APLICACIONES DE LA MATEMÀTICA EN LA ESCUELA ELEMENTAL Y MEDIA (2a. parte) per Luis A. Santaló

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1 MONOGRÀFIC l'escire núm. (9^ APLICACIONES DE LA MATEMÀTICA EN LA ESCUELA ELEMENTAL Y MEDIA (. prte) per Luis A. Sntló L scul y l ciudd. Es interesnte nlizr ls relciones de l escuel con l ciudd y sus hitntes. Está ien situd? Tiene el tmño decudo? Cómo hn evoluciondo ls condiciones de su lrededor desde que se creó? Pr ests y otrs pregunts que surjn durnte el estudio conviene tener, como ctividdes iniciles del proyecto: ) Distnci de cd lumno de l clse l escuel. L medi ritmétic nos drá l distnci promedio cs-escuel de los lumnos. Si se puede hcer pr todos los lumnos de l escuel, mejor. Construir un gráfico indicndo el número de lumnos cuy distnci cs-escuel está comprendid entre x y x-l- cudrs o mnzns. ) Se señln en un mp de l ciudd o en un mp prcil de l mism diujndo expresmente, ls css de los lumnos y l escuel. Se pide uscr en qué punto deerí estr situd l escuel pr que l sum de ls distncis, en line rect, de l mism los domicilios de los distintos lumnos fuer ml'nim. No es un prolem fácil. Sí se dispone de clculdors de olsillo se puede clculr por tnteos sucesivos. Si l ciudd es cudriculd, el cmino pr ir de l cs l escuel no es l line rect, sino un poligonl formd por ls distints clles. En este cso, tomndo unos ejes coordendos ortogonles x,y prlelos ls clles, y llmndo x, y ls coordends de los domicilios de los lumnos, ls coordends del punto cuy sum de distncis (poligonles) los mismos es mínim, tiene por coordends ls "medins" respectivs de los puntos Xj e y-. Aquí l "medin" tiene el significdo con que se us en estdístic, es decir, l medin de ls sciss x, es el vlor x^, que un vez ordends ls x en orden creciente tiene igul número de ells que son igules o inferiores, que igules o myores. Si el número de ls Xj es pr, se tom el vlor medio entre los dos vlores que ocupn l posición medi. Hciendo lo mismo con ls ordends y se tiene el punto x^,y^ pr el cul l sum de distncis los distintos domicilios es mínim. L demostrción es, en este cso, simple y empezndo con pocos vlores de x,y los lumnos l descurirán. Clculdo x_.,y_, los lumnos podrán clculr el horro de cmino totl si l escuel estuvier en el punto otenido y tmién el horro totl en dinero teniendo en cuent el precio del trnsporte. c) En ciuddes cudriculds se presentn vrios prolems cuyo estudio pone en juego distintos cpítujos de l mtemátic elementl. En primer lugr l distnci entre dos 9

2 puntos no puede ser l distnci en line rect, sino l distnci mínim que hy que recorrer relmente pr ir de un punto otro, que si ls coordends de los puntos son (xi, y,), (x,vi) se expres por d= xi-x + lyi-y^l y se llm l "distnci del txist" unque en relidd deerí llmrse l "distnci del petón", puesto que si ls clles tienen ciert dirección únic, l distnci que dee recorrer un utomóvil es csi siempre myor, por no poder ir en dirección contrri l signd cd clle. Hy numerosos prolems curiosos que surgen l considerr en el plno l "métric del petón" menciond: se puede desrrollr tod un geometrí en coordends sd en ell. Si se consider que ls clles tienen sentido único, con lo cul lgunos sentidos quedn prohiidos, se tiene l "métric del txist" cuy geometrí es más complicd, pero siempre curios. Podemos mencionr lgunos prolems que surjen de ests considerciones: i) Pr ir de un punto A (por ejemplo el domicilio del lumno) otro B (por ejemplo l escuel) cuántos cminos posiles hy que tengn todos l longitud mínim? (Fig. ).,. i f,. f f f i ÍO. á i 'i > 'T

3 Se oserv fácilmente, por cálculo directo e inducción prtir de A que los números de cminos posiles formn el triángulo de Pscl de vértice A y ldos prlelos ls digonles. Es decir, si B está seprdo de A por m mnzns horizontles y n mnzns verticles, el número de cminos posiles pr ir de A B (todos de longitud mtnim m+n) es N,A,B, =("':") ii) Cuál es el conjunto de los puntos que equidistn de A y de B? Si m+n ts pr el conjunto está formdo por ls esquins indicds en l figur (). Si m+n es impr el conjunto tiene form nálog, pero está formdo por los puntos situdos l mitd de mnzn que se indicn en l figur ().,B, ' ' ' *,9 ) (mí*, -nih Fi<. iii) En el mismo momento y con l mism velocidd con que sle el hijo de l escuel B pr ir l cs A, sle el pdre de l cs A pr ir l escuel uscr l hijo. Si no se hn puesto de cuerdo previmente en el cmino que seguirán (siempre lguno de los de distnci mfnim) cuál es l proilidd de que se encuentren? L

4 i ' ' ', : ^, i > ) (rr\- trxr Fic. L solución cmi según que m+n se pr o impr. Supongmos primero el cso m=:, n= de l figur (). Los puntos en que puede tener lugr el encuentro son los indicdos, cuys coordends suponiendo que A es el origen, son (,), ^(,), (,) Y (,). Estos cutro puntos no son igulmente posiles, puesto que los números de cminos que desde A o B conducen ellos vrí de uno otro. El número de c-njnos que desde A vn cd uno de los cutro puntos son n,() =, nj(a)-z, n(a)=, n(a)= totl n(a) = E y los cminos desde B son n,(b)=, n,(b):.-., n(b)=, n(b) = totl n(b) = L proilidd de que se encuentren en el punto será Pp, =c ()() = que es el producto de ls proiliddes de que el pdre pse por y el hijo tmién. Análogmente ls proiliddes de encuentro en los puntos, y son p, =, P =, p, = Por tnto l proilidd totl de que se encuentren es p = Pi+P+P+P = =,

5 Consideremos hor el cso de l figur (), m=, n=. El número de puntos de encuentro posiles son los 9 indicdos en l figur y los números de cminos que vn ellos son: desde A:,,,,,,,, desde B :,,,,,,,, en totl son cminos pr cd cso. Por tnto ls proiliddes de encuentro en cd uno de los 9 puntos son Pt = p, = 9, p, = ps = 9, p, = p* = p» = p, = 9, p, = 9 L proilidd totl de encuentro result ser p = p, + Pi + + P9 = 9 =, Osérvese que l ide de proilidd prece quí tn solo como creciente de csos fvorles y posiles y por tnto puede tomrse como definición y plnter el prolem, en csos simples, ún sin her estudido proiliddes. El prolem puede, incluso, tonf)rse como un motivción pr el estudio de ls proiliddes y de l comintori. Pr el cso generl, con vlores culesquier de m y n l solución del prolem no es tn simple, pero ce dentro de los últimos Ros de l enseflnz medi. Es un ejercicio interesnte hcer que los lumnos, por inducciones sucesivs, lleguen ls fórmuls generles. Ests son: Pr m+n pr, poniendo m+n = s y suponiendo m^n y que ls coordends de los extremos son A(,) y B(m,n), los puntos de encuentro posiles son (s,),(s-,), (s-,),..., (n+) ((m-n),n) y ls proiliddes de erkontrrse en cd uno de ellos son, respectivmente -=f^ -=f?)ín^)-^-=í^)í ^^.-..,=(^) r' siendo T = + y l proilidd totl dt encuentro result Pr m+n impr, suponiendo m>n y poniendo m+n-=s se otiene P.n.. '{] T-

6 y l proilidd totl de que se encuentren result -[f^h^^(?)c^)--ín^)(?)^c^h^)]- siendo en este cso T= +?+...+ ^, +^ n - n Se puede discutir pr qué vlores de m, n est proilidd es mínim dentro de un diitncl m+n dd. El vlor nnáximo corresponde de mner evidente n = O, en cuyo cso p s, o se, el encuentro es seguro. El prolem se complic si el pdre vij en utonoóvil y lguns clles tienen dirección únic. L introducción de l "distnci del petón" puede dr origen lgunos prolems en los que se ejercit l geometrf en coordends, por ejemplo el conjunto de puntos equidistntes de un centro se comprue fácilmente que es un cudrdo de digonles prlels ls clles. Llmndo "geodésic" culquier cmino que proporcione l distnci mínim entre dos culesquier de sus puntos, semos que el número de geodésics entre A y B es el número N(A,B) ntes clculdo. Cómo definir l geodésic perpendiculr otr? Cuáles serán ls geodésics prlels? Cuánts geodésics prlels otr psn por un punto? Estos prolems se relcionn con el clásico "cmino l zr" de l teori de proiliddes. Por ejemplo, el prolem del cmino l zr sore un rect, con psos de longitud unidd igulmente proles l derech o l izquierd prtir de un punto O, se puede interpretr como un geodésic en el sentido nterior prtir de O construid en el cudrnte x >, y^o ; st representr los movimientos l derech como vnces prlelos l eje x y los movimientos l izquierd como retrocesos prlelos l eje y. El prolem de ls rrers sorentes distncis m, n de O, equivle l estudio de ls geodésics prtir de O que no slen de l nd de plno limitdo por ls rects x + y = m, X -y = n. Lo importnte de estos prolems es que dmiten un grn vriedd de trtmientos, desde el muy elementl (ver por ejemplo, Glymnn-Vrg, Les prollités i l'écol, CE- DIC, 9; trducción cstelln de Editoril Teide, Brcelon, 9) hst el más superior). Según los recursos mtemáticos disponiles por los lumnos se plnten y resuelven prolems decudos. Cudrdos ltinos y geometrís finits. A veces conviene prtir de un prolem concreto y proponer luego como proyecto encontrr o discutir posiles generlizciones. Vmos mencionr un ejemplo reltivmente reciente, que en su form generl h sido estudido por R.K.BRAYTON D. COPPERS- MITH A.J. HOFFMAN, Self-orthogonl ltín squns of ll orders i=,,, Bulletin of the Amer. Mth. Soc. vol., 9, -. Nosotros nos vmos limitr csos simples, posiles de trtr en l enseñnz medi, pero que hcen comprender l existenci de prolems todvi' no resueltos. Se el prolem siguiente: yt

7 Cutro mtrimonios de un clu desen orgnizr un serie de prtids de tennis doles (dos contr dos) mixtos, es d"cir, cd equipo compuesto de un homre y un mujer, de mner que se cumpln ls siguientes condiciones; ) Mrido y mujer nunc juegn en un mismo prtido, ni como compñeros ni como contrincntes; ) Dos jugdores culesquier del mismo sexo juegn como contrincntes un sol vez; c) Los componentes de cd prej de distinto sexo que no son mtrimonio, deen jugr exctmente un prtido como compñeros y un prtido como contrincntes. Se trt de plnificr estos encuentros. Representndo por H,, Hj, H, H los homres y por Mi, Mj, M, M ls correspondientes esposs, de cuerdo con ls condiciones impuests, por sucesivos tnteos es fácil otener que deerán jugr prtidos de l siguiente mner: (O H,Mj-HM, H,M-HMj, HjM, -HM H,M, -H,M, HJM-HM,, HjMj-HM, Si se trt de un número myor de mtrimonios el prolem se complic. Pr su nálisis conviene scr consecuencis del cso simple considerdo de mtrimonios. Formemos los siguientes cudros: Cudro II: el elemento digonl j se pone igul i y el elemento jj se pone igul l número de l mujer que según (I) jueg con H en el único prtido que H jueg contr H. El cudro III es el trnspuesto del cudro II. (II) (III) Estos cudrdos tienen en cd fil y en cd column los números,,, de mner tl que no hy dos elementos igules en ningun fil ni en ningun column. El resultdo es un consecuenci de l condición (c), pues si l fil i de (II) tuvier dos elementos igules, significri que Hj tendrí dos veces un mism prej, contr l hipótesis. Los cudrdos de este tipo se llmn cudrdos ltinos. Supei^oniendo los cudrdos nteriores result el nuevo cudrdo (IV) En este cudrdo cd pr ordendo de números (entr y ) prece un sdl vez. Cundo dos cudrdos ltinos tienen est propiedd de que l ser superpuestos el cudrdo resultnte no present ningún pr ordendo reptido, se dice que los cudrdos ltinos son

8 ortogonles y el cudrdo resultnte, como el (IV) nterior, se llm un cudrdo greco-ltino. L relción entre el cudrdo (IV) y los prtidos (I) es l siguiente: si el elemento jj de (IV) es el pr h J<, el prtido que te corresponde es el HjM^ - HjM ^. Por ejemplo ^s es, y el prtido correspondiente será H}M HM. Osérvese que l elemento simétrico corresponde, y el prtido correspondiente es el mismo nterior. De est mner se comprende<)ue ningún pr h,k de (IV) puede estr repetido, puesto que dos mujeres sólo pueden jugr un sol vez como contrincntes. Se tiene sf un identidd entre el progrm (I) de prtidos jugr y los pres de cudrdos ltinos (II), (III) que son entre si trnspuestos y ortogonles. Por tnto, el prolem propuesto, pr n mtrimonios es equivlente l de uscr dos cudrdos ltinos de orden n que sen l vei trnspuestos y ortogonles. El teorem fundmentl de Bryton-Cop persmíth-hoffmn, difícil de pror, es que tles cudrdos (llmdos utoortogonles) existen pr todo n excepto pr n=,,. L no existenci pr n =, es inmedit, pero y pr n = se vincul con un prolem clásico de Euler de no fácil solución. Pr n = se puede hcer un estudio directo elementl precido l nterior y se lleg l cudrdo greco ltino que es l superposición de dos cudrdos ltinos trnspuestos. Los prtidos correspondientes en un torneo que cumple ls condiciones ntes enuncids son Hj M HM HM HM Hi Mj H M HjM, -'HM HjM H M] Hj M HsMs HMJ HM} HM, -HjM, HMJ -HjIVI, que resultn, igul que ntes, escriiendo que si el cudro (i J) tiene el número (h,k) el prtido correspondiente es HjM^ - HjM.. Desde el punto de vist de l enseñnz medi el tem es interesnte por ilustrr como se ps de un prolem concreto, en este cso de índole deportivo, un prolem mtemático que en este cso tiene un lrg histori y del cul quedn todví cuestiones por dilucidr. Los cudrdos greco ltinos, por otr prte, tienen interés en estdístic pr.ei plnemiento de experimentos. Pr l construcción de pres de cudrdos ltinos ortogonles, es interesnte el método de ls "geometrís finits", que vmos exponer en un ejemplo pr ver como se ejercitn en I cuestiones de álger y geometrí en coordends que segurmente hrán de despertr el interés de ciertos lumnos.

9 Geometrí finit sore G. Consideremos un cuerpo finito de elementos,,, con sus respectivs tls de dición y producto + X ' Llmemos punto l conjunto de tres elementos de G, sen (x,y,z) tles que: ) no sen los tres nulos; ) ls terns (x,y,) y (Xx, Xy, Xz) representn el mismo punto, suponiendo X #. Llmemos rect l conjunto de puntos que stisfcen un ecución de l form Ax+By+Cz = O, siendo (A,B,C) un punto. Se tienen de est mner puntos y rects que constituyen el plno proyectivo sore G. Es interesnte escriir todos los puntos y tods ls rects de este plno y hcer ejercicios del tipo: ) Hllr l ecución de l rect que ps por dos puntos ddos (por ejemplo, l rect que ps por (,,) y (,,) es x+y+z - ); ) Hllr el punto de intersección de dos rects (por ejemplo, ls rects x+y+z = O, x+y = O se cortn en el punto (.,)). Notr que cd rect tiene puntos y por cd punto psn rects; escriir un tl que conteng tods ests relciones. Estos ejercicios se resuelven exctmente como en el cso del plno rel, teniendo en cuent ls tls opertoris del cuerpo G. Pr relcionr est geometrí con los cudrdos ltinos ortogonles se procede de l mner siguiente. i) Se consider un rect fij, por ejemplo l x =. Se hlln los puntos de l mism, ser Ji(OOI), J, ( ), JjíOll), J( ), J( ). i) Se considern ls rects, demás de x=, que psn por Ji y lsque psn por J, ls cules resultn ser u V" y=o x+y= x+y= x+y= z= x+z= x+z= x+z=

10 Los puntos de intersección de ests rects entre si son O ^ ^ ^ ^ ', O O «l ' O ^M O l ili) Consideremos ls rects que psn por Js ( O ) J J y + z = O X + V + z = O x + V + z = O x + y + z = En el cudrdo (*) pongmos en el lugr de l fil i y column j, el número h de l lect r h que ps por él. Por ejemplo el punto (^) es ( ) y de ls rects r u l que ps por este punto es l r. Se tiene sí el siguiente cudrdo ltino Este cudrdo es ltino puesto que los puntos de cd fil (o column) del cudrdo (*) solo pueden unirse con un sol rect r^^, es decir, en ls fils y columns del cudrdo no pueden precer números repetidos. Iv) Procediendo nálogmente con J y J se tienen ls rects J Ui "AI \i ^ y + z = X + y + z = X + y + z = X + y + z = Js SI SI %i y + = o X + y + = O x + y + z = O X + y + z = O «

11 que procediendo como ntes dn lugr los cudrdos ltinos () () L importnci de los cudrdos ltinos ( ), (j ), ( ) es que ellos son ortogonles entre si dos dos. En efecto, si l superponer ( ) y ()) por ejemplo, preciern dos pres igules (i,j) = (i', j') significrí que dos puntos del cudro (*) pertenecen un mism rect por J y un mism rect por J lo cul no es posile. Pr comprr { ), (j ), ( ) con los cudrdos ltinos otenidos nteriormente, se pueden ordenr permutndo fils y columns, de mner que en l digonl prezcn.,,. Resultn sí los cudrdos ltinos ortogonles y trnspuestos () (ï')=(y)= que son los mismos ntes encontrdos. El método nterior sirve siempre que se teng un cuerpo finito de orden n. Se se que esto ocurre siempre que n se l potenci de un número primo. Por tnto vle pr n =, pero no pr n =. Pr los vlores de n que no son de est form, el método no sirve, lo cul no quiere decir que no existn cudrdos ltinos ortogonles, pero hy que uscrlos por otros métodos, en generl complicdos y no sistemáticos. Pr n = l construcción se logró en 99 por Bose y Schrikhnde (Proc. Nt. Acd. Se. vol., 99, -). Si los lumnos presentn interés por l geometrí finit, puede mplirse el tem en l dirección xiomátic. Consideremos por ejemplo l siguiente definición generl: Un "geometrí finit generlizd" es un conjunto finito de elementos llmdos puntos P y un conjunto finito de elementos llmdos rects r que stisfcen los siguientes xioms:. Dos puntos determinn exctmente un rect que ps por ellos.. Pr tod rect r, existe un punto P que no pertenece ell;. Tod rect contiene por lo menos dos puntos;. Existe por lo menos un rect;. Ddo un punto P y un rect r que no lo contiene, existen exctmente k rects que psn por P y no tienen punto común con r. Ls rects que no tienen punto común se llmn rects prlels. El teorem fundmentl de est geometrí es el siguiente: Si un rect contiene exctmente n puntos, entonces:

12 e) Tod rect contiene exctmente n puntos; ) Por cd punto psn exctmente n+k rects; c) Existen exctmente (n+k) (ni) puntos; d) Existen exctmente (n) ( (n+k) (r>-l) + (n+k) rects. Es interesnte que los lumnos prueen totl o prcilmente este teorem pues ce dentro de sus posiiliddes y ello es un ejercicio interesnte pr ejercitr l deducción de teorems prtir de un sistem de xioms. Conviene tmién que den ejemplos pr ver que el sistem es comptile y, si se puede, prueen que los xioms son independientes (tmién con ejemplos negndo cd uno de los xioms). Un tl geometrí se represent por G<n,k). Pr k= se tienen ls geometrís finits ordinris, muy estudids. Si n- es l potenci de un número primo se tiene l geometrí sore un cuerpo finito. El cso generl k^ O es menos conocido. Es un tem interesnte considerr los csos más simples e ider representciones de l geome'rí resultnte. Por ejemplo, l G(^) se compone de cinco puntos, sen,,,, y diez rects, ser r,:, r^:, r,:, r^:, r,:, r,:, r,:. r^:, r,;, r, :. que pueden representrse por los cinco vértices de un prentágono y sus ldos digonles. Se pueden construir G(,) que tiene seis puntos y quince rects y G(,) con siete puntos y veintiun rects. Con más trjo se pueden construir G(,) y G(,) est últim con puntos y rects. El prolem de ser pr qué vlores de k el prolem tiene o no solución no prece estr resuelto. Un teorem fácil es que pr que exist G(n,k) es necesrio (puede no ser suficiente) que k(k-) se múltiplo de n. L demostrción es inmedit oservndo que en cso contrrio el número de rects no result entero. Biliogrfí tore el tem se puede ver en S.H. HEATH - C.R. WYLIE, Some oservtions on BL (,), Revist de Mtemátics y Físic teóric de l Universidd N. de Tucumán, voj., 9, p. -). 9. Prolems de simulción. Tls de números l zr. L teorí de proiliddes y l estdístic ofrecen mplio cmpo pr proyectóse prolems lrgos muy decudos pr el estudio y trtmiento en equipo y discusión colectiv. El métddo de simulción de situciones y su trtmiento medinte tls de números l zr es muy instructivo y conviene que los lumnos se fmiliricen con él, pues si ien pr otener resultdos confiles se necesitn muchos números y un clculdor pr operr con ellos, por ejemplo un clculdor de olsillo, pr dr un ide del método y hicer comprender como oper el zr, veces son suficientes pocs operciones, fctiles de ser relizds mno. Se necesitn siempre uns tls de números l zr. Hy que explicr que son ests tls V ficer que cd lumno se frique l suy o l copie de ls que se encuentrn en muchos liros de proiliddes. Conviene que ls tls sen distints de un lumno otro, pr de est mner disponer, en conjunto, de tls de muchos números (l de cd lumno puede ser de unos dígitos). Pr dr un ide y como ejemplo, reproducimos continución dígitos l zr de l tl dd por Glymnn-Vrg en su liro y citdo Les proilités à l'école, CEDIC, 9 (trducción cstelln por Editoril Teide, Brcelon, Espñ, 9):

13 C , j y n Consideremos el siguiente prolem: Un line de ómnius tiene un servicio progrmdo pr que por l prd A pse un ómnius cd minutos. Por circunstncis del tráfico, ocurre que cd ómnius puede delntrse o trsrse hst minutos, con igul proilidd. Un psjero lleg l est Clon A en un momento l zr. Cuál es el tiempo medio que tendrá que esperr hst que llegue un ómnius? Vmos trtr el prolem por simulción. Consideremos el eje x como eje de los tiempos. El ómnius Pi que deerí llegr A en el minuto x=, puede psr, con iqunl proilidd en culquier de los minutos ^X ^. El ómnius P, que deerí,i psi en el minuto += puede psr en culquier de los minutos -fxj siendo ix,'> Podemos suponer, demás, que el psjero lleg, con igul proilidd, en culquier de los minutos ^XQ<, pues l situción sen l mism en culquier intervlo nálogo. Pr usr ls tls de números l zr, tommos un sucesión de terns (x,,x,,x ) de l tl nterior, excluyendo el 9 cd vez que prezc. Se tiene sí l sucesión,,,,,,,,,,,... Convenimos en tomr el primer numero Xj como el minuto en que ps el ómnius Pi. El número x represent que el ómnius Pj lleg en el minuto +x y el número x^^ indic que el psjero lleg en el minuto x^. L diferenci x,xg si x^^x^ o l diferenci + Xj-x^ si x^>x^ es el tiempo de esper en cd cso. Tenemos si' l siguiente tl

14 "l >< \ esper 9 9 ^ ""i \ esper 9 9 i- Con ests experiencis, el vlor medio del tiempo de esper result ser E(t) ^ =, minutos. El prolem se puede resolver teóricmente si los lumnos conocen un poco de cálculo integrl (último ño de escuel medi) y el resultdo es que si el tiempo entre dos ómnius consecutivos está progrmdo en t minutos y se dmite un tolernci de ± t, es E(t) = ()t. En el cso considerdo result E(t) = () =,... Vemos que l proximción es stnte ceptle. Si cd lumno procede de mner nálog con su propi tl de números l zr, los números prticulres nteriores diferirán mucho entre si, pero el resultdo finl dee ser precido; l medi ritmétic de los resultdos otenidos se proximrá, en proilidd, cd vez más l vlor teórico. El prolem dmite muchs vrintes: ) los intervlos en que pueden psr los ómnius Pj, P,... que en el cso considerdo emplmn en el punto x=, puede ocurrir que sen disjuntos, o ien que tengn prte común, en cuyos csos el trtmiento por simulción es muy nálogo l nterior y en cmio el trtmiento teórico es más complicdo, ) puede pensrse, como más relístico, que los ómnius sólo pueden retrsrse, pero no delntrse; tmién en este cso se trt de igul mner.

15 Es interesnte relcionr el prolem con l relidd. Si los lumnos deen tomr un cierto ómnius pr ir l escuel, se les puede pedir que pregunten l frecuenci con que teóricmente deerín psr y que noten los tiempos de esper de cd dí. Se procur hcer un esquem teórico que se dpte lo más posile l relidd y se nlizn los vlores reles con los que resultn de l simulción. L discusión de los prámetros necesrios pr que l simulción se dpte l relidd d lugr interesntes posiiliddes y costumr Ips lumnos l rzonmiento proilístico. El uso de Tls de números l Azr es poco frecuente en l escuel secundri. Creemos que deerí intensificrse. Es un mner de "experimentr" en prolems simples de proiliddes, sin necesidd de cudir ls moneds, los ddos o ls urns. Es, demás, un excelente mner de prender "simulr", hciendo del prolem un modelo ritmético. Es el fundmento del Método de Monte Crio que permite, usndo computdors, resolver prolems difíciles. Vemos otro ejemplo. Prolem de estcionmiunto. Supongmos un clle de m de lrgo l que vn llegndo coches de m de lr- 9, los cules estcionn l zr en el lugr que encuentrn vcío, sin preocuprse de cercr su coche los y estciondos, pr que quepn más. Se dese ser el vlor medio del número de coches que podrán estcionr. L solución teóric no es fácil. El prolem fué resuelto por el mtemático húngro A. Rényi (Mgyr Tud.Akd.Mt. Intezet Kozl, 9) y l solución dice que procediendo de l mner indicd, estcionndo l zr, se curirá por término medio el % del espcio disponile. Por tnto, en el cso considerdo, el número medio de coches que podrán estcionr será =,. Si se dispusiern ien, uno justo después del otro, crín =, coches. Pr resolver el prolem experimentlmente, con un tl de números l zr, podemos proceder de l mner siguiente. Tomemos en l tl grupos de números de cifrs que indicrán, en decímetros, l distnci l comienzo de l clle del coche que se estcion. Si el lugr y está ocupdo, se sigue en l list, prescindiendo del número. Procediendo, por comodidd de lectur, por columns, y utilizndo l tl nterior de Glymnn-Vrg, result lo siguiente: el primer coche que lleg estcion entre y 9 dm. El segundo, entre y dm, el tercero entre y dm y sí sucesivmente, hst que lleg uno que, l zr, deerí estcionr entre los y los dm, pero no lo puede hcer por estr este lugr y ocupdo por el que estcionó entre y. Siguiendo con l tl se otiene l siguiente sucesión de lugres ocupdos: - 9, -, -, -, 9-9, -, -, -, -, -, -, 9-9, 9 -, -, -, -, -9, -, 9-9, -, 9-. Son en totl coches. Se h termindo l tl y quedn todví lgunos intervlos vcíos, que son los -, -, -, -, -, 9-9. Como únicmente en el intervlo cen dos coches, procediendo con un tl más extens, en lgún momento, ellos se llenrán, resultndo en totl un máximo de coches. Vemos que este vlor es stnte proximdo l teórico menciondo. Nturlmente que

16 con fsio se h hecho un sol prue. Hciendo lo mismo con l tl de cd lumno y preludindo se verá como los resultdos vn siendo siempre no muy distntes del ddo por l teorí Se trt, por tnto, de resultdos muy confiles. Conviene que los profesores vyn coleccionndo ejemplos de este tipo, dptdos cd lugr y cd momento, procurndo que interesen lo más posile los lumnos. Tods ls plicciones expuests, relizds modo de proyectos, son complementos indispensles de todo curso de mtemátic. En ells se mnejn los conocimientos dquiridos, se despiert el interés de los lumnos pr el estudio de los mismos y se d liento l fntsi pr descurir nuevos métodos de solución y nuevos prolems o vrintes de los mismos. Lo idel serí encontrr tems decudos pr cd lumno, de cuerdo con su vocción, su tempermento y su cpcidd. Deprtmento de Mtemátic Fcultd de Ciencis Excts y Nturles Ciudd Universitri (Nuñez) Buenos Aires (Argentin)

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