TEMA 1. Métodos directos de resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

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1 TEMA. Métodos directos de resolució de Sistemas de Ecuacioes Lieales Nota previa: Para repasar los coceptos básicos se puede cosultar la págia de la U. D. Matemáticas Repaso de coceptos.. Matrices. Todo cojuto de m escalares de u cuerpo comutativo K ordeado e m filas y columas de la forma a a2 a a2 a22 a2 A am am2 am recibe el ombre de matriz de m filas y columas. Abreviadamete se deota por A=a i m, j. ij El térmio a ij se llama térmio geeral de A y desiga el elemeto que aparece e la fila i columa j. El par (m,) idica el tamaño de la matriz y diremos que A es ua matriz de dimesió m, o de dimesioes m y. Escribiremos A M (K). m.2. Ecuacioes lieales. Toda ecuació ax ax 2 2 ax c(), dode a i i so escalares de u cuerpo comutativo K, se deomia ecuació lieal de icógitas x,x, 2,x. Ua solució particular de la ecuació () es ua -upla s,s,,s de escalares que verifica que as as 2 2 asc. 2 El cojuto de todas las solucioes de () se llama solució geeral, cojuto solució o simplemete solució de la ecuació. Las ecuacioes lieales de la forma 0x0x2 0x c se llama degeeradas verificádose que si c 0 o existe solució para la ecuació aterior y diremos que se trata de ua ecuació icompatible, mietras que si c = 0 etoces, cualquier -upla s,s,,s de escalares es solució, es decir, se trata de ua idetidad, e este caso la 2 deomiaremos ecuació ula. Asigatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS

2 .3. Sistemas de ecuacioes lieales. Todo cojuto de ecuacioes lieales de la forma: ax a2x2 ax b a2x a22x2 a2x b2 S a x a x a x b m m2 2 m m recibe el ombre de sistema de m ecuacioes lieales co icógitas. Los elemetos K, i m, j, so los coeficietes de S. a ij Los elemetos b i K, i m, so los térmios idepedietes de S. Los elemetos x,x, 2,x so las icógitas de S. Ua solució particular de S es ua -úpla s,s,,s de escalares que es solució de cada ua de las ecuacioes del sistema. 2 El cojuto de todas las solucioes de S se deomia cojuto solució o solució geeral del sistema. Lo desigaremos C. Resolver S es hallar el cojuto solució o solució geeral C Si C Si C (tiee algua solució) diremos que S es u sistema compatible y será: Determiado si C es fiito Idetermiado si C es ifiito (o tiee solució) diremos que S es u sistema icompatible. El sistema S se puede escribir e forma matricial como S Ax = b S a a2 a x b a2 a22 a2 x2 b2, dode: a a a x b m m2 m m a a2 a a2 a22 a2 A= es la matriz de los coeficietes y am am2 am b b2 b bm y x x 2 x x so las columas de los térmios idepedietes e icógitas respectivamete. Asigatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS 2

3 .4. Teorema de Rouché -Frobeius Dado u sistema S de m ecuacioes lieales co icógitas y ecuació matricial Ax = b:. Si rg A = rg (A b) = r, etoces el sistema S es compatible. a. Si r = (rago = úmero de icógitas) el sistema es compatible determiado, es decir, el cojuto solució está formado por ua úica -upla. b. Si r < (rago < úmero de icógitas) el sistema es compatible idetermiado, es decir, existe ifiitas -uplas que so solució de S. 2. Si rga r g(a b), etoces el sistema S es icompatible. 2. Métodos directos de resolució de sistemas. U método directo de resolver u sistema de ecuacioes lieales es aquél tal que co u úmero fiito de operacioes se obtedría la solució exacta del sistema, si o fuera por los errores de redodeo. E los métodos directos, mediate operacioes elemetales e las filas de la matriz ampliada del sitema (A b), u sistema S se trasforma e otro sistema equivalete (misma solució) S del cual se puede obteer la solució de forma casi imediata. Los más coocidos so: El método de elimiació de Gauss, la factorizació LU y el método de Gaus-Jorda. 2..Método de elimiació de Gauss Este es el método más coocido, cosiste e trasformar, mediate operacioes elemetales e las ecuacioes del sistema, u sistema S de ecuació matricial Ax = b, e u sistema S de forma escaloada o triagular y ecuació Ux = c, cuya resolució es imediata. Diremos que u sistema S tiee forma escaloada o es escaloado si es de la forma: ux u2x2 ujxj ux c u22x 2 u2 jx j u 2x c2 S' upjx j upx cp 0 cp 0 cm co (p < ) E forma matricial: Asigatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS 3

4 S u u u u u 2 3 j x c 0 u22 u23 u2 j u2 x2 c2 0 0 u33 u3j u 3 x3 c upj u p xj cp x c m La matriz de coeficietes A se trasforma e ua matriz U escaloada. Si A es ua matriz cuadrada, se trasforma e ua matriz U triagular superior. Es decir, u sistema S está e forma triagular o es triagular si es de la forma: ux u2x2 ux c u x u x c S' u x c E forma matricial: u u2 u x c 0 u22 u2 x2 c2 0 0 u x c E particular, si A es ivertible (sistema compatible determiado), se trasforma e ua matriz U triagular superior co todos los elemetos de la diagoal pricipal distitos de cero uii 0. E geeral: i) El úmero de filas o ulas de U idica su rago. ii) La solució del sistema S se obtiee por sustitució hacia atrás, desde la última ecuació hacia la primera del sistema escaloado. iii) El proceso que trasforma A e U es el siguiete: desigado por f, f2,,fm las filas de A, trasformamos a2 e 0 restado a la seguda fila la primera multiplicada por, es decir, f2 - f, de igual modo trasformamos a3 e 0 co f3 - f, e geeral, trasformamos ap e 0 restado a la fila p-ésima la primera multiplicada por, es decir, fp - f (para p=,,m). Se obtiee así ua ueva matriz cuya primera columa solo tiee al elemeto u = a 0 (a se Asigatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS 4

5 deomia pivote). Se procede de igual maera para trasformar esta matriz e otra cuyos elemetos por debajo de u22 sea 0 (u22 es ahora el pivote) y así sucesivamete hasta obteer la matriz escaloada U (los elemetos de la diagoal pricipal so los pivotes utilizados). iv) E el desarrollo del apartado aterior se puede presetar dos problemas: Los errores de redodeo se puede multiplicar si o se elige el pivote adecuado. U pivote puede covertirse e 0 e el trascurso del proceso. El deomiado pivoteo elimia el segudo problema y cotribuye a aumetar la exactitud de la solució, icluso cuado los uii so todos distitos de 0. Hay varias estrategias de pivoteo, la más usual es el pivoteo de columa que explicamos a cotiuació. El pivoteo cosiste e itercambiar el orde de las ecuacioes de forma que, e cada columa, el pivote sea el elemeto de mayor valor absoluto, es decir, recolocamos primero las ecuacioes de maera que e la primera columa el pivote i=2, procedemos a la elimiació (hacer 0 por debajo de u) y, a cotiuació, recolocamos las ecuacioes de la 2 a la de forma que i=3, se procede etoces a la elimiació (hacer 0 por debajo de u22) y así sucesivamete. Esta variate del método de Gauss se deomia método de elimiació de Gauss co pivotació parcial y es la que está implemetada e MATLAB co el operador \ cuado el sistema Ax = b es compatible determiado: x = A\b. NOTA: Al resolver e MATLAB el sistema Ax = b co el operador \ se debe teer e cueta que: a) Si A es cuadrada A\b proporcioa la úica solució del sistema, siempre que A sea ivertible, o u aviso de error si o lo es (podría ser icompatible o compatible idetermiado). b) Si A o es cuadrada pero rga = (º de icógitas), A\b es la solució óptima por míimos cuadrados. c) Si rga = r <, Matlab ofrece como resultado ua úica solució auque el sistema sea compatible idetermiado. Recomedació: Estudiar los ejemplos 3.8 y 3.9 (pág. 9-22) del libro Aálisis Numérico y Visualizació Gráfica co MATLAB de Shoichiro Nakamura (cosultar bibliografía del curso). 2.2.Método de factorizació o descomposició LU Este método de resolució de u sistema S Ax = b es cosecuecia imediata de la reducció de la matriz A a ua matriz escaloada U por el método de elimiació de Gauss. Asigatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS 5

6 El procedimieto, cosiste e trasformar la matriz A, mediate operacioes elemetales e las filas de la matriz ampliada A b, e u producto A = LU dode L es ua matriz triagular iferior (mxm) y U es ua matriz escaloada (mx). De esta forma, el sistema S aterior se escribe: LUx = b Haciedo Ux = z, queda el sistema L z= b que por sustitució hacia adelate es de resolució imediata y ua vez obteida z, se obtedría x e Ux = z co u procedimieto aálogo de resolució hacia atrás. Si o es ecesario el pivoteo (itercambio de filas), la matriz U es la resultate de la elimiació de Gauss y la matriz L = E - dode E es la matriz que resulta de aplicar las mismas operacioes elemetales que trasforma A e U a la matriz uidad de orde m, es decir: Si Ek Ek- E A=U, dode Ei so las matrices elemetales de la reducció de Gauss y desigamos por E = Ek Ek- E E A = U A = E - U, luego: A = LU, dode L= E - y U es la matriz escaloada de la reducció de Gauss. MATLAB proporcioa la descomposició LU, si pivoteo, de ua matriz A mediate la istrucció [L,U]=lu(A) Si es ecesario el itercambio de filas (pivoteo) y coociéramos dichos cambios ates de aplicar Gauss, podríamos expresar el efecto de los mismos mediate ua matriz P uitaria (los elemetos o ulos so y e cada fila hay u úico y lo mismo e cada columa) que es la resultate de aplicar dichos cambios a la matriz uidad correspodiete (mxm e este caso), etoces PAx = Pb = y se procedería a la descomposició LU de PA como e el caso aterior, es decir: PA = LU Lux = y haciedo Ux = z, se resolvería, e primer lugar, Lz = y, a cotiuació, Ux = z MATLAB proporcioa la descomposició LU, co pivoteo, de ua matriz A mediate la istrucció [L,U,P]=lu(A) Observació: La factorizació LU preseta la vetaja de que co las mismas L y U permite la resolució de sistemas de ecuacioes lieales que solo difiere e los térmios idepedietes. Recomedació: Estudiar el ejemplo 3.2 (pág. 27) del libro Aálisis Numérico y Visualizació Gráfica co MATLAB de Shoichiro Nakamura (cosultar bibliografía del curso). Matriz elemetal es la que resulta de aplicar ua operació elemetal a las filas de la matriz uidad Asigatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS 6

7 2.3.Método de Gauss-Jorda Este método es ua variació de la elimiació de Gauss para resolver el sistema Ax = b siedo A ua matriz cuadrada iversible de orde. Cosiste e elimiar tambié los elemetos que está por ecima del pivote a la vez que se escala las filas para que el pivote sea la uidad. El pivoteo sigue siedo ecesario e este método por las mismas razoes que el método de elimiació de Gauss. Siedo x la solució del sistema. [A b] [I x] Las aplicacioes más usuales de este método so: i) Cálculo de la matriz iversa [A I] [I A - ] ii) Resolució de sistemas e los que solo varía los térmios idepedietes. Si desigamos por B, B2,, Bk las columas de los térmios idepedietes de los distitos sistemas y S, S2,, Sk sus cojutos solucioes etoces: [A B, B2,, Bk ] [I S, S2,, S] si es compatible determiado. [A B, B2,, Bk ] [T S, S2,, S] si es compatible idetermiado, siedo T ua matriz uitaria distita de la uidad. Recomedació: Estudiar el ejemplo 3.0 (pág. 23) del libro Aálisis Numérico y Visualizació Gráfica co MATLAB de Shoichiro Nakamura (cosultar bibliografía del curso). Ejercicios: Realizar los ejercicios (pág. 39) del libro Aálisis Numérico y Visualizació Gráfica co MATLAB de Shoichiro Nakamura (cosultar bibliografía del curso). 2.4.Número de operacioes El úmero de operacioes que se requiere para resolver u problema por el método 3 2 de Gauss es del orde de 3. El úmero de operacioes que se requiere para resolver u problema por el método 3 4 de Gauss-Jorda es del orde de Tipos de matrices Se dice que ua matriz A M K) es estrictamete diagoal domiate por filas si Asigatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS 7

8 a ii > aij para i =,...,. j ji Ua matriz simétrica (A = A t ) es defiida positiva si y solo si x t A x > 0 para cualquier -upla x o ula. Lo cual es equivalete a que todos los meores pricipales de A sea positivos y tambié a que todos los valores propios de A sea positivos. 2.6.Teoremas M K es estrictamete diagoal domiate por filas, etoces det (A) 0 (A a) Si A es regular o o sigular). Además, para cualquier sistema Ax = b es aplicable el método de Gauss si pivoteo y los cálculos so estables respecto al crecimieto de errores por redodeo. b) Si A M K es defiida positiva etoces det (A) 0. Además, para cualquier sistema A x = b es aplicable el método de Gauss si pivoteo y los cálculos so estables respecto al crecimieto de errores por redodeo. c) Si A M K es ua matriz para la que es aplicable el método de Gauss si pivoteo, etoces puede ser factorizada de la forma LU: i. A = LU siedo L triagular iferior co e la diagoal pricipal, U triagular superior (forma de Doolittle). ii. A = LU siedo L triagular iferior, U triagular superior co e la diagoal pricipal (forma de Crout). 2.7.Descomposició de Cholesky Es u caso particular de la descomposició LU para matrices simétricas defiidas positivas. Se trata de tomar U como la matriz traspuesta de L, es decir: A = L L t, dode L es ua matriz triagular iferior co sus elemetos de la diagoal pricipal estrictamete positivos. La descomposició de Cholesky es úica: dada ua matriz simétrica defiida positiva A, hay ua úica matriz triagular iferior L co etradas diagoales estrictamete positivas tales que A = LL t. El recíproco tambié es cierto: si A se puede escribir como LL t para algua matriz ivertible L, triagular iferior o o, etoces A es simétrica defiida positiva. Se obtiee de esta forma ua ueva caracterizació de las matrices simétricas defiidas positivas: Ua matriz simétrica es defiida positiva si y solo si admite ua úica factorizació de Cholesky. Asigatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS 8

9 Sistemas de la forma Ax = b co A simétrica y defiida positiva aparece a meudo e la práctica. Por ejemplo, las ecuacioes ormales e problemas de míimos cuadrados lieales so problemas de esta forma. La descomposició de Cholesky se utiliza para resolver este tipo de sistemas de ecuacioes lieales e la misma forma que se usa la descomposició LU geérica. Y es más eficiete y más estable uméricamete que cualquier otra descomposició LU. MATLAB proporcioa la descomposició de Cholesky mediate la istrucció: O bie, chol(a), obteiédose L t. L=chol(A, lower ) 2.8. Matrices dispersas. Matrices tridiagoales. Algoritmo de Crout Matrices dispersas so aquellas que tiee pocos elemetos o ulos frete a los ulos, por ejemplo, la matriz idetidad sería ua matriz dispersa. Habitualmete so de gra tamaño por lo que almacearlas y tratarlas como matrices ormales supoe u coste excesivo. MATLAB dispoe de fucioes específicas para estas matrices. Así la fució sparse declara dispersa ua matriz, de forma que se almacea y se opera sólo co los elemetos o ulos. La orde full (A) covierte e llea ua matriz declarada previamete dispersa. E diversas aplicacioes os ecotramos co sistemas Ax = z dode A es cuadrada y sus elemetos so todos ulos excepto los de la diagoal pricipal y alguas de las paralelas a dicha diagoal. Estas matrices se deomia matrices bada. U caso particular de matrices bada so las matrices tridiagoales. Se llama matriz tridiagoal a ua matriz co la forma siguiete: a a a2 a22 a a32 a A a a a, a,, Para este tipo de matrices hay algoritmos de factorizació que simplifica el úmero de operacioes a realizar, aprovechado la gra catidad de ceros que aparece siguiedo patroes regulares. Estos métodos so preferibles frete a los que o tiee e cueta la tridiagoalidad de la matriz., Asigatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS 9

10 Algoritmo de Crout Sea Ax = z, dode A es cuadrada y tridiagoal. Por comodidad usaremos la otació a b 0 0 c a2 b2 0 A 0 c2 a a Podemos factorizar A como producto de dos matrices triagulares L y U, dode L es bidiagoal iferior y U bidiagoal superior de la siguiete forma: a b 0 0 l u 0 0 c a2 b2 0 c l u2 0 0 c2 a3 0 0 c2 l a l Esta factorizació es la LU que se obtiee co el método de elimiació de Gauss, escalado cada fila de la matriz triagular superior para que el pivote sea. Las expresioes que os da los elemetos de las matrices L y U so: b l = a i u i para i,, li li = ai ui- ci- para i = 2,, De esta forma, el sistema tridiagoal Ax = z bidiagoales: se trasforma e dos sistemas Ax = z Lux = z L(Ux) = z Haciedo Ux = y, resolvemos primero de maera secilla e imediata, por sustitució hacia adelate o directa, el sistema bidiagoal Ly = z Seguidamete, por sustitució hacia atrás o regresiva, se resuelve, Ux = y. MATLAB dispoe de la fució crout.m que proporcioa la solució. 3. Normas de vectores. Normas matriciales. Aálisis de errores. 3.. Normas vectoriales e R Sea x = (x, x 2,, x ) R. Las ormas de vectores más usuales so: x x x x 2 Asigatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS 0

11 x x 2 x2 x xi es la orma euclídea. Represeta la oció i usual de distacia al orige e el plao o espacio tridimesioales e sistemas cartesiaos rectagulares. i x máx x i 3.2. Normas matriciales e M R Sea A a M R ij m m, las ormas matriciales subordiadas más usuales so: m A máx a j i i j Norma espectral: t A A A i j i m 2 j A máx a Todas las ormas matriciales subordiadas verifica, además de las propiedades características de toda orma: A 0 * A 0A 0 * AB A B ca * * * c A * * las siguietes propiedades: A * A AB A B A * * * A * * I * Dode A es el radio espectral de la matriz A, es decir, el máximo de los valores absolutos de los autovalores o valores propios de dicha matriz. La orma espectral es la utilizada por Matlab. Otra orma que se utiliza co cierta frecuecia es la orma de Frobeius o de Hilbert- 2 t 2 2 Schmidt: A F aij Traza(AA) i,j Asigatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS

12 No es ua orma iducida (como sí lo es la espectral, iducida por la orma euclídea de vectores) Codicioamieto de ua matriz Hay sistemas de ecuacioes lieales e los que la itroducció de pequeños cambios e los coeficietes, produce grades cambios e la solució. Se dice que estos sistemas está mal codicioados x y Ejemplo: El sistema represeta geométricamete la x y itersecció de dos rectas que forma u pequeño águlo etre ellas y la solució es. x y Si modificamos e ua milésima el térmio idepediete de la primera ecuació x y x y , etoces la solució cambia a x y Y es que, a lo largo del proceso de resolució de ua ecuació o u sistema de ecuacioes, es relativamete secillo que se pueda producir pequeños cambios e los coeficietes, debidos a errores de redodeo, que además pase iadvertidos. Para comprobar si u sistema está, o o, mal codicioado, se estudia si la matriz de sus coeficietes está, o o, mal codicioada. Para averiguar si ua matriz cuadrada está mal codicioada estudiaremos dos procedimietos: I. El úmero de codició de la matriz Se defie el úmero de codició de ua matriz cuadrada A como el escalar: Cod*(A)= A A dode A es ua orma cualquiera de la matriz A. * * * Es ua medida de la sesibilidad de la solució de u sistema de ecuacioes lieales a los errores presetes e los datos. Da ua idicació de la precisió de los resultados. Como cosecuecia de las propiedades de la orma y de la propia defiició de úmero de codició, se verifica: - Cod(A) A M - Cod(A) = cod (A - ) A M - Cod(c A) = cod (A) AM, c 0 Se verifica los dos siguietes resultados: Asigatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS 2

13 ) AM iversible, b 0, si se cosidera los sistemas: Ax = b Etoces: x x Ax+x=b+b b cod(a) b 2) AM iversible, b 0, si se cosidera los sistemas: Ax = b A+ Ax+ x =b Etoces: x A cod(a) x+ x A Por tato, cuato mayor sea cod (A) peor será el codicioamieto del sistema. E el ejemplo aterior, el mal codicioamieto es debido a que Cod2 (A)= A A = cod ([0.2065, ; , ]) = El sistema A x = b estará tato mejor codicioado cuato más próximo a esté el úmero de codició cod (A). Para poder calcular co exactitud la solució de u problema mal codicioado la precisió de los cálculos ha de ser muy elevada. II. Podemos obteer ua medida directa de los errores e la resolució de u problema mal codicioado si dada A y obteida A - mediate los cálculos ocurre algua de las siguietes posibilidades: A A se diferecia otablemete de. - A es diferete de A. AA - se aparta de la matriz uidad. A - - A se separa de la matriz uidad de forma más otoria que AA -. Asigatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS 3