iempo (k )π, k = 0,, 2,..., desde el comiezo de la vida del cap, eoces el valor de cada caple sería Ck = L( hτ) Vp(, h; kτ) Precio de eercicio Tipo aualizado Vecimieo cap (0.0228) ( ) ( ) ( ) ( ) (0.0000) (0.004) ( ) (0.0006) ( ) ( ) ( ) Tabla 4. Precios de caps dode h es el ipo de ierés cap del corao, π la periodicidad de los pagos y VP es el valor e de ua opció de vea que vece e el isae kπ sobre u boo cupó cero que vece e (k )π, V p (, h; (k ) τ) = max ( P (, h; (k ) τ) - K, 0) (5) Los precios de las opcioes de vea se obiee de forma aáloga a aquellos de las opcioes de compra, pero co la codició fial (5). Obviamee, es posible ambié obeer primero el precio de ua opció de compra y eoces aplicar el pricipio de paridad de las opcioes de compra y de vea. Fialmee, el precio del cap es la suma de los precios de los caples = C k = 0 C ( K, τ ) E la Tabla 4 figura los precios de los caps para diferees vecimieos y precios de eercicio supoiedo que los fluos de pagos

22 22 Gómez del V., Maríez R. / Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) -25 de los caps se paga cada 2 meses y basádose e diferees modelos. Los errores boosrap esádar (ere paréesis e la Tabla 4) se obiee como e Aï-Sahalia (996a). Los cuaro elemeos de cada celda desde arriba hacia abao represea: el precio o paramérico, el error boosrap esádar, el precio co el modelo de Vasiceck y el precio co el modelo de CIR. Las diferecias ere los modelos de Vasiceck y CIR y el modelo o paramérico so ambié muy sigificaes. Además, esas discrepacias aumea para caps co mayores vecimieos y mayores precios de eercicio. 5. CONCLSIONES Para valorar acivos derivados sobre el ipo de ierés es ecesario resolver ua PDE. Para esa ecuació sólo es posible ecorar ua solució exaca e casos pariculares, ales como e los modelos de Vasiceck o CIR ere oros. Si embargo, e la mayoría de los modelos más realisas o se cooce ua solució exaca y se debe recurrir a méodos uméricos para ecorar ua aproximació. Reciees ivesigacioes propoe écicas de esimació o paraméricas para valorar acivos derivados sobre el ipo de ierés e modelos uifacoriales. E esos casos se debe recurrir a méodos uméricos para resolverlos. E los rabaos reciees sobre esimació o paramérica, (Sao, 997; Jiag, 998), se ha uilizado la simulació de Moe Carlo. E ese rabao se propoe u méodo umérico e diferecias fiias. Se compara ese méodo co el de Moe Carlo y se observa que la solució calculada co la aproximació e diferecias fiias es más precisa. Tambié se obiee gráficas de eficiecia para modelos e los que se cooce ua solució exaca. De ese modo, se verifica que el méodo e diferecias fiias es más eficiee que la simulació de Moe Carlo. Como aplicació empírica de esos resulados, se emplea el méodo e diferecias fiias preseado para valorar acivos derivados del ipo de ierés co daos recogidos del mercado de SA. E la lieraura se ha comparado precios obeidos co modelos o paraméricos co los paraméricos o semi-paraméricos. E ese rabao se compararo los precios o paraméricos de boos cupó cero co los observados e el mercado. Se cocluye que los o paraméricos so más cercaos a los observados e el mercado que los obeidos co modelos paraméricos. El reso de los acivos derivados de los ipos de ierés o paraméricos so comparados co los obeidos co modelos paraméricos. Esos resulados so coherees co los exisees e la lieraura, los

23 Gómez del V., Maríez R. / Cuaderos del CIMBAGE Nº 9 (2007) precios paraméricos y los o paraméricos so sigificaivamee disios. Además, ese méodo e diferecias fiias se puede uilizar para valorar acivos derivados de los ipos de ierés y para modelos paraméricos e los que o se cooce solució exaca, ales como el de Cha e al. (992). BIBLIOGRAFÍA Aï-Sahalia, Y. (996a). Noparameric pricig of ieres rae derivaive securiies. Ecoomerica Vol. 64 Nº 3, pp Aï-Sahalia, Y. (996b). Tesig coiuous-ime models of he spo ieres rae. Review of Fiacial Sudies Vol. 9 Nº 2, pp Börk, T. (998). Arbirae Theory i Coiuous Time. Oxford iversiy Press, Oxford. Black, F.; Derma, E.; Toy, W. (990). A oe facor model of ieres raes ad is applicaio o reasury bod opios. Fiacial Aalysis Joural. (Ja-Feb), pp Boudoukh, J.; Richardso, M.; Sao, R.; Whielaw, R.F. (999). A mulifacor, oliear, coiuous-ime model of ieres rae volailiy. Workig paper. New York iversiy ad he iversiy of Califoria, Berkeley. Brea, M.; Schwarz, E.S. (979). A coiuous ime approach o he pricig of bods. Joural of Bakig ad Fiace Vol. 3, pp Cha, K.C.; Karolyi, G.A.; Logsaff, F.A.; Saders, A.B. (992). A empirical compariso of aleraive models of he shor-erm ieres rae. Joural of Fiace Vol. 47 Nº 3, pp Che, L. (996). Ieres Rae Dyamics, Derivaives Pricig, ad Risk Maageme. Spriger-Verlag, Berlí. Coley, T. G. (997). Shor erm ieres raes as subordiaed diffusios. Review of Fiacial Sudies Vol. 0, pp Corzo, T.; Schwarz, E.S. (2000). Covergece wihi he E: evidece from ieres raes. Ecoomic Noes Vol. 29 Nº 2, pp Cox, J. C.; Igersoll Jr., J.E.; Ross, S.A. (985). A heory of he erm srucure of ieres raes. Ecoomerica Vol. 53, pp Doha, L.. (978). O he erm srucure of ieres raes. Joural

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