Notas sobre la representación macroscópica de las propiedades magnéticas de la materia

Transcripción

1 Notas sobe la epesentación acoscópica de las popiedades agnéticas de la ateia Intoducción: Los efectos agnéticos en el vacío poducidos po una espia de coiente a una distancia de la isa suficienteente ao que su diáeto, esultan indistinguibles de aquellos poducidos po un dipolo agnético cuo bao dipola sea ucho eno que, con la condición de que se veifique la siguiente elación: donde I : intensidad de coiente en la espia. S v : supeficie de la espia. q : intensidad de polo agnético. d : bao del dipolo. p : oento dipola agnético. v v I S p q d () La pesencia de un ateial agnético afecta el Capo agnético del edio que lo odea. Consideeos un espacio vació en el cual eiste un Capo de inducción agnética B v e intoducaos un too de ateial agnetiado tal coo se indica en la figua. Los efectos poducidos po el ateial en un punto A suficienteente alejado del iso, es deci a una distancia ucho ao que las diensiones del contono del ateial, odifican el capo pevio B en foa siila a la que se obsevaía si eistiea un oento dipola agnético ubicado en el luga del ateial. Si el ateial se divide en pates, cada una de éstas conseva esta popiedad en foa individual, coespondiendo a cada poción de ateia un oento bipola agnético. A edida que el punto A se aceca al ateial, la odificación en el capo agnético peviaente eistente en el punto puede concebise entonces coo la supeposición de los efectos poducidos po los oentos dipolaes de pequeños eleentos de voluen quo constituen el ateial. Dada la equivalencia indicada po la ec. (), estos oentos dipolaes pueden se epesentativos de pequeñas espias de coientes, dipolos agnéticos o oentos dipolaes intínsecos del ateial a nivel icoscópico. Los efectos de cada uno de estos odelos son indistinguibles a las

2 escala acoscópicas, pudiéndoselos utilia altenativaente según convenga paa la intepetación física del poblea. o ello, en foa geneal, a los efectos de analia las popiedades agnéticas de la ateia desde un punto de vista acoscópico, consideaeos el edio ateial coo epesentado po una distibución voluética de oentos dipolaes agnéticos. Siendo p v i el oento dipola agnético eleental, se define el vecto oento dipola agnético po unidad de voluen coo la sua vectoial de oentos dipolaes agnéticos eleentales de un pequeño eleento de voluen V, dividida po ese voluen: v li p v V V i i () La cantidad vectoial v popociona una descipción acoscópica copleta de la agnetiación intena del ateial en función de esta agnitud podán epesase los efectos poducidos po el ateial sobe el edio que lo odea. Los efectos agnéticos poducidos po las coientes de conducción en el vacío se epesan po edio de las siguientes ecuaciones. v B v (3) v v B J (4) La pesencia de un ateial agnetiado, hace necesaio copleenta las ecuaciones anteioes paa pode descibi el capo agnético tanto en el edio que odea al ateial, coo en el ateial iso. Estos efectos son epesentados, po funciones de v. A continuación se tata de descibi el copotaiento de los capos agnéticos paa el caso de que las fuentes que lo povocan sean las coientes de conducción J v un ateial agnetiado. aa el lo seá necesaio conoce las fuentes totales de otacional de divegencia del capo de inducción agnética B v. - El capo de inducción agnética B v agnetostática - Fuentes de otacional B v aa el caso en que solo están pesentes las coientes de conducción la epesión de otacional de B v es. o B J (4) Cuando se considea la pesencia de ateiales agnéticos debeá tenese en cuenta la eistencia de una distibución de voluen de oento dipola agnético. o

3 El oento dipola agnético puede intepetase coo elacionado con coientes acoscópicas, povocadas po la ipefecta cancelación de óbitas a escala atóica en la ateia agnetiada, que se denoinan coientes de agnetiación. Un odelo siplificado de ateia agnetiada es útil paa copende el concepto de coiente de agnetiación. Consideeos un too de esta ateia coo copuesto po coientes atóicas que ciculan en cicuitos ceados en el iso sentido. Si eiste una distibución unifoe de estas espias de coiente (figua ), lo cual es equivalente a deci que la agnetiación es unifoe, no habá ninguna coiente efectiva en el inteio del ateial dado que paa cada coiente atóica habá una inediataente contigua que la cancela. Si po el contaio la agnetiación no es unifoe la cancelación no seá absoluta, esultando una coiente equivalente neta tal coo se indica en la figua 3. Esta coiente es la denoinada coiente de agnetiación al igual que la coiente de conducción es fuente de otacional de B v, esultando así: B (J + J ) (5) o aa epesa el B en función del oento dipola agnético es necesaio establece la elación ente J aa ello se considean dos pequeños volúenes, contiguos petenecientes al inteio de un too de ateial agnetiado no unifoeente, tal coo se indica en la figua 4. El oento dipola agnético po unidad de voluen de los eleentos podán epesase coo: paa eleento : paa eleentos : p + V + téinos de oden supeio

4 La coponente en la diección de del oento dipola agnético p coespondiente al pie eleento seá: p v Utiliando la equivalencia ente el eleento dipola agnético una espia de coiente, epesado po la ec. (). esulta: paa el pie eleento: I p i paa el segundo eleento I p + La difeencia ente las coientes I e I esulta en una coiente neta en la diección del eje en la egión inteedia de los dos pequeños volúenes: I I I Si ahoa se considean dos eleentos de voluen contiguos sobe el eje, de igual anea que en el caso anteio esulta una coiente neta en la diección del eje, dada po: I La coiente total en la diección de estaá dada po I I + su densidad J seá: J Esta epesión se econoce coo una de las tes coponentes de un otacional cua epesión geneal es: J (6)

5 De esta epesión esulta que en una egión donde se poduca una discontinuidad de la agnetiación esultaá una coiente laina igual al cabio en la coponente tangencial de la agnetiación. Suponiendo una baa cilíndica unifoeente agnetiada, tal discontinuidad apaece en la supeficie líite del ateial, esultando una coiente supeficial de agnetiación. De las epesiones (5) (6) esulta que la epesión del otacional de B paa el caso de considea coientes de conducción la pesencia de ateial agnetiado seá: Fuente de divegencia de B B (7) J + La definición del capo de inducción agnética B, pate de considea los efectos de la inteacción agnética de coientes identificando un capo un capo de fueas. La fuea ente dos eleentos que llevan coientes (figua 5) está dada po la siguiente elación obtenida epeientalente: F dl I I 4π ( dl ˆ ) (8) La definición de B esulta de epesa la ecuación (8) coo: F I dl B donde F es el capo de fueas B capo de inducción agnética epesado po: B dl ˆ I 4π (9) La definición de B contepla coo fuente de capo las coientes, esultando líneas de capo continuas ceadas, es deci que no eisten fuentes de divegencia, lo cual se epesa po la ec. (3).

6 Al intoduci ateiales agnetiados la coiente de agnetiación equivalente, seá fuente del capo B, peo coo se indicó anteioente seá fuente de otacional no de divegencia, es deci que la coiente de agnetiación povocaá un capo de líneas continuas ceadas, con lo cual seguiá siendo válida paa este caso la epesión:. B () (3) La ec.(7) junto con la () desciben copletaente el capo B. Luego J definida po la ec.(6) da una descipción copleta del copotaiento agnético de la ateia po lo tanto puede eeplaase el edio agnético po la densidad de coiente equivalente J. 3.- El capo agnetiante H en agnetostática - Fuente de otacional de H (Ref, ) Al tata los pobleas de polaiación en edios elécticos, esulta conveniente sepaa el capo cuas fuentes son las cagas elécticas libes, de aquel cuas fuentes son las cagas libes ás las ligadas, esultando un capo de densidad de flujo eléctico D e capo eléctico E espectivaente. De igual anea, paa el caso de los capos agnéticos es conveniente sepaa del capo total, aquella pate cuo otacional povenga de las coientes de agnetiación. aa ello en agnetostática se define: esultando entonces de la ec. (6) que H () ( B ) H ( B ) J () Lo cual equivale a deci que en agnetostática la única fuente de otacional de H, la constituen las coientes de conducción, el edio agnetiado no intoduce fuente de otacional de H. H se suele llaa capo agnetiante poque paece ocasionado po fuentes que no dependen de las popiedades agnéticas del edio. eo J es sólo fuente de otacional de H, nada se ha dicho hasta aquí de sus fuentes de divegencia. Estas apaecen al considea la eistencia de polaiación agnética, coo se descibe a continuación.

7 Fuente de divegencia de H La ec. () puede escibise coo Dado que B, esulta: B + (3) H H De donde esulta que seá fuente de divegencia de H agnetiación. (4) la divegencia negativa de la Así pues el capo H queda enteaente deteinado po las ecs. () (4); fuentes de otacional son sólo las coientes de conducción (ec.), ientas que fuentes de divegencia povienen eclusivaente de la pesencia de ateial agnético (ec.(4)). o lo tanto puede tatase sepaadaente las contibuciones al capo H total de abos tipos de fuentes definiendo: H H + H (5) tal que H J H (6) H H (7) donde H es la coponente de H atibuible a J. H es la coponente de H atibuible a la pesencia del ateial agnético tavés de. a odeos ahoa intepeta, la ec. (7). Consideeos un too de ateial agnetiado el cual pesenta una distibución en voluen de oentos dipolaes agnéticos dada po. Coo otacional de H es nulo, el capo H podá se deivado de un potencial agnético escala V, H (8) V El potencial esultante de una distibución en voluen de oentos dipolaes es (ve Ref. ): V 4π ds dv

8 Con (') se indica que las integaciones se ealian sobe las coodenadas de las fuentes. Sustituendo ds ρ n ds q ds se obtiene: ; ρ V q ρ ds + dv 4π (9) Lo cual significa que la distibución en voluen de dipolos contibue con H al capo H, de igual foa que la sua de los efectos povocados po una densidad supeficial de caga agnética q ás una densidad voluética de caga agnética ρ. A una unidad de esta "densidad de caga agnética" se la denoina unidad de polo agnético. o lo tanto el copotaiento agnético del ateial queda copletaente descipto po las densidades de polos agnéticos ρ q pudiendo entonces eeplaase el edio agnético po esas densidades. 4.- Ecuaciones de la agnetostática Resuiendo, en agnetostática los efectos agnéticos de las coientes elécticas estacionaias de la ateia en eposo pueden descibise, altenativaente, po edio de uno de los capos B o H, definidos a pati de una de los siguientes dos sisteas de ecuaciones: Capo de inducción: B s Magnetiante: H divegencia (a) B (a) H ρ / oto (b) B ( J + J ) (b) H J fuentes equivalentes al ateial agnetiado (b) J (c) ρ A éstas ha que agega la llaada ecuación constitutiva, H ó B + ( B ) H Cualquiea de los dos sisteas de ecuaciones que se elija, iplica que, apate del capo J de las coientes de conducción puede especificase abitaiaente uno ( sólo uno) de los tes capos agnéticos involucados: B o H o. En el análisis desaollado hasta ahoa no ha sido necesaio aclaa cual de las tes ha de considease coo dado cuales coo deivados. En lo que sigue se pesenta un ejeplo paa ilusta la aplicación de las elaciones encontadas. En él se suponen conocidos J de ellos se deducen B H. Se adviete sin ebago que, coo se eplicaá ás adelante, cuando se tata de ateiales agnéticos eales eiste una

9 elación funcional adicional ente los tes capos agnéticos que ipone ota ecuación estictiva a cualquiea de los dos sisteas altenativos pesentados. Esa elación funcional es una caacteística intínseca de las popiedades agnéticas del ateial. Así pues, en la páctica no puede considease ninguno de los tes capos agnéticos coo independiente. Dados J, la distibución espacial de la ateia pesente sus popiedades agnéticas paticulaes quedaan copletaente definidos los capos agnéticos B o H o Ejeplo : Ián eanente Sea un too de ateial agnetiado que pesenta una agnetiación no eistiendo coientes de conducción cecanas. Supongaos que se tata de una baa cilíndica con agnetiación unifoe en diección aial, tal coo la indicada en la figue 6a. Las fuentes de capo son: J ; con. Reeplaando estas condiciones en las epesiones altenativas de B H B H v B H B H B H + esultaán: La única fuente de B seá el otacional de que toa valoes donde se poduce una vaiación de la coponente tangencial de. En este caso se poduce una discontinuidad de esta coponente tangencial en la supeficie de la baa, paalela a la diección de la agnetiación. Sóo sobe esta supeficie tendeos Tal coo se indicó anteioente esta vaiación de poduce el iso efecto que el de una coiente de agnetiación equivalente sobe la supeficie indicada, de valo: J () o lo cual, a los efectos de la deteinación de B, el ateial agnético puede epesentase po una distibución de coiente supeficial con densidad J tal coo se indica esqueáticaente en la figua 6.b. o ota pate, en lo que le efiee a H, la única fuente seá la de divegencia, que es popocional a la divegencia negativa de. Este efecto se pesenta en las supeficies pependiculaes a, esultando equivalente al de una densidad de caga agnética apaente q

10 igual a la coponente noal cuo signo es positivo cuando las líneas de llegan a la supeficie negativo cuando salen de ella. Esta densidad de caga equivalente se uesta en la figua 6.b. En base a estas consideaciones esulta conveniente eeplaa el ateial agnetiado po una coiente de agnetiación equivalente paa deteina B po una densidad de caga agnética equivalente paa deteina H. El capo B esultaá coo el capo de un solenoide con densidad de coiente J ; este capo se gafica en la figua 7. El capo H esulta coo el capo de dos placas paalelas de diensiones finitas con densidad de caga supeficial q (análogo al capo eléctico de un capacito de placas paalelas con efecto de bode). El capo H se gafica en la figua 8.

11 o supuesto, aunque B H han sido deivados utiliando difeentes equivalentes del ateial agnetiado, la ecuación constitutiva B H + se cuple necesaiaente, pues es una definición. Obsévese que los Capos B H así deteinados pesentan la siguiente vinculación: aa el espacio eteno al ateial, donde v, esulta: B H Los Capos B H son idénticos en foa están elacionados po la constante (ve figuas 7 8). -aa el inteio del ateial H ( B ) esultando de una coposición vectoial de los capos B Esta coposición se esqueatia en la figua 9. indicados en las figuas 7.a 8.

12 5.- Caacteística de agnetiación de los ateiales Coo se dijo anteioente, los ateiales agnéticos eales iponen una elación funcional ente B, H en su seno, que es caacteística del ateial. Esta elación se puede escibi sibólicaente en foa iplícita ediante alguna de las siguientes epesiones: f ( B, H ) f ( H, ) f ( B, ) De las tes, las dos pieas son las ás fecuenteente utiliadas cualquiea de ellas epesa una vinculación funcional ente dos capos vectoiales que puede pesenta, según el ateial, difeentes gados de coplejidad: desde una siple elación de popocionalidad, hasta elaciones alinéales de tipo tensoial. Un tataiento totalente geneal seía ecesivaente coplicado, po ello nos liitaeos a considea sólo los casos de ao ipotancia páctica Mateiales-agnéticaente isotópicos lineales- En estos ateiales la caacteística de agnetiación es del tipo χ H (6) Donde es una cantidad escala adiensional llaada susceptibilidad agnética. Su valo 5 8 absoluto es genealente u pequeño (, del oden de... ). El ateial se llaa paaagnético si es positiva diaagnético si es negativa. Si eliinaos ente las ecuaciones (3) (6) encontaos que la caacteística de agnetiación del ateial tabién puede epesase coo coo: B H (7) (3) (4) (5) Donde + χ se denoina peeabilidad agnética elativa del ateial, al igual que χ, tabién es una agnitud escala adiensional. Si cobinaos ahoa las ecs. () () con la (7) eliinando, altenativaente B H, obtendeos epesiones difeenciales copletas de abos capos en la foa: Capo de inducción: B s Magnetiante: H divegencia B (8a) H (9a) oto B H J (9b) J (8b)

13 A iguales esultados se llega, aunque en foa ás laboiosa, si en las ecs. () () se eliina diectaente, utiliando la ec. (4). Debe insistise en que abos sisteas de ecuaciones constituen descipciones difeenciales copletas altenativas de la agnetostática, cua solución (el capo B o H esultante) dependeá sólo de las condiciones de contono paticulaes del poblea, es deci, de su geoetía, de las popiedades agnéticas de la ateia en todos los puntos del espacio, intepetadas po, del capo de coientes estacionaias ipuesto J. No cabe duda que las ecs. (8) (9) pesentan una llaativa sencille foal. eo no debeos engañanos. Esta sencille es apaente pues sintetian una fenoenología física cuas anifestaciones son casi siepe tan coplejas que la solución analítica de las ecuaciones difeenciales planteadas es aa ve posible, aún paa geoetías u sencillas. Obsévese que apaece bajo el signo de deivación espacial, a sea coo divegencia o coo oto, Aunque los cuepos de ateial agnético que se hallen pesentes sean copletaente hoogéneos, con constante en su seno, en las egiones vacías del espacio en la ateia agnetiable seá ; de odo que la vaiación de en las supeficies líites tendá, natualente, una influencia decisiva sobe la solución final de las ecuaciones difeenciales planteadas. o ello la solución de los pobleas pácticos de agnetostática son en geneal difíciles se coeten a enudo guesos eoes al tata de siplificalos. Las dificultades que coentaos se pecibián ejo analiando el ejeplo del ián peanente cilíndico pesentado anteioente. En él había sido dado, esultando las configuaciones de los capos B H que ilustan las figuas 7 8. La ecuación constitutiva que liga los tes capos B H es vectoial, en el inteio del ián, salvo a lo lago de su eje, las diecciones de los tes no son coincidentes. No puede en consecuencia establecese una elación escala ente dos de los capos al estilo de las ecs. (6) ó (7). Es as, evidenteente no eiste una elación funcional iplícita genéica del tipo de las ecs. (3) a (5) que sea valida en todos los puntos del ián. Se debe intepeta que el ateial de que tal ián estaía foado debe vaia su caacteística agnética punto a punto de odo que esulte un capo unifoe. De as está deci que los ateiales eales están u lejos de copotase de tal anea. Invesaente, si po ejeplo fijáaos una deteinada elación funcional ente H unifoeente válida en toda la baa agnetiada (ateial agnéticaente hoogéneo), ni seá unifoe, ni B v ni H seán tan fácilente calculables coo en el ejeplo. Coo se ve, el ejeplo es "ieal", pues fue elegido po su "sencille". En cabio la "ealidad" es aa ve "sencilla", aunque lo paeca. Algo ás paecido a lo que en vedad sucede se esqueatia en la figua.

14 5..- Mateiales agnéticaente isotópicos alineales Son ateiales típicos de esta clase los llaados feoagnéticos, cua caacteística agnética es del tipo: B f(h) con B H Es deci, que los capos B H ( tabién ) tienen en todo punto igual diección que sus ódulos B, H tienen una elación funcional alineal, la cual ni siquiea es en geneal epesable po fóulas ateáticas sencillas, po lo que es usual pesentala en foa de cuvas o tablas deteinadas epeientalente. o siilitud con la ec. (7) válida paa ateiales con caacteística agnética lineal, es fecuente escibi en el caso alineal: B ( H ) H donde ( H ) es una agnitud escala adiensional que es función del ódulo de H. Utiliando ( H ) en las ecs. (8) (9) puede foaliase la epesión difeencial de los capos, peo las foulas esultantes no apotan ao claidad conceptual no ofecen ventajas pácticas en su aplicación. Es po ello páctica coún utilia una foa ita en que apaecen tanto B coo H. Esto es: B H J B f H con B H ( ) Aquí debe intepetase f(h) en foa genéica, siendo po supuesto f(h) ( H ) H ausencia de ateial agnetiante. f en Al utilia esta foa de las ecuaciones difeenciales de la agnetostática, debe cuidase no olvida que los capos B H son descipciones altenativas equivalentes. Ninguno de ellos es causa o efecto del oto. Si se los usa a abos es que, po aones pácticas, a veces es ás sencillo tabaja con uno que con el oto o, coo en este caso, con abos a la ve.

15 5.3.- Ejeplo : Anillo de ateial isotópico agnetiado con aollaiento de ecitación unifoeente distibuido. Consideeos un anillo de ateial isotópico (po ej. Hieo) sobe el cual está aollada una bobina con N vueltas contiguas, ecoidas po una coiente estacionaia I. Este caso puede idealiase consideando que la coiente cicula en una láina supeficial adheida alededo del anillo, con una densidad lineal de coiente cuo odulo debe veifica la elación π J NI donde es la distancia ente un punto de la supeficie el eje del anillo, tal coo se indica en la figua. En esta isa figua puede notase la diección de J en distintos puntos sobe la supeficie del anillo, tangencial al contono de la sección tansvesal del anillo. o el tipo de sietía que se pesenta, las líneas de capo, tanto de B H coo de, seán cicunfeencias concénticas. No eistián entonces puntos de divegencia paa ninguno de ellos. En paticula el capo H quedaá entonces definido po: H H J ientas que a B le coesponde B B J + A estas ecuaciones habá que agega la caacteística de agnetiación del ateial, que vincula con B. Evidenteente es ucho ás fácil en este caso esolve H, a que la epesión difeencial depende sólo de J no depende en absoluto del ateial que constue el anillo. Dicho de ota anea, no eiste densidad de polos agnéticos equivalentes ρ en ninguna pate del anillo a que H en todo el espacio.

16 Una ve conocido H se podán enconta B en función de H basándose diectaente en la caacteística agnética del ateial, aunque ésta sea alineal. Este tipo paticula de sietía es el único caso en que no ha contibución alguna del ateial agnetiable al capo H. Y es justaente po este otivo que esta configuación se utilia paa deteina epeientalente la cuva de agnetiación de los ateiales feoagnéticos. Volviendo al caso eal, sea NI la fuea agnetooti del aollaiento unifoeente distibuido; el capo que cuple con la condición H J puede obtenese la integal de Apee. Consideando la sietía del caso, el capo H tendá valo constante sobe cicunfeencias con centos en el eje del anillo. Si el caino de integación se toa sobe una de estas cicunfeencias con < i (caino en aie) esultaá: po la condición de sietía seá H. π H d Si el caino de integación se toa en el inteio del ateial con un valo copendido ente i, esulta: Con π H d NI donde H NI π H las caacteísticas agnéticas del ateial F( H, B) B () /o (). El capo esultante se gafica en la figua. ó F( H, ) se obtienen Ejeplo 3 Anillo de ateial agnetiado con aollaiento de ecitación concentado En el caso anteio, el hecho de que el capo H poducido po el aollaiento eteno no tenga coponentes pependiculaes a la supeficie del anillo se taduce en que no eiste densidad supeficial de caga agnética aa el caso del aollaiento concentado (figua 3.a el capo poducido po tal aollaiento en el vacío es de tal foa que si intoducios el anillo de hieo, las líneas de capo incidián

17 sobe su supeficie con un cieto ángulo, indicativo de una coponente pependicula, de sobe la supeficie del anillo. Esto equivale a una distibución de caga agnética distibuida no unifoeente en el anillo, ostada esqueáticaente en la figua 3.b. Esta caga supeficial es fuente de un capo H tal que disinue el poducido po la coiente etena en el luga donde está ubicado el aollaiento ecitado lo auenta en el lado opuesto del anillo. El esultado es que el capo H que apaece en el inteio del anillo es casi unifoe su agnitud es apoiadaente igual a la que eiste cuando se lo ecita con un aollaiento distibuido unifoeente de igual valo de f... Esto peite apoia los cálculos de capo en le anillo de hieo con aollaiento concentado con aquellos obtenidos consideando el aollaiento distibuido unifoeente, aunque debe queda clao que no son las isas las fuentes de capo que apaecen en uno oto caso Ejeplo 4: Electoián En el electoián se supeponen los efectos de una coiente de conducción etena el del ateial agnetiado. aa tal caso las fuentes de capo seán J Las ecuaciones de capo esultan con B H B J + H J F ( H, ) (o cualquiea de sus equivalentes)

18 De la isa anea que paa el caso del ián peanente, la ateia agnetiada puede se eeplaada po una coiente de agnetiación a una densidad supeficial de caga agnética equivalentes. aa halla B H sepaaos los efectos de la coiente de conducción los de la ateia agnetiada, coponiéndolos a posteioi paa halla los capos totales. Si se denoinan con B H los capos povocados po la coiente de conducción con B H los debidos a la ateial tendeos: B B + B H H + H Con B B J Con H H J H ; H B H F B H (o cualquiea de sus equivalentes) ( ), Así los capos B H seán capos de un solenoide con densidad de coiente J, siendo la elación ente ellos B H Los capos B H seán del iso tipo que los del ián peanente tal coo se gaficaon en las figuas 7 8 espectivaente. Las suas vectoiales B B de H H Conclusiones daán los capos B H espectivaente..- La epesentación, acoscópica de las popiedades agnéticas de la ateia puede descibise totalente a tavés, del oento dipola agnético po unidad de voluen..- Dos funciones difeenciales de este oento dipola, su otacional su divegencia, peiten epesa individualente las fuentes de los capos agnéticos B H debidas a la ateia agnetiada. 3.- El conociiento la individualiación de las fuentes que contibuen a los capos peite analia en foa sisteática distintos casos típicos, copendiendo las causas que deteinan el copotaiento de los capos B H cuando ha ateia agnetiada. Refeencias I- W.K.H. anofsk, M. hillips: "Classical Electicit and Magnetis". Editoial Addison - Wesle ublishing Copan. Inc. Segunda Edición, 96. II -. Haond: "Electoagnetiso aplicado". Editoial Labo. Bacelona, 976.