1 - NUMEROS REALES: Operaciones, intervalos, potenciación, y radicación, racionalización de numeradores o denominadores.

Transcripción

1 ESCUELA SUPERIR TÉCNICA Ingreo l Tecnictur UTN MATEMATICA Pro. Mónic Au - NUMERS REALES: percione, interlo, potencición, rdicción, rcionlizción de nuerdore o denoindore. - EXPRESINES ALGEBRAICAS: Polinoio en un rible. percione con polinoio: dición, utrcción, ultiplicción diiión. Cudrdo cubo de un binoio. Regl de Ruini pr l diiión Teore del Reto. ctorizción de polinoio. - UNCINES: uncione nuéric, lgebric, trcendente. uncione trigonoétric, reolución de triángulo. - ECUACINES: Polinòic, rccionri, irrcionle, ite de ecucione linele, ite ito. Unidd.- NÚMERS REALES I.- Reuel l iguiente opercione: - ( (- - 7 ( (

2 II Reuel l iguiente opercione plicndo propiedde de l potencición: 8. 6 z : z 9 z. z : 5 : 5 III Etrig rdicle reuel: IV Epree en u or á encill: V Rcionlice lo denoindore de l iguiente epreione epree el reultdo de l or b c ; con, b c rele: VI Rcionlice lo denoindore de l iguiente epreione, epree lo reultdo en l or á encill: b 5 c VII Ddo lo iguiente conjunto de núero rele: A C E / R B / R 5 / R 7 D / R / R 6 / R Se pide: Ecríblo coo interlo rele.

3 b Repreéntelo en l rect rel. VIII Relice l iguiente opercione entre lo conjunto del ejercicio VII repreente, cundo e poible, cd conjunto olución obre l rect rel: A B; AB; AC; C; C; DE; D; ABD; AE Repuet ½ 5 /9 6 ¼ 7 / /5 /5 8/7 /7 /9 5 / 6 9/ / / /5 6 /5 7 / z 8 z bc b c IX- INECUACINES Reuel l iguiente inecucione. Indique clrente el conjunto olución repreéntelo obre l rect nuéric

4 RESPUESTAS S ; 8 S ; S 7; S ; S ; 6 S ; 5 7 S ; ; 8 S 6;5 9 S ; 5; 5 S ; ; S R S ; 7; S S ;5 5 S ; 6 S ; ; 7 S ; X.- VALR ABSLUT.- Hlle lo lore de pr lo cule e cuple: RESPUESTAS: S ; ; ; 7 S ; 8 S ; ;

5 Unidd.- UNCINES.- Indique cuále de l iguiente repreentcione gráic correponden uncione de A B: b B B A A c d B B A A.- Cliique l uncione del ejercicio 7.. en inecti, obreecti o biecti..- Grique lo iguiente grupo de uncione linele e indique en qué co e trt de rect prlel o perpendiculre. Jutiique u repuet. (Utilice un io gráico crteino pr cd grupo de rect b c 5.- Dd l rect de ecución, hlle l ecución eplícit de l rect: prlel que p por P = (; - b perpendiculr con ordend l origen De tod l rect que pn por el punto P = (;, hlle l ecución de l rect que: Tiene ordend l origen. d E perpendiculr =. b Tiene pendiente /5. e Tiene pendiente cero. c E prlel l eje. Tiene bci l origen 5.

6 6.- Se be que ( e un unción linel, (- = ( = 6. Hlle l ecución de dich rect. Grique. 7.- Hlle el lor de k en l ecucione de l iguiente rect de ner que e eriique l condición indicd: (+k (-k + k + = pe por el punto (;. b k + ( k + 7 = teng pendiente Hlle l ríce o cero de l iguiente uncione cudrátic l coordend del értice. Grique. ( = c ( = - b ( = + d ( = - RESPUESTAS.- í, e unción b no e unción c í, e unción d í, e unción.- obreecti b c biecti dno inecti no inecti no obreecti.- perpendiculr b perpendiculr c prlel = -/ prlel ; = =.- = -5/ 7/ b = / = + b = - /5 + /5 c = d = -/ + 9/ e = = = 5/ + 9/ 7.- k = - b k = 7/ 8.- = = ; = (; c = ; = - ; = (; - b = = ; = (; d =, = - ; = (-; Ejercicio dicionle:.- Grique l iguiente uncione linele e indique l coordend de lo punto de interección con lo eje coordendo:

7 k R R k h R R h g R R g R R ( / :.. ( / :.. ( / :.. ( / :...- Deterine cuále de l iguiente rect pn por el punto ; P : : : : r r r r.- bteng l ecución de l rect que p por el punto P tiene pendiente :.. (; P.. ; ( P.- bteng l ecución de l rect que p por el punto A tiene ordend l origen b:.. ; ( b A.. ; ( b A 5.- Grique l iguiente uncione cudrátic. Indique u ríce o cero, l coordend del értice l ecución del eje de ietrí. Hlle el conjunto igen pr cd un de ell. ( 5.. ( 5.. ( ( 5.. h g

8 Unidd.- PERACINES CN PLINMIS. ACTRE Prte.- Ddo lo polinoio P( = ; Q( = 5 + R( = - +, reuel l iguiente opercione: P( + Q( R( e P( : Q( b P( ½ R( R( : P( c P(. Q( g Q ( R( d R(. Q( h (. P( + R( : (.Q(.- Sbiendo que c b P 5 ( 5 ( b Q ; hlle, b c pr que e cupl l iguiente iguldd: c Q P 8 ( (.- Con lo io polinoio P( Q( del ejercicio nterior hlle, b c pr que e cupl: c Q P 8 ( (.-Reuel l iguiente opercione cobind entre polinoio:. 5 : e d c b 5.- Aplique l regl de Ruini pr hllr el cociente el reto de l iguiente diiione: : 6 5 : 6 : 5 : d c b 6.- Hlle el lor de k pr que el polinoio k + 8 e diiible por. 7.- Hlle el lor de k pr que l diidir el polinoio + k + 9 por + e obteng el io reto que l diidir + + por el io binoio. 8.- Hlle A B pr que el polinoio A 5 + B e diiible por ( por ( +. Repuet: ; b ½ + / ½ ½ ; c ; d ;

9 e C( = /5 7/5 R( = 7/5 ; C( = -/ 7/ R( = -9/ + ; g h C( = /5 R( = -/5 +.- = ½ ; b = ½ ; c = 5/9.- = -/ ; b = ¾ ; c = -5/ ; b C( = R( = 5 ; c + ; d 7 5 e 9/8 9/ + / C( = R( = 67 ; b C( = + +7 R( = ; c C( = + R( = ; d C( = + / /9 /7 R( = 8/7 6.- k = k = 8.- A = /5 ; B = 8/5 Prte.- Decopong l iguiente epreione lgebric en ctore: 5 b + - c b + b d + 5 e + + g 8 h + i j Sipliique l iguiente epreione lgebric rcionle: 5 5 b 8 c.- Reuel l iguiente opercione epree el reultdo de l or á encill poible:

10 9 : 8 : : h g e b b b b b d c bc c b c b Repuet.- 5 ( ; b (- + ½ ; c ( + (b ; d ( 5 ; e (+ ; ( +(+(- ; g (-( + + ; h ( ( + ( ; i ( ; j ( ( ; b ; c ; b ; c 7 c b ; d b ; e ; g h

11 Unidd.- ECUACINES I.- Reuel l iguiente ecucione; indique preiente lo lore que no puede tor l incógnit, en co de er necerio: 5 = Rt: = -/ + 9 = 6 Rt: = = ( + 9 Rt: = - ( = Rt: = -9/ Rt: = 6 Rt: = Rt: = / Rt: = 9 Rt: in olución II.- Plntee reuel lo iguiente proble:.- Si un núero e le retn unidde et dierenci e ultiplic por, e obtiene 95 Cuál e el núero? Rt: 5 b.- Reprtir $6 5 entre cutro peron de ner tl que l prier recib /5 de lo que recibe l egund; l tercer recib /6 de lo que recibe l prier l curt / de lo que recibe l tercer. Rt: $ 9; $ 5; $ 5; $ c.- Un peron gt / de u dinero luego /5 de lo que le qued. Tiene ún $6. Cuánto dinero tení l principio? Rt: $ 5 d.- L quint prte de un núero á e igul / eno el duplo de dicho núero. Cuál e el núero? Rt: -5/ e.- L u de tre núero ipre conecutio e igul 8. Cuále on eo núero? Rt: 59, Un utooilit recorre 78 k en tre etp. En l egund el recorrido e de k á que en l prier en l tercer k eno que en l egund. Cuánto kilóetro recorre por etp? Rt: k, k k III.- Reuel lo iguiente ite de ecucione por lgún étodo nlítico por el étodo gráico. Cliíquelo egún el tipo de olución en coptible deterindo, coptible indeterindo o incoptible.

12 .- 8 S = (; b S = (-;- c S = (/; d S = e S = (; / = 6 VI.- Plntee reuel lo iguiente proble:.- Un hcenddo ende c 7 cbllo $ 6.. Luego ende c cbllo lo io precio unitrio en $.. Cuál e el precio de cd c de cd cbllo? Rt: $ 5 cd c $ 75 cd cbllo b.- L recudción de un prtido de útbol ue de dólre. L entrd tribun cotbn 5 dólre cd un l entrd plte dólre. Cuánt entrd de cd tipo e endieron i ingreron l etdio. peron? Rt:.6 tribun.66 plte c.- L u de do núero e 998, u cociente e 7 el reto de l diiión e 8. Cuále on lo núero? Rt: 96 5 d.- En l íper de un btll lo eectio de do ejército ern entre í coo 5 e 6. El priero perdió. hobre el egundo perdió 6. hobre. L relción e entonce de. Cuánto hobre tení cd ejército? Rt: hobre

13 ESCUELA SUPERIR TÉCNICA Ingreo l Tecnictur UTN ÍSICA Lic. Mrí Lucil Colobo. CINEMATICA: Vectore repreenttio, oiiento rectilíneo uniore, oiiento circulr Uniore.. DINAMICA: Crcterític copoición de uerz, lee de newton, plicción.. TRABAJ Y ENERGIA: Trbjo de un uerz contnte, potenci, energí. UNIDAD : CINEMÁTICA Cineátic: E l prte de l íic que decribe el oiiento de lo cuerpo in tener en cuent l cu que producen dicho oiiento. Cineátic del punto teril: E el etudio del oiiento de un punto teril, entendiéndoe por tl el cuerpo cu dienione on deprecible con repecto l ditnci que lo epr de otro cuerpo. Site de Reerenci: E todo ite de eje con un origen coún con repecto l cul e reiere l poición de un cuerpo en un deterindo intnte. Moiiento de un cuerpo: Un cuerpo e encuentr en oiiento reltio cundo rí u poición con repecto un ite de reerenci. Trectori: E l cur que dibuj el cuerpo durnte u oiiento, repecto de un ite de reerenci. Si l trectori e un rect el oiiento e rectilíneo, i l trectori e un circunerenci el oiiento e denoin circulr, i l trectori e un prábol el oiiento e denoin prbólico, i e un elipe, elíptico, etc. Vector Poición Vector Deplziento: Elegido un ite de reerenci, l poición de un punto teril e indic edinte el ector poición r con origen en el origen de coordend del ite etreo en dicho punto teril. Ete ector copñ l punto en u oiiento lo lrgo de u trectori.

14 Ddo do punto de l trectori del punto teril, uno inicil otro inl, el ector que tiene por origen el punto inicil por etreo el punto inl de dicho tro de trectori e denoin ector deplziento r. Ete ector e clcul retándole l ector poición inl el ector poición inicil del óil: r r r. E iportnte no conundir lo concepto de deplziento ditnci recorrid. Sólo coincide el deplziento con l ditnci recorrid cundo l trectori e un rect. L unidd de edid en el ite MKS de eto ectore e el (etro. r r r Vector Velocidd edi Vector Velocidd Intntáne: Se deine coo Vector Velocidd edi l cociente entre el ector deplziento el interlo de tiepo durnte el cul e produjo dicho deplziento. r r t t r t r( t t r t t, donde r t e reiere l poición del óil en el intnte t r t t e l poición del io luego de hber trncurrido el interlo de tiepo t. Ete ector coner l dirección el entido del ector deplziento u unidd de edid en el ite MKS e. P t r r t t t r Pt t En prticulr i el interlo de tiepo e tn pequeño que prácticente le cero, l poicione inicil inl del óil on tn prói entre í que u correpondiente ectore poición on ci prlelo, prácticente uperpueto por lo tnto el ector deplziento e tngente l r dr trectori. Se deine entonce el ector Velocidd Intntáne li li. t dt t o t o r t t Vector Acelerción edi Vector Acelerción Intntáne:

15 Se deine coo Vector Acelerción Medi l cociente entre el ector rición de elocidd el interlo de tiepo durnte el cul e produjo dich rición. ( t t t t t t t t t t t t t t t t Ete ector coner l dirección el entido del ector rición de elocidd u unidd de edid en el ite MKS e. De l i or en que e nlizó el concepto de elocidd intntáne, e deine el Vector d Acelerción Intntáne. De odo que i t e li li. t dt En lo oiiento cu trectori on rect el ector celerción intntáne tiene l i dirección que l trectori del óil. Coponente Intrínec de l celerción: L celerción intntáne de un óil en un punto de u trectori, i ét e un cur pln, e puede decoponer en do direccione perpendiculre entre í, un tngente l trectori otr perpendiculr quell. L proección de l celerción intntáne obre l dirección tngente e denoin celerción tngencil l proección obre l dirección perpendiculr (norl e t ll celerción norl, rdil o centrípet n c. Aí el ector celerción intntáne e puede eprer coo l u ectoril entre el ector celerción tngencil el ector celerción norl: t n. El ector celerción tngencil indic l ricione en el ódulo de l elocidd del óil el ector celerción norl deine l ricione en l dirección de dich elocidd. Si l trectori del óil e un rect entonce n por lo tnto t t t o t o c

16 MVIMIENTS RECTILINES Moiiento Rectilíneo Uniore Un cuerpo tiene oiiento rectilíneo uniore cundo u trectori e un rect u elocidd intntáne pernece contnte. Eto iplic que el óil eectú deplziento igule en interlo igule de tiepo. r r. t t En ete tipo de oiiento e puede trbjr en or eclr deignndo con l letr tod l poicione inle del óil con u poición inicil, con l letr t lo intnte inle t l intnte inicil. De odo que i el óil e trld prlelente l eje de l l ecucione e trnorn en:. t lo que no lle t.( t t. t t que e l Ecución horri del oiiento Si en prticulr t et ecución e conierte en. t. t t Si entonce por lo tnto l pendiente de l rect (t e poiti. Si entonce por lo tnto l pendiente de l rect (t e negti. Si entonce l rect que repreent (t etá por debjo del origen de coordend. Si, l rect que repreent (t e coincidente con el eje de l l que repreent (t e prlel l eje l ltur. Moiiento Rectilíneo Unioreente Vrido Un cuerpo tiene oiiento rectilíneo unioreente rido cundo u trectori e un rect u celerción intntáne pernece contnte, por lo que u celerción intntáne e igul u celerción edi. Nueente en ete tipo de oiiento e puede trbjr en or eclr. De odo que l ecucione e trnorn en:. t lo que no lle.( t t. t t. t

17 En et últi ecución e l elocidd del óil en el intnte inicil t lld elocidd inicil. Coo e e e l ecución de un rect de pendiente ordend l origen, eto iplic que l elocidd rí en or linel repecto del tiepo. Según que (pendiente poiti ó (pendiente negti, l elocidd del óil uentndo o diinuendo repectiente con el trncuro del tiepo. L Ecución Horri de ete tipo de oiiento e t t t t L iguiente on l repreentcione gráic de l poición (t, l elocidd (t l celerción (t en unción del tiepo pr lo co en que l celerción e poiti o negti: > < t t > < t t > < t t

18 Moiiento Circulr Uniore: Un cuerpo tiene oiiento circulr uniore cundo u trectori e un circunerenci recorre rco igule en interlo igule de tiepo. L elocidd intntáne en ete tipo de oiiento ntiene inrinte ólo u ódulo, u dirección e iepre tngente l trectori. Eto últio iplic que el ector elocidd intntáne e iepre perpendiculr l rdio de l trectori. r B r A Cundo el óil e deplz lo lrgo de un rco de l circunerenci dede un punto A (inicil ht otro punto B (inl, el rdio r de l i decribe un ángulo. El ángulo brrido e obtiene prtir del rco brrido edinte l epreión. En ete co coo el ángulo brrido e r obtiene coo el cociente entre do longitude, quel e dienionl o e que e ide en rdine. Coo ete proceo e lle cbo en un interlo de tiepo, r (ec.( t t Donde e l elocidd edi del óil u elocidd ngulr. Aí l (ec.( e t t trnor en r. Si el óil d un uelt coplet de longitud.. r en un interlo de tiepo t T lldo.. r período, e tiene:. Y coo l iner del período e T T e denoin recuenci.. r (cntidd de uelt que el óil d por unidd de tiepo, e pueden eprer.. r. T... T L unidde en el ite MKS en que e iden el período, l recuenci, l elocidd tngencil l elocidd ngulr on: T (egundo hertz Hz rd

19 Ecucione horri del oiiento circulr uniore:. t en unción del rco recorrido l elocidd tngencil del óil..t en unción del ángulo brrido l elocidd ngulr del óil. En lo que l celerción intntáne e reiere, e n r. r. r. e que ólo h celerción centrípet o rdil, no h celerción tngencil porque el ódulo de l elocidd tngencil no rí. EJERCICIS RESUELTS DE CINEMÁTICA Ej. (Veloc. Medi Supong que uted etá iiendo en EEUU por trbjo todo lo dí ij por l utopit que de Sn Diego Lo Ángele con un elocidd edi de 5 k/h el ije le lle h in, ecepto lo ierne por l trde que el tránito pedo lo oblig conducir 7 k/h. Cuánto tiepo á le llerá el ije? r t r. t lo dícoune. t r.. t. t t t lo ierne l trde 5k/ h 7 reeplzndo lo dto nlizndo l unidde t. h, 5h 7k/ h t t h h hin, o e que trdrá un hor diez inuto á que lo 6 cotubrdo. Ej. (Veloc. Medi Su iej cobi VW trquete con un elocidd edi de 8, / durnte 6, luego entr en clor corre otro 6 con un elocidd edi de, / Clcule l elocidd edi en lo. b Supong que l elocidd de 8, / e ntuo durnte, eguid de un elocidd edi de, / durnte otro. Clcule l elocidd edi en tod l ditnci. c En cuál co l elocidd edi de todo el oiiento e el proedio de l do elocidde? r e l dierenci de poición en el prier tro. r t t. r e l dierenci de poición en el egundo tro. r t 6 t. r r r 68 e l dierenci de poición entre el principio del prier tro el inl del egundo. r 68 e l elocidd edi durnte todo el trecto. t

20 b r t e el tiepo epledo en recorrer el prier tro. 8 r t e el tiepo epledo en recorrer el egundo tro. t t t r 8, 5 e l elocidd edi durnte todo el trecto. t c En el co ( l elocidd edi de todo el oiiento e el proedio de l elocidde edi de cd tro. Ej. (MRU Do punto A B etán eprdo. En el io intnte do óile len de A de B, uno de ello dede A hci B con elocidd 5 / el otro dede B hci A con elocidd 5 /. Clculr en qué intnte poición e encuentrn tondo coo reerenci el punto A. A A B B A B doptndo coo ite de reerenci el eje de l con origne en el puntoa A 5 porque etá en el entido poitio del eje de l B 5 porque tiene el entido contrrio l entido poitio del eje de l. b Se ecriben l ecucione horri de cd uno de lo óile. Móil A: At A At A t 5. t Móil B: Bt B Bt B t 5. t c Coo bo óile pr encontrre deben hcerlo en el io lugr l io tiepo, plnteo que At e Bt e donde t e e el intnte en que e encuentrn. Aí 5. te 5. te, ecución cu únic incógnit e t e.

21 Depejndo t e e obtiene t e 5 Reeplzndo ete lor de t e en culquier de l ecucione horri nte plnted e obtiene l poición del punto de encuentro repecto de A. A d Veriicr el reultdo repreentndo gráicente t pr bo óile en el io ite de reerenci, pr ello ur l ecucione horri de bo óile, dr lore t en bo co entre. Se obtienen do rect, un de pendiente negti pr el óil B otr de pendiente poiti pr el óil A que e cortn en el punto de coordend 75 t 5. A 75 B 5 t Cuál e l celerción edi de un óil que en uentó u elocidd de t t t o k 6 h 6, Ej. (Acelerción edi k k h 6? h Ej. 5 (Acelerción edi Un utoóil ij un elocidd de k/h, de pronto priet lo reno e detiene edio inuto depué. Cuál e u celerción edi? k k h h 6 t,9 El igno negtio del reultdo e debe que l elocidd inl del utoóil e enor que l inicil. Ej. 6 (MRUV Un tortug cin en line rect obre lo que e llrá eje con l dirección poiti hci l derech. L c c ecución de l poición de l tortug en unción del tiepo e t 5,c,. t,65. t Deterinr l elocidd inicil, l poición inicil l celerción de l tortug. b En qué intnte l elocidd de l tortug e cero?

22 c En qué intnte depué de ponere en rch l tortug regre l punto de prtid? d En qué intnte l tortug etá un ditnci de, c de u punto de prtid? Cuál e l elocidd de l tortug en cd uno de eo intnte? e Repreentr gráicente t, t t en tre ite de reerenci dierente pr el io interlo de tiepo, por ejeplo de. Coprndo con l ecución horri de un MRUV, coo e el co del oiiento de l tortug e obtiene que: L poición inicil e L elocidd inicil e L celerción e 5, c c, c,5 b L ecución de l elocidd en ete tipo de oiiento e t. t por lo tnto en el co de l tortug e t,,5. t Por lo tnto plntendo c c c, t e depej: t 6 c,5 c Plntendo que l poicione inicil inl de l tortug on igule 5c c t reult. t,65. t c. c c t,65. t t t reoliendo l últi ecución reult, de l cule l prier correponde l intnte inicil en que l tortug prte de l poición = 5 c. Por lo tnto l repuet l pregunt e l egund, l tortug uele l punto de prtid lo egundo. d t 5cc 6c reeplzndo ete lor en l ecución horri c c,65 t. t c L elocidde de l tortug en eto intnte on: reoliendo e obtienen do lore t 5, 8 t 6,. 6,, 5,8, que e obtienen reeplzndo dicho intnte en l ecución de l elocidd.

23 e Tor l ecucione horri, de l elocidd de l celerción, dr lore t dentro del interlo de en cd un de ell repreentr cd un de l cur. t t e un rect de pendiente negti t hci el entido negtio del eje de l, pendiente cero. e un prábol que e bre e un rect de c/ 5c c 6 t -c/ 6 t,5 c t Ej. 7 (Cíd libre Un niño dej cer un piedr dede un ltur de,5. Clculr cuánto tiepo trd l piedr en llegr l uelo u elocidd juto nte de tocr el io. Tondo coo ite de reerenci el eje con u origen en el uelo, l poición inicil de l piedr e, 5.,5 g L ecucione horri de elocidd del oiiento on t g. t g t t.. Lo térino t en l prier ecución en l egund no igurn porque l elocidd inicil de l piedr cundo el niño l dej cer e cero. L coordend del uelo e, u poición inl. Por lo tnto:..,5 g. t t 5 g 9,8 5 9,8.5 9 poitio del eje elegido coo reerenci., el igno negtio de l elocidd e debe que u entido e contrrio l entido Ej. 8 (Tiro erticl Un tronut en l lun rrojó un objeto erticlente hci rrib, con un elocidd inicil de 8 /. El objeto trdó 5, en lcnzr el punto á lto de u trectori. Con eto dto clculr: El lor de l celerción de l gredd lunr. b L ltur ái que lcnzó el objeto. c L elocidd del objeto un juto nte de llegr l uelo lunr.

24 d Repreentr gráicente t, t t. á L ecución horri de ete oiiento e t. t. t t. t. Tondo coo origen de coordend el pio lunr t. t. t Cundo el objeto lcnz u ltur ái t por lo tnto. t. 8 Depejndo, 6 t 5 b L ltur ái e obtiene reeplzndo en l ecución horri á 5, 8.5.,6. 5, t 5,, l ecución de l elocidd e qued c Si el objeto trdó 5, en lcnzr u ltur ái, trdrá otro 5, en llegr l pio. Entonce dede que ue rrojdo ht que llegó l uelo trncurrieron,. Undo l ecución de l elocidd pr e obtiene l elocidd del objeto juto nte de llegr l uelo lunr. t,, 8,6., 8 objeto tiene entido contrrio u elocidd en l ubid.. El igno negtio e debe que en l cíd l elocidd del d Dr lore t de obtener lo lore correpondiente de t, t t, l prier e un prábol biert hci el entido negtio del eje, l egund un rect con pendiente negti l tercer un contnte. El inutero de lo reloje, coo e be, d un uelt coplet en un inuto. Clculr: L recuenci elocidd ngulr de u oiiento. b L elocidd tngencil del etreo de l guj i l longitud de l i e 5, c. c L celerción centrípet del etreo de l guj. Ej. 9 (MCU,7, Hz T 6 7 rd....,7, 5 e l recuenci. e l elocidd ngulr b c. r,5.5.,5, 5 e l elocidd tngencil del etreo de l guj.

25 c c r,5,5,5 c,5 e l celerción centrípet. Ej. (MCU En un prueb de trje g, un oluntrio gir en un círculo horizontl de 7, de rdio. Con qué período l celerción centrípet tiene gnitud de,g de g?. r. c. r. r T r r T. r. c.. r c.. 7, Reeplzndo lo dto en l ecución de T pr cd un de l celercione pedid e obtiene c c. T, 6 pr g, T, 68 pr g c BIBLIGRAÍA: íic Unieritri ol., Ser-Zenk Ed. Peron íic pr l cienci l tecnologí ol., Tipler Ed. Reerté Dináic: UNIDAD : DINÁMICA E l prte de l íic que etudi el oiiento de lo cuerpo teniendo en cuent l cu que producen dicho oiiento. Dináic del punto teril: Se reiere l etudio de l dináic de lo cuerpo puntule. Concepto de uerz: Se entiende por uerz l gnitud que e cu del cbio de etdo en un cuerpo o en u oiiento. Se trt de un gnitud ectoril por lo tnto e repreent edinte un ector. Mgnitud Vectoril: E tod quell gnitud que pr u deinición requiere deterinr u dirección, entido ódulo o nor: un ector. e el ector uerz R e l rect de cción del ector, R quien le d u dirección. El entido etá indicdo por l lech. El ódulo, nor o intenidd etá repreentdo por l longitud del ector.

26 Copoición de uerz: Cundo obre un cuerpo ctún á de un uerz l io tiepo, el eecto neto obre el cuerpo e debe l cción reultnte de l ccione de cd uerz en prticulr. E decir que e puede interpretr coo l cción de un únic uerz lld uerz net o reultnte R que reult de l u ectoril de cd un de l uerz ctunte. Copoición de uerz colinele del io entido: L reultnte de uerz colinele del io entido e otr uerz del io entido cuo ódulo e igul l u de lo ódulo de l uerz que e un. R b Copoición de uerz colinele entido contrrio: R L reultnte de uerz colinele de entido contrrio e otr uerz cuo ódulo e igul l ret de lo ódulo de l uerz que e un cuo entido e igul l entido de l uerz de or ódulo. R R c Copoición de do uerz perpendiculre: El ódulo de l reultnte de do uerz perpendiculre e obtiene prtir del Teore de Pítágor, pue l reultnte e l hipotenu del triángulo rectángulo deterindo por quell uerz. R El ódulo de l reultnte e igul l riz cudrd de l u de lo cudrdo de lo ódulo de l uerz. R d Copoición de do uerz no perpendiculre: El ódulo de l reultnte de do uerz concurrente no perpendiculre e obtiene prtir del Teore del coeno:

27 El cudrdo de l edid de un ldo de un triángulo e igul l u de lo cudrdo de l edid de lo otro do ldo eno el doble producto de ello por el coeno del ángulo que orn. 8º R En el co de l uerz: R...co(8º El ódulo de l reultnte e igul l riz cudrd de l u de lo cudrdo de lo ódulo de l uerz que e un eno el doble producto de b por el coeno del ángulo 8 º, que e el ángulo que e opone l reultnte. e Copoición de á de do uerz concurrente: R L reultnte R e obtiene edinte l u gráic de ectore. L coponente de dich reultnte e obtienen decoponiendo repecto de un ite de reerenci tod l uerz que interienen luego undo l coponente hoólog. Decopoición de un uerz en u coponente egún un ite de reerenci: (pr do dienione.co. en Son l coponente de l uerz en el eje en el eje repectiente. L coponente de l uerz on l proeccione de l i obre cd uno de lo eje. A u ez el ódulo de l uerz e relcion con u coponente de l iguiente ner. Y el ángulo edinte rctg. Lee de l dináic: LEYES DE NEWTN Prier Le de Newton o Principio de Inerci Todo cuerpo en repoo, igue en repoo eno que ctúe obre él un uerz etern. Todo cuerpo en oiiento continú oiéndoe con elocidd contnte eno que obre él ctúe un uerz etern. Se ll inerci l tendenci que tienen todo lo cuerpo pernecer en u etdo e de repoo o oiiento repecto de un ite inercil de reerenci, e l reitenci del cuerpo cbir u elocidd.

28 Se denoin ite inercil de reerenci quel ite donde e cuple el principio de inerci. Segund Le de Newton o Principio de L celerción de un cuerpo tiene l i dirección que l uerz etern que ctú obre él, e directente proporcionl dich uerz e inerente proporcionl u.. donde e l celerción del cuerpo, u l uerz etern. Pr odiicr l elocidd de un cuerpo, en dirección, ódulo, o bo e requiere de un uerz eterior. Recordr que l rición de l elocidd e un celerción. A prtir de et epreione podeo deinir l unidd de edid de en el ite MKS:. kg. N ( Newton Peo de un cuerpo de : L uerz etern de trcción que l Tierr ejerce obre un cuerpo e denoin Peo e obtiene de l egund le de Newton P. g donde g e l celerción de l gredd en el lugr donde e encuentr el cuerpo. Dich celerción e dierente en lo ditinto punto de l upericie terretre, e or en lo polo enor en el ecudor. El lor que e dopt pr l celerción de l gredd e g 9,8. Tercer Le de Newton o Principio de Acción Rección Si un cuerpo A ejerce un uerz obre otro cuerpo B (cción, el cuerpo B ejerce obre el A un uerz de igul intenidd pero de entido contrrio (rección. Eto iplic que l uerz de cción rección por er uerz de intercción entre do cuerpo, tienen igul dirección ódulo pero entido contrrio ctún obre cuerpo dierente. No neceriente lo cuerpo deben etr en contcto directo, pue pueden interctur entre ello ditnci coo lo hcen tré de l uerz de trcción grittori,o pueden etr inculdo tré de un cuerd que lo une.

29 EJERCICIS RESUELTS DE DINÁMICA Po eguir pr reoler un proble de dináic Elegir un ite de reerenci pr cd cuerpo. Coniderr tod l del cuerpo concentrd en un punto (cuerpo puntul. Reeplzr todo lo ínculo (cuerd, upericie, etc por l correpondiente uerz equilente. Relizr un digr de cuerpo libre pr cd cuerpo que intereng en el proble. Decoponer tod l uerz ctunte obre cd cuerpo egún el ite de reerenci elegido plicr l egund le de Newton. Ej. (uerz reultnte Sobre un cuerpo ctún do uerz de ódulo 6 N N cu direccione orn el ángulo entre í. Clculr l reultnte de b uerz pr lo iguiente co: 5º b 7º c 9º d 5 º Pr lo co (, (b (d ur el Teore del Coeno pr el co (c ur el Teore de Pitágor. Teor. del Coeno plicdo l ite de uerz R...co(8º Teor. de Pitágor R, co prticulr del Teor. del Coeno cundo el ángulo le 9º. Suponiendo que 8 º 6N N : R 6N N.6N.N.co( 8º 5º 95, 56N b R 6N N.6N.N.co( 8º 7º 8, 7N c R 6N N 7, N d R 6N N.6N.N.co( 8º º 59, 65N R Ej. (uerz reultnte Do perro tirn horizontlente de cuerd td un pote; el ángulo entre l cuerd e de 6,º. Si el perro A ejerce un uerz de 7N el B de N, clculr l gnitud de l uerz reultnte obre el pote u ángulo repecto de l cuerd A

30 Tor un ite de reerenci con origen en el pote, de odo que l uerz que ejerce el perro A obre el pote ore un ángulo de º con el eje de l l que ejerce el perro B ore el ángulo de 6º con el io eje. L uerz net obre el pote e A. Decoponiendo cd un de l uerz en u coponente: A A.coº 7N A A. enº B B B B B.co6º N.co6º 5N. en6º N. en6º 59,8 N B Pr obtener l coponente de l reultnte e un l coponente hoólog de l uerz que ejercen bo perro: A A B B (75 N N ( 59,8 N 59,8 N A B 7N N A El ódulo o intenidd de l uerz net o reultnte e: N 59,8 N 9, N 95 El ángulo que et reultnte or con el entido poitio del eje, o e con l dirección de l cuerd del perro A e obtiene coo igue: rctg 59,8 N rctg N,7º Ej. (Segund Le de Newton Un cj decn obre un etnque heldo que ctú coo upericie horizontl in ricción. Si un pecdor plic un uerz horizontl de 8, N l cj le produce un celerción de,, qué tiene l cj? kg. 8, N. kg 6 6, Ej. (Segund Tercer Lee de Newton Un elocit olípic puede rrncr con un celerción ci horizontl de gnitud 5. Qué uerz horizontl debe plicr un corredor de 55 kg lo bloque de lid pr producir et celerción? Qué cuerpo ejerce l uerz que ipul l corredor, lo bloque o ell i? CB Bloque Pie de l elocit CB uerz que l BC ejerce obre el bloque BC uerzqueel corredor bloqueejerce obrel corredor

31 Llndo CB l uerz que l corredor ejerce obre el bloque, BC l uerz que el bloque ejerce obre l corredor: BC C. C 55kg.5 85N e l gnitud de l uerz que el bloque ejerce obre l corredor, que e l uerz que ipul l corredor. Ej. 5 (Segund Le de Newton Un dico de hocke de,6kg repo en el origen ( = obre un cnch horizontl in ricción. En t =, un jugdor plic un uerz de,5 N l dico, prlel l eje, dej de plicrl en t =. Qué poición elocidd tiene el dico en t =? b Si e plic otr ez e uerz en t = 5,, qué poición elocidd tiene el dico en t = 7? kg.,5n,56,6kg kg,56 e l celerción del dico. Suponiendo que el dico prte del origen de coordend undo l ecución horri de l elocidd de ete MRUV pr t =, e: t. t,56.,, del repoo, en el intnte t. t.,56., e l poición del dico lo do egundo. lnzdo. e l elocidd del dico lo do egundo de hber ido b En el interlo de tiepo t 5 el dico iguió un MRU, por lo tnto 5. t,,. 5, 5 En el interlo de tiepo t, 5 t 7 el dico iguió un MRUV, por lo tnto. t. t 5. 7,, , 5 t 7 7,5,. 7 5.,

32 Ej. 6 (Digr de cuerpo libre,. Cuál e Un cuerpo de 6 kg e lentdo por edio de un og ipriiéndole un celerción de l tenión de l og? Sobre el cuerpo ctún do uerz en entido contrrio, coo e e en el digr de cuerpo libre: L tenión de l cuerdt el peo del cuerpo P. Aplicndo l egund le de Newton pr l uerz net: n i. T P i Tondo coo ite de reerenci el eje prlelo b uerz, el eje perpendiculr él, el origen de coordend coincidente con l, el ódulo de l uerz reultnte e clcul: T P T. g..( g 6kg.(9,8, 6, N P. g Ej. 7 (Digr de cuerpo libre Un cubet de,8 kg que etá llen de gu e celer hci rrib con un cordel de deprecible cu reitenci de ruptur e de 75, N. Dibujr el digr de cuerpo libre de l cubet. En unción de l uerz de u digr, qué uerz net ctú obre l cubet? b Aplicr l egund le de Newton l cubet deterinr l celerción ái hci rrib que puede ipriire l cubet in roper el cordel. Tondo coo ite de reerenci el eje prlelo b uerz, el eje perpendiculr él, el origen de coordend coincidente con l cubet: n i. T P.. ˆj i T gˆj.. ˆj e l uerz net obre l cubet á á Tá g T á g kg. 75 9,8 5,8,8. kg T T P. g

33 Ej. 8 (Digr de cuerpo libre-péndulo Un pelot cuelg de un cordón lrgo tdo l techo de un gón de tren que ij l ete obre í horizontle cu elocidd en uento. Un oberdor dentro del tren e que l pelot cuelg inóil. Dibujr un digr de cuerpo libre clrente rcdo pr l pelot. L uerz obre l pelot e cero? Jutiicr l repuet. T P T P Digr de Cuerpo Libre pr un oberdor uer del tren Aplicndo l egund le de Newton, un oberdor en el tren plnte: net obre l pelot e nul. net T P T P, por lo tnto T P net n i i, o e que l uerz l tenión de l cuerd e igul l peo de l pelot. Un oberdor uer del tren e que l pelot e uee en entido contrrio l entido en que e deplz el tren: n i. T P. net donde T e l tenión de l cuerd, P e el peo de l pelot i e l uerz etern que hce que l pelot e ue en entido contrrio l tren egún ete oberdor. Decoponiendo l uerz repecto del ite de reerenci elegido P. P T. Digr de Cuerpo Libre pr un oberdor en el tren. net. net De odo que l epreión de l uerz net obre l pelot e P. i P T j net ˆ.ˆ

34 Ej. 9 (Digr de cuerpo libre-plno inclindo En un cierto punto del cino entre u c l ecuel, u uto (de =6 kg nz in otor (en punto uerto con elocidd contnte 7 k/h i no h iento. Un p topográico indic que en ete tro de cino recto l ltur e reduce por cd 6 de cino. Qué uerz de reitenci totl (ricción á reitenci del ire ctú obre u coche cundo ij 7 k/h? Pr clculr el ángulo de l pendiente del cino: tg 6 rctg,99º Luego plicndo l egund Le de Newton: n i. i e uee con MRU, e: re P N donde pue el uto re P P P N Decoponiendo l uerz obre cd eje del ite de reerenci: re. g. en N. g.co De l prier ecución re. g. en re 6kg.9,8. en,99º 5, N obre el coche. e l uerz de reitenci totl que ctú Un cuerpo de cuerpo de 9kg 6kg Ej. (Digr de cuerpo inculdo que e encuentr obre un plno horizontl, etá inculdo por un cuerd otro que cuelg upendido de l i coo e indic en el eque. Suponiendo que el roziento e deprecible, clculr l celerción del ite l tenión de l cuerd. T T Hcer un digr de cuerpo libre pr cd. P

35 Se elige un ite de reerenci pr cd cuerpo de ner que l celercione de bo en prlel l io eje etén orientd en el io entido: P N Cuerpo T P T Cuerpo T e l tenión de l cuerd obre el cuerpo de T e l tenión de l cuerd obre el cuerpo de L intenidde de b tenione on igule por lo tnto l denoino con l letr T. e l celerción del cuerpo e l del cuerpo, coo b tienen el io ódulo l denoino, que e l celerción del ite. n Aplicndo l egund Le de Newton i., decoponiendo l uerz obre cd cuerpo egún u i correpondiente ite de reerenci. Pr el cuerpo : T. N P Pr el cuerpo T P. De l ecucione plnted e deduce: T. g.. g.. 6kg.9,8. g, kg Reeplzndo el lor de l celerción en culquier de l ecucione donde ell igur, prticulrente en l á encill de reoler, e obtiene el lor de l tenión de l cuerd: T. 9kg.,9 5, 8N

36 Ej. (Digr de cuerpo inculdo Máquin de Atwood. Un crg de 5, kg de tbique pende de un cuerd que p por un pole pequeñ in ricción tiene un contrpeo de 8,kg en el otro etreo (er l igur. El ite e liber del repoo. Dibujr un digr de cuerpo libre pr l crg otro pr el contrpeo. b Qué gnitud tiene l celerción hci rrib de l crg de tbique? c Qué tenión h en l cuerd ientr l crg e uee?. Coprr e tenión con el peo de l crg con el del contrpeo. pole Digr de cuerpo libre pr l crg pr el contrpeo: contrpeo Se elige un ite de reerenci pr cd crg cuerpo de ner que l celercione de bo en prlel l io eje etén orientd en el io entido: T T P P crg b L condicione del proble on: T T T Aplicndo l egund Le de Newton pr l crg el contrpeo, decoponiendo l uerz que obre ello ctún egún u repectio ite de reerenci teniendo en cuent l condicione nte enuncid: T. g. T. g. g.. g.. contrpeo g..

37 De odo que. g 85kg.9,8, 96 85kg c T g 5kg.,96 9,8 9, N e l tenión de l cuerd ientr l crg e uee.. Pr coprr et tenión con lo peo de l crg el contrpeo e clculn: P. g 5kg.9,8 7N P. g 8kg.9,8 7, N P T que e el peo de l crg. que e el peo del contrpeo. Concluión: P durnte el oiiento l tenión en l cuerd e or que l crg enor que el contrpeo. BIBLIGRAÍA: íic Unieritri ol., Ser-Zenk Ed. Peron íic pr l cienci l tecnologí Vol., Tipler Ed.Reerté UNIDAD : TRABAJ Y ENERGÍA Trbjo de un uerz contnte deplziento rectilíneo: Un uerz etern que ctú obre un cuerpo no deorble reliz un trbjo cundo produce un deplziento del io. e l uerz etern r e el deplziento producido e el ángulo ordo por l uerz el ector deplziento. W. r.co e el Trbjo de l uerz En prticulr i el deplziento e lo lrgo del eje W.. co r r r Si bien l gnitude uerz deplziento on ectorile, el trbjo e un gnitud eclr. Si l uerz etern el ector deplziento on prlelo el ángulo ordo entre ello e º o 8º, egún en dicho ectore del io entido o de entido contrrio, repectiente en eto co: W. r.coº. r W. r.co8º. r Si el deplziento e nulo, el trbjo tbién lo e, e decir que l uerz no reliz trbjo.

38 Si l uerz e perpendiculr l deplziento, el trbjo tbién e nulo pue el 9º uerz tpoco reliz trbjo. Trbjo de un ite de uerz: co por lo tnto l Si obre un cuerpo ctún ri uerz eteriore, el trbjo neto o totl relizdo por dich uerz e igul l trbjo de l uerz net, que e igul l u de lo trbjo relizdo por cd un de l uerz. W neto n i W i n i. r i Unidde del trbjo: En el ite MKS: W r N. J denoind Joule. En el ite CGS: W r din. c erg denoind ergio. En el ite Técnico: W r kg. denoind kilográetro. kg L epreión Equilenci: kg kg e denoin kilogro uerz. kg 9, 8J 7 J erg Potenci: E el trbjo relizdo por unidd de tiepo L unidd de Potenci en el MKS e P W t J W W P t que e denoin Wtt. L potenci e un gnitud eclr que repreent l rpidez con que e reliz un trbjo. Equilenci: kg 9,8W tr unidde de Potenci: W 7 erg kg kg H. P. 76, 75, 7 El Cbllo Vpor o Chel Vpeur C.V.: C. V w El Cbllo de uerz o Hore Power H.P.: W Potenci edi Potenci Intntáne: Reeplzndo el trbjo por u correpondiente epreión, e obtiene:. r P. t Potenci Medi Si el interlo de tiepo tiende cero, en lugr de tener l elocidd edi e tiene l elocidd intntáne, l potenci que e obtiene e l intntáne. P. Potenci Intntáne

39 Energí: Se dice que un cuerpo poee energí cundo obre él ctún uerz que puedn relizr un trbjo. Energí Cinétic K : E el trbjo totl que e eectú pr celerr un cuerpo dede el repoo ht un deterind elocidd. Se clcul K.. Coo e puede er et energí e iepre poiti que l e poiti el cudrdo de l elocidd tbién. Unidd de K en el ite MKS: K kg. N. J. Joule Vrición de Energí Cinétic K K K K : Teore del Trbjo l Energí: El trbjo relizdo por un uerz etern e igul l rición de energí cinétic. K K K W Energí Potencil Grittori U : E l energí que poee un cuerpo debido u ltur con repecto un poición l cul e le ignó ltur cero. E el trbjo que eectú un uerz pr cbir l ltur de un cuerpo con repecto l tierr. Se clcul: Donde el producto h e l ltur. U. g. h. g e el peo del cuerpo, Vrición de Energí Potencil Grittori: Pr eler un cuerpo dede un ltur h ht otr ltur h con elocidd contnte e debe plicr un uerz etern de igul ódulo entido contrrio que u peo. Et uerz reliz un trbjo en contr de dich uerz de gredd. h U. g. h U

40 W. h h. g. h. g h U g.. El trbjo de l uerz peo,w : W P h h. g. h. g h U g.. De odo que. U U U e l Vrición de Energí Potencil grittori. i i i h U. g. h U. g. h h U berción: Pr clculr l energí potencil de un cuerpo e neceit etblecer un niel de energí cero, por cotubre e dopt l upericie terretre coo dicho niel. Eto iplic que l energí potencil de un cuerpo no tiene un lor boluto ino que depende del niel cero elegido. En cbio con l rición de energí potencil no ocurre lo io que e obtiene por dierenci entre do lore de energí potencil, lo que lle que et dierenci e independiente del niel cero elegido. Energí Mecánic: E l u de l energí cinétic l potencil grittori: E K U Et u pernece contnte iepre cundo obre el cuerpo no ctúen uerz dicipti, coo por ejeplo l uerz de roziento. Vrición de Energí Mecánic: E E E E K U K U K K U U K U Si l uerz que ctún obre el cuerpo on conerti, l rición de energí ecánic e nul eto iplic que l rición de energí cinétic e igul eno l rición de energí potencil. K U K U E, E decir que cundo uent l energí potencil diinue l energí cinétic. Y coo W K, entonce e W U El trbjo relizdo obre un cuerpo por un uerz etern e igul eno l rición de u energí potencil. EJERCICIS RESUELTS DE TRABAJ Y ENERGÍA Ej. (Trbjo de un uerz Sobre un cuerpo ctú un uerz de ódulo 6 N e inclinción con repecto l deplziento, lo deplz. Clculr el trbjo relizdo por dich uerz pr lo iguiente co: 5º b 7º c 9º d 5 º

41 W b W c W d W. r.co 6N..co5 9,5 J. r.co 6N..co7 5, J. r.co 6N..co9 J. r.co 6N..co5 5,6 J Ej. (Trbjo de un uerz contnte deplziento rectilíneo Igine que epuj un libro de íic,5 obre un e horizontl, con un uerz de, N. L uerz de roziento e de,6 N. Cuánto trbjo reliz l uerz con l que uted epuj el libro? b Cuál e el trbjo de l uerz de roziento? c Cuál e el trbjo totl relizdo obre el libro? W..co W b W c W r totl,n.,5.co,6j,6n.,5.co8,9 J W W r,6j,9j,7j r El trbjo totl tbién e puede obtener clculndo el trbjo de l uerz net que ctú obre el libro. W net net r,6n,n,8n,8n.,5,7j Ej. (Trbjo de un uerz contnte deplziento rectilíneo Un cuerpo de 5 kg e ele con elocidd contnte dede el uelo ht un ltur de 8. Clculr l uerz neceri pr lentr el cuerpo, el trbjo que ell reliz el peo del io. Si l elocidd e contnte entonce l uerz net obre el cuerpo e nul por lo tnto l uerz neceri pr lentr el cuerpo e igul contrri l uerz peo. h P P P. g 5kg.9,8 7N El trbjo relizdo por l uerz e W. h.co 7N.8 co 76J U= Ej. (Trbjo de l uerz peo lo lrgo de un cino cerrdo Un hobre de 8 kg ube un ecler erticl de de ltur. Clculr el trbjo relizdo por l uerz peo en lo iguiente co: durnte el ceno. b durnte el deceno. c durnte el recorrido copleto.

42 5J 5J W ceno P. h.co8. g. h 8kg.9,8. 5J b W deceno P. h.co. g. h 8kg.9,8. 5J c W W W J neto ceno deceno berción: L uerz que cuplen con l propiedd de que el trbjo relizdo lo lrgo de un cino cerrdo e nulo, e lln uerz conerti. En eto co el trbjo relizdo e independiente del cino recorrido. Ej. 5 (Energí Cinétic Se cree que l del Trnnouru Re er del orden de lo 7 kg. Trte l dinourio coo i uer un prtícul etie u energí cinétic l cinr con un eocidd de, k/h. b Con qué elocidd tendrí que oere un peron de 7 kg pr tener l i energí cinétic que el dinourio l cinr? 6 K...7kg.,.,. J b depejndo l elocidd de l epreión de l energí cinétic. K.,. J k, 7kg h Ej. 6 (Trbjo de un uerz rición de energí cinétic Un electrón en oiiento tiene un energí cinétic K. Depué de relizre obre él un cntidd net de trbjo W, e uee con un curt prte de u elocidd inicil en entido contrrio. Clculr el trbjo relizdo en unción de l energí cinétic K. b Su repuet depende de l dirección inl del oiiento del electrón? Según el Teore del Trbjo l Energí L energí cinétic inicil del electrón e L elocidd inl del electrón e W K K... De odo que reeplzndo eto dto en l epreión del trbjo reult: W K K Reorgnizndo lo dto en et ecución: W K 6 K 5 K 6 b El reultdo obtenido no depende de l dirección inl del electrón pue l energí cinétic ólo depende del ódulo de l elocidd, no de u dirección entido.

43 Ej. 7 (Trbjo de un ite de uerz Sobre un cuerpo de kg que e encuentr obre un plno inclindo 5 ctú un uerz horizontl de 5N. Por ete otio el cuerpo e deplz 5. Clculr el trbjo en lo iguiente co: De l uerz horizontl. b De l uerz peo. c De l uerz net. W..co 5N.5.co5 679, 7J 679,7 J 7,8J 7, b W P P..co. g. co5 kg.9,8..5.co5 7, 8J c W W W J 6 neto P Digr de cuerpo libre P Ej. 8 (Trbjo energí - potenci Se requiere un bob pr eler 8kg de gu por inuto dede el ondo de un pozo de,, epulándol con un elocidd de 8, /. Cuánto trbjo e eecturá pr ubir el gu? b Cuánto trbjo e eecturá pr iprtirle l energí cinétic que tiene l lir? c Qué potenci derroll l bob?. coniderndo h W U g. h 8kg.9,8., 976J ondo del pozo. coniderndo b W K...8kg. 8, 96J gu en el ondo del pozo. W t W W t 976J 96J 6 neto c P 989, W bob, l poición inicil en el, l elocidd inicil del Ej. 9 ( energí cinétic, potencil ecánic Un hobre rroj dede el uelo erticlente hci rrib un objeto de kg, con un elocidd inicil de /. Clculr l energí cinétic, potencil ecánic pr lo iguiente co: En el oento del lnziento. b Al egundo de hber ido lnzdo. c En el punto á lto de u trectori. d Al llegr l uelo. En el oento del lnziento Energí potencil: Energí cinétic: U. g. h kg.9,8. J K...kg. 5J

44 Energí ecánic: E K U 5J J 5J b Un egundo depué del lnziento Priero e deben clculr l poición l elocidd del objeto en ee intnte, tondo coo poición inicil coo intnte inicil t : ( t. t. g. t (. 9,8. 5, ( t g. t ( 9,8., Energí potencil: U. g. h kg.9,8.5, 77, 9J Energí cinétic: K...kg., 6, 6J Energí ecánic: E K U 6,6J 77,9J J 5 c En el punto á lto de l trectori: En ete punto l elocidd e nul. Con ete dto e puede clculr l ltur del punto á lto g t g t t.., 6 g 9,8. t. g. t á.,6.9,8,6 5,9 h. á á Energí potencil: Energí cinétic: Energí ecánic: U. g. há kg.9,8.5,9 9,6J 5J K.., á J E U, á K, á 5J c Al llegr l uelo L elocidd l llegr l uelo tiene l i intenidd que l elocidd inicil pero entido contrrio. Energí potencil: Energí cinétic: Energí ecánic: U. g. huelo. g. J K uelo K 5J E U K 5J berción: Puede ere que l energí ecánic del objeto e ntiene contnte, no í l energí cinétic potencil. Ej. (conerción de l energí ecánic Se dee hcer ubir un cj por un rp inclind con roziento deprecible. Se l epuj hci rrib ipriiéndole un elocidd de 5/ con un dirección prlel l rp. Clculr l ditnci que recorrerá l cj obre l rp nte de detenere.

45 Aignándole energí potencil nul l punto á bjo de l rp teniendo en cuent que deprecio el roziento, e tiene que: L energí ecánic e coner... g. h... g. h E E K U K U... g. h o pue h 5 h, 9 e l ltur l que lleg l cj.. g.9,8 Pr clculr l ditnci recorrid obre l rp: BIBLIGRAÍA: íic Unieritri ol., Ser-Zenk Ed. Peron íic pr l cienci l tecnologí Vol., Tipler Ed.Reerté