Un problema de programación cónica se puede expresar genéricamente de la siguiente forma:

Transcripción

1 Evaluacó e Cota Etrcta e Etao Límte Capítulo 3. Programacó Cóca CAPÍULO 3 PROGRAMACIÓN CÓNICA La optmzacó matemátca ha o uo e lo campo e vetgacó má trabajao e lo últmo tempo. Eto ha ao lugar a grae avace e poco tempo. E cocreto e ha avazao muchímo e el área e programacó covea earrolláoe algortmo mu efcete baao e el métoo el puto teror para coo coveo. Uo too eto a la tremea progreó e la capaca e cálculo e lo oreaore hace que ho e ía e puea reolver problema que hace uo año reultaba mpoble e aborar. El problema que e abora e eta tea e ecuetra jutamete e ete cojuto e problema reoluble e la actuala. No ecotramo jutamete co la ecea e reolver e ete trabajo problema e programacó cóca que o jutamete aquello que ha upueto la má recete revolucó etro e la optmzacó moera. De eta forma recooceo la etructura covea e u problema puéolo eprear como u programa cóco poemo garatzar u efcete proceo e olucó para el mmo. 3.1 DUALIDAD Y CONCEPOS ÁSICOS DE LA EORÍA DE PROGRAMACIÓN CÓNICA. U problema e programacó cóca e puee eprear geércamete e la guete forma: m{ c A b } 3.1 també llamao problema prmal e la programacó cóca oe R e el m m vector e varable e ecó c R b R A R o ato cooco referete al problema R e u coo coveo cerrao co u teror o vacío. Lo coo má relevate que atface eta propeae o: - Octate potvo - Coo e Loretz o e eguo ore - Coo potvo emefo E ete trabajo veremo que el coo e Loretz e el que mejor e aapta a la cocó e rotura e Drucer-Prager.8 por lo tato erá el que emplearemo para la reolucó el problema e optmzacó. El coo e Loretz e eprea e forma geérca como gue: l R / 1 3. De ua forma má geérca e puee tomar el coo como { R f} oe { f }. efe ua operacó e oreacó parcal e vectore e R para el coo Pága 16 e 89

2 Evaluacó e Cota Etrcta e Etao Límte Capítulo 3. Programacó Cóca 1 3 Fgura 3-1: Repreetacó el coo e Loretz e u epaco 3 R. A partr e la propeae báca e lo reale obre la efcó e uetro coo como por ejemplo refleva atmetría tratva compatbla co operacoe leale poemo llegar a afrmar que too programa cóco puee er ecrto eactamete como u programa leal reemplazao la eguala por el operaor e oreacó parcal { f } correpoete a uetro coo. Aí poremo ahora mapular uetro coo tomao uale operar co cualquer programa cóco como fuera uo leal: ma { b A c } 3.3 oe A b c o lo mmo parámetro que efe la etructura el problema prmal 3.1. El problema 3.3 e també el comúmete llamao problema ual e 3.1 oe e el coo ual e també coveo cerrao co u teror o vacío. aáoo e el teorema e uala cóca poemo afrmar la guete propeae el problema que tratamo: 1. Duala métrca: el ual el ual e el prmal.. Duala ébl: b c para caa par prmal-ual factble. Pága 17 e 89

3 Evaluacó e Cota Etrcta e Etao Límte Capítulo 3. Programacó Cóca 3.1. S el prmal e acotao ferormete etrctamete factble etoce el ual tee olucó lo valore óptmo o étco. 3.. S el ual e acotao uperormete etrctamete factble etoce el prmal tee olucó lo valore óptmo o étco. 4. Se aume que al meo uo e lo o problema prmal o ual e acotao etrctamete factble. Por lo tato u par factble prmal-ual e u par e olucoe óptma ólo teemo: 5. U tervalo e uala cero: b c ó 6. Debla complemetara: A c. 3. ALGORIMOS DE PUNO INERIOR PARA UN PRIMAL-DUAL FACILE PARICULARIZADOS PARA PROGRAMACIÓN CÓNICA DE SEGUNDO ORDEN SOCP. Co lo métoo e puto teror [3] e ecuetra ua olucó óptma metra o movemo e el teror el tema factble e cotraputo co la retrccó e la búquea e lo límte o cotoro. Para evtar que el algortmo alcace el límte o cotoro e trouce ua fucó barrera a la fucó cote e eta forma la fucó aumeta al fto cuao algua e la varable e aproma al propo cotoro. Co too eto e la actuala el métoo e puto teror para u prmal-ual e el métoo elego e la maoría e aplcacoe comercale graca a u fucoameto ecelete e uo a gra ecala epecalmete co preeca e matrce grae co poco elemeto o ulo como e el cao que o ocupa. El métoo el puto teror eplota la uala el problema e tal forma que la búquea e reccoe e optmzacó e computa e lo epaco factble prmal ual. El puto e ala o lo problema prmal ual guete a la optmzacó e la fucó barrera ervao el prmal el ual: Prmal m{ c A b} 3.4 Dual ma { b A c} 3.5 oe e u parámetro potvo o la fucoe barrera que evta que alga e u repectvo coo e retrccó. Para cualquer > a partr e obteemo ua úca olucó óptma la cual fere e la olucó e A partr e eto reultao e trata e hacer teer progrevamete a e forma que cuao éta ea eblemete pequeña reulte gfcate e práctcamete too lo puto eceptuao aquello que e ecuetra e el cotoro. Cabe etacar que a mea que ecrece lo mmzaore ecrbe etro e u correpoete epaco factble ua traectora llamaa camo cetral el cual e ca e el cetro aalítco que e correpoe co falza e lo valore óptmo. Pága 18 e 89

4 Evaluacó e Cota Etrcta e Etao Límte Capítulo 3. Programacó Cóca Pága 19 e 89 r 1 r 1 4 c A b A A A E mportate cometar que ete fucoe barrera mu apropaa para lo coo que etamo coerao. Cocretamete cabe etacar u tpo e fucoe barrera que o cotua tre vece ferecable etrctamete covea cogueo co ella reultao efcete e la reolucó el problema llamaa fucoe barrera elf-cocorat. Para caa uo e lo coo que e ha preetao aterormete teemo ua e la aterore fucoe barrera e forma logarítmca. E ua gra vetaja el hecho e que para u programa cóco eo el proucto carteao e tto coo la fucó barrera reultate erá jutamete el umatoro e caa ua e la fucoe barrera para caa uo e lo mecoao coo. Dee el mometo e que optmzamo ua fucó etrctamete covea ujeta a ua retrccoe leale que efe u cojuto factble coveo poemo afrmar que etamo tratao problema e optmzacó covea. De eta forma la prmera e la cocoe e optmzacó e Karuh-Kuh-ucer erá eceara ufcete para uetro problema. Aplcao por tato cha cocoe cotrueo la fucoe Lagragaa para ambo problema poemo llegar a obteer el guete tema e ecuacoe para ua aa: 3.6 Para reolver cho tema o leal e ecuacoe erá ecearo u tratameto meate el métoo e Newto. Para ello poemo tomar el tema como Η z u vector cógta z que tere bajo el íce llegao a ua epreó z H z H o lo que e lo mmo e otacó matrcal: 3.7 Doe el vector z e ua reccó e búquea el prmal-ual óe tato como aopta la guete forma para el cao geérco que o terea que o e otro que el el coo e Loretz: Para falzar e coerará etro el proceo teratvo que o ocupa o actualzacoe. Eta erá cocretamete la guete:

5 Evaluacó e Cota Etrcta e Etao Límte Capítulo 3. Programacó Cóca 1. Actualzacó el vector olucó a partr el e reccó e búquea e la guete forma: α β β oe α β o la mea e pao aecuaa para que repectvo coo. 1 1 cotúe perteeceo a u. Actualzacó el parámetro e barrera e forma proporcoal a la fereca e reultao obtea e la reolucó el prmal el ual crepaca e uala como gue:. De ua forma reuma equemátca e epoe a cotuacó lo prcpale pao que e ebe egur e el earrollo e ete algortmo e puto teror para u problema e prmal-ual factble: 1. Dato e etraa: ato el problema Abc ua olucó factble cal z ua toleraca e optmzacó ε >.. Ico el proceo co la olucó cal m R A c co A b K 3. et e optmala meate u f/ele. Paramo el proceo para < ε e lo cotraro e progue. 4. úquea e la reccoe óptma meate el Métoo e Newto para tema o leal a partr e 3.6 tomao obteeo z. 5. Actualzacó el vector olucó meate la epreó α β β a partr e la preva obtecó e la aecuaa mea e paoα β. 6. F e la teracó e co e la teracó 1 ee el eguo pao el algortmo. Detro e ete equema epueto el pao má cotoo e lugar a ua aquel e que earrollamo el métoo e Newto e búquea e reccoe e avace. Para reolver ete puto geeralmete e hace uo prevamete e la ecuacó complemetara e Schur para la obtecó e la reccó : M Ar 3.1 oe M AΠ A e calcula proceeo e tre fae eparaa cotruccó e la matrz M factorzacó e éta meate Chole falmete reolucó meate el algortmo Mehrotra [4]. Pága e 89

6 Evaluacó e Cota Etrcta e Etao Límte Capítulo 3. Programacó Cóca 3.3 SOLVERS DE PROGRAMACIÓN CÓNICA EMPLEADOS: SEDUMI Y SDP3. Como má aelate e emotrará el problema e etao límte puee tratare como u problema e programacó cóca e eguo ore. Para llevar a cabo la reolucó e eto problema cóco e ha utlzao o paquete e ruta e Matlab e uo lbre: SeDuM [1] SDP3 [] que emplea lo algortmo vto e ete apartao. El cógo báco e ambo paquete etá ecrto e Matlab auque també e ha empleao C Fortra. Se trata e arle lo ato e etraa el problema ua etructura K que efa la caracterítca el coo a tratar. E el guete apartao e la tea veremo como cretzar tratar uetro problema cotuo como llegar a obteer u tema matrcal o leal e ecuacoe que permta er tratao meate lo algortmo vto co lo programa SeDuM SDP3. Pága 1 e 89