A LOS ALUMNOS: Cuatro cosas muy importantes para aspirar al éxito en este curso:

Transcripción

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2 A LOS ALUMNOS: Cutro coss muy importntes pr spirr l éito en este curso: PRIMERO: Es conveniente que el lumno, ntes de inicir el estudio de ls Mtemátics contenids en el presente libro, se deteng un poco refleionr sobre los plntemientos que se vn eponer, pues en cso de mentlizrse plenmente en ellos, logrrá, posiblemente, desterrr de su mente l ide que csi todos rrstrn l entrr un ul: Y yo pr qué quiero prender Mtemátics si no ls voy necesitr nunc, y que voy estudir pr...? Se hbrá ddo cuent y el estudinte que l únic mteri que no le fltdo, desde primero de primri hst concluir su preprtori, es l Mtemátic. En todos los niveles siempre hy Mtemátics, por qué? He llí el punto clve pr desterrr de tods ls mentes quello de Y yo pr qué quiero prender Mtemátics si voy ser Filósofo..., o Licencido en Derecho..., o Veterinrio..., o Psicólogo...? El sunto está en que ls Mtemátics NO SON PARA APRENDERSE, sino PARA UTILIZARSE. Los únicos que relmente deben prenderse ls Mtemátics son los que vn pr un crrer técnic, como ingenierí, o Físico-mtemátics, etc. Ellos sí; los demás no. Lo nterior se refiere ls Mtemátics que se estudin nivel preprtori, pues es indudble que todos requieren de l Aritmétic de l primri pr sumr, restr, multiplicr, etc. Ls Mtemátics tienen por objetivo fundmentl el de promover, fomentr, despertr y ejercitr en cd estudinte su cpcidd intelectul, de rciocinio, de juicio, de ordención de pensmientos y de pensmiento ordendo, de inducción y de deducción. Ls Mtemátics deben ser pr utilizrls en ese sentido, como un herrmient pr conseguir de l mejor mner el constnte ejercicio intelectul del estudinte. Solmente prcticndo se lleg tener hbilidd en culquier specto de l vid. Por eso el guitrrist pone ls posiciones o tonos sin ver siquier el dipsón de su instrumento musicl, o l secretri escribe correctmente sin mirr el tecldo, debido l práctic que los h convertido en persons summente hábiles en quell ctividd que tnto hn prcticdo. Pr obtener persons con hbilidd mentl es necesrio ponerls ejercitr su grn potencilidd intelectul que permnece muert en el cerebro mientrs no hy ese ejercicio. Está muy clro que en cd slón hy un grupo muy heterogéneo de lumnos, mezcl de vocciones, polrizción de hbiliddes individules simultánemente con torpezs, tendencis, gustos, inclinciones, de todo lo cul se desprende que, por lo generl, l myorí no necesit (o no necesitrá en sus estudios de licencitur) tod es Mtemátic que se imprte en l preprtori, por lo que, demás de borrecerl ls Mtemátics ls myorís, suelen estr l cecho de tirrls l bsur en cunto prueben el curso respectivo. Los únicos que por sí mismos se poderrán de ls Mtemátics son los que gustn de ells y que se inclinn por un crrer técnic, los que tienen vocción y hbiliddes pr ell. El lumno que no quiere sber nd de ls Mtemátics, sin que eist posibilidd de evitrlo, tirrá l bsur tods ess Mtemátics que le estorbn cd vez que pruebe l mteri y en ese momento se sentirá "liberdo"; lo que él no sbe es que trás de eso se llev, si es que sus profesores respectivos utilizron ls Mtemátics como herrmient pr eso, un grn dosis de ejercit-

3 ción mentl que lo hrá más pto en su vid pr todo lo que implique o requier juicios sólidos y pensmientos ordendos. Ante este pnorm, si el lumno consigue desterrr de su mente es ide que hst lo bloque contr ls Mtemátics, que lo h hecho de por vid sentir que ls Mtemátics son horroross, todo eso de que yo no sirvo pr ls Mtemátics, o que ls Mtemátics mí no se me dn, si consigue, pues, desterrrlo pr suplirl por el verddero objetivo, si se mentliz en que ls Mtemátics vn ser simplemente un instrumento pr ejercitr su cpcidd pensnte, si lo logr hbrá ddo un pso vitl pr desenemistrse con est mteri y ceptrl por lo menos un poquito por trtrse de un ecelente lid de su desrrollo intelectul. Debe demás quedrle clro l lumno que el presente teto no está hecho de l mner más fácil respecto de ls forms posibles de resolver los problems de cd tem, sino de l mner más refleiv posible. Encontrrá el estudinte, posiblemente, lguns regls que le prezcn más complicds que otrs más sencills prendids en ños escolres nteriores, lo que dirá es que es más fácil hcerlo sí. Cundo se encuentre en tl situción, recuerde que el objetivo de ls Mtemátics no es que ls prendn, menos que ls memoricen, sino que ls utilicen pr ejercitr su cpcidd intelectul. Y eso es lo que se pretende en este teto. SEGUNDO: En función de lo nterior se recomiend l lumno no mecnizr los procesos que llevn cierts soluciones, porque eso es lo que con más fcilidd lo hrá cer en constntes errores. Ls Mtemátics deben rzonrse, debe entenderse el por qué de cd cos, su lógic, su rzón de ser. Sólo sí el estudinte eliminrá muchos de sus flls. Un de ls rzones por ls que l estudinte se le dificultn tnto ls mtemátics es porque todo lo mecniz, todo se lo prende de memori. Lleg entonces el momento en que h mecnizdo tntos procedimientos que y confunde unos con otros. TERCERO: Es necesrio clrr lgunos spectos de terminologí pr no cer en determinds mecnizciones de procesos. Eiste l equivocd creenci, porque lmentblemente sí lo enseñn lgunos profesores, que un cntidd que está sumndo "ps" l otro ldo del signo igul restndo; o si está restndo "ps" sumndo; o si está multiplicndo "ps" dividiendo; o si está dividiendo "ps" multiplicndo. Todo eso es flso, no tiene ningun rzón de ser, no hy lógic en eso. Son mecnismos que gilizn los procesos de despejr, pero que llevn errores los inepertos en Mtemátics. Es indispensble recordr que si se tiene un iguldd, por ejemplo, - 7 = 1 pr despejr l incógnit NO se ps" el - 7 l otro ldo sumndo, pues no eiste lógic pr suponer que el número - 7 "pse" l ldo derecho con l operción contrri. Los números no son mriposs o golondrins pr suponer que "se psn" de un ldo otro como si nduviern volndo. Lo que relmente se hce es plicr l ley de ls igulddes que dice que lo que se hg de un ldo de l iguldd debe hcerse del otro ldo tmbién pr que l iguldd se conserve. Qué se necesit pr que el número - 7 se elimine? Fácil, sencillmente sumrle + 7, entonces l iguldd se le sum en mbos ldos ese + 7 que se necesit, quedndo sí: = 1 + 7

4 Si se hcen ls operciones únicmente en el ldo izquierdo de l iguldd (en el ldo derecho no), se eliminn el - 7 con el + 7, quedndo entonces = y llí es donde d l impresión de que el - 7 originl "psó" l otro ldo con signo contrrio; pero es solmente un prienci, no un relidd. Anlizndo el ldo derecho, simple vist se ve que lo nterior es lo mismo que = 8 (sumndo 1 + 7). Posteriormente, pr despejr l incógnit es necesrio quitrle su coeficiente que le multiplic, lo cul se consigue dividiendo entre ; pero nuevmente por l ley de ls igulddes, debe hcerse en mbos ldos, quedndo sí: 8 = Si se efectún nuevmente ls operciones únicmente en el ldo izquierdo de l iguldd (en el ldo derecho no), se simplificn del numerdor con el del denomindor, quedndo entonces 8 = y otr vez d l impresión de que ese "psó" l otro ldo dividiendo. Pero no ps de ser un prienci. Ess pseudoregls del ps l otro ldo... llevn más delnte errores y l incpcidd despejr de fórmuls de Físic, Químic o ún de ls misms Mtemátics, como en el siguiente cso: Se dese despejr de l iguldd 1 = + 15 Los lumnos que por mecnizr procesos en vez de rzonrlos o que por precerles más fácil y rápido prefirieron "prenderse" sus reglits del ps l otro ldo..., lo que ven es que l literl del primer denomindor está dividiendo y, por lo tnto, por su inflible regl nterior, sencillmente debe psr l otro ldo multiplicndo, de l siguiente mner: 1 = + 15 luego, como l incógnit del segundo denomindor tmbién está dividiendo, por su inflible regl nterior, de nuevo debe psr l otro ldo multiplicndo, de l siguiente mner: efectundo operciones: () = (1 + 15)

5 = (16) = 16 finlmente, como el coeficiente está multiplicndo, ps dividir l otro ldo: = 16 pr llegr l siguiente resultdo: = 8 lo cul es totlmente flso por hberse creído de l pseudoregl de que lo que está sumndo ps l otro restndo y lo que está multiplicndo ps dividiendo. El proceso correcto es plicr l ley de ls igulddes, que lo que se hg de un ldo debe hcerse del otro ldo pr que l iguldd se conserve, conforme se vyn requiriendo gregr operciones pr eliminr cierts cntiddes. Debe hcerse de l siguiente mner: 1 = + 15 Pr simplificr l literl del primer denomindor, debe multiplicrse por, pero tod l iguldd; pr simplificr l incógnit del segundo denomindor, debe multiplicrse por tod l iguldd pr que no se ltere. Hciendo mbs operciones simultánemente, qued: multiplicdo y simplificndo: 1 = + 15 ( )( ) ( )( ) 1 = + 15 ( )( ) ( )( ) = + 15 pr juntr los términos con, se rest - 15 en mbos ldos: fctorizndo: - 15 = = ( - 15) =

6 dividiendo mbos ldos entre ( - 15) y simplificndo: ( 15) = ( 15) ( 15) = 15 resultdo totlmente diferente l otroo obtenido trvés de ls mecnizds reglits del ps l otro ldo... CUARTO: En form muy generl, l enseñnz de ls Mtemátics tiende l preocupción de cd mestro porque sus lumnos prendn hcer cuents nd más, pero descuidn un specto importntísimo: l escritur. Eisten disciplins y ciencis dentro del mundo del conocimiento humno que incluyen su propi terminologí como por ejemplo, l músic, el Lenguje, ls Mtemátics, etc. Un person puede prender hblr, pero no sber escribir por desconocer l simbologí propi del lenguje, es decir, el becedrio, y entonces su prendizje del idiom será muy limitdo. Lo mismo puede decirse de l músic, en l que hy persons que prenden medio tocr un instrumento, pero no sben solfeo, que es l simbologí de l músic, y por lo tnto sus conocimientos musicles son muy pobres. En Mtemátics sucede lo mismo: es necesrio prender su propi simbologí pr que el prendizje se completo. Por lo tnto, no deberá etrñrle l lumno que durnte todo su recorrido por est Preprtori se le enseñrá y eigirá no solmente sber hcer cuents y resolver problems, sino escribir correctmente utilizndo de mner propid todos los símbolos requeridos. Ls regls principles de escritur se mencionn continución. REGLAS GENERALES 1) PRINCIPIO FUNDAMENTAL: Tod regl de escritur mtemátic debe fcilitr l comprensión de los objetos mtemáticos representdos y su lectur. ) En l escritur mtemátic, deben emplerse el mínimo de símbolos posibles L rzón principl de est regl es pr hcer más fluid l lectur. Mientrs más símbolos hy, todo prece más complicdo o engorroso. Por est regl no se escriben, por ejemplo: ) El coeficiente 1: se escribe en vez de 1. b) El signo + l principio: se escribe! y en vez de +! y. c) El índice de rdicl : se escribe 3b en vez de 3b

7 d) El denomindor 1: se escribe en vez de e) El eponente 1: se escribe en vez de 1 1 Etc. Nótese l diferenci entre escribir y que representn el mismo objeto mtemático, pero uno result muy complicdo en su lectur. 3) No debe emplerse el mismo símbolo con dos significdos diferentes, l menos en el mismo conteto. 4) Debe escribirse en el mismo orden en que se lee, es decir de izquierd derech y de rrib hci bjo. L rzón de est regl es pr forzr l lector seguir el proceso en el orden en que se llevó cbo, leyendo en el orden en que se escribió. Ls flls est regl son muy bundntes y grves. Puede decirse que son ls más socorrids y ls que menos precio se les hce. Ls principles son: ) Regresr lo nterior; b) Escribir en columns sin seprción entre ésts; c) Escribir en columns y línes desordendmente; d) Escribir en donde hy espcio. Cómo debe leerse este teto? Por línes o por columns? Cómo sber en qué momento dejr de leer por línes pr comenzr por columns?

8 En cmbio sí, con l delimitción de ls columns, qued perfectmente clro cómo debe leerse. Se consej escribir en columns cundo los renglones sen muy cortos, delimitndo dichs columns por un líne verticl. Pero debe tenerse cuiddo de que ls columns deben ser de rrib bjo de l hoj, no en pedzos únicmente. Un error muy frecuente del lumno es escribir por columns, pero sólo en un prte de l hoj, o bien por prtes en vris columns independientes, lo que hce más complicd l lectur en vez de fcilitrl y que cb quello convertido en un rompecbezs.

9 En este emen, el lumno escribió primero tres columns, luego dos y luego ningun (un, de hecho). Est escritur por columns de mner prcil, en vez de fcilitr l lectur, l dificult. Cómo debe leerse? Después de = 3, debe continurse hci bjo o hy que brincr l otro ldo de l minicolumn? Hst dónde debe leerse por columns y en qué momento debe drse el slto l otro ldo?. y el lector cómo v divinr de qué mner debe leer? 5) Los operdores deben brcr de mner clr y complet todos los elementos los que fectn. Un cso muy crcterístico es cundo se emple l fórmul pr ls ecuciones de º grdo, en l que ni l líne de frcción ni el rdicl se escriben brcndo todos los elementos que brcn. Por ejemplo, cundo se v resolver l ecución 5! = 0, es común que el lumno escrib de l siguiente form: en donde el rdicl no está brcndo los fctores (5) y (6) y l líne de frcción no está brcndo l 3 inicil. 6) Los términos lgebricos (sin fctores trscendentes) que contengn lgún rdicl deben escribirse en el siguiente orden: ) Primero el signo;

10 b) después los coeficientes numéricos; c) continución los fctores lgebricos monomios en orden lfbético; d) luego los fctores lgebricos polinomios; d) y finlmente los fctores irrcionles (rdicles). L rzón de est regl es pr evitr confusiones cundo se coloc primero el rdicl, y que puede precer l dud de hst dónde brc el rdicl? Por ejemplo, + b signific b o + b. Si se trt del segundo cso, l dud se elimin escribiendo b +. + ( ) 7) Los términos, en generl, deben escribirse en el siguiente orden: Ejemplos: ) Primero el signo; b) después los coeficientes numéricos; c) continución los fctores lgebricos, conforme l regl 6; d) los fctores de l form e u ; e) los fctores trscendentes; f) finlmente ls derivds o integrles. c y + y 3 I) ( ) 5 7 3bc e 3 6 II) ( ) 4 b senlog y III) ( ) 3 IV) 3 + 5e tn( 3 ) 3 ( ) y d d 8) Ls literles en ls epresiones lgebrics deben escribirse en orden lfbético. Simplemente porque lo ordendo es mejor que lo desordendo. REGLAS PARTICULARES I.- PARA FRACCIONES 9) Ls línes de frcción deben escribirse horizontlmente.

11 L rzón de est regl es pr evitr ls confusiones que l líne digonl puede dr origen. 1 1 Por ejemplo 1/ + b signific o bien?. + b + b /b/c signific b o bien c b? c El uso de préntesis, unque ciertmente despej lguns duds en l escritur, v contr l regl 1, pues l escritur linel es más complicd de comprender. Por ejemplo, descifrr el significdo de cd objeto mtemático siguiente result muy complicdo (((3 + 5 b) ^ ( y)) /(5 ))( + b) + (3 5) ^ ( + b) comprdo con l escritur ( 3 + 5b) y ( b) ( 3 5) + b en donde se primer vist se lee que! y es un eponente; que 5! es denomindor; que ( + b) es fctor de l frcción, etc., lo que no se ve tn rápidmente en l escritur linel. Un ecepción es l de ls frcciones que son eponentes, cuyos numerdor y denomindor son un número o un literl. En este cso es más conveniente l líne de frcción digonl que l horizontl, pues sí se evitn torres que rompen l rmoní de los renglones. Por 7 /7 ejemplo, es más conveniente que. El espcio generdo entre el presente renglón y el nterior es mucho myor que el generdo entre los otros renglones debido est torre. 10) Los operdores entre frcciones y el signo igul deben escribirse l mitd de l(s) líne(s) de frcción. b b + = 6 + = 6 = escritur correct escritur incorrect escritur incorrect

12 OBSERVACIÓN: Debe escribirse primero l líne de frcción pr que quede colocd l mitd del signo igul o de los operdores +,!,,, etc. y después, encim de ell el numerdor y finlmente, bjo de ell, el denomindor. 11) Trtándose de frcciones complejs, l líne principl de frcción debe escribirse de mner más notori que ls demás, y se más lrg o más grues y oscur. Los símbolos de operciones y/o el signo igul deben escribirse l mitd de l líne principl. y 1 y + b + 5 escritur correct escritur correct escritur correct = 0 escritur incorrect escritur correct II.- PARA PROCESOS GENERALES 1) Debe evitrse escribir más de un signo igul en el mismo renglón dentro de un proceso. En todo cso, los signos igul deben escribirse linedos verticlmente l psr de un renglón l otro. Por ejemplo: debe escribirse ( ) ( ) ( ) ( ) y y = + = = y y y y

13 5 5 + = ( 1 ) y y = ( + y) + ( ) ( 1 + y) 1 5 = + y + 5 y + 13) Cundo un proceso mtemático const de vrios psos, cd uno de ellos debe escribirse en renglón prte, no en l mism líne. 14) No deben escribirse préntesis dentro de préntesis de l mism form mientrs no se hyn cerrdo. Los préntesis más interiores deben ser más pequeños que los que los encierrn. L rzón principl es pr loclizr fácilmente cd préntesis que bre con el que le cierr. (((3 + 5 b)( y)) + (5 ) )( + b) + (3 5)( + b) cuál cierr? en cmbio (3 + 5 b)( y) + (5 ) + b + (3 5)( + b) fcilit l loclizción del cierre de cd préntesis. 15) Tod cntidd deciml cuy prte enter se cero debe escribirse forzosmente el cero ntes del punto deciml. L rzón es que si no se escribe el cero puede psr despercibido el punto deciml o confundirse con lgun mnch del ppel. El cero es pr llmr l tención que llí hy un punto. Ejemplos: 0.7 Correcto.34 Incorrecto, el punto deciml no es obvio.