Departamento: Matemáticas. Profesor: Guillermo Corbacho. ESTADÍSTICA ÍNDICE

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1 Departameto: Matemáticas. Profesor: Guillermo Corbacho. ESTADÍSTICA ÍNDICE Coceptos Básicos Actividades, 3 Defiicioes, C D Frecuecia absoluta y acumulada, 4 Si empleo de itervalos, 4 Frecuecia absoluta y acumulada co datos agrupados e itervalos, Actividad, Frecuecia relativa y probabilidad, 6 Elaboració de ua tabla co frecuecia relativa, 7 Defiicioes Frecuecia relativa, 7 Frecuecia relativa porcetual, 7 Media aritmética o promedio, 9 Mediaa, 9 Moda, 9 muestra, Població, Rago, 13 variable estadística, Desviació Media Ejercicios Resueltos, 16 Para datos agrupados, 14 Para datos o agrupados, 13 Resume de Fórmulas, 1 Desviació Típica Ejercicios Resueltos, 3 Fórmulas para la desviació Típica, 0 Para datos agrupados, 1 Para datos o agrupados, 0 F Frecuecia absoluta y acumulada Actividad, 4 M Medidas de Dispersió, 13 Desviació Media, 13 Desviació Típica, 19 Medidas de tedecia cetral, 8 Actividades para datos o agrupados, 9 Datos agrupados, 9 Ejercicios resueltos, 10 Presetació gráfica de la iformació estadística, 7 Gráfico Circular, 8 Gráfico de Barras, 7 Histograma, 7 Polígoo de frecuecias, 8 Variable Cuatitativa Cotiua, Discreta, Variable estadística Variable Cualitativa, Variable Cuatitativa, P V

2 Departameto: Matemáticas. Profesor: Guillermo Corbacho C Tratamieto de la iformació 1. Itroducció U profesor e práctica de Matemáticas y Física quiere saber de qué comuas proviee los alumos y alumas del establecimieto. Para efectos prácticos del desarrollo de clases, o le será posible ecuestar a todos los estudiates que itegra el colegio, pero si a aquellos co los cuáles efectúa su práctica. A todos los estudiates del colegio se les deomia: població estadística. Los alumos(as) que fialmete será ecuestados recibe el ombre de muestra estadística; y la comua de residecia que se desea averiguar recibe el ombre de variable estadística.. Coceptos Básicos.1. Defiicioes.1.1. Població: es el cojuto completo de persoas u objetos a observar. Tiee ua característica que se desea medir..1.. Muestra (represetativa): es ua parte de las persoas u objetos, que represeta fielmete las características de la població etera e la característica que se desea medir. Sobre esta parte, se efectúa fialmete la medició o ecuesta Variable estadística: es la característica o atributo que se solicita, observa y/o se mide e la muestra. Las variables estadísticas se clasifica a su vez e: Variables cualitativas: como aquellas características de la població que se puede expresar verbalmete y que o tiee medida umérica. Ejemplos: - color atural de pelo (egro, rubio, castaño, rojo) - comua (Satiago, Quilicura, Vitacura, etc.) - equipo de fútbol preferido (Cobreloa, Colo colo, U de Chile, U Católica, etc.) - etc. Variables cuatitativas: so aquellas que se puede expresar co úmeros (edad, peso, úmero de hijos, etc.). Estas variables se clasificar uevamete e: - discretas. Ejemplos: - º de hijos; - º de televisores e el hogar; - catidad de persoas que tiee vehículo e ua empresa; - estatura medida solo e cetímetros; - gasto e u supermercado; - etc. Como aquellas características de la població e dode todas los valores que admite so úicamete úmeros eteros. - cotiuas. Ejemplos: - promedio de otas académicas; - estatura e metros, medida co dos decimales; - Masa (Kg.) de pa, que las familias adquiere e el almacé; - etc. La variable que se estudia admite aquí úmeros fraccioarios y/o decimales.

3 Departameto: Matemáticas. Profesor: Guillermo Corbacho Actividades Idetificació de Coceptos I. Co la iformació que se etrega: idetifica la població, elige ua muestra posible y señala cuál es la variable estadística. 1. E el cie ABCDE de Arica, se quiere saber cuál es la película más vista por la gete. a. La població es:. b. Ua muestra podría ser:. c. La variable es:.. Se desea saber cuál es el juego de PC preferido etre los estudiates del colegio ABCDE. a. La població es:. b. Ua muestra sería:. c. La variable es:. 3. Elige tú ua variable que se puede estudiar. Determia la població y ua muestra. a. La població es:. b. Ua muestra sería:. c. La variable es:. II. A cotiuació se preseta distitas variables estadísticas. Idetifica si so cualitativas o cuatitativas. 1. Color de ojos: 4. Edad:. Estatura:. Hobby favorito: 3. Nº de hermaos: 6. Comua: III. Elige la muestra para medir cada ua de las siguietes variables, marcado la alterativa más adecuada. Cometa co tus compañeras(os). 1. Para medir gustos musicales de la població de Satiago elegiría como muestra: a. Grupo de gete saliedo de u b. Grupo de persoas que pasea e u cocierto de rock. cetro comercial.. Para saber el equipo de fútbol preferido por los alumos de u colegio elegiría como muestra: a. La mitad de cada curso del colegio. b. Solo los cursos de u determiado ivel. 3. Para saber los sueldos e ua fábrica elegiría como muestra: a. Alguos trabajadores del área b. Todos los trabajadores. admiistrativa mas alguos operarios de la fábrica. IV. Respode. 1. Cuál es la importacia de buscar ua muestra adecuada? Qué podría pasar si o lo es?. Idica juto a u compañero o compañera, algú estudio que se pueda realizar e tu colegio, midiedo ua variable cuatitativa y otra cualitativa. Determie cuál sería ua muestra adecuada y ua o adecuada, para cada ua de ellas. Explique. 3

4 3. Frecuecia Absoluta y Frecuecia Acumulada 3.1. Datos agrupados e clases o grupos si itervalos. Itroducció U jefe de persoal de ua empresa de seguridad ha decidido comprar camisas de maga corta para sus 8 guardias, debido a que se acerca la temporada de verao. Recopiló los datos correspodietes al úmero de camisa que tiee cada uo Como so muchos datos y alguos se repite, o es fácil i cómodo presetarlos uo a uo. Etoces se realizó u coteo para poder presetarlos de maera mas ordeada. Ates de proseguir arrado como el jefe de seguridad ordeó la iformació referida a las tallas de camisas que debía comprar a sus guardias, debo presetarles la defiició de alguos térmios que os facilitará la compresió de lo que hizo. Frecuecia absoluta: es el úmero de veces que se repite e la muestra, u valor de la variable. Frecuecia absoluta acumulada: es el úmero de veces que se preseta ua iformació, co valores meores o iguales al valor de ua variable. De acuerdo a la tabla podemos respoder: a) Cuátos guardias tiee talla 3? b) Cuátos tiee 34? c) Cuátos tiee talla 3 o meos? d) Cuátos tiee más que 3? Las respuestas so: a) 3 guardias. b) guardias. c) Los que tiee talla 34 mas talla d) 8 guardias meos los que tiee talla meor o igual a 3. Es decir, 8 3 ACTIVIDAD PROPUESTA EN CLASES Costruye ua tabla que cotega la frecuecia absoluta y acumulada, para la catidad de horas diarias que u grupo de persoas ve televisió y respode las siguietes pregutas. a) Cuátas persoas ve televisió 4 horas diarias? b) Cuátas persoas ve televisió más de 4 horas diarias? c) Cuátas persoas ve televisió meos de horas diarias? d) Cuátas persoas o suele ver televisió? e) Cuátas persoas fuero ecuestadas?

5 3.. Datos Agrupados e Itervalos Otra maera de presetar los datos e ua tabla es agrupádolos e itervalos. Observa el ejemplo: Los datos que a cotiuació se preseta correspode al úmero de aucios comerciales que efectúa distitos programas de televisió, cada vez que so emitidos. Tabla de frecuecias, e Itervalos: Número de Comerciales por programa de televisió. Nº Comerciales ( x i ) Marca de Clase ( x c ) Frecuecia Absoluta ( f i ) Frecuecia Absoluta Acumulada (F i ) 0 3 (0 + 3) : 1, (3 + 6) : 4, (6 + 9) : 7, (9 + 1) : 10, (1 + 1) : 13, 4 43 Reglas para la elaboració de ua tabla de frecuecias e Itervalos. - Todos los itervalos debe teer la misma amplitud o diferecia etre el valor más grade (limite superior del itervalo) y el meor o (limite iferior). E este caso, la amplitud o diferecia es 3. - E cada itervalo se icluye el primer valor pero o el último (e el ejemplo, el dato 3 se icluye e el itervalo (3-6) y o e el itervalo (0-3). - La marca de clase es el valor que mejor represeta a los valores de cada itervalo y se obtiee promediado los límites iferior y superior o valores extremos de cada itervalo. - El úmero de itervalos debe permitir ua distribució adecuada de los datos. - Suele añadirse e el primer o último itervalo, u valor extremo que o correspode co igú dato, pero que ayuda que la amplitud de todos los itervalos sea iguales. E este caso, e el último itervalo se icorporó como límite superior al 0. ACTIVIDAD PROPUESTA EN CLASES Resuelve 1. Completa la elaboració de la tabla referida al calzado que posee modelos que se presetaro a u castig de televisió. Estos modelos so iños, jóvees y adultos Nº de Calzado marca de clase x i x c frecuecia absoluta f i frecuecia absoluta acumulada F i

6 4. Frecuecia Relativa y Probabilidad 4.1. Itroducció Hugo y Elea perteece al mismo curso y cometa la catidad de alumos detro de el, que usa lápiz pasta egro para tomar aputes. Elea hizo la siguiete comparació, que correspode a la razó: º de alumos del curso usado pasta egro 6 total de alumos del curso Es decir, los alumos que usa pasta egro so al total de alumos del curso como 6 es a. Si resolvemos la fracció os da 0.4. A esta razó se le deomia frecuecia relativa. Porque da la frecuecia co que ocurre algo, pero e relació a u total. Recordemos ahora la defiició de probabilidad. Si deseamos hallar la probabilidad de seleccioar a u alumo que use lápiz pasta egro, obteemos: casos favorables 6 P (lápiz egro) 0.4 casos totales Es decir, la razó 6/ os da o solo ua frecuecia relativa, sio tambié la probabilidad asociada a u eveto. Si proyectamos la cosulta a alumos de otros cursos, hasta cosiderar a u total de 100 alumos. Podemos esperar, e base a uestra experiecia co u curso, que las razoes o probabilidades se matega. Es decir, tras cosultar cuatos usa lápiz egro e u grupo de 100 alumos, esperamos saber la respuesta al resolver la siguiete proporció. 6 x 100 Para determiar el úmero de alumos que esperaríamos que use lápiz pasta egro del total de 100, debemos resolver esta proporció. Aplicado producto cruzado (llamado teorema fudametal de las proporcioes), obteemos: x x x 1 x 4 Es decir, esperamos que 4 alumos de u total de 100 use lápiz pasta egro. La proporció aterior os queda: 6 4 Pero por defiició de porcetaje: 4 4% % Por lo tato, comparar u subcojuto de elemetos respecto de u total, os proporcioa tambié u porcetaje. Basta multiplicar la probabilidad dada, por 100 %. Así, cocluimos que existe ua relació etre probabilidad y porcetaje. Estamos e codicioes de aceptar co mayor setido, las próximas defiicioes. 6

7 4.. Defiicioes Frecuecia relativa (o probabilidad): es la razó etre la frecuecia absoluta (subcojuto de elemetos que comparte cierta característica) y el úmero total de datos de la muestra. Frecuecia relativa porcetual: correspode a la frecuecia relativa expresada e porcetaje Elaboració de ua tabla co frecuecia relativa La siguiete tabla idica la catidad de itegrates segú sus edades, de u taller de fútbol que hay e u colegio. Edad (variable) frecuecia absoluta (úmero de itegrates) frecuecia acumulada frecuecia relativa (probabilidad) ( fr ) frecuecia relativa (porcetual) ( hi ) / % / % / % / % / % / % / % Totales 0 Σ 1.00 Σ 1.00 Cuestioario a) Qué porcetaje de alumos tiee respecto del club de fútbol, 14 años? y los que tiee 17 años? b) Qué porcetaje de alumos tiee más de 16 años? c) Si seleccioamos u alumo que tega del taller, qué probabilidad es que tega 1 años? f r h i 7

8 . Medidas de Tedecia Cetral.1. Itroducció E u toreo comual de ajedrez escolar a siete rodas, los seleccioados de ajedrez del colegio obtuviero los siguietes putajes. Camila: Podríamos señalar que uestra selecció pueda ser represetada por 4 putos. Pues si ordeamos los putajes obteidos de meor a mayor (o viceversa), la mitad de los putajes quedaría sobre 4 y la otra mitad de los putajes estaría bajo 4. Seleccioados de Ajedrez Putaje obteido Herá 6 Nicolás 4, Amada, Slava Pablo 4 Gabriela 3, Ala 3 Erique 4, Diego 3 Jorge, Camila 4, Mauro 4 Carlos, Josefia 3 Bárbara 4, Macarea 4, Sergio 4 Rodrigo 3 Herá, Ala y Camila discute la maera de describir el redimieto de su equipo. Herá: Todos uestros jugadores podría ser represetados por 3,97 putos. Pues es el promedio de los putajes obteidos por uestra selecció e el toreo. Ala: Todos uestros jugadores puede ser idetificados co 4, putos, pues el putaje que más se repite. Camila: Podríamos señalar que uestra selecció pueda ser represetada por 4 putos. Pues si ordeamos los putajes obteidos de meor a mayor (o viceversa), la mitad de los putajes quedaría sobre 4 y la otra mitad de los putajes estaría bajo 4. Quié de los tres tiee razó para idetificar el redimieto de su selecció e el toreo de ajedrez co u putaje dado? Pues bie, los tres valores so aceptados para caracterizar o idetificar a u cojuto de valores. Lo idicado por Herá es la caracterizació más coocida, es el Promedio o Media. Lo idicado por Ala el valor que más se repite-, es coocido como la Moda. Lo idicado por Camila ordear los putajes de meor a mayor (o viceversa) y seleccioar los o el de al medio- es coocido como Mediaa. El promedio llamado tambié media -, juto a la Moda y a la Mediaa se deomia Medidas de Tedecia Cetral, pues so medidas que busca represetar a u grupo de valores e toro a uo solo. Es decir, como si todos los valores se cetrara e ellos. 8

9 .. Defiicioes Media aritmética o promedio ( x) : correspode a la suma de todos los datos, dividido por el úmero total de ellos. Moda (M O ): es el valor de la muestra que tiee la frecuecia absoluta más alta. Ua muestra puede o teer moda, o teer ua o más. Mediaa (M d ): es el valor del dato que ocupa la posició cetral etre todos los datos de la muestra, ordeados de maera creciete o decreciete. Hay dos casos para ecotrar la mediaa: Si el úmero de datos es impar, la mediaa es el dato que ocupa el valor cetral de la muestra ordeada. Si el úmero de datos es par, la mediaa es el promedio de los dos datos cetrales...1. Actividades Ecuetre la media, moda y mediaa para los siguietes grupos de datos. a) 1,,, 3, 3, 3, 4, 4, b) 0, 0, 0, 1, 1,, 3, 3, 4,,, 6, 7 c), 10, 14, 10, 9,, 7, 7, 11, 10, 9 d) 3, 3,, 4, 6,, 0,, 1, 3 e) 3, 0, 1, 0, 1,, 1,, 3, 7, 6, 3 f) 1.1,.3, 3.3,.1, 1.1,. g)., 4, 1.9, 3., 6,, h) 3, 0.4, 3, 0.4, 3, Medidas de Tedecia Cetral e datos agrupados Así como la actividad aterior procuró hallar las medidas de tedecia cetral para datos o agrupados, así tambié procuraremos hallarlos para datos agrupados. Volviedo a ua tabla aterior, e dode el jefe de seguridad clasificó las tallas de camisa de sus guardias. Número de Camisa (x i ) Frecuecia absoluta frecuecia absoluta acumulada (F i ) (f i ) Total 8 El promedio (o media aritmética) se obtiee e este caso, de la suma de cada úmero x de camisa, multiplicado por su respectiva frecuecia f i. Y a tal resultado, dividirlo por el úmero total de datos (8 camisas). xi fi Es decir, la media o promedio es x Dode: xif i Por lo tato, xf i i 1060 x 37, ,86 8 (aprox. el 3 er decimal al do ) El valor de la mediaa se obtiee de la frecuecia absoluta acumulada, otado que variable x (talla de camisa), tiee la mitad de los datos o úmero de camisas. Como el úmero de camisas es 8 y par, teemos que buscar la talla que tega las camisas cetrales (/), 14 y 1 ava camisa, e la frecuecia absoluta acumulada. Tales camisas se ecuetra co la talla 38 (dado que la talla aterior tiee ua frecuecia absoluta acumulada solo hasta 13). Por lo tato, la mediaa es M d 38. La moda se desprede fácilmete de la tabla, pues es el valor que más se repite e la frecuecia acumulada. La Moda es M O 37, pues es el valor que más se repite ( veces). 9

10 .3.1. Ejercicios Resueltos. Calcular Medidas de Tedecia Cetral. 1. Recordemos la siguiete iformació de la tabla que idica la catidad de itegrates que segú sus edades, itegra el taller de fútbol de u colegio. Calcula: a) la media x. b) la moda Mo. c) la mediaa M d. E iterpreta cada ua de ellas. Solució: a) x i f x i ,4 Edad (variable) frecuecia absoluta (úmero de itegrates) Totales 0 E promedio, la edad de los itegrates del taller de fútbol es de 14,4 años. Esto equivale a 14 años + 0,4 años (separado los eteros de los decimales) 14 años + 0,4 36 días (recordado que 1 año 36 días) 14 años + 87,6 dias 14 años y 3 meses. (recordemos que 1 mes es aprox. igual a 90 días) Es decir, e promedio, la edad de los itegrates del taller de fútbol es aproximadamete igual a 14 años y 3 meses. b) Mo la(s) variable(s) que más se repite() (segú la frecuecia absoluta) la edad de 1 años. La edad de 1 años es la edad mas frecuete etre los jugadores. c) La tabla preseta los datos ordeados de meor a mayor. Como la catidad de datos es cicueta (úmero par), debemos promediar las variables que cotega los datos cetrales. Al avo y 6 avo dato. Para esto, sería mejor cosiderar la frecuecia acumulada. Edad (variable) frecuecia absoluta (úmero de scouts) frecuecia acumulada F i F i f i Totales 0 La frecuecia acumulada muestra que a partir del 18 avo al 8 avo dato, estos perteece a u mismo itervalo, y por tato a ua misma variable. La de 14 años. No es ecesario promediar igú par de variables o edades. El itervalo dode se halla los datos cetrales es el de 14 años. Por lo tato, la mitad de los itegrates tiee ua edad igual o iferior a 14 años y la otra mitad de los itegrates tiee ua edad igual o superior a los 14 años. 10

11 . Calcula e iterpreta las tres medidas de tedecia cetral a) la media x. b) la moda Mo. c) la mediaa M d. De la siguiete tabla, cofeccioada previamete, que correspode al úmero de comerciales emitidos por diversos programas de TV. Tabla de frecuecias, e Itervalos: Número de Comerciales por programa de televisió. Nº Comerciales x i Marca de Clase x c Frecuecia Absoluta f i Frecuecia Absoluta Acumulada F i 0 3 (0 + 3) : 1, (3 + 6) : 4, (6 + 9) : 7, (9 + 1) : 10, (1 + 1) : 13, 4 43 Solució: xf c i 1, 9 + 4, 11+ 7, , , 8 337, a) x , ,8 8 El úmero de comerciales que emite los programas, e promedio es de 7,8. O bie: Como el úmero de comerciales al cotarlos, toma solo úmero aturales (es ua variable discreta), podemos decir que se emite aproximadamete ocho comerciales por programa e promedio. b) E esta ocasió, el valor más alto de las frecuecias absolutas, que es 11, lo cotiee más de u itervalo, cuyas marcas de clases so 4, y 7,, siedo estas las modas. E estricto rigor, la moda para datos agrupados e itervalos viee dada por d1 Mo L + c dode L es el límite iferior de la clase modal (es decir, la clase d + d 1 o itervalo co mayor frecuecia) d 1 frecuecia clase modal meos frecuecia de la clase aterior. d frecuecia clase modal meos frecuecia de la clase siguiete. c diferecia etre los límites superiores o iferiores de dos itervalos cosecutivos. Ua de las modas viee dada por d1 3 Mo L + c comerciales por programa. d + d d 0 Mo L + c + d + d 0+ 1 Y la otra moda viee dada por comerciales por programa. 1 E el fodo teemos ua úica moda y es la de pasar 6 comerciales por programa. 11

12 c) El último valor de la frecuecia acumulada os idica que so 43 datos. E estricto rigor: N + 1 Md el iésimo elemeto e el ordeamieto de datos o agrupados. Y para datos agrupados: F M d L+ c dode L límite iferior de la clase mediaa (es decir, f m la clase que cotiee el elemeto medio de la distribució). úmero de elemetos e el cojuto de datos. F frecuecias acumulada hasta la clase o itervalo aterior. f m frecuecia de la clase mediaa. c diferecia etre límites superiores o iferiores de itervalos cosecutivos. 43 F 0 1, 0 Así, 6 M d L+ c , 409 6, 409 6, 41 fm comerciales por programa. Como los comerciales so ua variable discreta, podemos aproximar a 6 y señalar que la mitad de los programas pasa meos de 6 o 7 comerciales por programa y la otra más de 6 o 7 comerciales por programa. 1

13 6. Medidas de Dispersió 6.1. Itroducció Se tiee tres grupos de alumos co las siguietes otas, correspodietes a u mismo exame. Grupo 1 Grupo Grupo 3 ota alumo 1 4,0 7,0 6,0 ota alumo 4,0 4,,0 ota alumo 3 4,0 4,0 1, ota alumo 4 4,0 3. 4,0 ota alumo 4,0 1,0 6, Note que e todos los grupos su media es 4,0. Si embargo, o so grupos similares e cuáto a redimieto. Esto sigifica que si represetamos a los grupos por su media, podríamos o señalar claramete las diferecias etre los grupos. Por lo tato, se ideó otros parámetros o idicadores para caracterizar a los grupos. Los parámetros a los cuáles me refiero e esta ocasió, sirve para idicar cuá separados está los valores etre sí, y se deomia Medidas de Dispersió. 6.. Rago A la diferecia umérica etre el mayor y meor dato de ua muestra se le deomia Rago. Rago valor del dato mayor valor del dato meor Si ua muestra tiee u rago mayor que otra sigifica, se espera que su grado de dispersió sea mayor. Es decir, se espera que halle ua mayor diferecia etre sus datos. Rago grupo 1: 4,0 4,0 0 Rago grupo : 7,0 1,0 6 Rago grupo 3: 6, 1, Así, el cálculo de los ragos os idica que pese a que los tres grupos tiee igual media, podríamos esperar que el segudo tega mayor dispersió de los datos segú lo idica el rago. Pero si miramos los valores de los datos que está e la tabla, o parece claro que los datos se disperse más e el segudo grupo. Esto se debe a que solo se cosidera el mayor y meor dato y se omite la diferecia de los demás valores Desviació Media Para datos o agrupados Otra forma de averiguar acerca de la dispersió de los datos, es calculado la diferecia e -valor absoluto- de todos los datos de la muestra, respecto a u úico valor, que es la media. Si luego sumamos las diferecias e valor absoluto y calculamos su promedio, obtedremos lo que se deomia desviació media. E este caso si ocurre co certeza que: A mayor valor de la desviació media, mayor es el grado de dispersió o diferecia de los datos etre sí. Debido a que se cosidera todos los datos de la muestra y o solo a u par de datos, como ocurre co el rago. - E el grupo 1 todos los valores so iguales a 4.0, por lo tato o hay diferecia etre sus valores respecto de la media. Su desviació media es cero. 13

14 - E el grupo : xi x (7,0 4,0) + (4, 4,0) + (4,0 4,0) + (4,0 3,) + (4,0 1,0) DM 3+ 0,+ 0+ 0, , 4 Esto sigifica que los datos varía pricipalmete detro de los valores que perteece al itervalo: [ x DM, x+ DM] [4 1.4, ] [.6,.4] - E el grupo 3: xi x (6,0 4,0) + (4,0,0) + (4,0 1,) + (4,0 4,0) + (6, 4,0) DM + +,+ 0+ 1, 8 1,6 Esto sigifica que los datos se agrupa pricipalmete e el itervalo: [ x DM, x+ DM] [4 1.6, ] [.4,.6] La desviació media os idica que existe ua mayor dispersió de datos e el grupo Desviació Media para datos Agrupados La siguiete tabla preseta los datos de maera horizotal y muestra la catidad de hijos que tiee los apoderados de u colegio. Para ello se cosideró como muestra u curso de 40 alumos -y a sus padres como sus apoderados-. Número de hijos ( x i ) Catidad de apoderados ( f i ) La media e datos agrupados se calcula co xf i i x, Ahora calculamos la desviació media, utilizado su promedio o media. La desviació media para datos agrupados viee dada por la siguiete expresió: 14

15 DM xi x fi (, 1) 6 + (, ) 3 + (3,) 8 + (4,) , 6+ 0, 3+ 0,8 8+ 1, , + 4,6 + 6,4 +,4 40 3, ,9 Si combiamos estos parámetros estadísticos media y desviació media-, se puede idicar que el promedio de hijos varía e el itervalo dado por: [ x DM, x+ DM] [. 0.9, ] [1.61,.79] Obviamete, o existe 1,61 hijos o hijos co decimales de otro. Por lo tato, el mejor parámetro para represetar al úmero de hijos que tiee el grupo de apoderados de u curso es a través de su moda o mediaa, que e este caso coicide y so iguales a hijos Resume de fórmulas para la desviació media Datos o agrupados Datos agrupados (si itervalos) Datos agrupados e itervalos Desviacioes Medias xi x xi xf xc xfi i i 1 1

16 Ejercicios Resueltos 1. A cotiuació se preseta las estaturas de dos equipos de básquetbol. Aaliza los datos usado la desviació media para determiar qué equipo tiee estaturas más dispersas -distitas etre sí (más heterogéea)-. Y por tato cuál de los equipos tiee estaturas meos dispersas o más iguales etre sí -más homogéeo-. Estatura (cm.) Equipo A Estatura (cm.) Equipo B Solució: Para hallar la desviació de cada equipo, debemos hallar primero las respectivas medias e cada uo. E el equipo A, su media viee dado por: x 17, cm La desviació media de este grupo viee dada por x x DM (17, 16) + (17, 17) + (17 17,) + (181 17,) + (17, 168) 7, + 0, +,8 + 8,8 + 4, 3, 4,64 Los jugadores del equipo A tiee ua desviació media de 4,64 [cm.] respecto del promedio del equipo, que es de 17, [cm.] E el equipo B, su media viee dada tambié por: x 17, cm La desviació media de este grupo viee dada por x x DM (17, 163) + (17, 169) + (17, 170) + (17 17,) + (184 17,) 9, + 3, +, +,8 + 11,8 9,,84 Los jugadores del equipo B tiee ua desviació de,84 [cm.] respecto de la estatura promedio que es de 17, [cm.] 16

17 Dado que la desviació media es mayor e el equipo B, este grupo tiee ua mayor dispersió de sus estaturas (es más heterogéea, o so más diferetes ete sí) que las estaturas del grupo A, que preseta meor diferecia etre sí. Las estaturas del grupo A so más homogéeas, por que su desviació media es meor.. La siguiete tabla muestra el úmero de hermaos que tiee 30 alumos de u curso. º de hermaos x i Hallar: º de alumos f i a) la moda. b) la mediaa. c) el promedio de hermaos que tiee los alumos del curso. d) su desviació media. Solució: a) Para obteer la moda, os fijamos e la variable que tiee la mayor frecuecia f i Esta es para la variable x. Por lo tato, la moda es: Mo hermaos. b) La mediaa es el valor de la variable que tiee los datos cetrales del total de la muestra. Como so 30 alumos, se tiee 30 datos. Los datos cetrales so el 14 avo y 1 avo. Haciedo u cálculo metal de la catidad de datos, -o agregar e la tabla la frecuecia acumulada-, podemos otar que los datos cetrales se halla co la variable x hermaos. Por lo tato, la mediaa toma tal valor. M d hermaos. c) El promedio o media viee dado por xi fi x 1,8 hermaos d) La desviació media para datos agrupados viee dada por x x f i (1,8 0) 3 + (1, 8 1) 6 + ( 1, 8) 1 + (3 1, 8) 6 DM 30,4+ 4, , 30 0,68 Los putos c) y d) idica que el promedio de hermaos que tiee 30 alumos del curso varía 0,68 e toro de la media que es 1,8. Es decir, varía e u itervalo dado por: [ x DM, x+ DM] [ , ] [1.1,.48] Como o hay º de hermaos co decimales, la moda y la mediaa so mejores parámetros para describir el º de hermaos que posee este grupo. E este caso, coicide e. 3. La siguiete tabla idica el atraso e miutos, del persoal de producció de ua fábrica durate el último mes. Tiempo de atraso (mi.) [0-[ [-10[ [10-1[ [1-0[ Número de trabajadores Hallar la media y la desviació media referida a la catidad de atrasos de los trabajadores. Solució: Como estamos frete a datos agrupados e itervalos, debemos obteer al mejor represetate e tiempo de cada itervalo marca de clase-. 17

18 La media para datos agrupados e itervalos viee dada por xc f x i c x fi x y DM Necesitamos obteer la marca de clase x c como el promedio de los valores límites de cada itervalo. Tiempo de atraso (mi.) [0-[ [-10[ [10-1[ [1-0[ Número de trabajadores f i x c, 7, 1, 17, x c f i, , 37, xf c i , + 37, + 17, 13, x,3 1, 3 37, 17, 1 17, Hay u atraso promedio de,3 miutos mi. + 0,3 60 seg. mi. y 18 seg. Obteida la media, podemos hallar la desviació media xc x fi (,3,) 16 + (7,,3) + (1,,3) 3 + (17,,3) 1 DM,8 16+, + 7, 3+ 1, 44, , 6 + 1, 89,6 3,84 3, Cocluimos que los trabajadores tiee e promedio, u atraso de miutos co 18 segudos, co ua desviació de 3 miutos y medio respecto de tal cálculo. 18

19 6.4. Desviació Típica o estádar Itroducció Por defiició de valor absoluto x si x 0 x x - x si x< 0 Así, si la desviació media DM x x f i i Usa valor absoluto respecto de la diferecia de los valores co la media, tambié podremos hallar ua medida de dispersió utilizado raíz cuadrada de ua expresió tambié al cuadrado, y referida a las diferecias de los valores respecto de la media. Cosideremos los mismos grupos que cosideramos para la desviació media: Se tiee tres grupos de alumos co las siguietes otas, correspodietes a u mismo exame. Grupo 1 Grupo Grupo 3 ota alumo 1 4,0 7,0 6,0 ota alumo 4,0 4,,0 ota alumo 3 4,0 4,0 1, ota alumo 4 4,0 3. 4,0 ota alumo 4,0 1,0 6, Repasemos lo que sabemos: E todos los grupos su media es 4,0. Si embargo, los grupos o so similares e cuáto a su redimieto. Si represetamos a los grupos por su media, podríamos o señalar claramete las diferecias existetes etre estos grupos. Basta ver lo distito que so e la distribució de los valores que toma sus datos. Se ideó así parámetros o idicadores para caracterizar cuá separados está los valores etre sí y se llama Medidas de Dispersió. Ua de estas medidas para medir la dispersió es el rago. Rago valor del dato mayor valor del dato meor. E estos grupos: Rago (grupo 1) 0; Rago (grupo ) 7 1 6; Rago (grupo 3) 6, 1, Segú esta medida de dispersió, los datos está más dispersos e el grupo. Pero el rago cosidera solo la diferecia de los valores extremos de la muestra, e igora al resto. No siedo ua bue parámetro para medir la dispersió de los datos. De hecho a simple vista, el grupo tiee datos mayor catidad de datos cocetrados e toro a la media que es 4.0, por lo que resulta extraño que sea cosiderado como el grupo más disperso. Afortuadamete teemos a la desviació media y a la desviació típica, que so más exactas para medir la dispersió,, pues cosidera a todos los valores de la muestra o població. Así como la desviació media cosidera ua diferecia e valor absoluto respecto de la media, la desviació típica lo hace co su equivalete: la raíz cuadrada, del cuadrado de la diferecia respecto de la media. Recordemos que de cosiderar solo la suma de las diferecias co la media, os daría ua desviació típica igual a cero, lo que por lo geeral, o siempre correspode. 19

20 Veamos las distitas expresioes de la desviació estádar σ, para medir la dispersió de datos e toro a la media. La desviació típica se defie algebraicamete como: Fórmulas para la desviació típica Datos o Datos agrupados agrupados (si itervalos) Desviacioes Típicas ( xi x) ( xi x) fi Datos agrupados e itervalos i 1 ( xc x) fi Todas las expresioes idica el promedio de las desviacioes de los datos de ua població respecto de la media. E ocasioes se desiga a la desviació típica co la letra s, para idicar que se refiere a la desviació típica de ua muestra de la població, o a la població etera de los datos que se desea estudiar. Echa esta aclaració, osotros o haremos mayores disticioes y os referiremos a la desviació típica o estádar co σ o s idistitamete. Co absoluta certeza tedremos que: A mayor valor de la desviació típica, mayor es la diferecia o dispersió de los datos respecto de su media Desviació Típica para datos o agrupados - E el grupo 1, todos los valores so iguales a 4.0, por lo que o hay diferecia de sus datos respecto de la media. Su desviació típica es cero. - E el grupo : i 1 ( xi x) (7,0 4,0) + (4, 4,0) + (4,0 4,0) + (4,0 3,) + (4,0 1,0) σ 3 + (0,) (0,) ,+ 0+ 0,+ 9 18,0 3,7 1, ,9 Esto sigifica que los datos varía pricipalmete etre los valores que cae detro del itervalo: [ x σ, x+ σ] [ , ] [.08,.9] 0

21 - E el grupo 3: i 1 ( xi x) (6,0 4,0) + (4,0,0) + (4,0 1,) + (4,0 4,0) + (6, 4,0) σ ( ) + +, (,) ,+ 0+ 6, 0,0 4,1, ,0 El teer ua desviació típica mayor os idica que existe ua mayor dispersió de datos que e los restates grupos, tal como lo idicaba tambié la desviació media. Los datos del grupo 3 se agrupa pricipalmete e el itervalo: [ x σ, x+ σ] [4.0, 4 +.0] [1.98, 6.0] Desviació Típica para datos Agrupados La siguiete tabla preseta los datos de maera horizotal y muestra la catidad de hijos que tiee los apoderados de u colegio. Para ello se cosideró como muestra u curso de 40 alumos -y a sus padres como sus apoderados-. Número de hijos ( x i ) Catidad de apoderados ( f i ) La media e datos agrupados se calcula co xf i i x, Ahora calcularemos la desviació media, utilizado su promedio o media. La desviació media para datos agrupados viee dada por la siguiete expresió: ( xi x) fi σ i 1 Para ella iremos formado cada ua de las expresioes que está al iterior de la raíz sobre la misma tabla. 1

22 Número de hijos ( x i ) Catidad de apoderados ( f i ) xi x ( x ) i x (-1.) ( ) xi x fi i 1 ( xi x) fi σ Si combiamos estos parámetros estadísticos media y desviació media-, se puede idicar que el promedio de hijos varía e el itervalo dado por: [ x σ, x+ σ] [ , ] [1.4,.98] Obviamete, o existe hijos co decimales de otro. Por lo tato, el mejor parámetro para represetar al úmero de hijos que tiee el grupo de apoderados del curso es a través de su moda o mediaa, que e este caso coicide y so iguales a hijos.

23 6.4.. Ejercicios Resueltos 1. A cotiuació se preseta las estaturas de dos equipos de básquetbol. Aaliza los datos usado la desviació media para determiar qué equipo tiee estaturas más dispersas -distitas etre sí (más heterogéea)-. Y por tato cuál de los equipos tiee estaturas meos dispersas o más iguales etre sí -más homogéeo-. Estatura (cm.) Equipo A Estatura (cm.) Equipo B Solució: Para hallar la desviació de cada equipo, debemos hallar primero las respectivas medias e cada uo. E el equipo A, su media viee dado por: x 17, cm La desviació típica de este grupo viee dada por σ i 1 ( xi x) (17, 16) (17, 17) (17 17,) (181 17,) (17, 168) ( 7, ) + ( 0, ) + (,8) + ( 8,8) + ( 4, ) 1,84 + 0,04 + 7, , ,64 14,8 30,96, ,6 Los jugadores del equipo A tiee ua desviació típica de,6 [cm.] respecto del promedio del equipo, que es de 17, [cm.] E el equipo B, su media viee dada tambié por: x 17, cm La desviació media de este grupo viee dada por σ i 1 ( xi x) (17, 163) + (17, 169) + (17, 170) + (17 17,) + (184 17,) 3

24 ( ) ( ) ( ) ( ) 9, + 3, +, +,8 + ( 11,8 ) 84, ,4 + 4,84 + 7, ,4 46,8 49,36 7, ,03 Los jugadores del equipo B tiee ua desviació de 7,03 [cm.] respecto de la estatura promedio que es de 17, [cm.] Dado que la desviació típica es mayor e el equipo B, este grupo tiee ua mayor dispersió de sus estaturas (es más heterogéea, o so más diferetes ete sí) que las estaturas del grupo A, que preseta meor diferecia etre sí. Las estaturas del grupo A so más homogéeas, por que su desviació típica es meor.. La siguiete tabla muestra el úmero de hermaos que tiee 30 alumos de u curso. º de hermaos x i Hallar: º de alumos f i a. la moda. b. la mediaa. c. el promedio de hermaos que tiee los alumos del curso. d. su desviació media. Solució: a) Para obteer la moda, os fijamos e la variable que tiee la mayor frecuecia f i Esta es para la variable x. Por lo tato, la moda es: Mo hermaos. b) La mediaa es el valor de la variable que tiee los datos cetrales del total de la muestra. Como so 30 alumos, se tiee 30 datos. Los datos cetrales so el 14 avo y 1 avo. Haciedo u cálculo metal de la catidad de datos, -o agregar e la tabla la frecuecia acumulada-, podemos otar que los datos cetrales se halla co la variable x hermaos. Por lo tato, la mediaa toma tal valor. M d hermaos. c) El promedio o media viee dado por xi fi x 1,8 hermaos d) La desviació media para datos agrupados viee dada por i 1 ( xi x) fi (1,8 0) 3 + (1, 8 1) 6 + ( 1, 8) 1 + (3 1, 8) 6 σ 30 3,4 3+ 0, , , ,7 + 3,84 + 0, 6 + 8,

25 14,8 30 0,493 0, ,70 Los putos c) y d) idica que el promedio de hermaos que tiee 30 alumos del curso varía 0,70 e toro de la media que es 1,8. Es decir, varía e u itervalo dado por: [ x σ, x+ σ] [ , ] [1.1,.] Como o hay º de hermaos co decimales, la moda y la mediaa so mejores parámetros para describir el º de hermaos que posee este grupo. E este caso, coicide e. 3. La siguiete tabla idica el atraso e miutos, del persoal de producció de ua fábrica durate el último mes. Tiempo de atraso (mi.) [0-[ [-10[ [10-1[ [1-0[ Número de trabajadores Hallar la media y la desviació media referida a la catidad de atrasos de los trabajadores. Solució: Como estamos frete a datos agrupados e itervalos, debemos obteer al mejor represetate e tiempo de cada itervalo marca de clase-. La media para datos agrupados e itervalos viee dada por x x f c i y ( xc x) fi σ i 1 Necesitamos obteer la marca de clase x c, el cuál es el promedio de los valores límites de cada itervalo. Tiempo de atraso (mi.) [0-[ [-10[ [10-1[ [1-0[ Número de trabajadores f i x c, 7, 1, 17, x c f i, , 37, xf c i , + 37, + 17, 13, x,3 1, 3 37, 17, 1 17, Hay u atraso promedio de,3 miutos mi. + 0,3 60 seg. mi. y 18 seg. Obteida la media, podemos hallar la desviació de los datos respecto a ella i 1 ( xc x) fi (,3,) 16 + (7,,3) + (1,,3) 3 + (17,,3) 1 σ (,8) 16+ (,) + ( 7,) 3+ ( 1,)

26 1,44 + 4,0 + 1, + 148, ,16 4, ,6 4,6 mi. 4 miutos + 0,6 60 segudos 4 miutos y 16 segudos. Cocluimos que los trabajadores tiee e promedio, u atraso de miutos co 18 segudos, co ua desviació típica aproximada de 4 miutos y 16 segudos. Es decir, el atraso varía pricipalmete etre ] x σ, x + σ[. Etre 1 miuto co dos segudos y 9 miutos co 34 segudos. 6

27 7. Presetació gráfica de la Iformació estadística 7.1. Itroducció Es frecuete represetar de maera gráfica la iformació que se desprede de tablas de frecuecias -que e muchos casos, termia siedo completamete sustituidas-. Esto debido a que los gráficos so más vistosos, destaca rápidamete la iformació y esta es más fácil de reteer. Existe distitos tipos de gráficos y cada uo de ellos es más idicado o usual para represetar cierto tipo de iformació, como veremos a cotiuació. 7.. Gráfico de barras Se usa para represetar iformació de variables cualitativas o cuatitativas, pero siempre que estas últimas o esté agrupados e itervalos. Cada categoría o clase de iformació está represetada por u rectágulo e dode su altura es proporcioal a su frecuecia. Ejemplo: Meses m3 Ee 1 Feb 11 Mar 19 Abr 11 May 8 Ju 8 Jul 8 Ago 8 Sep 7 Oct 8 Nov 9 Dic 8 Total Histograma Es la represetació gráfica de variables cuatitativas agrupadas e itervalos. Se utiliza para describir el comportamieto de variables cotiuas. E cada itervalo está represetado por u rectágulo de base igual a la amplitud del itervalo y cuya altura es proporcioal a su frecuecia. Ejemplo: Putaje PSU Estudiates < Total 40 7

28 7.4. Polígoo de frecuecias Al igual que e el caso aterior, sirve para represetar variables cuatitativas agrupadas e itervalos. Cosiste e idicar la frecuecia de cada clase, o categoría de la variable, por su respectiva marca de clase y uir estas por trazos de rectas. Ejemplo Utilizado los datos de la tabla aterior 7.. Gráfico Circular Es usada para etregar iformació o distribució porcetual de las distitas categorías o clases de la variable que se estudia. Ejemplo A cotiuació presetamos la població beeficiaria de programas de salud e uestro país, distribuida e grupos de Foasa, Isapres, F.F.A.A. e Idepedietes, a diciembre

29 8. Cuartiles 8.1. Itroducció Existe etre los estadísticos u iterés de cómo se distribuye los valores de ua muestra o població que o se refiere solo a las medidas de tedecia cetral i de dispersió. Por ejemplo, se suele ver el rago de valores que tiee la cuarta parte de los datos respecto de la primera parte, o comparar la primera décima parte de los datos respecto de la última parte, etc. Para satisfacer dichos itereses, se ideó otros parámetros estadísticos que veremos a cotiuació. Si embargo, vamos a hacer otar primero lo siguiete: Si se tiee u todo que se desea dividir e dos partes iguales, o se requiere dos divisioes sio ua, como muestra la siguiete figura: De igual maera, si a la totalidad se desea dividir e tres seccioes, o se requiere efectuar tres divisioes, sio que dos, tal como se muestra a cotiuació: Y si deseamos dividir al todo e cuatro partes, o se debe efectuar cuatro divisioes, sio tres, como se muestra a cotiuació: Es decir, cada vez que deseemos dividir u todo e partes, deberemos cosiderar ua divisió meos que el úmero de partes que deseamos obteer, esto es, deberemos efectuar -1 divisioes. 8.. Cuartiles (Q i ; i 1,,3) Los cuartiles divide los datos e cuatro partes iguales. Por lo que hemos señalado ateriormete, solo debemos cosiderar tres valores uo meos que las partes deseadas-. Para obteer los cuartiles se halla primero la mediaa co lo que los datos se habrá divididos e dos partes iguales-. Este es el segudo cuartil, Q. Luego se obtiee la mediaa de cada ua de las mitades. La mediaa de la primera mitad de los datos es el primer cuartil Q 1, la mediaa de la seguda mitad de los datos es el tercer cuartil Q 3. No debemos olvidar que ates que todo, debemos otar si los valores está ordeados de maera ascedete o descedete, de lo cotrario o hallaríamos la mediaa. Por lo tato, debemos ordear los datos e caso de que o se presete así. Por último, el rago itercuartil es lo que se cooce como el rago etre el primer y último cuartil. R ic Q 3 - Q 1 Cuado los datos está agrupados e ua tabla co itervalo, los cuartiles se obtiee siguiedo la fórmula: i F Q 4 i L if + c f Co i 1,, 3; i L if es el límite iferior que cotiee al i/4 valor de la muestra. F la frecuecia acumulada hasta el itervalo aterior. f i la frecuecia que cotiee el itervalo del i/4 valor. c es la logitud etre los límites iferiores o superiores etre itervalos. 9

30 8.3. Ejercicios resueltos 1. Hallar los cuartiles Q 1, Q y Q 3 de la siguiete serie de úmeros: 3, 6, 7, 9, 13, 14, 16, 0, 1, 3, 6, 7 Solució: El cojuto de datos está ordeado y tiee u úmero par de datos, por lo cuál la mediaa es la semisuma de los dos valores cetrales. M e Q El grupo de los valores meores que M e Q 1 es: { 3,6,7,9,13,14 } y la mediaa de esta parte de valores es Q El grupo de los valores meores que M e Q 1 es: { 16,0,1,3,6,7 } y la mediaa de esta parte de valores es Q Por lo tato, los cuartiles so 8,1 y.. Hallar el rago itercuartil de los datos: 1,3,64 3,16 3,44 3,61 4,91 6,33 Solució: E este caso, los úmeros uevamete está ordeados y so u úmero impar de elemetos, por lo que la mediaa y el segudo cuartil es el valor cetral. Es decir, M e Q 3,44 El grupo de valores meores que M e Q 3,44 es {1,3,64 3,16} dode su mediaa y primer cuartil es Q 1,64. El grupo de valores mayores que M e Q 3,44 es {3,61 4,91 6,33} dode su mediaa y tercer cuartil es Q 3 4,91. El rago itercuartil R IC 4,91,64,7 3. La siguiete tabla preseta las otas obteidas e ua prueba por ua clase de 0 estudiates a) Ordee estas otas de maera ascedete. b) Ecotrar el primero, segudo y tercer cuartil. Solució: a) Ordeado de maera ascedete de izquierda a derecha: b) M e Q (4+)/ 4,. Los valores meores a 4, so: {1, 1,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4}. La mediaa de estos valores es el primer cuartil Q

31 Los valores mayores a 4, so: {,,, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7}. La mediaa de estos valores es el tercer cuartil Q 3 6. Así, los cuartiles so Q 1 3, Q 4, y Q Hallar los cuartiles para los datos agrupados e la siguiete tabla, que idica la catidad de cilidros de gas de 1 Kg. que trasporta u camioero por úmero de viajes al mes. Cilidros de 1 Kg. de gas úmero de viajes f Solució: F Q 4 1 L if + c ; /4 /4 6.. El dato posterior al sexto perteece al 4º itervalo. f i Dode el límite iferior L if 380 y tiee ua frecuecia absoluta igual a f 4 viajes y ua frecuecia acumulada hasta el itervalo aterior igual a F viajes. c Diferecia de límites superiores etre itervalos cilidros. F 9 Q 4 4 Lif + c cilidros. f 3 3 F 14 Q Lif + c cilidros. f 6 31