3 Transformada de Laplace

Transcripción

1 3 Trnformd de Lplce 3. Breve not obre integrle impropi Recordemo que l integrl de Riemnn Z b f (t) dt; ólo etá de nid pr lgun funcione cotd en un intervlo nito. L funcione pr l cule l integrl de Riemnn etá de nid e llmn integrble e incluyen l funcione cuy dicontinuidde formn un conjunto numerble. Si l función no e cotd o el intervlo no e nito no exite l poibilidd de integrbilidd Riemnn directmente porque el co no fue incluido en l de nición. Pr trtr de integrle del tipo R pdx x ó R dx; x () 2 hy que introducir un concepto nuevo el de integrle impropi. Hy que imginr que un conjunto no cotdo, como el ubgrfo de l funcione en (), puede tener áre nit. y = p x y = x 2 Si l función f e integrble (en prticulr cotd) en todo ubintervlo [; b] y exite el límite ` = lim b!+ Z b f (t) dt; diremo que exite o que e convergente l integrl impropi R f (t) dt = ` f (t) dt y ecribiremo

2 Cálculo III 2 Trnformd de Lplce Si converge l integrl impropi R jf (t)j dt e puede probr que l integrl R f (t) dt e convergente. En ete co diremo que R R f (t) dt e bolutmente convergente. L integrl f (t) dt puede converger in que lo hg R jf (t)j dt. En ete co hy convergenci condicionl. Un ejemplo de et itución e d con l integrl impropi en t dt t Pr funcione f no negtiv, R b f (t) dt e un función no negtiv y creciente de R b b. Eto dej ólo do poibilidde o l integrl converge o lim b! f (t) dt = + E por eo que pr ete co (f ) y ólo pr ete co, l convergenci de l integrl impropi e expre diciendo que R f (t) dt < L utilidd del concepto de convergenci bolut viene de l poibilidd de comprr R entre integrle de funcione no negtiv. E clro que f g en [; +) y g (t) dt < implic R R f (t) dt <. Entonce, i jf (t)j g (t) en [; +) y g (t) dt < podremo rmr que R f (t) dt e convergente. Pr funcione no cotd en intervlo nito, por ejemplo un función f cotd en cd intervlo [ + "; b] con lim "!+ f ( + ") =, e de nirá Ejemplo. Z b f (t) dt = lim "!+ Z b +" f (t) dt. Lo ubgrfo de l función x = t obre lo intervlo (; ] y [; ) deben er igule por l imetrí de l hipérbol. Ambo tienen áre in nit. Y e un itución límite. Pequeñ rotcione de l hipérbol hci uno u otro ldo convierten uno en nito dejndo, por upueto, in nito quél que e grndó. En negro t. En zul t +. En rojo t. Vemo lo cálculo. Z < i > >< t lim dt = "! + ( + + "+ ) = ; i 6= + i < > lim "! + ln " = + i = 2

3 Cálculo III 2 Trnformd de Lplce Z < i < + >< t lim dt = b! + (b+ ) = ; i 6= + i > > lim b! ln b = + i = R 2. Si > ; e t dt = e t j = 3. L función gmm. Se > y conideremo l integrl impropi t e t dt (2) Si < <, et integrl e doblemente impropi, porque demá de er in nito el intervlo el integrndo tiene un ingulridd en. Se divide en do integrle I = R t e t dt y I 2 = R t e t dt L primer e fácil porque, pr t ; e t. Entonce t e t t, un potenci de exponente myor que ; y l integrl converge como e vió en el ejemplo. El nálii de I 2 e má complicdo. Primero e dvierte que l exponencil crece má fuerte que culquier potenci (l Hopitl lo corrobor). De modo que t + e t! pr t! +. Eto egur que, prtir de un cierto vlor K >, erá, digmo, t + e t Pero entonce En conecuenci, t K t K =) t e t t 2 e t dt K t 2 dt < t 2 dt < ; como e vió en el ejemplo. Por otr prte, l integrl entre y K e un integrl ordinri y no greg di cultde. L integrl (2) de ne un función de l vrible con dominio en (; ) () = t e t dt Con l integrle impropi e mntienen vigente l tre propiedde fundmentle de l integrle linelidd, monotoní y ditividd de dominio. Má complicd e u relción con l opercione de límite, derivción e integrción. Sin pretenione de derrollr l teorí correpondiente, queremo preentr el problem y enuncir lguno teorem necerio pr el mnejo de lo co que precen en l pliccione. Un función de do vrible integrd repecto de un de ell de ne un función de l otr vrible y cbe preguntre i et nuev función e continu, derivble e integrble. F (x) = f (x; y) dy Nótee que l tre pregunt ebozd plnten relizr l iguiente tre opercione obre l integrl que de ne F lim f (x; y) dy; x!x d dx f (x; y) dy; 3 Z d c f (x; y) dydx

4 Cálculo III 2 Trnformd de Lplce El problem e bjo qué condicione et opercione pueden intercmbire con l integrl impropi convirtiéndoe en lim f (x; y) dy; f (x; y) Z d c f (x; y) dxdy No mntendremo bjo l upoición generl de que f (x; y) coniderd como función de l vrible y e loclmente integrble pr cd x del conjunto que e epeci que, por ejemplo que pr cd x jo f (x; y) e cotd y el conjunto de u dicontinuidde e nito en cd ubintervlo nito [; b] de [; +) Teorem. Si pr todo x en un entorno de x e veri c l cotción (uniforme en x) jf (x; y)j g (y) pr lgun función g con R g (y) dy < y i pr todo y 2 [; +) (lvo lo umo un conjunto nito de vlore) e lim x!x f (x; y) = f (x ; y), entonce lim f (x; y) dy = x!x f (x ; y) dy Teorem 2. Supongmo que pr todo x 2 (c; d) l integrl R f (x; y) dy e bolutmente convergente y que exite y e f (x; y) Supongmo demá que e veri c un cotción (x; g (y) ; c < x d con R g (y) dy < Entonce, pr cd x 2 (c; d) ; d dx f (x; y) dy f (x; y) El tercer problem dmite un complicción dicionl Que l egund integrl tmbién e impropi. En u form cotd lo conocemo como el teorem de Fubini, y l form impropi conerv ee nombre. Enunciremo un verión cómod pr u uo. Teorem 3. Supondremo que l función de do vrible f (x; y) e continu en [; ) [b; ) excepción, lo umo, de un número nito de rect horizontle o verticle. Si en lgún orden reult convergente l integrl impropi iterd con vlor boluto. Eto e i b jf (x; y)j dydx < o bien b jf (x; y)j dxdy < ; Entonce l integrl impropi iterd e convergente en culquier de lo do órdene y lo vlore coinciden b f (x; y) dydx = b f (x; y) dxdy 4

5 Cálculo III 2 Trnformd de Lplce 3.2 De nición y primer propiedde Si f e un función loclmente integrble en [; +) (eto e que e integrble Riemnn en cd ubintervlo nito) tmbién lo erá, pr todo > ; f (t) e t L trnformd de Lplce de f e de ne por medio de l integrl impropi L [f] () = F () = f (t) e t dt L trnformd de Lplce de f etrá de nid ólo pr quello vlore de que hcen convergente l integrl. Un condición muy encill egur l exitenci de L [f] () Teorem 4. Si pr un 2 R e cumple un cotción del tipo entonce exite L [f] () pr > jf (t)j Me t Demotrción. Bjo l condición de l hipótei, f (t) e t Me ( )t Si > etmo nte un exponencil negtiv cuy integrl converge, de cuerdo con el ejemplo 2. de l ección nterior Será conveniente pretrle lgun tención l cle de l funcione que veri cn l condición del teorem. Llmemo M = f f e loclmente integrble y 9M jf (t)j Me t Con et de nición el teorem 4 e lee f 2 M =) 9L [f] () pr > E clro que < 2 =) M M 2. L cle M lbergn funcione que ceptn un ciero tipo de cotción. L cotción e má difícil de tifcer cundo chicmo, y eto e retrictivo L función te t 2 M +" " > ; pero no pertenece M. Invitmo l lector demotrr mb rmcione. L primer requiere un truco como el que umo en l de nición de l función. Pertenecer tod l cle M +" " > tiene un premio. De nmo M + = \ "> M +" Si ceptmo l invitción de má rrib tenemo dmotrdo que M $ M +. Por lo tnto, unque trivil, l iguiente e un verdder extenión del teorem 4. Teorem 4. f 2 M + =) 9L [f] () pr > Demotrción El reultdo e evidente. Si >, exite " > tl que > + ". Ahor bien, f 2 M + =) f 2 M +" =) 9F () 5

6 Cálculo III 2 Trnformd de Lplce Bueno, Demotrte o no que te t 2 M +" " >? E un poco má generl f 2 M =) t n f (t) 2 M + (3) En prticulr, eto muetr ciert etbilidd de l cle M ; Corolrio. Si f 2 M culquier polinomio P entonce exite L [P (t) f (t)] () pr >, pr Demotrción Clrmente bt probr (3). Prtimo de jf (t)j Me t. Pr culquier " > ; t n =e "t! pr t!. Luego 9K > (t > K =) t n =e "t ). Pero pr t K e t n K n K n e "t. En de nitiv, i M = MK n ; t n jf (t)j K n e "t Me t = K e (+")t Vliendo l cotción pr todo ", t n f (t) 2 M + Otr cuetión er obervd e l iguiente. Cundo f 2 M, el comportmiento en el de F qued determindo por et circuntnci. En efecto Teorem 5. Si f 2 M, entonce. jf ()j etá cotd en todo intervlo [; ) con > 2.F ()! pr! Demotrción De jf (t)j Me t jf ()j e igue Me ( )t dt = M ( )t e = t= M De et cotción iguen inmeditmente mb concluione L trnformd de Lplce, como etá de nid por un integrl, e obvimente linel. Eto e L [f + g] = L [f] + L [g] Ejemplo.. f (t) = e t F () = e ( )t dt = )t e( = ; pr > 2. Tomndo = en el ejemplo nterior, f (t) = y F () = = 3. f (t) = t F () = te t dt = e t t + e t dt = 2 4. Sobre l be del ejemplo nterior e fácil probr inductivmente que L [t n ] () = n! n+ 6

7 Cálculo III 2 Trnformd de Lplce 5. Pero no e necerio que n e entero. Si > ; L [t ] () = Con l utitución t = x; que implic t = x L [t ] () = + t e t dt x e x dx = y dt = dx, reult ( + ) + Nótee que et iguldd implic que, pr n nturl, (n + ) = n! L trnformd de Lplce e puede de nir obre funcione complej de l vrible rel t 2 [; ) Si f = u + iv; L [f] = L [u] + il [v] Ete proceder, con l yud de l linelidd, y biendo que e i!t = co!t + i en!t, permite clculr con fcilidd otr trnformd. L cuent del ejemplo. irve i l contnte e complej. 6. L e i!t () = i! = + i! 2 +! = 2 2 +! + i! 2 2 +! 2 Luego, como L [e i!t ] = L [co!t + i en!t] = L [co!t] + il [en!t] ; reult L [co!t] = 2 +! ; L [en!t] =! 2 2 +! 2 7. Si recordmo que coh x = ex + e x y que enh x = ex e x ; 2 2 obtendremo que L [coh t] () = 2 + = L [enh t] () = = Trnformd de un derivd Si l función f L [f ] () = e derivble con continuidd, f (t) e t dt = f (t) e t + f (t) e t dt = L [f] () f () (4) Iterndo el procedimiento e pueden trtr derivd de orden uperior. Por ejemplo, i f 2 C 2 ; L [f ] () = L [f ] () f () = fl [f] () f ()g f () = (5) = 2 L [f] () f () f () Et propiedd má l linelidd hcen de l T de L un intrumento útil pr trtr problem linele de vlore inicile con coe ciente contnte. Ejemplo 7

8 Cálculo III 2 Trnformd de Lplce. Conideremo el iguiente PVI < y + y + by = r (t) y () = K y () = K Trnformmo Lplce y, como e cotumbre, llmmo con l mim letr pero en myúcul l trnformd. O e 2 Y K K + Y K + by = R () b Y = ( + ) K + K + R Et ecución en Y que no e diferencil, e llm l ecución ubidiri del problem.si llmmo Q () = b ; l ecución ubidiri e trnform en Y = [( + ) K + K ] Q + RQ (6) En prticulr, i l condicione inicile on homogéne (K = K = ), l T de L de l olución del problem viene dd por Y = RQ Penndo l problem como un "cj negr" que d un repuet y nte un entrd r, en trnformd de Lplce Q = Y=R e l rzón entre l lid y l entrd. Se l llm función de trnferenci y depende ólo de lo coe ciente y b de l ecución. El último po pr reolver el problem e hllr y conocid Y Pr eo e neceitrí un inverión de l T de L, lo cul requiere inyectividd de L. Pueto que l T de L e de ne trvé de un integrl, do funcione que di ern en un conjunto nito de punto tendrán l mim trnformd. Pero ee e el único co. Do funcione con l mim trnformd coinciden eencilmente. No tenemo un fórmul de inverión, pero en l práctic l myorí de l funcione l que hbrá que clculr L erán funcione rcionle (mirr el miembro derecho de l ecución (6)). Como l inver de un trnformción linel, L e linel. De modo que por decompoición en frccione imple el problem de cálculo e reduce uno poco co. 2. Conideremo el iguiente problem que podrímo penr como un item mreorte in mortigución. < y y = t y () = y () = Se correponde con el problem del ejemplo nterior con = ; b = ; K = K = Undo lo reultdo y clculdo, Y = ( 2 ) que e un función rcionl. L ntitrnformd e puede bucr en tbl o con un progrm en el ordendor, pero l búqued erá má e ciente i primero e

9 Cálculo III 2 Trnformd de Lplce decompone Y () en frccione imple (prtil frction). Yo etoy undo el Mple que viene copldo l editor de texto con que ecriboscienti c Work Plce. + + = 3, I Lplce trnform of ( 2 ) 2( ) 2(+) 2 2 et t e t 2 En concluión, y = e t t + enh t Un iterción de l fórmul (4)(5) motrrá que, i Y = L [y] ; L y (n) () = n Y nx y (n j) () j (7) Obérvee que el egundo término en el miembro de l derech e un polinomio en de grdo n cuyo coe ciente etán formdo con l derivd de orden n de y en el origen. Un operdor linel de orden n con coe ciente contnte e fbric expen de un polinomio de grdo n; reemplzndo l potenci X n por l derivd de orden n D n. Si P (X) = X n + n X n + X + e el polinomio, P (D) = D n + n D n + D + e el operdor diferencil j= P (D) (y) = D n y + n D n y + Dy + y = = y (n) + n y (n ) + y + y Si plicmo (7), l T de L e clcul fácilmente obteniéndoe L [P (D) (y)] () = P () T () ; donde T () e un polinomio de grdo n cuyo coe ciente on función de lo dto inicile y () ; ; y (n) () Un problem linel de vlore inicile de orden n < P (D) (y) = r (t) y () = k ; ; y (n ) () = k n e convertirá por trnformción de Lplce en Y = T () P () + R () P () Reolver el problem e convierte en hllr ntitrnformd de funcione, much de ell rcionle. Por l linelidd de L ; l ntitrnformción de funcione rcionle e reduce l de frccione imple. En l próxim eccione derrollremo técnic útile en ete contexto. 3.4 Trlcione en t y en Trlcione en. No re erimo funcione clculd en Do fórmul muy encill etblecen qué cmbio en l función f produce un trlción de u trnformd F L [e t f (t)] () = F ( ) L [F ( )] (t) = e t f (t) 9 ()

10 Cálculo III 2 Trnformd de Lplce L egund fórmul e conecuenci de l primer y ét e un cálculo encillo Ejemplo. e t f (t) e t dt = e ( )t f (t) dt = F ( ). A prtir de l trnformd y clculd podemo etblecer l iguiente trnformd f (t) F () e t t n n! ( ) n+ e t co!t ( ) 2 +! 2 e t en!t! ( ) 2 +! 2 2. Solución de un problem de vlore inicile ocido un ocilción rmónic mortigud < y + 2y + 5y = y () = 2 y () = 4 Trnformndo Lplce e obtiene 2 Y (Y 2) + 5Y = o bien Y ( ) = 2; de donde Y = 2 = 2 + (+) 2 +4 (+) (+) 2 +4 En conecuenci, y = 2e t co 2t e t en 2t = e t (2 co 2t en 2t) ; un ocilción rmónic mortigud. Trlcione en t A per de que l de nición de L [f] ólo tom en cuent lo vlore f (t) pr t, l fórmul que de ne f puede, y de hecho í e l má de l vece, tener entido pr t <. Ci egurmente l trnformd de l -trlción de f no tendrá relción con l trnformd de f i l clculmo hciendo R f (t ) e t dt, porque etmo involucrndo lo vlore de f en el intervlo ( ; ) que on jeno l problem. Por ete motivo e impone truncr primero l fórmul que de ne f multiplicndo por un función nul pr t < y que vlg pr t. Et función e llm de lto o eclón unitrio, o función de Heviide < i t u (t) = [;) (t) = i t <

11 Cálculo III 2 Trnformd de Lplce Con ete rti cio, l trnformd de un trldd e reliz obre l función u (t ) f (t ). L fórmul que e obtienen on encill L [u (t ) f (t )] () = e F () L [e F ()] = u (t ) f (t ) Como en (), l egund e conecuenci de l primer y ét fruto de un cálculo imple. Con el cmbio de vrible t = ; u (t ) f (t ) e t dt = Ejemplo.. Clculr L h f (t ) e t dt = i e 3 L ide e clculr l ntitrnformd de 3 3 (9) f () e (+) d = e F () y depué ur l egund de l iguldde (9). Pr el primer objetivo e u el ejemplo 4. en l ección 3.2. L (t) = L (t) = 3 2 t2 Luego, e L 3 (t) = 3 2 u (t 3) (t 3)2 2. Hllr L [f] pr f dd por el iguiente grá co Lo primero e ecribir un formulción de f Entonce, 3. Clculr f (t) i Solución O bien, undo l función de Heviide. f (t) = 2u (t) 2u (t ) + u (t 2) en (t 2) F () = 2 F () = 2 2 2e 2e e e 2 + e 2 + f (t) = 2t 2u (t 2) (t 2) 4u (t 2) + u (t ) co (t ) < 2t i < t < 2 f (t) = i 2 < t < co t i t >

12 Cálculo III 2 Trnformd de Lplce Un pr de ejemplo má con ecucione diferencile obtenid de circuito eléctrico. Deberemo recordr l fórmul E R = Ri E L = Li E C = C q i (t) = q (t) 4. (RL) Encontrr i uponiendo que i (t) = pr t < y que e cierr el interruptor pr t = El PVI reult < Li + Ri = V i () = Trnformndo Lplce obtenemo Luego, LI + RI = V I = V L ( + R=L) Decompoición en frccione imple d I = V L=R L=R = V L + R=L R + R=L Con l técnic de ntitrnformción vit, i = V R e R L t 5. (LC) Encontrr i (t) con corriente y crg inicile nul i Suponer L = C = < t i < t < v (t) = i t > Pr plnter el PVI, tenemo en cuent que L = C =, < i + q = v (t) = t u (t ) (t ) i () = q () = 2

13 Cálculo III 2 Trnformd de Lplce Pr trnformr Lplce e tendrá en cuent que Entonce, Luego i = q =) I = Q q () =) Q = I + q () I + I = e 2 I = e = e 2 + ( 2 + ) = ( 2 + ) Ahor bien, por decompoición en frccione imple, En conecuenci, ( 2 + ) = Pero L (t) = co t =) L ( 2 + ) En de nitiv, Eto e, 2 + L (t) = co t ( 2 + ) e ( 2 + ) i (t) = co t + u (t ) [ co (t )] < co t i < t < i (t) = co (t ) co t i t > 3.5 Impulo unitrio. L de Dirc e ( 2 + ) (t) = u (t ) [ co (t )] El impulo e l integrl de l fuerz con repecto l tiempo. Un fuerz contnte plicd durnte un tiempo brevíimo que produzc un impulo unitrio deberá er de mgnitud grndíim. L función eclón no yudrá ecribirl f " (t) = " fu (t) u (t ")g =) f " (t) dt = Coniderremo como un función l límite pr "! de et itución, unque clrmente no hy un función que vlg en el y en culquier otro punto. El modelo mtemático correcto requiere entrr en l teorí de l ditribucione. Pero et función o ditribución tendrá un comportmiento bien de nido dentro de l integrl f (t) (t) dt = f () ; Conideremo l trnformd L [f " ] () = " 3 e " f (t) (t ) dt = f () = e " "

14 Cálculo III 2 Trnformd de Lplce De mner que, clculndo con l regl de L Hopitl, lim L [f e " "] () = lim "! "! Aceptdo que L [] () = pr >, i el impulo unitrio e plic en el intnte, de cuerdo con l fórmul (9) de trlcione en t, tendremo que L [ (t )] () = e Ejemplo Conideremo un item m - reorte mortigudo, con un impulo unitrio en el intnte t = (un mrtillzo). < L ecución ubidiri reult er = y + 3y + 2y = (t ) y () = y () = Y = e ; Y = Decomponiendo en frccione imple, ( + ) ( + 2) = + e ( + ) ( + 2) + 2 = L e t e 2t () Entonce, de cuerdo con l egund fórmul (9), y = L e (t) = u (t ) e (t ) e 2(t ) ( + ) ( + 2) 3.6 Derivción e integrción de l trnformd Si l función f cumple l condición de exitenci de trnformd (Teorem 4), e decir i f 2 M, l derivd de l función F () e puede clculr derivndo dentro del igno integrl. F () = d d f (t) e t dt = tf (t) e t dt () Pr juti cr et rmción e deberá probr l hipótei del teorem 2. cotción jf (t)j Me t ; 4 Dd l

15 Cálculo III 2 Trnformd de Lplce deberemo veri cr l cotcione del teorem 2 en cd intervlo (c; d) (; +). L convergenci bolut de R f (t) e t dt pr cd 2 (c; d) ; demá de er muy fácil, y fue vit en el teorem 4. El otro punto e obtener un myorción uniforme en vlor boluto del integrndo en el tercer miembro de (). > c implic tf (t) e t tf (t) e ct y tf (t) e ct dt = L [t jf (t)j] (c) ; cuy exitenci etá grntizd por el corolrio del teorem 4. Nótee que derivd de todo lo órdene on poible. Teorem 6. Si f 2 M entonce F 2 C (; ) y F (n) () = ( ) n L [t n f (t)] () Pero vmo reltr el reultdo pr derivd primer L [tf (t)] () = F () () L [F ()] = tf (t) Apliccione. L plicción de l primer de l iguldde () l funcione f (t) = co!t y f (t) = en!t. L [t en!t] () = d! d 2 +! = 2! 2 ( 2 +! 2 ) 2 (2) L [tco!t] () = d d 2 +! = 2! 2 2 ( 2 +! 2 ) 2 (3) Como hemo vito en l pliccione problem linele, e deeble ber clculr ntitrnformd de l frccione que precen en decompoición enfrccione imple. Lo reultdo obtenido (2)(3)ugieren u utilidd pr el cálculo de ntitrnformd de ( 2 +! 2 ) 2 ; ( 2 +! 2 ) 2 ; 2 ( 2 +! 2 ) 2 En ete punto hy que recordr que y bemo que L en!t () =! 2 +! = 2 +! 2 2 ( 2 +! 2 ) 2 (4) De (2) le directmente que L ( 2 +! 2 ) 2 = t en!t 2! 5

16 Cálculo III 2 Trnformd de Lplce Por otr prte, umndo o retndo (4) con (3) e reuelven l otr do 2 +! 2 ( 2 +! 2 ) 2 + 2! ( 2 +! 2 ) 2 = ( 2 +! 2 ) 2 ) (5) L 2 ( 2 +! 2 ) 2 = en!t + tco!t ; 2! 2 +! 2 2! 2 ( 2 +! 2 ) 2 ( 2 +! 2 ) 2 = L ( 2 +! 2 ) 2 2! 2 ( 2 +! 2 ) 2 ) (6) en!t tco!t! = 2! 2 Un mner de mirr eto reultdo e l iguiente L egund fórmul en () permite clculr l ntitrnformd de F cundo e conoce l ntitrnformd de F. be l pregunt Se puede clculr l ntitrnformd de F cundo e conoce l de F? Hblndo rudmente, i F = G, e buc un fórmul pr L R G Ante de penr en l condicione, l cuent e í Si F = L [g] y exite f = L [F ], deberí er F = L [tf (t)]. en conecuenci, el cndidto e f (t) = g (t) =t Pr plicr el reultdo nterior e neceit que g (t) =t 2 M Si g 2 M ; el problem con g (t) =t puede urgir en el origen, no pr t grnde. Teorem 7. Si g (t) 2 M y lim t! + jg (t) =tj = ` <, i F () = G () pr > y lim x! F (x) =, entonce L [F ] = g (t) g (t) o bien L () = F () (7) t t Demotrción L do condicione obre g egurn i que g (t) =t 2 M., tenemo que F () = Entonce, de cuerdo con (), llmndo F = L h i L () = G () ; > t g(t) t h g(t) t Conecuentemente, (F + F ) = G G = de donde F + F e contnte. Por último, mb funcione tienen límite nulo en el in nito, F por hipótei y F por er trnformd de un función de cle M (teorem 5 prte 2). Entonce F + F =, lo que egur que g (t) F () = F () = L () t Ejemplo. Encontrr Se oberv que d d ln +!2 = 2 L ln +!2 2! 2 = 3 +! ! 2 ( 2 +! 2 ) = ! 2 6

17 Cálculo III 2 Trnformd de Lplce Et expreión tiene ntitrnformd conocid. Se be que L = co!t y L = ; 2 +! 2 de donde L 2 2 = 2 (co!t ) 2 +! 2 E entonce de plicción el teorem 7 con F () = ln +!2 ; y g (t) = 2 (co!t ) Se concluye que 3.7 Convolucione 2 L ln +!2 = 2 ( co!t) 2 t Suele ocurrir que debmo ntitrnformr un función H que e producto de otr do funcione que í bemo ntitrnformr. E decir, e buc L [F G] cundo e conocen f = L [F ] y g = L [G] Indudblemente F () G () = f () e G () d Si recordmo hor l fórmul (9) reltiv trlcione en t, e G () = L [u (t ) g (t )] Entonce F () G () = f () u (t ) g (t ) e t dtd Si e puede invertir el orden de integrción, cuetión que dejmo pendiente, F () G () = = e t f () u (t ) g (t ) ddt = () Z t e t f () g (t ) d dt Como f y g on loclmente integrble, l expreión entre llve tiene entido y de ne un función de t Se l llm producto de convolución de f con g (f g) (t) = Z t f () g (t ) d (9) Ademá, i f; g 2 M, jf () g (t )j Me e (t ) = Me t. Luego j(f g) (t)j Mte t. Et cotción permite rmr, de cuerdo con l relción (3), que f g 2 M + Nótee hor que () e puede leer de l iguiente mner Eto e F () G () = L [(f g) (t)] () L (f g) = L (f) L (g) (2) L (F G) = L (F ) L (G) (2) 7

18 Cálculo III 2 Trnformd de Lplce Por último, l cotcione relizd motrron que l integrle iterd, ún tomndo vlor boluto del integrndo, llevn un vlor nito i e l clcul en el egundo de lo órdene en que fueron coniderd. Eto bt pr rmr que el cmbio de orden e legítimo, de cuerdo con el teorem 3. L operción de convolución recién de nid tiene l propiedde lgebric de un producto. L prueb qued como ejercicio.. f g = g f 2. f (g h) = (f g) h 3. f (g + h) = f g + f h Ejemplo.. Si f (t) = t y g (t) = co t; Z t f g (t) = (t ) co d = t = t en t en j t Z t Z t Et e un oción pr veri cr l iguldd (2). Z t co d co d = en d = co t L [ co t] () = 2 + = ( 2 + ) L [t] L [cot ] = = ( 2 + ) 2. L "función" tmbién dmite convolucione. (f ) (t) = Z t f () (t ) d = f (t) Eto e, ctú como unidd pr el producto de convolución. Y eo e bien nturl y que l trnformd de Lplce convierte convolucione en producto ordinrio y l unidd del producto de convolución debe er l ntitrnformd de l unidd del producto ordinrio. 3. Ecución linel de egundo orden con coefciente contnte y condicione inicile homogéne. Sbemo reolver pr un entrd r (t) de tipo prticulr (método de coe ciente indetermindo). < y + y + by = r (t) Trnformndo Lplce e obtiene y () = y () = b Y = R () Llmndo Q () = ( b) Luego l ecución ubidiri e Y = QR, que, llmndo q = L (Q), d y (t) = (q r) (t) = Z t r () q (t ) d

19 Cálculo III 2 Trnformd de Lplce 4. Un co prticulr del ejemplo nterior. Repuet de un item no mortigudo un ond cudrd. < y + 2y = r (t) = u (t) u (t ) y () = y () = Aquí Luego, Q () = ) q (t) = p 2 en p 2t y (t) = p Z t en p 2 (t ) r () d = 2 >< co p 2 (t ) t = co p 2t i t < 2 2 = > co p 2 (t ) = p p 2 2 co 2 (t ) co 2t i t > Entrd Slid 3. Funcione Periódic Un función p periódic e crcteriz por f (t + p) = f (t) Pr clculr u trnformd e prte el intervlo de integrción (; ) en ubintervlo de l longitud del período X Z (k+)p L [f] () = f (t) e t dt = f (t) e t dt Si en el intervlo [kp; (k + ) p] hcemo l utitución t = kp +, undo que por l periodicidd f (kp + ) = f (), k= kp L [f] () = X Z p e kp f () e d = Z p k= f () e d X k= e p k 9

20 Cálculo III 2 Trnformd de Lplce L um in nit e un erie geométric, fácil de evlur. Poniendo n = que (r ) n = r n+. Si jrj < ; nx r k ; e clro k= Por lo tnto, pr > ; lim r n+ n = lim n! n! r = r L [f] () = e p Z p f () e d Ejemplo. Trnformd de Lplce de un ond cudrd periódic. Supongmo que f etá dd por el iguiente grá co Se trt de un función de período 2 Z 2 Z f (t) e t dt = k e t dt = k e 2 Z 2 e t dt = k e 2 2e + = Entonce, como reult e 2 = + e e ; L [f] () = k e + e = k tnh 2 2

21 Cálculo III 2 Trnformd de Lplce El grá co de L [f] () con k = 5 y = 2 e ve í y = 5 tnh 3.9 Tbl. L ft g = (+) + 2. L fe t g = 3. L fen!tg =! 2 +! 2 4. L fco!tg = 2 +! 2 5. L fenh tg = L fcoh tg = < < < L fe t f (t)g = F ( ) L ff ( )g = e t f (t) L fu (t ) f (t )g = e F () L fe F ()g = u (t ) f (t ) L ftf (t)g = L ff ()g = F () tf (t). L ff ()g = t L ff ()g (t) 2