Transparencias de MATEMÁTICAS. Gabriel Soler López

Transcripción

1 Trnsprencis de MATEMÁTICAS Gbriel Soler López Documento compildo con L A TEX el 11 de enero de 2012

2 Cpítulo 7 Repso del cálculo diferencil de un vrible 1. Introducción los números reles En este tem se estudi l continuidd y l diferencibilidd de funciones reles de vrible rel. Conviene por lo tnto, repsr ls propieddes del conjunto de los números reles. Y sbemos que el conjunto de los números reles es un cuerpo, pero demás stisfce otrs propieddes que se utilizn en el desrrollo del cálculo diferencil Los números reles son un cuerpo que complet los números rcionles Q El siguiente ejemplo sencillo muestr l necesidd de completr los números rcionles. Ejemplo 7.1. L longitud de l digonl del cudrdo que sigue no se puede medir con un número rcionl. Sbéis demostrr que 2 no es rcionl? Si 2 fuer rcionl existirín números enteros y b tles que: 2 = b, demás se pueden elegir y b primos entre sí, es decir, se pueden elegir de mner que l frcción está simplificd. 1

3 1 2 1 Elevndo l cudrdo l expresión nterior se tiene: 2 = 2 b 2 2b2 = 2 Así que el número 2 es pr y tmbién debe ser pr, es decir = 2m pr cierto número entero m. Por lo tnto: 2b 2 = 4m 2 b 2 = 2m 2. De lo nterior se tiene que b 2 es pr y por lo tnto b tmbién es pr. Pero esto es un contrdicción con el hecho de que y b sen primos entre si. 2. Propieddes del conjunto de los números reles R 2.1. Propieddes lgebrics Los números reles son un cuerpo, es decir, stisfcen los siguientes xioms pr culesquier números reles x, y y z: Axiom 1. L sum es conmuttiv: x + y = y + x. Axiom 2. L sum es socitiv: x + (y + z) = (x + y) + z. Axiom 3. El número rel 0 verific x + 0 = x (0 es el elemento neutro de l sum). Axiom 4. Existe un número denotdo por x tl que x + ( x) = 0. Axiom 5. El producto es conmuttivo: x + y = y + x. Axiom 6. El producto es socitivo: x + (y + z) = (x + y) + z. 2

4 Axiom 7. El número rel 1 verific x 1 = x (1 es el elemento neutro del producto). Axiom 8. Existe un número denotdo por x 1 tl que x x 1 = 1. Axiom 9. Se verific l propiedd distributiv del producto respecto l sum: x (y + z) = x y + x z. Ejercicio 7.2. Usndo los xioms demostrr: 1. Si dos elementos x, y R verificn que x + y = y, entonces x = Si dos elementos x, y R verificn que x y = y, entonces x = Si x + y = 0 entonces y = x. 4. Ddos, b R, l solución de l ecución + x = b es x = ( ) + b 2.2. El orden en R Definición 7.3 (Relción de orden). Definimos en el conjunto de los números reles l relción de l siguiente form: b x R + {0} tl que + x = b Proposición 7.4. L relción de orden nterior verific ls siguientes propieddes: Reflexiv: pr todo número rel x se verific x x. Antisimétric: pr culesquier números reles, b si b y b entonces = b. Trnsitiv: pr culesquier números reles, b, c, si b y b c entonces c. Orden totl: pr culesquier, b R siempre se tiene que o bien b o bien b. Proposición 7.5 (El orden y l ritmétic). Ddos, b, c, d R, se tiene: 1. Si b entonces + c b + c. 2. Si b y c > 0 entonces c bc. 3. Si b y c < 0 entonces c bc. 4. Si b y c d entonces + c b + d. 3

5 2.3. Densidd de Q y de I = R\Q en R Teorem 7.6. Si x, y R, x < y, existe r Q tl que x < r < y. Teorem 7.7. Si x, y R, x < y, existe i I tl que x < i < y Principio del encje Cntor Dd un sucesión de intervlos [ n, b n ] tles que: 1. n n+1, 2. b n b n+1, 3. lím n (b n n ) = 0, entonces existe un único número rel r tl que {r} = n N[ n, b n ] Observción 7.8. Este principio tiene grn importnci pr probr, por ejemplo, el teorem de Bolzno. 3. Axiom del supremo Definición 7.9. Ddo un conjunto A R, se dice que el número R es un cot superior del conjunto A si se verific que x pr todo x A. Ddo un conjunto A R, se dice que el número b R es un cot inferior del conjunto A si se verific que x b pr todo x A. Si un conjunto tiene un cot superior se dice que está cotdo superiormente. Si un conjunto tiene un cot inferior se dice que está cotdo inferiormente. Si un conjunto está cotdo superior e inferiormente se dice que está cotdo. L menor de ls cots superiores de un conjunto se llm supremo del conjunto. L myor de ls cots inferiores de un conjunto se llm ínfimo del conjunto. Si el supremo de un conjunto está dentro del conjunto entonces se llm tmbién máximo del conjunto. 4

6 Si el ínfimo de un conjunto está dentro del conjunto entonces se llm tmbién mínimo del conjunto. Ejemplo Pr el conjunto (1, 7] tenemos: 8 10 y 7 son cots superiores del conjunto. 7 es el supremo y tmbién el máximo del conjunto. 1 es el ínfimo del conjunto pero no existe el mínimo. Completitud de R. R es un cuerpo completo, es decir, culquier conjunto cotdo superiormente tiene un supremo. Observción El conjunto Q no es completo porque si tommos el conjunto A = {r Q : r 2} se tiene que está cotdo superiormente por ejemplo por 2, pero no tiene supremo en Q Límites de funciones Definición 7.12 (Límite lterl por l derech). Se dice que el límite de l función f : (, b) R R por l derech en el punto x 0 es l y se denot por lím x x + 0 existe δ > 0 tl que si x (x 0, x 0 + δ) entonces f(x) l < ɛ. f(x) = l si pr todo ɛ > 0 Definición 7.13 (Límite lterl por l izquerd). Se dice que el límite de l función f : (, b) R R por l izquierd en el punto x 0 es l y se denot por lím x x 0 existe δ > 0 tl que si x (x 0 δ, x 0 ) entonces f(x) l < ɛ. f(x) = l si pr todo ɛ > 0 Definición 7.14 (Límite). Se dice que el límite de l función f : (, b) R R en el punto x 0 es l y se denot por lím x x0 f(x) = l si pr todo ɛ > 0 existe δ > 0 tl que si x (x 0 δ, x 0 +δ) entonces f(x) l < ɛ. Proposición Dd un función f : (, b) R son equivlentes los dos prtdos siguientes: 5

7 1. Existe lím x x0 f(x) y es igul l, 2. existen los límites lím f(x) y lím x x + 0 x x 0 f(x) y son igules l. Ejemplo Dd l función x + 1 si x 1 f(x) = x + 2 si x 1, se tiene: 1. lím f(x) = 2, y que pr todo ɛ > 0 tomndo δ = ɛ se tiene que si x (1, 1 + δ) x 1 + entonces f(x) 2 = x = x 1 = x 1 < 1 + δ 1 = δ = ɛ. 2. lím f(x) = 3, y que pr todo ɛ > 0 tomndo δ = mín{ɛ, 1 } se tiene que si x (1 δ, 1) x 1 2 entonces f(x) 3 = x = x 1 = 1 x (1) y como 1 δ < x < 1 entonces 1 < x < δ 1 y sumndo 1 en l desiguldd Ahor usndo ls ecuciones 1 y 2 tenemos: 0 < 1 x < δ. (2) f(x) 3 < δ = mín{ɛ, 1 2 } ɛ, con lo que qued probdo que lím f(x) = 3. x 1 3. lím x 1 f(x) no existe y que los límites lterles son diferentes. 4. Continuidd Definición 7.17 (Función continu en un punto). Se f : (, b) R un función y x 0 (, b), decimos que f es continu en x 0 si y sólo si: pr todo ɛ > 0 existe δ > 0 tl que si x (x 0 δ, x 0 + δ) entonces f(x) (f(x 0 ) δ, f(x 0 ) + δ). Not: x (x 0 δ, x 0 + δ) es equivlente x x 0 < δ. 6

8 Proposición Se f : (, b) R un función y x 0 (, b), entonces son equivlentes: 1. L función f es continu en el punto x 0, 2. f(x 0 ) = lím x x0 f(x). Definición 7.19 (Función continu). Se f : (, b) R, diremos que es continu si es continu en todos sus puntos. Definición 7.20 (Función discontinu en un punto). Se f : (, b) R, diremos que es discontinu en x 0 si no es continu en el punto x 0. Definición 7.21 (Función discontinu). Se f : (, b) R, diremos que es discontinu si es discontinu en lguno de sus puntos Tipos de discontinuidd Dd un función f(, b) R y x 0 (, b), distinguiremos tres tipos de discontinuiddes. Discontinuidd evitble. f present un discontinuidd evitble en el punto x 0 si: lím f(x) = lím x x + 0 x x 0 f(x) f(x 0 ). Discontinuidd de primer especie o de slto. f present un discontinuidd de slto en el punto x 0 si: lím f(x) lím x x + 0 x x 0 f(x). Discontinuidd de segund especie o esencil. f present un discontinuidd esencil en el punto x 0 si no existen o son infinitos uno o los dos límites lterles. 7

9 4.2. Teorems reltivos funciones continus Teorem 7.22 (Weierstrss). Tod función f(x) continu en un intervlo cerrdo [, b] dmite un máximo y un mínimo (bsoluto) en [, b]. Teorem 7.23 (Bolzno). Si un función f(x) es continu en un intervlo cerrdo [, b] y se cumple que f()f(b) < 0 entonces existe c (, b) tl que f(c) = Derivbilidd de funciones reles de vrible rel Definición 7.24 (Derivd de un función en un punto). Dd un función f : (, b) R y c R se define l derivd de f en el punto c como: f f(c + h) f(c) (c) = lím. h 0 h Si un función f es derivble en todos sus puntos entonces diremos que l función es derivble. Proposición 7.25 (Propieddes de l derivd). Dds funciones derivbles f, g : (, b) R se tiene: (f + g) (c) = f (c) + g (c). (f g) (c) = f (c)g(c) + f(c)g (c). 8

10 Si k es un constnte (kf) (c) = kf (v). ( Si g(c) 0 entonces f g ) (c) = f (c)g(c) f(c)g (c) f(c) 2. Si h = f g entonces h (c) = f (g(c))g (c). Si f es invers de g, es decir, si f g = g f = Id entonces g (x) = 1 f (g(x)). Proposición 7.26 (Alguns derivds de funciones concrets). Si f : (, b) R es un función derivble entonces: (sen x) = cos (x) (cos x) = sen (x) (log x) = 1 x (tn x) = 1 + tn 2 (x) = 1 cos 2 (x) ( x ) = x log (e x ) = e x (rcsen x) = 1 1 x 2 (rc cos x) = 1 1 x 2 (rctn x) = 1 1+x 2 Teorem 7.27 (Relción entre derivbilidd y continuidd). Si l función f(, b) R es derivble en el punto c (, b) entonces es continu en dicho punto Teorems reltivos funciones derivbles Teorem 7.28 (Rolle). Se f : [, b] R un función continu en [, b] y derivble en (, b). Si f() = f(b), existe l menos un punto α (, b), tl que f (α) = 0. Teorem 7.29 (Del vlor medio de Lgrnge). Se f : [, b] R un función continu en [, b] y derivbles en (, b). Entonces existe l menos un punto α (, b), tl que f(b) f() b = f (α). Teorem 7.30 (Del vlor medio de Cuchy). Sen f, g : [, b] R funciones continus en [, b] y derivbles en (, b). Entonces existe l menos un punto α (, b), tl que f(b) f() g(b) g() = f (α) g (α). Teorem 7.31 (Regl de L Hôpitl). Sen ls funciones f, g : [, b] R derivbles en un entorno del punto c (, b) y tles que ls derivds no se nuln simultánemente en ningún punto de dicho entorno, slvo en c. Si mbs tienden simultánemente 0 (o infinito) cundo x tiende c, se verific: f(x) lím x c g(x) = lím f (x) x c g (x). 9

11 5.2. Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos Teorem 7.32 (Crecimiento y decrecimiento). Se f : (, b) R un función derivble. L función f es creciente en (, b) si y sólo si f (x) 0. L función f(x) es decreciente en (, b) si y sólo si f (x) 0. Teorem 7.33 (Crecimiento y decrecimiento estricto). Se f : (, b) R un función derivble. Si f (x) > 0 pr todo x (, b) entonces f es estrictmente creciente en (, b). Si f (x) < 0. pr todo x (, b) entonces f es estrictmente decreciente en (, b). Teorem 7.34 (Extremos). Se f : (, b) R un función derivble n veces en el punto c (, b) y tl que f (c) = f (c) = = f (n 1) (c) = 0; f (n) (c) 0. Entonces, si n es pr y f (n) (c) < 0, l función present un máximo reltivo en c. Si n es pr y f (n) (c) > 0, l función present un mínimo reltivo en c Concvidd, covexidd y puntos de inflexión Definición 7.35 (Convexidd). Se dice que l función f : (, b) R es convex en el intervlo (, b) si pr culesquier x 1 y x 2 de (, b), se tiene que el segmento rectilíneo que une los puntos (x 1, f(x 1 )) y (x 2, f(x 2 )) qued por encim de l gráfic de f. Figur 7.1: Ejemplo de función convex Definición 7.36 (Concvidd). Se dice que l función f : (, b) R es cóncv en el intervlo (, b) si pr culesquier x 1 y x 2 de (, b), se tiene que el segmento rectilíneo que une los puntos (x 1, f(x 1 )) y (x 2, f(x 2 )) qued por debjo de l gráfic de f. 10

12 Figur 7.2: Ejemplo de función cóncv Teorem Se f : (, b) R un función dos veces derivble. Entonces: 1. Si f (x) > 0 en (, b) entonces f es convex en (, b). 2. Si f (x) < 0 en (, b) entonces f es cóncv en (, b). Definición 7.38 (Punto de inflexión). Un función f : (, b) R se dice que present un punto de inflexión en c (, b) si en dicho punto ps de convex cóncv o vicevers. Teorem Se f : (, b) R un función que tiene un punto de inflexión en c, entonces f (c) = 0. Est condición es necesri pero no suficiente. Teorem Se f : (, b) R un función derivble n veces en c (, b) y tl que: f (c) = f (c) = = f (n 1) (c) = 0 y f (n) (c) 0. Entonces, si n es impr l función f present un punto de inflexión en l bscis c Representciones gráfics de funciones El estudio y l representción gráfic de un función y = f(x) se suele relizr siguiendo el siguiente orden pr determinr: 1. Dominio de l función. 2. Puntos de corte con los ejes de coordends. 3. Simetrís respecto del eje 0Y (quells funciones que verificn f(x) = f( x) pr todo x, se llmn funciones pres) y respecto del eje 0X (quells funciones que verificn f(x) = f( x) pr todo x, se llmn funciones impres). 11

13 4. Zons de crecimiento y decrecimiento. 5. Máximos y mínimos. 6. Zons de concvidd y convexidd. 7. Puntos de inflexión. 8. Asíntots. 6. Aproximción locl de un función 6.1. Introducción Ddo un polinomio de grdo n, P n (x), es posible desrrollrlo en potencis de x y escribirlo de l form: P n (x) = (x ) + 2 (x ) n (x ) n Si derivmos sucesivmente el polinomio obtenemos: P n(x) = (x ) (x ) 2 + n n (x ) n 1 P n (x) = (x ) + 4 3(x ) n (n 1) n (x ) n P n (n) (x) = n! n Si tommos x = en ls expresiones nteriores se obtienen ls siguientes igulddes: P n () = 0, P n() = 1, P n () = 2 2, P n () = 3 2 3, , P n (n) () = n! n Despejndo los vlores de i y sustituyendo en P n (x) tenemos: P n (x) = P n () + P n() 1! (x ) + P n () 2! (x ) P n (n) n! () (x ) n 12

14 7. Desrrollo de Tylor de un función Pregunt. Si tenemos un función rel de vrible rel f que dmite derivds hst el orden n + 1 en el punto x = Es posible dr un expresión similr l nterior pr ell? Respuest. L iguldd f(x) = f() + f () 1! (x ) + f () 2! (x ) f (n) () (x ) n n! no es ciert porque si lo fuer, f serí un polinomio y no tiene por qué serlo. Aunque l iguldd nterior no se ciert sí es posible sber cuál es l diferenci entre el miembro de l izquierd y el de l derech. Esto es importnte porque si dich diferenci es pequeñ podremos utilizr un polinomio pr proximr l función f. Fijmos en lo que sigue un función f rel y de vrible rel, n + 1 veces derivble en el punto x =. Definición 7.41 (Polinomio de Tylor y Mc-Lurin). El polinomio P n (x) = f() + f () 1! (x ) + f () 2! (x ) f (n) () n! (x ) n recibe el nombre de Polinomio de Tylor (o desrrollo de Tylor) de orden n de l función f en el punto. Si = 0 entonces este polinomio tmbién se llm Polinomio de Mc-Lurin (o desrrollo de Mc-Lurin) de orden n de l función f. Definición 7.42 (Resto de orden n). El resto de orden n de l función f en el punto es: R n+1 (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x )n+1, con ξ (, x). Teorem 7.43 (Tylor). Se verific l iguldd: f(x) = P n (x) + R n+1 (x) Definición 7.44 (Función o((x ) n )). Un función rel de vrible rel g se dice que es un o((x ) n ) (o pequeñ de (x ) de orden n) si verific: lím x g(x) (x ) n = 0 13

15 Teorem R n+1 (x) es un o((x ) n ), es decir: R n+1 (x) lím x (x ) = 0. n Ejercicio Clcul el desrrollo de Mc-Lurin de orden n de ls funciones e x, sen x y cos x. 8. Resolución de ecuciones por el método de biprtición Dd un ecución f(x) = 0 con f continu en [, b] y tl que f()f(b) < 0 y con un ríz únic r en [, b], el método de biprtición consiste en relizr los siguientes psos: 1. Clculr el punto medio entre y b, es decir m 0 = +b 2, 2. Si f(m) = 0 entonces r = m 0, 3. En cso contrrio tommos el intervlo [ 1, b 1 ] [, b] entre [, m 0 ] o [m 0, b]. Elegimos quél en el que l función tom en los extremos puntos opuestos, es decir, r [ 1, b 1 ]. 4. Volvemos l primer pso y repetimos l operción hst que r = m n (puede que no se consig). Si no conseguimos l ríz en un número finito de psos, l menos tendremos un sucesión de intervlos encjdos en l que se encuentr l ríz: demás: r [ n, b n ] [ 1, b 1 ] [, b], b n n = b 2 n. Teorem ( n ) es un sucesión creciente y (b n ) es un sucesión decreciente, mbs cotd, y por lo tnto convergentes. Así que: lím n = α b n 14

16 y lím b n = β, n demás: lím ( n b n ) = α β = 0 α = β. n Además este límite es l ríz de l ecución porque: lím f( n)f(b n ) = f(α) 2 0 f(α) = 0. n 8.1. Cot del error bsoluto en l n-sim proximción Si tommos como vlor proximdo de r n, tenemos: 0 r n b 2 n. Si tommos como vlor proximdo de r b n, tenemos: 0 b n r b 2 n Ejemplo L ecución f(x) = x 3 + 4x 2 10 = 0 tiene un ríz en [1, 2], y que f(1) = 5 y f(2) = 14, si plicmos el lgoritmo de bisección obtenemos los vlores de l tbl que sigue: 8.3. Ejemplo [0, π 2 ]. Clculr un ríz de l ecución f(x) = 0 pr l función f(x) = cos x x en el intervlo En este ejemplo tenemos f(0) = 1 > 0 y f( π) = π, con lo cul empezmos clculndo el 2 2 punto medio del intervlo de prtid, es decir: m 1 = π 4 0,

17 Figur 7.3: Ejemplo del método de biprtición n x n f(x n ) f(x) = 0, f(x) = 0, f(x) = 0, f(x) = 0, f(x) = 0, f(x) = 0, f(x) = 0, f(x) = 0, f(x) = 0, f(x) = 0, f(x) = 0, f(x) = 0, f(x) = 0,

18 Figur 7.4: Gráfic de l función f(x) = cos x x n x n f(x n ) f(x) = 0, f(x) = 0, f(x) = 0, f(x) = 0, f(x) = 1, f(x) = 5, f(x) = 2, f(x) = 1, f(x) = 6, f(x) = 3, f(x) = 1, f(x) = 6, f(x) = 2, f(x) = 7, Vemos por lo tnto que r = 0, es csi un ríz y que f(x) = 7, , demás podemos utilizr l fórmul del error dd ntes pr ver l distnci entre r y l ríz exct r: r r b 2 n = π = π ,

19 9. Métodos itertivos 9.1. Introducción Fijemos un ecución f(x) = 0 con f un función continu en [, b] y f()f(b) < 0 y con ríz únic en el intervlo [, b]. L ide de los métodos itertivos es trnsformr l ecución f(x) = 0 en un equivlente del tipo g(x) = x, prtir de un punto x 0 y generr l sucesión x n+1 = g(x n ) esperndo que x n converj l ríz buscd. L form más fácil de trnsformr l primer ecución en l segund es sumr l ecución el vlor x. En efecto, sumndo x en los dos miembros de f(x) = 0 tendrímos: f(x) + x = x, con lo cul ls ecuciones f(x) = 0 y g(x) = f(x) + x = x tendrín ls misms soluciones El método de Newton-Rphson Suponemos quí que l función f es derivble. L ide de este método es utilizr ls tngentes l curv y = f(x) como proximción de l curv. Se trt en este método de iterr l función g(x) = x f(x) f (x). Observción Si l sucesión x n converge hci s, entonces s es un ríz de l ecución f(x) = 0. Ejemplo Clculr un ríz de l ecución f(x) = 0 pr l función f(x) = cos x x en el intervlo [0, π 2 ]. Solución. 1. Puesto que f(0)f( π 2 ) = (cos 0 0)(cos π 2 π 2 ) = π 2 queremos resolver tiene solución en el intervlo indicdo en el enuncido. 2. L solución es únic y que f (x) = sen x 1 < 0 en el intervlo (0, π 2 ). 3. Aplicmos el método de Newton pr construir l sucesión: < 0 l ecución que x n+1 = x n cos x n x n sen x n 1, 18

20 cos x x es decir, en este cso estmos iterndo l función g(x) = x sen x 1 cuy gráfic es: Eligiendo x 0 = π 4 obtenemos: Figur 7.5: Gráfic de l función g(x) = x cos x x sen x 1 n x n f(x n ) , , Resultdos sobre l convergenci Teorem 7.50 (Convergenci globl). Se f de clse C 2 verificndo: 1. f()f(b) < 0, 19

21 2. Pr todo x [, b] se tiene que f (x) 0 (crecimiento o decrecimiento estricto) 3. Pr todo x [, b], f (x) 0 (lterntivmente se puede tener pr todo x [, b], f (x) 0) 4. máx{ f() f(b), } b f () f (b) Entonces existe un únic ríz s de f(x) = 0 en [, b] y l sucesión (x n ) n del método de Newton converge hci s pr todo x 0 [, b] tl que f(x 0 )f (x 0 ) Ejemplo El método de Newton pr l ecución cos x x = 0 en el intervlo [0, π ] converge pr 2 culquier vlor x 0 [0, π 2 ]. Así que tenemos f(x) = cos x x, f (x) = sen x 1 y f (x) = cos x. Y hemos visto ntes que f(0)f( π ) < 0, luego se stisfce l primer hipótesis del método 2 de Newton. Además l hipótesis 2 se cumple porque f (x) = sen x 1 0 y l hipótesis 3 se cumple porque f (x) = cos x 0 pr todo x [0, π 2 ]. y que Por último tenemos que f(0)/f (0) = cos 0 sen 0 1 = 1 f(π/2)/f (π/2) = cos (π/2) sen (π/2) 1 = π 4 π 2 0 = π 2, con lo que nuestro ejemplo tmbién verific l hipótesis curt y tenemos l convergenci globl del método de Newton en nuestro ejemplo en el intervlo [0, π 2 ]. 10. Ejercicios Resueltos Ejercicio Clcul el límite siguiente utilizndo desrrollos de Tylor lím x 0 sen 3 (x 2 ) 1 cos (x 3 ). Solución. Hremos desrrollos de Tylor del numerdor y denomindor de orden 6: 20

22 sen x = x x3 3! + x5 5! + o(x 6 ), sen x 2 = x 2 x6 3! + o(x 6 ), sen 3 x 2 = x 6 + o(x 6 ), cos x = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! + o(x 6 ), cos x 3 = 1 x6 2! + o(x 6 ), 1 cos x 3 = x6 2! + o(x 6 ). Así que: x 6 + o(x 6 ) lím x 0 x 6 + o(x 2! 6 ) = o(x 6 ) x 6 2! + o(x6 ) x 6 = 2. Ejercicio Clcul el límite siguiente utilizndo desrrollos de Tylor lím x 0 [1 cos 2 (x 2 )]sen 3 (x). x log(1 + x 6 ) Solución. Hremos desrrollos de Tylor del numerdor y denomindor de orden 7: sen x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + o(x 7 ), sen 2 x = x 2 + x x4 3! + 2 x6 5! + o(x 7 ), sen 3 x = sen xsen 2 x = x 3 x5 3! + x7 5! + x o(x7 ), cos x = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! + o(x 7 ), cos x 2 = 1 x4 2! + o(x 7 ), cos 2 x 2 = 1 2 x4 2! + o(x 7 ). 1 cos 2 x 2 = 2 x4 2! + o(x 7 ). [1 cos 2 x 2 ]sen 3 x = x 7 + o(x 7 ). log(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + x5 5 x6 6 + x7 7 + o(x7 ). 21

23 log(1 + x 6 ) = x 6 + o(x 7 ). x log(1 + x 6 ) = x 7 + o(x 7 ). Así que: [1 cos 2 (x 2 )]sen 3 (x) lím x 0 x log(1 + x 6 ) x 7 + o(x 7 ) = lím x 0 x 7 + o(x 7 ) = lím 1 + o(x7 ) x 7 = 1 x o(x7 ) x 7 Ejercicio Clcul los límites siguientes: Solución. () lím x 0 x 5 x log(1+x 4 ) sen 3 (x 2 ) (b) lím x 0 sen 3 (x 2 ) x 5 x log(1+x 4 ) (c) lím x 0 [1 cos 2 (x 2 )]sen 3 (x) x log(1+x 6 ) (d) lím x 0 log(1+x 3 ) 1 cos 3 (x) () 0, hciendo un desrrollo de orden 6; (b) el límite no existe, unque sí que existen los límites lterles (+ cundo x tiende 0 por l izquierd y cundo x tiende 0 por l derech). Se necesitn hcer desrrollos de orden 6 y luego investigr el signo de l función que prece en el denomindor [f(x) = x(x 4 log(1 + x 4 ))] cundo x es cercno 0; (c) Ejercicio Clcul el límite siguiente usndo desrrollos de Tylor: lím x 0 2sen x 4 1 cos (x 2 ) Solución. Hcemos desrrollos de Tylor del numerdor y denomindor de orden 4: lím x 0 2x 4 + o(x 4 ) x 4 /2 + o(x 4 ) = lím x o(x4 ) x o(x4 ) 2 x 4 = 4. 22

24 Cpítulo 8 Integrción unidimensionl 1. Prticiones de un intervlo. Sum superior e inferior de Riemnn Definición 8.1 (Prtición del intervlo). Ddo un intervlo [, b], un prtición de [, b] es un conjunto finito P = {x 0, x 1,..., x n } tl que = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b. A los intervlos [x i, x i+1 ], i = 0, 1,... n 1, se les llm intervlos de l prtición P. Se define el diámetro de l prtición P como el número rel positivo δ(p) = mx{ x i+1 x i, i = 0, 1,..., n 1}. Dds dos prticiones P, P de [, b], diremos que P es más fin que P si P P. Clrmente, en ese cso δ(p ) δ(p). Definición 8.2 (Sums inferiores y superiores de Riemnn). Se f : [, b] R y P = {x 0, x 1,..., x n } un prtición de [, b]. Se define l sum inferior de Riemnn de f pr l prtición P como: n 1 s(p, f, [, b]) = m i (x i+1 x i ) i=0 donde m i = inf{f(x) : x [x i, x i+1 ]}, 0 i n 1. Se define l sum superior de Riemnn de f como: n 1 S(P, f, [, b]) = M i (x i+1 x i ), i=0 23

25 Figur 8.1: Sums inferiores de Riemnn de l función seno donde M i = sup{f(x) : x [x i, x i+1 ]}, 0 i n 1. Figur 8.2: Sums superiores de Riemnn de l función seno Proposición 8.3. Si f : [, b] R, P y P son prticiones de [, b] tles que P es más fin que P entonces: s(p, f, [, b]) s(p, f, [, b]) y S(P, f, [, b]) S(P, f, [, b]). 24

26 Ejemplo 8.4. sen : [0, π 2 ] R x sen x, escogiendo l prtición P n = {0, 1 π, 2 π n 2 n,..., n 1 2 n s(p n, sen, [0, π n 1 2 ]) = sen π, n π = π }, l sum inferior de Riemnn es: 2 n 2 2 j=0 ( ) jπ π 2n 2n, y l superior: S(P n, sen, [0, π n 1 2 ]) = ( ) (j + 1)π π sen 2n 2n. j=0 Tmbién podemos clculr sums de Riemnn sin elegir necesrimente el máximo y el mínimo en cd intervlo, sino un punto rbitrrio, ésts tendrán su utilidd l hor de ls clses práctics. Definición 8.5 (Sums de Riemnn). Se f : [, b] R, P = {x 0, x 1,..., x n } un prtición de [, b] y ξ = (ξ 1,..., ξ n 1 ) un vector tl que ξ i [x i, x i+1 ] pr todo i {0, 1,..., n 1}. Se define l sum de Riemnn de f pr l prtición P y l elección ξ como: n 1 s(p, f, [, b], ξ) = f(ξ i )(x i+1 x i ). i=0 2. Funciones integrbles Riemnn. Interpretción geométric Definición 8.6 (Función integrble Riemnn). Se f : [, b] R y (P n ) n=1 un sucesión de prticiones de [, b] tles que: P n+1 es más fin que P n, n = 1, 2,..., lím δ(p n) = 0. n Se dice que f es integrble Riemnn o integrble en [, b] si existen y coinciden los límites: lím n s(p n, f, [, b]) = lím n S(P n, f, [, b]) A este vlor se le llm integrl de Riemnn o integrl de f en [, b] y se denot por b f(x)dx. 25

27 0. Los números y b se les llmn límites de integrción. Adoptremos el convenio b f(x)dx = b f(x)dx y cundo = b, definiremos f(x)dx = Observción 8.7 (Interpretción geométric). Observemos que si f(x) 0 pr todo x [, b], l umentr n considermos cd vez prticiones más fins, luego ls sums inferiores de Riemnn se proximn cd vez más por defecto l áre comprendid entre l gráfic f(x), el eje OX, l rect x = y l rect x = b y con ls sums superiores nos proximmos por exceso. Así que si f(x) 0 pr todo x [, b] y f es integrble Riemnn, b f(x)dx coincide con el áre determind por l gráfic de f(x), el eje OX y ls rects x = y x = b. Proposición 8.8 (Aplicción l cálculo de límites). Se f : [, b] R y (P n ) n=1 un sucesión de prticiones de [, b] tles que P n+1 es más fin que P n, n = 1, 2,...,, y lím n δ(p n ) = 0. 26

28 Si f es integrble en [, b], entonces se verific: donde, pr todo n N, ξ n b f(x)dx = lím n s(p, f, [, b], ξ n ), = (ξ n 1, ξ n 2,..., ξ n n 1) form prte de un sucesión de vectores culquier tles que ξ j [x n j, x n j+1] pr todo j {0,..., n 1}. 3. Funciones integrbles: propieddes L relción entre continuidd e integrbilidd es estrech, los dos siguientes teorems lo muestrn. Teorem 8.9 (Continuidd-Integrbilidd). Si f : [, b] R es continu entonces f es integrble en [, b]. Teorem Si f : [, b] R es un función cotd y tiene como máximo un número finito de puntos de discontinuidd, entonces f es integrble en [, b]. Con respecto l integrl de Riemnn y ls operciones entre funciones se obtiene: Proposición Sen f, g : [, b] R integrbles y α R. Entonces f + g, αf, f y fg son integrbles, demás: 1. b (f(x) + g(x))dx = b f(x)dx + b g(x)dx. 2. b αf(x)dx = α b f(x)dx. 3. Si f(x) 0 pr todo x [, b], entonces: b f(x)dx Si f(x) g(x) pr todo x [, b] entonces: b f(x)dx b g(x)dx. 5. b f(x) dx b f(x)dx. 6. Si c [, b] entonces b f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx. Por último dremos el primer teorem de l medi: Teorem 8.12 (Medi). Si f : [, b] R es continu, entonces existe ξ (, b) tl que b f(x)dx = f(ξ)(b ). 27

29 Teorem 8.13 (Teorem fundmentl del cálculo integrl). Se f : [, b] R un función integrble. Entonces definimos F : [, b] R tl que F (x) = x f(t)dt. Si f es continu en x 0 [, b] entonces F es derivble en x 0 y F (x 0 ) = f(x 0 ). Así que, pr derivr F : [1, + ) R x x 1 e 1 t 2 dt, no es necesrio el cálculo de l integrl, bst con plicr el teorem nterior pr obtener que si x 0 (1, + ) se tiene: F 1 x (x 0 ) = e L regl de Brrow. Integrción por prtes y cmbio de vrible Proposición Se f : [, b] R un función continu, entonces l función: es un primitiv de f. F : [, b] R x x f(x)dx, El siguiente resultdo permite, prtir del conocimiento de un primitiv de un función integrble, clculr integrles de ést. Será el procedimiento que utilicemos l hor de clculr integrles. Teorem 8.15 (Brrow). Si f : [, b] R es continu y F : [, b] R es un primitiv de f, entonces b f(x)dx = [F (x)]b = F (b) F (). Por último, introduciremos ls técnics de integrción por prtes y por cmbio de vrible que permiten simplificr el cálculo de integrles. Teorem 8.16 (Integrción por cmbio de vrible). Se f : [, b] R un función integrble en [, b] y g : [c, d] R un función inyectiv con derivd integrble en [c, d], de tl mner que g(c) = y g(d) = b. Entonces: b f(x)dx = d c f(g(t))g (t)dt. 28

30 Teorem 8.17 (Integrción por prtes). Dds dos funciones derivbles, f, g : [, b] R, con derivds integrbles en [, b], se tiene: b b f(x)g (x)dx = [f(x)g(x)] b g(x)f (x)dx. 5. Aplicciones del cálculo integrl l cálculo de longitudes, áres y volúmenes Cálculo de l longitud de un curv. derivble f : [, b] R. Entonces l longitud de dich curv es: L = b Cálculo del áre de un superficie pln. Consideremos l curv definid por l función 1 + f (x) 2 dx Recordemos que por definición de l integrl de Riemnn, si f : [, b] R con f(x) 0 pr todo x [, b] es integrble, entonces el áre delimitd por l gráfic de f(x), el eje Ox y ls rects x = y x = b es b f(x)dx. Como consecuenci de esto, si f, g : [, b] R son integrbles con f(x) g(x) pr todo x [, b] entonces el áre delimitd por ls gráfics de f(x) y g(x), l rect x = y l rect x = b es: A = b (f(x) g(x))dx Cálculo del áre de un sólido de revolución l girr sobre el eje Ox. Consideremos el sólido tridimensionl que se obtiene l girr l gráfic de l función 1 f : [, b] R derivble y con derivd continu sobre el eje Ox. Entonces el áre de l superficie exterior de dicho sólido es: A = 2π b f(x) 1 + f (x) 2 dx Cálculo del áre de un sólido de revolución l girr sobre el eje Oy. A = 2π b 1 Suponemos que dich gráfic no cort l eje Oy x 1 + f (x) 2 dx 29

31 Cálculo del volumen de un sólido de revolución l girr sobre el eje Ox. Consideremos el sólido tridimensionl que se obtiene l girr l gráfic de l función 2 f : [, b] R integrble sobre el eje Ox. Entonces el volumen de dicho sólido es V = π b f(x) 2 dx Cálculo del volumen de un sólido de revolución l girr sobre el eje Oy. V = π b y (x) x 2 dx Ejemplo Clcul el volumen de un toro (donut) que se obtiene l girr un círculo de rdio r lrededor de un eje que se encuentr distnci del centro del círculo. Suponemos que el eje de rotción es el eje y y que el centro del círculo se encuentr sobre el eje de bsciss, es decir el centro es el punto (, 0). y (x ) 2 + y 2 = r 2 r + r x Figur 8.3: Sums inferiores de Riemnn de l función seno El círculo que estmos girndo tiene ecución (x ) 2 +y 2 = r 2, sí que y = ± r 2 (x ) 2. Definmos y 1 = r 2 (x ) 2, sí que: 2 Suponemos que dich gráfic no cort l eje Ox 30

32 ( V = 2 π +r x 2 x r2 (x ) dx π 2 = 2π x 2 r +r x 2 r ) x r2 (x ) 2 dx x r2 (x ) dx 2 Hcemos hor el cmbio de vrible x = rsen θ, sí que dx = rcos θdθ y x = + rsen θ. = 2π V = 2π 5π/2 3π/2 5π/2 3π/2 = 2π ( + rsen θ) 2 rsen θ rcos θdθ rcos θ 5π/2 3π/2 ( + rsen θ) 2 rsen θdθ 2 rsen θ + r 3 sen 3 θ + 2r 2 sen 2 θdθ [ = 2π 2 r [ cos θ] 5π/2 3π/2 2πr3 cos θ cos 3 θ 3 +2π2r 2 [ θ 2 sen (2θ) 4 ] 5π/2 3π/2 ] 5π/2 3π/2 = 2r 2 π 2 Otr form de relizr el ejercicio: girndo lrededor del eje de bsciss un círculo de centro (0, ) y rdio r, que tendrá por ecuciones x 2 + (y ) 2 = r 2, por lo tnto y = ± r 2 x 2. En este cso: V = π r r ( + r 2 x 2 ) 2 dx π = π r r r r ( r 2 x 2 ) 2 dx [( + r 2 x 2 ) 2 ( r 2 x 2 ) 2 ]dx = π r r 4 r 2 x 2 dx Hcemos hor el cmbio de vrible x = rsen θ, dx = rcos θdθ: 31

33 V = π4 5π/2 3π/2 rcos θrcos θdθ 5π/2 = π4r 2 cos 2 θdθ 3π/2 [ ] 5π/2 θ = 4r 2 sen (2θ) π π/2 = 2r 2 π 2. Ejemplo Clcul el áre de un toro (donut) que se obtiene l girr un círculo de rdio r lrededor de un eje que se encuentr distnci del centro del círculo. Suponemos que el eje de rotción es el eje y y que el centro del círculo se encuentr sobre el eje de bsciss, es decir el centro es el punto (, 0). y (x ) 2 + y 2 = r 2 r + r x El círculo que estmos girndo tiene ecución (x ) 2 +y 2 = r 2, sí que y = ± r 2 (x ) 2. Definmos y 1 = r 2 (x ) 2, sí que: r +r 1 2 A = 2π x 1 + y 1(x) 2 dx r +r (x )2 = 2π x 1 + r r 2 (x ) dx 2 +r r = 2π x 2 r 2 (x ) dx 2 Hcemos hor el cmbio de vrible x = rsen θ, dx = rcos θdθ: 32

34 1 2 A = 2π 5π/2 3π/2 r ( + rsen θ) rcos θdθ rcos θ = 2πr 5π/2 3π/2 ( + rsen θ)dθ = 2πr[θ rcos θ] 5π/2 3π/2 = 2πrπ = 2rπ 2. Así que A = 4rπ Métodos numéricos pr clculr integrles. L regl del trpecio Dd un función f : [, b] R integrble, l regl del trpecio consiste en proximr l integrl definid b f(x)dx por b P 1(x)dx, donde P 1 (x) es el único polinomio de grdo 1 (rect) que ps por los puntos (, f()) y (b, f(b)). Así que: b f(x)dx b P 1 (x)dx = b 2 (f() + f(b)) y el error que cometemos en dich proximción, si l función f es de clse C 2, es: donde c es un punto del intervlo (, b). E = 1 12 (b )3 f (c), El error nterior puede reducirse si utilizmos l regl del trpecio compuest, ést consiste en dividir el intervlo [, b] en n subintervlos de longitud h = b n y plicr l regl del trpecio simple cd uno de los intervlos [ + jh, + (j + 1)h] con j {0, 1,..., n 1}. Este método proporcion l proximción: ( ) b f(x)dx h n 1 f() + 2 f( + ih) + f(b), 2 pr est proximción el error que se comete, si f es de clse C 2, es: siendo c un punto del intervlo (, b). i=1 E = 1 12 (b )h2 f (c), 33

35 L regl de Simpson. L ide de est regl es proximr l función f : [, b] R integrr por el polinomio de grdo 2 (único) que ps por los puntos (, f()), ( +b De est mner, se obtiene l proximción: b f(x)dx b P 2 (x)dx = b 6, 2 f(+b 2 ( f() + 4f( + b ) 2 ) + f(b). )) y (b, f(b)). Además, si l función es de clse C 4, existe c (, b) tl que, el error que se comete en l proximción es: E = (b )5 f (iv) (c). Al igul que en l regl del trpecio, si subdividimos el intervlo [, b] en n prtes (con n número pr) y plicmos cd un de ells l regl de Simpson, se obtiene un mejor proximción de l integrl: b f(x)dx h n/2 f() + 2 f( + 2(i 1)h) 3 i=2 n/2 +4 f ( + (2i 1)h) + f(b), i=1 con un error, si f es de clse C 4, ddo por: estndo c en (, b). E = (b )h4 f (iv) (c), Ejemplo Comprción del vlor de 4 3 (sen x + cos x + ex )dx = 33, clculdo usndo ls regls del trpecio y Simpson hciendo n prticiones del intervlo [3, 4], (2 n 50). Progrm de Mthemtic: T rpeciocompuest[fun,, b, n ] := {integrl = 0; h = (b )/n; F or[j = 0, j < n, integrl = integrl + T rpecio[fun, + hj, + (j + 1)h]; j = j + 1]; integrl//n} 34

36 Tmbién se puede definir el método del trpecio compuesto en Mthemtic usndo ls fórmuls desrrollds en l teorí: T rpeciocompuestbis[fun,, b, n ] := {h = (b )/n; integrl = (f[] + f[b]) h/2; F or[j = 1, j <= n 1, integrl = integrl + hf[ + jh]; j = j + 1]; integrl//n} SimpsonCompuestBis[fun,, b, n ] := {h = (b )/n; integrl = (f[] + f[b]) h/3; F or[j = 1, j <= n/2, integrl = integrl + 4h/3f[ + (2j 1)h]; j = j + 1]; F or[j = 2, j <= n/2, integrl = integrl + 2h/3f[ + 2(j 1)h]; j = j + 1]; integrl//n} F or[n = 2, n <= 50, simpson = SimpsonCompuest[f, 3, 4, n]; trpecio = T rpeciocompuest[f, 3, 4, n]; excto = Integrte[f[x], x, 3, 4]; errorsimpson = Error[simpson, excto]; errortrpecio = Error[trpecio, excto]; Print[ Pr n=, n, el vlor proximdo por Simpson es:, InputForm[simpson], y por el trpecio:, InputForm[trpecio]]; Print[ El error de Simpson es:, errorsimpson, y el del trpecio:, errortrpecio]; n = n + 2; 35

37 ] Print[ El vlor excto de l integrl es:, InputForm[excto // N]] Resultdos obtenidos con Mthemtic: 1. Pr n = 2 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 34, El error de Simpson es: 0, y el del trpecio: 0, Pr n = 4 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 0, y el del trpecio: 0, Pr n = 6 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 8, y el del trpecio 0, Pr n = 8 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 2, y el del trpecio 0, Pr n = 10 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 1, y el del trpecio 0, Pr n = 12 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 5, y el del trpecio 0, Pr n = 14 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 3, y el del trpecio 0,

38 8. Pr n = 16 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 1, y el del trpecio 0, Pr n = 18 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 1, y el del trpecio 0, Pr n = 20 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 7, y el del trpecio 0, Pr n = 22 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 4, y el del trpecio 0, Pr n = 24 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 3, y el del trpecio 0, Pr n = 26 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 2, y el del trpecio 0, Pr n = 28 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 1, y el del trpecio 0, Pr n = 30 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 1, y el del trpecio 0, Pr n = 32 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33,

39 El error de Simpson es: 1, y el del trpecio 0, Pr n = 34 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 8, y el del trpecio 0, Pr n = 36 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 6, y el del trpecio 0, Pr n = 38 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 5, y el del trpecio 0, Pr n = 40 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 4, y el del trpecio 0, Pr n = 42 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 3, y el del trpecio 0, Pr n = 44 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 3, y el del trpecio 0, Pr n = 46 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 2, y el del trpecio 0, Pr n = 48 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 2, y el del trpecio 0,

40 25. Pr n = 50 el vlor proximdo por Simpson es: 33, y por el trpecio: 33, El error de Simpson es: 1, y el del trpecio 0, El vlor excto de l integrl es: 33, Integrles impropis de primer especie Ls integrles impropis de primer especie son quells donde lguno o mbos límites de integrción son infinitos. Definición Si f : [, + ) R es tl que f es integrble en [, b] pr todo b >, se define + f(x)dx = lím t t f(x)dx. Si el vlor nterior es finito, diremos que l integrl nterior es convergente, si es + o diremos que es divergente y si no existe diremos que es oscilnte. De form nálog se define f(x)dx pr f : (, ] R. Si f : R R es integrble en [, b] pr todo, b R, < b, entonces diremos que l integrl impropi + f(x)dx es convergente si existe R tl que f(x)dx y + son convergentes y en ese cso se define 3 + f(x)dx = f(x)dx + + f(x)dx. f(x)dx Por último, se dice que + f(x)dx es bsolutmente convergente si + f(x) dx es con- vergente. Se hrá notr que tod integrl impropi bsolutmente convergente es convergente. Cálculo de integrles impropis de primer especie. Al igul que pr l integrl de Riemnn, ls integrles impropis son fáciles de clculr cundo se conoce un primitiv del integrndo. Teorem Si f : [, + ) R es tl que + f(x)dx es convergente y F (x) es un primitiv de f(x) entonces: + f(x)dx = lím F (t) F (). t + 3 Demostrremos que este vlor no depende del número R escogido 39

41 2. Si f : (, ] R es tl que f(x)dx es convergente y F (x) es un primitiv de f(x) entonces: f(x)dx = F () lím t F (t). 3. Si f : (, + ) R es tl que + f(x)dx es convergente y F (x) es un primitiv de f(x) entonces: Criterios de convergenci. + f(x)dx = lím F (x) lím F (x). x + x Como y sbemos, es posible que se muy difícil o incluso imposible encontrr un primitiv de un función dd. Así, serí muy interesnte obtener criterios que permitn conocer el crácter de un integrl impropi sin conocer su vlor. Vmos introducir criterios pr funciones f : [, + ) R tles que f(x) 0 pr todo x [, + ). De form nálog se tienen los criterios pr integrles impropis del tipo f(x)dx siendo f(x) 0 pr todo x (, ]. Proposición Se f : [, + ) R tl que f(x) 0 pr todo x [, + ), f es integrble en [, b] pr todo b > y lím f(x) > 0. Entonces + f(x)dx es divergente. x + Así, plicndo este criterio se obtiene l divergenci de integrles impropis del tipo + x n dx siendo n 0 o de + 1 impropi + 0 e x2 dx. x 2 +1dx, pero no podemos decir nd sobre el crácter de l integrl x 2 +2 Los siguientes criterios permiten deducir el crácter de cierts integrles impropis prtir del conocimiento del crácter de integrles impropis de otrs funciones. Proposición 8.24 (Criterio de comprción). Sen f, g : [, + ) R positivs tles que f, g son integrbles en [, b] pr todo b > y supongmos que f(x) g(x) pr todo x [, + ). Entonces: 1. Si + f(x)dx es convergente entonces + g(x)dx es convergente. 2. Si + g(x)dx es divergente entonces + f(x)dx es divergente. Proposición 8.25 (Criterio del límite). Sen f, g : [, + ) R dos funciones positivs integrbles en [, b] pr todo b >. Se l = f(x) lím x + g(x) R. Entonces: 40

42 1. Si l > 0, + f(x)dx es convergente (divergente) si y sólo si + g(x)dx es convergente (divergente). 2. Si l = 0 y + f(x)dx es divergente entonces + g(x)dx es divergente. 3. Si l = 0 y + g(x)dx es convergente entonces + f(x)dx es convergente. Es sencillo demostrr que pr R, + 1 x α es convergente si α > 1 y divergente si α 1. El criterio nterior junto con el crácter de ests integrles impropis permiten obtener el crácter de muchs integrles impropis. 8. Integrles impropis de segund especie Supongmos que tenemos un función f[, b) R integrble en [, c] pr todo c (, b) y tl que lím f(x) = Qué significdo tiene l expresión b f(x)dx? En principio, est x b expresión no l hemos dotdo de un significdo concreto y que l función f no es cotd, nos ocupremos en est sección de drle un significdo. Definición 8.26 (Integrl impropi de segund especie). Se f un función como ntes. Entonces, se define b f(x)dx = lím t b t f(x)dx. Si este límite es finito, se dice que l integrl impropi de segund especie b f(x)dx es conver- gente, si es infinito se dice que es divergente y si no existe se dice que es oscilnte. define Análogmente, si f : (, b] R es integrble en [c, b] pr todo c (, b) y lím x + b f(x)dx = lím t + b t f(x)dx y se tienen nálogs definiciones de convergenci, divergenci y oscilción. =, se Al igul que pr integrles impropis de primer especie, en ls condiciones nteriores de l función f, se dice que l integrl b f(x)dx es bsolutmente convergente si y solo si b f(x) dx es convergente. Además se verá que l convergenci bsolut de un integrl de segund especie implic tmbién l convergenci de l integrl. 41

43 Cálculo de ls integrles impropis de segund especie. Pr ests integrles tmbién dispondremos de un nálogo l regl de Brrow, l dos proposiciones siguientes lo recogen. Proposición Se f : (, b] R tl que lím f(x) =, b f(x)dx es convergente y x + supongmos que F (x) es un primitiv de f(x). Entonces: b f(x)dx = F (b) lím t + F (t). Proposición Se f : [, b) R tl que lím f(x) =, b f(x)dx es convergente y x b supongmos que F (x) es un primitiv de f(x). Entonces: b f(x)dx = lím F (t) F (). t b Criterios de convergenci de ls integrles impropis de segund especie. En cunto los criterios de convergenci, dispondremos del criterio de comprción y del límite, mbos los enuncimos pr integrles impropis que tienen su singulridd en el límite inferior. Los resultdos nálogos pr cundo se tiene l singulridd en el extremo superior son tmbién ciertos y se dej su enuncido como ejercicio l lumno. Proposición 8.29 (Criterio de comprción). Sen f, g : (, b] R positivs, integrbles en [c, b] pr todo c (, b) y tles que lím f(x) = lím g(x) = +. Si f(x) g(x) pr todo x + x + x (, b] entonces: 1. Si b f(x)dx es convergente entonces b g(x)dx es convergente. 2. Si b g(x)dx es divergente entonces b f(x)dx es divergente. Proposición 8.30 (Criterio del límite). Sen f, g : (, b] R funciones positivs, integrbles en [c, b] pr todo c (, b) y tles que lím f(x) = lím g(x) =. Se l = lím x + x + Entonces: x + f(x) g(x) R. 1. Si l 0, b f(x)dx es convergente (resp. divergente) si y sólo si b g(x)dx es convergente (resp. divergente). 2. Si l = 0 y b g(x)dx es convergente entonces b f(x)dx es convergente. 3. Si l = 0 y b f(x)dx es divergente entonces b g(x)dx es divergente. 42

44 De este criterio, junto con el hecho de que pr funciones del tipo f(x) = 1 (x ) α que b se tiene 1 (x x 0 dx es convergente si α < 1 y divergente si α 1, se obtiene l convergenci de ) α muchs integrles impropis de segund especie. 43

45 Cpítulo 9 Funciones de vris vribles. Continuidd 1. Topologí en R n Definición 9.1 (Norm, espcio vectoril normdo). Un norm sobre R n es un plicción: : R n [0, + [ x x, que stisfce ls siguientes propieddes pr cd pr de vectores x, y: () x 0 y x = 0 si y sólo si x = 0. (b) x + y x + y ( desiguldd tringulr). (c) Pr todo número rel λ se tiene que λx = λ x. El pr (R n, ) recibe el nombre de espcio vectoril normdo. Ejemplo 9.2. (R, ), (R n, 2 ), (R n, ), (R, 1 ) son espcios vectoriles normdos pr ls definiciones siguientes: 1. es el vlor bsoluto de números reles. 2. Si x = (x 1,..., x n ), x 2 = x x x 2 n, 44

46 3. x 1 = x 1 + x x n, 4. x = máx{ x 1, x 2,..., x n }. Ejercicio D un rzón que justifique que l plicción f : R 2 R, definid por f(x, y) = sen (y +x), no es un norm Solución. L plicción no es un norm porque f(0, π) = 0 y (0, π) (0, 0) Nociones topológics socids un espcio normdo El concepto nálogo l de intervlo en el cso multidimensionl es el de bol, éste permitirá desrrollr l topologí de R n. Definición 9.3 (Bol, dico). Fijd un norm de R n, ddo un punto x R n y un número rel ɛ > 0, se define l bol biert o disco bierto de centro x y rdio ɛ (resp. bol cerrd o disco cerrdo de centro x y rdio ɛ) como el conjunto D(x, ɛ) = {y R n : x y < ɛ} (resp. D(x, ɛ) = {y R n : x y ɛ}). Definición 9.4 (Conjunto bierto y cerrdo). Un conjunto A R n se dice bierto si y sólo si o A = o bien pr todo punto x A existe ɛ > 0 tl que D(x, ɛ) A. Un conjunto F R n se dice cerrdo si y sólo si R n \F = {x R n : x F } es bierto. Definición 9.5 (Interior, clusur y fronter de un conjunto). Ddo un conjunto D R n se define el interior de D, y se denot por IntD, como el myor conjunto bierto contenido en D. L clusur de D, denotd por ClD, es el menor conjunto cerrdo que contiene D. L fronter de D se denot por FrD y se define como FrD = ClD\IntD. Los conjuntos biertos y cerrdos stisfcen ls propieddes que recogemos en l siguiente proposición. Proposición y R n son conjuntos biertos y cerrdos l vez. 45

47 2. L unión (finit o no) de conjuntos biertos es un conjunto bierto. 3. L intersección (finit o no) de conjuntos cerrdos es un conjunto cerrdo. 4. L unión finit de conjuntos cerrdos es un conjunto cerrdo. 5. L intersección finit de conjuntos biertos es un conjunto bierto. 6. Un conjunto es bierto si y sólo si coincide con su interior. 7. Un conjunto es cerrdo si y sólo si coincide con su clusur. 8. El interior de un conjunto A es l unión de todos los conjuntos biertos contenidos en A. 9. L clusur de un conjunto A es l intersección de todos los conjuntos cerrdos que contienen A. Definición 9.7 (Conjuto cotdo y compcto). Un conjunto A R n se dice cotdo si y sólo si existe un número rel positivo k tl que x k pr todo x A. El conjunto A se dirá compcto si y sólo si demás de ser cotdo es cerrdo. Definición 9.8 (Puntos de cumulción, interiores y isldos). Ddo un conjunto A R n y un punto x R n, se dice que x es un punto de cumulción de A si pr todo número ɛ > 0 se tiene que D(x, ɛ) A\{x} =. El conjunto de los puntos de cumulción se denot por A. Se dice que el punto x es interior A si y sólo si pertenece IntA. Por último se dirá que x es un punto isldo de A si y sólo si es un punto de ClA que no es de cumulción. Ejercicio Pon un ejemplo de un conjunto no compcto en R 2 y justific por qué no es compcto. Solución. {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 5} no es compcto porque no está cotdo. Ejercicio Pon un ejemplo de un conjunto que teng puntos isldos. 2. Funciones de vris vribles. Límites Inicimos est sección dndo l definición de función de vris vribles y funciones coordends de ésts. Posteriormente introduciremos el concepto de curv de nivel, el cul nos permitirá obtener interpretciones gráfics de funciones. 46