Fórmula de Taylor Polinomios de Taylor. Tema 13

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1 Tema 13 Fórmula de Taylor Igual que la derivabilidad de ua fució e u puto permitía aproximar la fució por u poliomio de primer orde, la derivada -ésima permitirá ua aproximació aú mejor, mediate u poliomio de grado meor o igual que, el poliomio de Taylor de orde de la fució dada, e el puto cosiderado. El error que se comete al hacer esta aproximació, es decir, la diferecia etre la fució y su poliomio de Taylor, se cooce como resto de Taylor. La validez de la aproximació se cuatifica mediate la llamada Fórmula Ifiitesimal del Resto, que cocreta la rapidez co la que el resto de Taylor tiede a cero e el puto e cuestió. Ua estimació aú más precisa se cosigue mediate la llamada Fórmula de Taylor, u resultado aálogo al Teorema del Valor Medio, pero ivolucrado las derivadas sucesivas de ua fució. Obtedremos diversas aplicacioes de la Fórmula de Taylor, etre las que destaca los desarrollos e serie de Taylor de varias fucioes elemetales. Icluimos fialmete e este tema otros ejemplos de fucioes de clase C e R que so útiles e cotextos muy variados Poliomios de Taylor Para motivar la defiició, empecemos observado las derivadas sucesivas de ua fució poliómica P : R R de grado N {}, que vedrá dada por P(x) a j x j para j todo x R, para coveietes costates a,...,a R, co a. Fijado a R arbitrario, podemos reescribir P usado las sucesivas potecias de x a e lugar de las de x. Basta observar que P(x) a j [(x a) + a] j j α j (x a) j j x R dode los coeficietes α,...,α R, se puede obteer fácilmete, a partir de a,...,a, mediate la fórmula del biomio de Newto, cosa que o será ecesaria. Es claro, por ejemplo, que α P(a) y α a. 116

2 13. Fórmula de Taylor 117 Si 1 (e otro caso P sería costate), se tiee P (x) Para 2, deducimos que P (x) j α j (x a) j 1 j1 j( j 1)α j (x a) j 2 j2 1 j 2 j Ua obvia iducció (fiita) os dice que, para k se tiee ( j + 1)α j+1 (x a) j x R ( j + 2)( j + 1)α j+2 (x a) j x R P (k) (x) jk j! ( j k)! α j (x a) j k k ( j + k)! α j+k (x a) j j j! x R E particular teemos P () (x)!α para todo x R. Por tato, si k >, será P (k) (x) para todo x R. Hemos obteido así todas las derivadas de ua fució poliómica. Pero por otra parte, tomado x a e la última igualdad, obteemos P (k) (a) α k (k,1,...,) Así pues, el poliomio P queda determiado cuado se cooce los valores de P y de sus primeras derivadas e u sólo puto a R. E cocreto, se tiee claramete P(x) P (k) (a) (x a) k x R, a R Pues bie, e el segudo miembro de esta igualdad, podemos sustituir las derivadas de P por las de cualquier fució que sea veces derivable e a, obteiedo u poliomio que o coicidirá co dicha fució, pero podría ser ua buea aproximació de la misma. Esto motiva la defiició que sigue. Sea f : A R ua fució y N {}. Si f es al meos veces derivable e u puto a A, podemos cosiderar la fució poliómica T [ f, a] dada por: T [ f, a](x) f (k) (a) (x a) k x R que se deomia poliomio de Taylor de orde de la fució f e el puto a, e hoor del matemático iglés B. Taylor ( ). Obsérvese que el grado de T [ f, a] es meor o igual que, de ahí que digamos que es u poliomio de orde como ya hicimos e el caso particular 1. E vista de la discusió aterior sobre las sucesivas derivadas de ua fució poliómica, observamos que T [ f, a] es el úico poliomio P, de orde, que verifica P (k) (a) f (k) (a) para k.

3 13. Fórmula de Taylor 118 Obsérvese cómo se va obteiedo los sucesivos poliomios de Taylor: si f es dos veces derivable e el puto a, para todo x R, se tedrá T [ f, a](x) f (a) T 1 [ f, a](x) f (a) + f (a)(x a) T 2 [ f, a](x) f (a) + f (a)(x a) + ( f (a)/2! ) (x a) 2 Por ejemplo, como la expoecial es ua fució de clase C e R, co exp (k) (a) e a para cualesquiera a R y k N {}, escribimos eseguida todos sus poliomios de Taylor: T [exp, a](x) e a (x a)k x,a R, N {} Para valorar la posible aproximació de ua fució mediate su poliomio de Taylor de u cierto orde, deberemos estimar la diferecia etre ambos. Así pues, supoiedo de uevo que f : A R es veces derivable e el puto a A, co N {}, cosideramos la fució R [ f, a] : A R defiida por R [ f, a](x) f (x) T [ f, a](x) x A que recibe el ombre de resto de Taylor de orde de la fució f e el puto a. Como se ha cometado, el resto de Taylor os dirá si T [ f, a] es ua buea aproximació de la fució f. Cuado, co sólo supoer que f es cotiua e a, teemos R ( ) [ f, a](x) f (x) f (a) Más iteresate es el caso 1: si f es derivable e a, teemos R 1 [ f, a](x) x a f (x) f (a) f (a)(x a) x a Ituitivamete, decíamos e su mometo que el resto R 1 [ f, a] tiede a cero e el puto a más rápidamete que x a, algo mejor que lo dicho para R [ f, a]. E geeral, cabe esperar que al aumetar, la aproximació de f mediate su poliomio de Taylor vaya mejorado, es decir, que el resto de Taylor vaya tediedo a cero cada vez más rápidamete. Bajo ciertas codicioes podremos probar efectivamete este hecho y, para ello, usaremos la siguiete relació etre los poliomios de Taylor de ua fució y de su derivada. Si N {} y f : A R es + 1 veces derivable e u puto a A, se tiee: T +1 [ f, a] T [ f, a] La comprobació es imediata: de la defiició de T +1 [ f, a] deducimos que T +1 [ f, a] (x) +1 f (k) (a) k (x a) k 1 k1 para todo x R, como se quería. f (k+1) (a) (x a) k +1 k1 f (k) (a) (x a)k 1 (k 1)! ( f ) (k) (a) (x a) k T [ f, a](x)

4 13. Fórmula de Taylor Fórmula ifiitesimal del resto Veamos ya e qué setido podemos decir que el poliomio de Taylor de ua fució es ua buea aproximació de la fució, cerca del puto cosiderado. El siguiete resultado se cooce como Teorema de Taylor, y tambié como Fórmula Ifiitesimal del Resto. Teorema. Sea I u itervalo o trivial, N y f D 1 (I). Si f es veces derivable e u puto a I, etoces R [ f, a](x) (x a) f (x) T [ f, a](x) (x a) (1) Además, T [ f, a] es el úico poliomio de orde que verifica la última igualdad. Demostració. La igualdad (1) se probará por iducció, partiedo del caso 1 ya coocido. Supogamos demostrada dicha igualdad para u N y, lo que es importate, para toda fució que cumpla las hipótesis. Etoces, dada ua fució f D (I) que sea + 1 veces derivable e a, probaremos (1), pero sustituyedo por + 1. Para ello aplicamos la regla de l Hôpital, usado las fucioes ϕ,ψ : I \ {a} R dadas por ϕ(x) R +1 [ f, a](x), ψ(x) (x a) +1 x I \ {a} Claramete, ambas so fucioes derivables e I \ {a}, co ψ (x) ( + 1)(x a) para todo x I \{a} y se tiee evidetemete que ϕ(x) ψ(x), luego se cumple las hipótesis de la primera regla de l Hôpital. Además, teemos claramete ϕ (x) ψ (x) f (x) T +1 [ f, a] (x) ( + 1)(x a) R [ f, a](x) (x a) x I \ {a} dode hemos usado la relació etre los poliomios de Taylor de f y f. Puesto que f D 1 (I) y f es veces derivable e a, la hipótesis de iducció se puede aplicar a la fució f, obteiedo precisamete que Aplicado la regla de l Hôpital cocluimos que ϕ (x) ψ (x) R [ f, a](x) (x a) R +1 [ f, a](x) ϕ(x) (x a) +1 ψ(x) Fialmete, si P es u poliomio de orde tal que probar que P T [ f, a]. Escribiedo Q(x) P(x) T [ f, a](x) f (x) P(x) (x a), deberemos x R, co α,α 1,... α R, deberemos ver que α k para k,1,...,. α k (x a) k para todo

5 13. Fórmula de Taylor 12 Razoado por reducció al absurdo, supogamos que alguo de esos coeficietes o se aula y sea m mí { k {,1,...,} : α k }. Para x R \ {a} teemos claramete Q(x) (x a) m α k (x a) k m, luego km Q(x) (x a) m α m Ahora bie, e vista de la hipótesis sobre P, y lo ya demostrado, teemos tambié ( ) ( Q(x) P(x) f (x) + f (x) (x a) T [ f,a](x) ) (x a) de dode obteemos imediatamete la cotradicció buscada: α m Q(x) (x a) m Q(x) (x a) (x a) m El resultado aterior poe de maifiesto la utilidad de las derivadas sucesivas. Ha quedado claro que e el caso 1 la fórmula ifiitesimal del resto o es otra cosa que la defiició de derivada, que os dio e su mometo ua buea aproximació de ua fució, cerca de u puto dode sea derivable, mediate u úico poliomio de primer orde, justo su poliomio de Taylor de primer orde e dicho puto. Pues bie, ahora hemos obteido u resultado aálogo para N arbitrario: supoiedo que ua fució f es 1 veces derivable e u itervalo que cotiee al puto a (la hipótesis restrictiva que os ha permitido usar la regla de l Hôpital) y veces derivable e a, teemos ua buea aproximació de f, cerca del puto a, mediate u úico poliomio de orde, el poliomio de Taylor T [ f, a]. Coforme aumeta, será más laborioso calcular el poliomio de Taylor, pero mejoramos la aproximació obteida, puesto que la diferecia f T [ f, a] tiede a cero e el puto a más rápidamete que (x a). Si e la igualdad (1), separamos el último sumado del poliomio de Taylor, la fórmula ifiitesimal del resto toma la siguiete forma, que os da ua ueva expresió para la derivada -ésima: f () (a)! f (x) T 1 [ f, a](x) (x a) Para ilustrar el resultado, usemos de uevo la fució expoecial. La fórmula ifiitesimal del resto os dice que, para todo N, se tiee: ( ) ( ) 1 x x e x x k 1, equivaletemete, x x e x x k 1! ( Por ejemplo, para 4, teemos e x x 4 1 x (x 2 /2) (x 3 /6) ) 1/24. Nótese que, para calcular este último ite usado sólo la regla de l Hôpital, la aplicaríamos cuatro veces. La fórmula ifiitesimal del resto muestra así ua utilidad práctica: permite resolver, e u sólo paso, idetermiacioes que requeriría aplicar la regla de l Hôpital varias veces. x 1 1

6 13. Fórmula de Taylor 121 Coviee tambié resaltar que el teorema aterior os da ua caracterizació del poliomio de Taylor, que a veces permite obteerlo si calcular todas las derivadas que ivolucra. Veamos por ejemplo la fució f : R R defiida por f (x) log(1 + x 4 ) para todo x R. Para ecotrar sus poliomios de Taylor e el orige, usaremos la fució ϕ :] 1,+[ R dada por ϕ(y) log(1 + y) para todo y ] 1,+[. Teemos fácilmete ϕ(), ϕ () 1 y ϕ () 1, luego T 2 [ϕ, ](y) y y 2 /2 para todo y R. La fórmula ifiitesimal del resto, aplicada a ϕ co 2, os da y log(1 + y) y + y 2 /2 y 2, de dode x log(1 + x 4 ) x 4 + x 8 /2 x 8 y de uevo el teorema aterior, aplicado a f co 8, os dice que T 8 [ f, ](x) x 4 x 8 /2 para todo x R. No hemos teido que calcular ocho derivadas de f, sio sólo dos derivadas de la mucho más secilla fució ϕ Extremos relativos La fórmula ifiitesimal del resto permite detectar extremos relativos de alguas fucioes: cuado se cumple ua hipótesis o muy restrictiva, podemos sustituir la codició ecesaria que sabemos debe cumplir los extremos relativos (primera derivada ula), por otra más fuerte, que ya es ecesaria y suficiete. Sea I u itervalo, a I, N y f D 1 (I). Supogamos que f (k) (a) para 1 k < y que f es veces derivable e el puto a co f () (a). Etoces: (i) Si es par y f () (a) >, f tiee u míimo relativo e el puto a. (ii) Si es par y f () (a) <, f tiee u máximo relativo e a. (iii) Si es impar, f o tiee u extremo relativo e a. Por tato, f tiee u extremo relativo e a si, y sólo si, es par. Al aularse e el puto a todas las derivadas ateriores a la -ésima, el poliomio de Taylor de orde de f e a es el siguiete: T [ f, a](x) f (a) + f () (a) (x a) x R! Por tato, la fórmula ifiitesimal del resto os dice que f (x) f (a) (x a) f () (a)! y deducimos que, cerca del puto a, el cociete que aparece e el primer miembro tedrá el mismo sigo que f () (a). Más cocretamete, existe δ >, que podemos tomar de forma que ]a δ,a + δ[ I, tal que < x a < δ f (x) f (a) (x a) f () (a) > (2)

7 13. Fórmula de Taylor 122 E el caso (i) deducimos que f (x) f (a) para todo x ]a δ,a + δ[, luego f tiee u míimo relativo e el puto a. E el caso (ii) será f (x) f (a) para todo x ]a δ,a + δ[ y teemos u máximo relativo. Para probar (iii), supoiedo de mometo que f () (a) >, de (2) deducimos que f (x) < f (a) cuado a δ < x < a, mietras que f (x) > f (a) para a < x < a + δ, luego o puede haber u extremo relativo e a. Si f () (a) <, lo aterior se aplica a f, obteiedo la misma coclusió. No se debe eteder el resultado aterior como ua caracterizació de los extremos relativos de ua fució, pues sólo los caracteriza bajo hipótesis que o tiee por qué cumplirse. De etrada, ua fució puede teer u extremo relativo e u puto si ser siquiera cotiua e dicho puto. Tambié puede ocurrir, por ejemplo, que siedo f D 1 (I) co f (a), f o sea dos veces derivable e a, y tampoco podemos usar el resultado aterior. Auque se verifique sus hipótesis, tampoco debemos eteder el resultado aterior como ua regla geeral que deba aplicarse siempre, pues co frecuecia es más fácil usar métodos que ya coocíamos. Cocretamete, supogamos que f D 1 (I) y, o sólo sabemos que f (a), sio que coocemos los demás ceros de f, esto es, el cojuto C {x I : f (x) }. Si a es u puto aislado de C, existirá δ > tal que, para < x a < δ, se tega x I co f (x). Etoces f es estrictamete moótoa tato e ]a δ,a[ como e ]a,a + δ[, y podremos decidir fácilmete si f tiee o o u extremo relativo e el puto a. El iterés del resultado aterior estriba e que permite decidir si a es u extremo relativo de f, si coocer el cojuto C. Para ver u ejemplo, retocamos ua fució estudiada e el tema aterior, defiiedo: f : R R, f (x) x 2 + x 4 se(1/x) x R, f () Observamos que f D 2 (R) co f () y f () 2 >, luego el resultado aterior, co 2, os dice directamete que f tiee u míimo relativo e el orige, si ecesidad de estudiar otros ceros de f Fórmula de Taylor La fórmula ifiitesimal del resto cuatifica la rapidez co que el resto de Taylor de ua fució e u puto tiede a cero e dicho puto, pero o da iformació sobre el valor de dicho resto e igú otro puto. Co hipótesis poco más restrictivas, vamos a obteer ahora ua descripció del resto de Taylor que sí permite frecuetemete obteer ese tipo de iformació. Los resultados de este tipo se cooce co el ombre geérico de Fórmulas de Taylor y difiere uos de otros precisamete e la expresió cocreta que ofrece para el resto. Teorema (Fórmula de Taylor co resto de Lagrage). Sea I u itervalo o trivial y sea f C (I) D +1 (I ) co N {}. Etoces, para cualesquiera a,x I co a x, podemos escribir R [ f, a](x) f (+1) (c) (x a)+1 ( + 1)! dode c es u puto itermedio etre a y x: mí{a,x} < c < máx{a,x}.

8 13. Fórmula de Taylor 123 Demostració. Sea a,x I co a x, que estará fijos e todo el razoamieto, y sea J [mí{a,x}, máx{a,x}], itervalo que obviamete verifica J I, J I. Aplicaremos el teorema del valor medio geeralizado a las siguietes fucioes: ϕ,ψ : J R, ϕ(t) f (k) (t) (x t) k, ψ(t) (x t) +1 t J E la suma que defie a ϕ, cada sumado es el producto de ua derivada f (k), co k, por u poliomio. De ser f C (I) D +1 (I ), deducimos que ϕ C (J) D 1 (J ), mietras que ψ C (J). El mecioado teorema os da c J verificado: ( ϕ(x) ϕ(a) ) ψ (c) ( ψ(x) ψ(a) ) ϕ (c) (3) Todo lo que queda es traducir esta igualdad e térmios de f. Empezamos por lo más fácil: ϕ(x) ϕ(a) f (x) f (k) (a) (x a) k R [ f, a](x) (4) ψ(x) ψ(a) (x a) +1, ψ (c) ( + 1)(x c) El cálculo de ϕ (c) tampoco es difícil. Para t J teemos: ( y, e particular ϕ (t) f (t) + k1 f (k+1) (t) (x t) k f (k) (t) (x t)k 1 (k 1)! f (k+1) (t) (x t) k 1 f (k+1) (t) ) (x t) k f (+1) (t) (x t)! ϕ (c) f (+1) (c) (x c) (5)! Al sustituir (4) y (5) e (3), obteemos: ( + 1)(x c) R [ f, a](x) f (+1) (c) (x c) (x a) +1! y la igualdad buscada se cosigue dividiedo ambos miembros por ( + 1)(x c). E el caso, la hipótesis del teorema aterior es f C (I) D 1 (I ) y la tesis que se obtiee es f (x) f (a) f (c)(x a), que so precisamete la hipótesis y la tesis del Teorema del Valor Medio. Así pues, podemos afirmar que la Fórmula de Taylor geeraliza el Teorema del Valor Medio, de la misma forma que la fórmula ifiitesimal del resto geeralizaba la defiició de derivada, e ambos casos ivolucrado derivadas sucesivas. Como aplicació evidete de la Fórmula de Taylor, obteemos la siguiete cosecuecia, que tambié se podría probar directamete por iducció. Sea I u itervalo o trivial y f C (I) D +1 (I ) co N {}. Supogamos que f (+1) (x) para todo x I. Etoces f es ua fució poliómica de orde.

9 13. Fórmula de Taylor 124 La aplicació práctica más habitual de la Fórmula de Taylor cosiste e estimar el error que se comete al tomar T [ f, a](x) como valor aproximado de f (x), eligiedo adecuadamete y u puto a e el que se coozca los valores de f y de sus derivadas. Como ejemplo ilustrativo podemos usar de uevo la fució expoecial. Supogamos que, 6 sólo co papel y lápiz, queremos calcular e e 1/6 co error meor que 1 4. Usaremos para ello los poliomios de Taylor de la expoecial e el orige, es decir: para u N, mejor cuato más pequeño, usaremos T [exp, ](1/6) como valor aproximado de e 1/6. La Fórmula de Taylor os dice que el error cometido será: R [exp, ](1/6) dode c < 1/6, luego e c < 2. Por tato tedremos < R [exp, ](1/6) < e c ( + 1)! ( ) ( + 1)! 6 +1 (6) Al ser 4! 6 4 > 2 1 4, para que el error sea meor que 1 4 basta tomar 3. Así pues, teemos que T 3 [exp, ](1/6) ! ! es ua aproximació de 6 e co error meor que 1 4 6, de dode, e 1, Obsérvese que, variado, podemos coseguir que el error sea ta pequeño como se quiera. La desigualdad (6), válida para todo N, prueba que {R [exp, ](1/6)}, o lo que es lo mismo, {T [exp, ](1/6)} e 1/6. E realidad lo que teemos es la suma de ua serie: e 1/6 T [exp, ](1/6) (1/6) k (1/6)! Como se puede adiviar, 1/6 o tiee ada de especial, probaremos el mismo resultado para todo x R y obtedremos resultados aálogos para otras fucioes distitas de la expoecial La serie de Taylor E lo que sigue, fijamos u itervalo o trivial I, ua fució f C (I) y u puto a I. Supogamos que coocemos f () (a) para todo N {} y, usado los poliomios de Taylor de f e a, queremos calcular f (x) para otros putos x I. Es lo que acabamos de hacer co la expoecial para a y x 1/6. Nos pregutamos si la sucesió {T [ f, a](x)} coverge a f (x), pero coviee ver dicha sucesió como ua serie. Para cada x R, diremos que la serie f () (a)! (x a) (7) es la serie de Taylor de la fució f e el puto a, evaluada e x. Para cada N {}, la ( + 1)-ésima suma parcial de dicha serie es T [ f, a](x).

10 13. Fórmula de Taylor 125 Propiamete hablado, si vemos x como la variable que se suele usar para defiir fucioes, la serie de Taylor de f e a es ua serie de fucioes, o si se quiere, ua sucesió de fucioes, la sucesió de los poliomios de Taylor de f e a. Pero o vamos a trabajar co sucesioes o series de fucioes, simplemete os limitamos a pesar que, para cada x R, teemos ua serie de úmeros reales. Pues bie, para x I, os pregutamos si se verifica o o la igualdad f (x) f () (a)! (x a) (8) que obviamete exige que la serie de Taylor sea covergete. Veremos ejemplos e los que esta igualdad se verifica para todo x I, o al meos e u cierto itervalo o trivial J I que verifica a J y suele estar cetrado e el puto a. Diremos etoces que f admite u desarrollo e serie de Taylor cetrado e el puto a y válido e el itervalo J, pudiedo ser J I. E el extremo opuesto, tambié veremos ejemplos e los que la igualdad (8) sólo se verifica e el caso trivial x a, co lo que la serie de Taylor resulta perfectamete iútil para estudiar la fució f. Ates de presetar ambos tipos de ejemplos, aalizamos u poco el problema geeral. Fijado x I \ {a} (el caso x a es trivial como hemos dicho) podemos aplicar la Fórmula de Taylor para todo N {}, lo que os permite escribir f (x) f (k) (a) (x a) k f (+1) (c ) ( + 1)! (x a)+1 (9) dode {c } es ua sucesió de putos itermedios etre a y x. Por tato la igualdad (8) equivale a f (+1) (c ) ( + 1)! (x a)+1 (1) dode {c } es la sucesió que aparece e (9). Procede ahora ua observació secilla: (x a) Para todo x R, la serie! {(x a) /!} coverge a cero. coverge absolutamete y, por tato, la sucesió E efecto, si x a o hay ada que demostrar y e otro caso teemos (x a) +1 /( + 1)! (x a) /! co lo que basta aplicar el criterio del cociete. x a + 1 Así pues, co vistas a (1), la sucesió {(x a) +1 /( + 1)!} coverge a cero, lo que os idica ua estrategia que tedrá éxito e varios casos: si la sucesió { f (+1) (c )} está acotada, tedremos el desarrollo e serie de Taylor que vamos buscado. E geeral, el problema es que dicha sucesió puede ser divergete y hacer que o se verifique (1), luego tampoco (8). A veces ocurrirá que la serie de Taylor, evaluada e el puto x, o coverge, otras veces dicha serie es covergete, pero su suma o coicide co f (x).

11 13. Fórmula de Taylor Desarrollos de la expoecial, el seo y el coseo La última discusió hace casi evidete lo que va a ocurrir co la fució expoecial, así como co el seo y el coseo: las tres fucioes va a admitir desarrollos e serie de Taylor, cetrados e cualquier puto de la recta y válidos e todo R. Ello se debe a que teemos acotacioes de las sucesivas derivadas, que permite probar (1) y, por tato (8). Empecemos co la fució expoecial, tomado a. Para x R y N {} la Fórmula de Taylor os da e x x k exp(+1) (c ) x +1 ( + 1)! dode c < x, luego e c e c e x. Por tato, x k ex e x x +1 ( + 1)! Puesto que { x +1 /( + 1)!}, cocluimos que e x x! ec x +1 ( + 1)! N {} (11) x R (12) que es el desarrollo e serie de Taylor de la fució expoecial cetrado e el orige y válido e todo R. Puede usarse para aproximarla co la exactitud que se desee, pues (11) permite acotar fácilmete el error que se comete al sustituir la suma de la serie por ua suma parcial. El razoamieto aterior podría repetirse literalmete, sustituyedo el orige por cualquier otro puto a R, pero o merece la pea, el resultado se puede deducir directamete de (12), usado la fórmula de adició: Para cualesquiera a,x R se tiee: e x e a! (x a). E efecto, basta pesar que: e x e a e x a e a (x a)! e a! (x a). Para el seo las cosas so aú más fáciles. Fijados a,x R co a x, la Fórmula de Taylor os dice que, para todo N {}, podemos escribir se x se(a + kπ/2) (x a) k se ( c + ( + 1)π/2 ) (x a) +1 ( + 1)! Si importar cual sea la sucesió {c }, deducimos que se x se(a + kπ/2) (x a) k x a +1 ( + 1)! y basta aplicar ua vez más que { x a +1 /( + 1)!}. Co el coseo el razoamieto es idético, y teemos los desarrollos e serie de Taylor de ambas fucioes:

12 13. Fórmula de Taylor 127 Para cualesquiera a, x R se tiee: se x se(a + π/2) (x a), cos x! cos(a + π/2) (x a) (13)! Obsérvese que, como ocurría co la expoecial, ambas series coverge absolutamete, para cualesquiera a, x R. El caso a merece ser destacado: Para todo x R se tiee se x x 2+1 (2 + 1)! y cos x x 2 (2)! Si k Z es par, digamos k 2 j co j Z, sabemos que se(kπ/2) se( jπ), mietras que cos(kπ/2) j. Si, por el cotrario k 2 j + 1 co k Z, será se(kπ/2) j y cos(kπ/2). Así pues, ua vez expresadas las sumas de las series que aparece e (13) como ites de apropiadas sumas fiitas, podremos suprimir los sumados que se aula y simplificar los demás. Fijado x R, para el seo teemos: 2+1 se x se(kπ/2) x k Para el coseo, el razoamieto es aálogo: cos x 2 cos(kπ/2) x k j x 2 j+1 j (2 j + 1)! j x 2 j j (2 j)! x 2+1 (2 + 1)! x 2 (2)! Desarrollos del logaritmo y el arco-tagete Para estas fucioes, e lugar de la Fórmula de Taylor co resto de Lagrage, usaremos otra descripció del resto de Taylor, que resulta más secilla y efectiva. Como log C (R + ), coviee hacer ua traslació que os permita trabajar e el orige. Cocretamete, usamos el itervalo I ] 1,+[ y la fució f C (I) dada por f (x) log(1 + x) para todo x I. Vamos a obteer el desarrollo e serie de Taylor de f cetrado e el orige, del que fácilmete deduciremos desarrollos e serie del logaritmo cetrados e cualquier puto de R +. Aprovechado la relació etre los poliomios de Taylor de ua fució y de su derivada, empezaremos trabajado co la fució ϕ f que es ua fució racioal: ϕ(t) 1/(1 +t) para todo t I. E lugar de calcular las derivadas de ϕ e el orige, preferimos recordar cómo se estudió la serie geométrica de razó t, claramete relacioada co ϕ. Para t R y N, escribimos (1 +t) 1 y deducimos claramete que ( t) k 1( ( t) k ( t) k+1) 1 ( t) ϕ(t) t k t k + t 1 + t t I (14)

13 13. Fórmula de Taylor 128 Hemos obteido así los poliomios de Taylor de ϕ e el orige, pues vemos que, para todo N, se tiee ( ) 1 1 t t 1 ϕ(t) k t k t t 1 + t y la fórmula ifiitesimal del resto os dice que T 1 [ϕ, ](t) 1 k t k t R, N Así pues, e (14) teemos la fució ϕ expresada como suma de su poliomio de Taylor de orde 1 e el orige, co el correspodiete resto de Taylor. No hemos ecesitado calcular las sucesivas derivadas de ϕ e el orige y teemos ua expresió cómoda del resto, si usar igua fórmula de Taylor. Esto o os debe extrañar, e este caso el resto de Taylor es la diferecia etre ua fució racioal y u poliomio, luego es otra fució racioal, que hemos calculado fácilmete. Observamos, por tato, que la serie de Taylor de ϕ e el orige, evaluada e u puto t R, es precisamete la serie geométrica de razó t. Por supuesto, para t ] 1,1[, podemos usar que {t } y deducir de (14) que ϕ(t) t t t ] 1,1[ Esta igualdad, ada ueva, os da el desarrollo e serie de Taylor de ϕ cetrado e el orige y teemos u ejemplo de ua situació que ya habíamos auciado: a pesar de que ϕ C (I), el desarrollo o es válido e todo el itervalo I, sio sólo e el itervalo J ] 1,1[, simplemete porque la serie geométrica de razó t o coverge cuado t / J. Pero volvamos a la igualdad (14) que ha sido la clave de los razoamietos ateriores. La idea, bie secilla, es usarla para calcular la itegral idefiida de ϕ co orige e, que es f. Aparecerá lógicamete los poliomios de Taylor de f e el orige, y el resto de Taylor expresado tambié como ua itegral idefiida. Cocretamete, para x I y N, usamos (14), la liealidad de la itegral y la regla de Barrow, para obteer: f (x) log(1 + x) 1 k x k+1 k + 1 E resume, hemos probado que log(1 + x) + 1 dt x 1 + t k t k dt + k+1 x k k1 k t 1 + t dt t dt 1 + t t 1 + t dt x I, N (15) y teemos lo esperado: cada resto de Taylor de f e el orige, expresado como ua itegral idefiida. Para cada x I, estudiamos ahora la covergecia de la sucesió de itegrales que aparece e el segudo miembro de (15).

14 13. Fórmula de Taylor 129 Si x, para t [, x] y N teemos t /(1+t) t, y usamos que la itegral respeta el orde etre fucioes: t dt 1 + t t 1 + t dt t dt x+1 N + 1 Por tato, si x 1, dicha sucesió de itegrales coverge a cero. Si 1 < x <, hacemos algo ligeramete distito. Para t [x, ] y N, usamos que t ( t) ( x), juto co 1 +t 1 +t 1 + x >, obteiedo t dt 1 + t t dt 1 + t t dt 1 + t ( x) ( x)+1 dt N 1 + x 1 + x x x y de uevo la sucesió de itegrales coverge a cero. E resume, hemos probado que y e vista de (15), teemos t dt x ] 1,1] 1 + t f (x) log(1 + x) x +1 x 1 x ] 1,1] (16) desarrollo e serie de Taylor de la fució f, cetrado e el orige, que es válido e el itervalo J ] 1,1]. Para x > 1 es claro que la serie de Taylor o coverge. El caso x 1 merece destacarse, pues hemos ecotrado la suma de la serie armóica alterada: +1 1 log 2 Si ahora queremos el desarrollo e serie de Taylor del logaritmo, cetrado e u puto a R +, basta pesar que log x log a + log ( 1 + (x a)/a ) y sustituir x por (x a)/a e (16). Necesitamos que sea 1 < (x a)/a 1, que equivale a < x 2a y obteemos: Dado a R +, se tiee que log x log a a (x a), para todo x ], 2a]. Obsérvese que, ua vez más, auque log C (R + ) su desarrollo de Taylor cetrado e u puto a R + sólo es válido e ],2a], para x > 2a la serie de Taylor o coverge. Para obteer u desarrollo e serie de Taylor del arco-tagete, seguiremos ua estrategia aáloga a la usada co el logaritmo, empezamos co su derivada, la fució racioal ψ C (R) dada por ψ(t) 1/(1+t 2 ) para todo t R. Para coseguir sus poliomios de Taylor, volvemos a la igualdad (14) que fue la clave para el estudio del logaritmo. Para todo t R, teemos t 2 > 1 y (14) os dice que ψ(t) t 2 k t 2k + t t 2 t R (17)

15 13. Fórmula de Taylor 13 Teemos así expresada la fució ψ como suma de su poliomio de Taylor de orde 2 2, o tambié 2 1, y el correspodiete resto de Taylor, puesto que, tato para m 2 2 como para m 2 1, teemos t 1 t m ( ψ(t) 1 co lo que la fórmula ifiitesimal del resto os dice que T 2 1 [ψ, ](t) T 2 2 [ψ, ](t) ) k t 2k t 2 k t 1 + t 2 1 k t 2k t R, N La igualdad etre los dos poliomios de Taylor o os debe sorpreder, simplemete ocurre que ψ (2 1) (), porque ψ es ua fució par. Para t ] 1,1[ usamos e (17) que {t 2 } y obteemos el desarrollo e serie de Taylor de ψ cetrado e el orige, que o es más que la suma de ua serie geométrica: ψ(t) t 2 k t 2k t ] 1,1[ Cosideramos ahora la itegral idefiida de ψ co orige e, que es el arco-tagete. Usado (17), la liealidad de la itegral y la regla de Barrow, teemos arctg x 1 dt x 1 + t 2 k t 2k dt + 1 k x 2k+1 2k t t 2 dt t t 2 dt x R, N (18) E vista de la relació etre los poliomios de Taylor de ua fució y de su derivada, teemos aquí los poliomios de Taylor e del arco-tagete: T 2 1 [arctg, ](x) T 2 [arctg, ](x) 1 k x 2k+1 2k + 1 x R, N No hemos ecesitado calcular las sucesivas derivadas del arco-tagete e el orige, cosa que o hubiera sido del todo fácil. De hecho ahora las teemos calculadas: arctg (2k) (), arctg (2k+1) () k (2k)! k N {} Así pues, e (18) teemos expresado el arco-tagete como suma de su poliomio de Taylor de orde 2 1 o 2 co el correspodiete resto de Taylor, que otra vez aparece como ua itegral idefiida. Escribimos dicha igualdad, aislado la itegral: arctg x 1 k x 2k+1 2k + 1 t t 2 dt x R, N (19)

16 13. Fórmula de Taylor 131 El siguiete paso se debe ya adiviar: para cada x R, debemos estudiar la covergecia de la sucesió de itegrales que aparece e el segudo miembro de (19). Si x, usado que 1 +t 2 1 para todo t [, x] teemos t t 2 dt t t 2 dt t 2 dt x x x Para x <, el razoamieto es casi idético: t t 2 dt t t 2 dt t 2 dt x x y la misma desigualdad es válida para todo x R. Para x [ 1,1], la sucesió de itegrales coverge a cero y, e vista de (19), teemos el desarrollo e serie de Taylor del arco-tagete cetrado e el orige, válido e [ 1,1]. Hemos probado: Para todo x [ 1,1] se tiee: arctg x x x El caso x 1 merece destacarse, teemos ua serie cuya suma es el úmero π: π Otras fucioes idefiidamete derivables Usado la fució expoecial, vamos a costruir alguas fucioes de clase C e R, que respode pregutas iteresates y so útiles e diversos cotextos. Como orietació, podemos platearos el siguiete problema: para < r < R, coseguir ua fució ϕ C (R) que verifique ϕ(x) 1 cuado x r mietras que ϕ(x) cuado x R. Como primer paso, podemos pregutaros si ua fució de clase C e R puede ser costate e u itervalo o trivial, si ser costate e toda la recta. Más aú, si existe ua fució f C (R) tal que f (x) para todo x R, pero f (x) > para todo x R+. Si sólo le pidiéramos a f que fuese cotiua, o derivable uas cuatas veces, sería fácil costruirla. Pero ser de clase C impoe ua severa restricció a su comportamieto e el orige: todas sus derivadas ha de aularse e el orige. Usado la fució expoecial, coseguimos fácilmete tal fució: La fució f : R R defiida por f (x) x R, f (x) e 1/x x R + es de clase C e R, co f () () para todo N.

17 13. Fórmula de Taylor 132 Usado el carácter local de las derivadas sucesivas y la regla de la cadea, obteemos que f C (R ), y se comprueba fácilmete por iducció que, para todo N {}, existe u poliomio P tal que f () (x) P (x) x 2 f (x) x R (2) Nótese que esta igualdad es evidete para x R, cualquiera que sea el poliomio P, ya que f () (x) f (x). Para R + la iducció es muy similar a la hecha e otras ocasioes. Para cocluir la demostració bastará comprobar que, para todo N, f es 1 veces derivable e el orige co f (). Para el caso 1 o hay ada que comprobar y, supoiedo que el resultado es cierto para u N, debemos ver que f es veces derivable e el orige co f () (), es decir, que f (x)/x. Evidetemete, el ite por x la izquierda es cero y, para el ite por la derecha, teemos x + f (x) x 2 1 x 2 1 x + e x dode hemos usado la escala de ifiitos. De (2) deducimos ahora que f (x) x + x P 1 (x) f (x) x + x 2 1 Nótese que la serie de Taylor de la fució f e el orige, evaluada e cualquier x R, es idéticamete ula. Trivialmete coverge para todo x R, pero su suma sólo coicide co f (x) cuado x R. Así que f, siedo ua fució de clase C e R, o admite u desarrollo e serie de Taylor cetrado e el orige. El caso extremo de esta situació se preseta para ua fució muy relacioada co f. Defiimos ψ : R R por ψ(x) e 1/x2 x R, ψ() Que ψ C (R) se deduce del resultado aterior, pues evidetemete se tiee ψ(x) f (x 2 ) para todo x R, co lo que ψ es la composició de dos fucioes de clase C e R. Tambié es fácil comprobar que ψ () () para todo N. Así pues, la serie de Taylor de ψ e el orige es idéticamete ula, coverge para todo x R, pero su suma sólo coicide co ψ(x) e el caso trivial x. Otra secilla modificació de la fució f estudiada ateriormete os acerca u poco más al objetivo de partida: Dados a,b R co a < b, la fució g : R R defiida por ( ) 1 g(t) exp t ]a,b[, g(t) t ],a] [b + [ (t a)(b t) es de clase C e R. Basta pesar que g(t) f ( (t a)(b t) ) para todo x R y aplicar la regla de la cadea para las derivadas sucesivas.

18 13. Fórmula de Taylor 133 Obsérvese que ahora g(t) tato si t a como si t b, pero g(t) > para todo t ]a,b[. El siguiete paso es cosiderar la itegral idefiida de g co orige e el puto a, salvo ua ormalizació, que os permitirá probar lo siguiete: Dados a,b R co a < b, existe ua fució h C (R), estrictamete creciete e el itervalo [a,b], verificado que h(x) para todo x ],a] y h(x) 1 para todo x [b,+[. Fijados a y b, usamos la fució g costruida ateriormete, la itegral ρ y defiimos h : R R por h(x) 1 ρ a g(t)dt x R b a g(t)dt >, Al ser g(t) para t a, teemos tambié h(x) para x a pues estamos itegrado ua fució idéticamete ula. Para x b, usado la aditividad de la itegral, juto co que g(t) para t b, comprobamos que h(x) 1, ya que ρh(x) a g(t)dt b a g(t)dt + b g(t)dt ρ El Teorema Fudametal del Cálculo os dice que h D 1 (R) co h (x) g(x)/ρ para todo x R. Como g C (R), teemos tambié h C (R). Fialmete, al ser h (x) > para todo x ]a, b[, del Teorema del Valor Medio deducimos que h es estrictamete creciete e [a,b]. Podemos ya costruir fácilmete la fució que os propusimos ecotrar. Por razoes obvias, es lo que suele llamarse ua fució meseta, de clase C e R. Dados r,r R co < r < R, existe ua fució ϕ C (R) co las siguietes propiedades: (i) x R, x r ϕ(x) 1 (ii) x R, x R ϕ(x) (iii) ϕ es estrictamete creciete e [ R, r] y estrictamete decreciete e [r,r] Basta tomar a r 2 < R 2 b y, usado la fució h recié costruida, defiir ϕ : R R, ϕ(x) 1 h(x 2 ) x R Es claro que ϕ C (R) y las propiedades requeridas para ϕ se deduce de las coocidas para h si igua dificultad. Resaltamos fialmete que todas las propiedades de las fucioes que hemos ido estudiado so fáciles de coseguir para fucioes a las que sólo exijamos ser derivables u cierto úmero de veces, lograr el mismo tipo de comportamieto para fucioes de clase C e toda la recta es lo que hace iteresate la costrucció que hemos desarrollado.

19 13. Fórmula de Taylor Ejercicios 1 ( 1. Probar que x x 4 2x x x 2 2 2x x 2) Estudiar el comportamieto e, y + de la fució f : R R dada por f (x) x se x x 6 ) (e x 1 x x Ecotrar α, β, γ R que verifique la siguiete igualdad: x R x ( x 5 1 αx 5)( x tg x βx 3) x 15 γ 4. Ecotrar los extremos relativos de la fució f : R R e cada uo de los siguietes casos: (a) f (x) x 5 5x 4 + 5x x R (b) f (x) x2 3x + 2 x 2 x R + 1 (c) f (x) x 2 x e x x R 5. Sea f D 3 (R) co f (), y g : R R la fució defiida por g(x) x 2 f (x) para todo x R. Probar que g tiee u extremo relativo e el orige si, y sólo si, f (). 6. Sea I u itervalo y f D 2 (I) tal que f (x) f (x) para todo x I. Probar que, si existe a I tal que f (a) f (a), etoces f (x) para todo x I. 7. Probar que, para q N y x R +, se verifica las siguietes desigualdades: 1 + x q (q 1)x2 2q 2 q 1 + x 1 + x q 8. Probar que 1 x2 2 cos x 1 x2 2 + x4 24 para todo x [,π]. 9. Calcular u valor aproximado de 3 7 co error meor que Dados ua fució f C (R) y δ >, probar que existe ua fució g C (R) que verifica las siguietes codicioes: (i) g(x) f (x) x [ 1,1] (ii) g(x) x ], 1 δ] [1 + δ, +[ (iii) g(x) f (x) x R