GUIA TEORICO - PRÁCTICA DE BIOESTADÍSTICA I

Transcripción

1 UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE MEDICINA ESCUELA DE BIOANÁLISIS CATEDRA DE MATEMATICA Y BIOESTADÏSTICA GUIA TEORICO - PRÁCTICA DE BIOESTADÍSTICA I

2 BIOESTADÍSTICA I CARÁCTER: Teórico-Práctico CONDICIÓN: Obligatoria CRÉDITOS: 4 (3 Teóricos Práctico) UBICACIÓN: I Semestre PERSONAL DE LA CÁTEDRA QUE ELABORÓ LA GUÍA Prof. María Rosaria Ruggiero Prof. Yacelli Bustamate Prof. Claudia Mark Preparadora: Br. Delimar Recio

3 3 INDICE CAPÍTULO I 6 Qué es la Estadística? 6 Cocepto e importacia de la Bioestadística 6 Partes de la Estadística 6 CAPÍTULO II 7 Estadística Descriptiva 7 Métodos estadísticos 7 La fuete de datos 7 Características a las cuales se refiere los datos 8 Formas de medició 8 Formas de recolecció de datos 9 Formas de represetació de los datos 9 Distribució de frecuecias 9 Gráficas 4 Medidas de Tedecia Cetral 8 Media Aritmética 8 Propiedades de la Media Aritmética 9 Vetajas del uso de la Media Aritmética Desvetajas del uso de la Media Aritmética La Mediaa Propiedades de la Mediaa 4 Vetajas del uso de la Mediaa 4 Desvetajas del uso de la Mediaa 4 La Moda 7 Propiedades de la Moda 8 Relació de las Medidas de Tedecia Cetral 9 Medidas de Posició 7 Percetiles 7 Deciles 8 Cuartiles 8 Propiedades. 9 Medidas de Dispersió 33 Desviació Típica 33 Características de la Desviació Típica 34 Variaza 35 Desviació Media 36 Rago Cuartílico 37 Características del Rago Cuartílico 37 Coeficiete de Variació 38 Medidas de Forma 4 Sesgo 4 Características del Sesgo 43 Curtosis 44 Aplicació: Diagrama de Caja 48 CAPÍTULO III 5 Probabilidades 5 Defiició de Probabilidad 5

4 4 Clásica 5 Estadística 5 Coceptos Básicos 5 Experimetos aleatorios 5 Espacio Muestral o Uiverso (cojuto de putos muestrales) 53 Sucesos o Evetos 53 El caso de u eveto 54 El caso de dos o más evetos 54 Tipos de evetos 55 Evetos mutuamete excluyetes 55 Evetos o mutuamete excluyetes 55 Eveto codicioal 56 Eveto idepediete 58 Axiomas de Probabilidad 59 Teorema 59 Particioes 60 Teorema de Bayes 60 Sesibilidad, Especificidad y Valores que Predice Positividad y Negatividad 67 Sesibilidad 67 Especificidad 67 Valor predictivo positivo 68 Valor predictivo egativo 68 Distribució de Probabilidades 69 Variables Aleatorias (V.A.) 69 Defiició de Distribució de Probabilidad y Fució de Probabilidad 69 Distribucioes de Probabilidad Discretas 68 Distribució Biomial 68 Propiedades 69 Distribució Poisso 70 Propiedades 7 Distribució de Probabilidades Cotiuas 7 Distribució Normal 7 Propiedades 76 Regla Empírica 77 A partir del eje de simetría µ teemos que 78 CAPÍTULO IV 79 Iferecia Estadística 79 Muestreo Estadístico 79 Vetajas del Muestreo 80 Limitacioes del Muestreo 80 Distribucioes muestrales 8 Teorema del Límite Cetral 8 Distribució de la Media Muestral 8 La població tiee distribució 8 La distribució de la població tiee media µ pero o se cooce la variaza 83 Distribució muestral de proporcioes. (població fiita) 83 Distribució muestral de las diferecias 84 Distribució muestral de la diferecia de medias 84

5 5 Distribució muestral de la diferecia de proporcioes: 85 Itervalos de Cofiaza 86 Teoría de Estimació Estadística 87 Itervalo de cofiaza para la media 87 Itervalo de cofiaza para proporcioes 87 Itervalo de cofiaza para la diferecia de medias 87 Itervalo de cofiaza para la diferecia de proporcioes 88 Teoría de la Decisió Estadística, Esayos de Hipótesis y Sigificació 88 Decisió estadística 88 Hipótesis Estadística 88 Hipótesis ula 88 Hipótesis alterativa 88 Tipos de Error: Error tipo I y tipo II. 89 Nivel de sigificació 90 Esayos referetes a la distribució ormal 90 Esayos de ua cola y dos colas 90 Teoría de Muestras Grades 9 Prueba de Hipótesis para la Media 9 Prueba de Hipótesis para la diferecia de las medias 93 Prueba de Hipótesis para la diferecia de las proporcioes 93 Etapas de las pruebas de hipótesis estadística 94 Teoría de pequeñas muestras 98 Distribució t de Studet 98 Prueba de Hipótesis para la media 98 Prueba de Hipótesis para la diferecia de medias 99 Distribució Chi-Cuadrado 0 Prueba de Hipótesis para la variaza 0 CAPÍTULO V 03 Regresió y Correlació 03 Diagrama de dispersió 04 Modelo de Míimos Cuadrados 05 Regresió 06 Regresió Lieal 06 Ejercicios de estadística descriptiva 09 Ejercicios de Probabilidades y Distribucioes de Porbabilidades 9 Ejercicios de Estadística Iferecial 39 Ejercicios de Regresió y correlació lieal 49 ANEXOS 53

6 6 CAPÍTULO I Qué es la Estadística? La palabra Estadística proviee del latí status. E la atigüedad chios, egipcios, hebreos, griegos y romaos la practicaba e recuetos de població y riquezas. Co el tiempo se perfeccioó mediate métodos matemáticos y probabilísticos hasta geeralizar su estudio y uso a cualquier actividad cietífica. La Estadística es la ciecia o cojuto de métodos cietíficos que tiee por objeto la recolecció, agrupació, presetació, aálisis e iterpretació de los datos obteidos de ua població o muestra, como medio para hacer estimacioes e iferecias para la toma de decisió ate diversas alterativas. Cocepto e importacia de la Bioestadística La Bioestadística costituye el empleo de métodos estadísticos e la ivestigació de los hechos biológicos. La compresió de la Estadística aumetará la capacidad del profesioal de la salud para iterpretar datos, sea co el propósito de tratar a u paciete e particular o para obteer coclusioes geerales de ua ivestigació. Partes de la Estadística La Estadística se divide e dos partes: Estadística E. Descriptiva Recolecció de datos, agrupació, presetació, aálisis e iterpretació de datos obteidos de ua població E. Iferecial Hacer estimacioes e iferecias para la toma de decisió.

7 7 CAPÍTULO II Estadística Descriptiva Como se expresó ateriormete, esta parte de la Estadística se caracteriza por la recolecció de datos, agrupació, presetació, aálisis e iterpretació de datos obteidos de ua població o muestra. Estudiaremos los siguietes aspectos: Métodos Estadísticos. Medidas de Tedecia Cetral. Medidas de Posició. Medidas de Dispersió. Medidas de Forma. Aalicemos cada uo de estos aspectos. Métodos estadísticos Está costituido por los siguietes putos: La fuete de datos Para estudiar u determiado comportamieto o características existetes de u cojuto de elemetos (datos) que itegra ua població (cojuto de idividuos, objetos o acotecimietos defiidos co relació a algú rasgo e comú que los idetifique). Puede cosiderarse u ceso, e el que se ivestiga todos y cada uo de los elemetos de la població o bie ua muestra e el que se ivestiga u subcojuto de la població y se escoge al azar de modo tal que ellos sea represetativos de la població. Estadísticamete hablado, el tamaño de la població se deota por N y el tamaño de la muestra por. Observació: E el mometo de u estudio, es importate coocer si los datos proviee de ua població o ua muestra, permitiedo así determiar el lieamieto del estudio a realizar: Població Estadística descriptiva Muestra Estadística descriptiva Estadística Iferecial

8 8 Características a las cuales se refiere los datos Atributo Variable Cualitativa Cuatitativa Nomial Ordial Discreta Cotiua El atributo costituye la característica a la que se refiere los datos. Como los atributos varía de miembro a miembro, se deomia variables. Las variables so los símbolos que adquiere diferetes valores de ua misma situació. Si e algú caso la variable toma el mismo valor e ua situació, etoces su deomiació es costate. Segú el comportamieto de la variable, se clasifica e: Variable Cualitativa: So aquellas que úicamete se puede describir, como por ejemplo el color, sabor, tipo de medicia, etre otras. Estas variables tiee dos tipos de escalas: ua omial e el que o se tiee u orde preestablecido (color del cabello) y otra ordial e el que se tiee u orde preestablecido (clases sociales) Variable Cuatitativa: So aquellas que se puede cotar y medir. Estas variables puede ser discretas, que se caracteriza por oscilar úicamete etre valores eteros (úmero de hijos) y las cotiuas, que se caracteriza por ser susceptibles a subdividirse idefiidamete y puede tomar cualquier valor (peso) Formas de medició Depede de la aturaleza y comportamieto de la variable. Variable cualitativa Variable cuatitativa Escala omial Escala ordial Escala umérica

9 9 Variable cuatitativa co escala umérica: Al asigar u úmero idica la propiedad del atributo que mide, además de poderse establecer diferecias etre ellas. Ejemplo: El peso. Variable cualitativa co escala omial: Clasifica la variable e categorías descriptivas mutuamete excluyetes y colectivamete exhaustivas, es decir, se les puede asigar u úmero para expresar clases diferetes y o para establecer relacioes de mayor a meor. Ejemplo: La moeda. Variable cualitativa co escala ordial: Se clasifica de ua forma de iterpretació jerárquica. Ejemplo: Clase social. Formas de recolecció de datos Los datos se puede recolectar mediate ecuestas, cuestioarios, etrevistas, bibliografías, historias clíicas, etre otras. Formas de represetació de los datos Se puede presetar de dos formas, como ua distribució de frecuecias y/o de forma gráfica. Distribució de frecuecias La orgaizació tabular que cotiee todas las variates o clases de la variable y sus frecuecias respectivas, es llamada distribució de frecuecias, y costituye la forma práctica y clara de presetar la iformació umérica obteida de ua ivestigació. Título Ecabezado Columa Matriz Cuerpo Total Fuete de datos

10 0 Título: Coloque título de maera breve, cocisa, completa (qué se estudia, como se estudia, dóde, cuádo) Ecabezado: Idica a qué se refiere los datos y el coteido de cada columa. Columa matriz: Se asieta las diferetes escalas de clasificació usada. Cuerpo: Cotiee las frecuecias y distitos valores a los que se refiere los datos. Total: Se idica los totales de las columas. Fuete de datos: Idique fuete de los datos de maera precisa y completa. Detro de la distribució de frecuecias, se puede visualizar las siguietes columas: Frecuecia Absoluta: Correspode al úmero de datos que cae e cada uo de los itervalos. Frecuecia Relativa: Correspode al peso de la frecuecia absoluta de cada itervalo co respecto al total. Frecuecia Acumulada: Correspode al úmero de elemetos coteidos e la distribució a ivel de cada clase, o bie frecuecia absoluta acumulada hasta cada clase. La distribució de frecuecias se puede presetar de dos formas: Datos si agrupar: Cada uo de los datos aparece co sus frecuecias. Datos agrupados: Cuado el úmero de variates o clases de la variable es muy grade, es preferible icluir e cada clase varias medicioes de la variable e vez de ua sola. La termiología utilizada e este tipo de agrupació es la siguiete:

11 Clases: costituye cada grupo de variates. Itervalos de clases: es el rago de los valores que determia ua clase. Se obtiee restado el límite superior del límite iferior de cada clase. Límites de ua clase: so los valores iferiores y superiores que defie a cada clase. El iferior se llama límite iferior y el superior se llama límite superior. Los límites puede darse de maera aparete o real: o Límite aparete (L ai - L as ): El límite superior de la primera clase o coicide co el límite iferior de la seguda clase, y así sucesivamete. Si la variable es cotiua, se puede perder algú dato, por lo que buscamos los límites reales. o Límite real (L ri L rs ): Es el valor que dos clases cotiguas comparte. Se obtiee de esta forma: L S L S + L I Ejemplo: Límites aparetes Límites reales 60 6 [ ) [ ) Hay que teer cuidado de que los límites reales o coicida co los valores observables, para evitar ambigüedades sobre la clase a la que correspode ua observació. Marca de clase: Es el valor cetral de cada grupo, se obtiee al sumar el límite superior co el límite iferior de la clase, y luego dividirlo etre dos, es decir: X i L i + L s

12 Ejemplo de costrucció de ua Distribució de Frecuecia para datos si agrupar Se tomó ua muestra de 0 estudiates de la Escuela de Bioaálisis para evaluar sus latidos del corazó (pul/mi) después de acodicioamieto físico. Se obtuviero los siguietes valores: Se pide, costruir la distribució de frecuecias de datos si agrupar. Distribució de Frecuecia correspodiete a latidos del corazó de 0 estudiates de la Escuela de Bioaálisis después de acodicioamieto físico X i f i %f i f a %f a (pul/mi) Total 0 00 Fuete de datos: Prof Mateo Rodríguez, Acodicioamieto Físico. Uiversidad Cetral de Veezuela. Caracas, 000 Reglas geerales para agrupació de datos. o Reste el mayor de los datos co el meor de ellos. A esto se le llama rago y se deota por R. Esto idica los límites detro de los cuales se preseta todos los datos cosiderados. o Calculamos el úmero de itervalos de clase. Hay dos formas; que lo de e el euciado ( lo coveiete es que oscile etre 5 y 0) o bie podemos calcularlo por medio de la Regla de Sturges: Número de Itervalos +3.3log()

13 3 Observació: No redodee este úmero para calcular amplitud. o Calculamos la amplitud: A R Número de it ervalos Este valor correspode a la amplitud aparete. Para ecotrar la amplitud real, dicho valor se redodeará por exceso de acuerdo a la uidad de la variable. Vetajas del uso de límites reales..- No se rompe la cotiuidad..- No existe la posibilidad de que u valor caiga e la frotera. 3.- No se altera la marca de clase. Desvetajas del uso de límites reales.- Da impresió de cotiuidad..- Se trabaja co decimales. 3.- No recomedable para variables discretas. Ejemplo de costrucció de ua Distribució de Frecuecia para datos agrupados E el Laboratorio del Hospital Clíico Uiversitario, se escogió ua muestra de 5 persoas para aalizar sus iveles de glicemia (mg/dl) y estos fuero los resultados: Se pide costruir la distribució de frecuecias de datos agrupados. E pricipio debemos calcular el rago: Rago mg / dl

14 4 Ahora calculamos el úmero de itervalos por la regla de Sturges: Fialmete, la amplitud es: Num. de Itervalos + 3.3log(5) A Amplitud Como los datos so eteros, etoces la amplitud aparete (A a ) es y la amplitud real (A r ) es. Distribució de Frecuecia de los Niveles de Glicemia de 5 persoas del Hospital Clíico Uiversitario L ai - L as L ri L rs f i %f i f a %f a X i (mg/dl) (mg/dl) Total 5 00 Fuete de datos: Laboratorio del Hospital Clíico Uiversitario. Caracas, 000 Gráficas Represetació de datos uméricos por medio de coordeadas o dibujos que hace visible la relació o gradació que esos datos guarda etre sí. Permite visualizar mejor las variacioes de las variables. Dividiremos los tipos de gráficos depediedo de la forma como esté dados los datos. Datos Cualitativos Histograma de frecuecias: Se compoe de barras rectagulares levatadas sobre el eje horizotal, e el cual se marca, utilizado escalas adecuadas, los valores que asume la variable e la distribució de frecuecias. Si los datos so omiales se ordea por orde alfabético, e

15 5 cambio que si los datos so ordiales, se colocará e orde jerárquico. Ejemplos: Datos omiales Datos ordiales f i f i A B C cualidad Niños Jóvees Adultos Casos de cuadros ifecciosos e iños etre y 5 años. Hospital Clíico Uiversitario, 999. f i Neumoía Paperas Rubeola Sarampió Varicela Efermedades hembras varoes Diagrama circular: Se divide el área de u círculo proporcioalmete a las frecuecias relativas de cada clase. Es ecesario colocar la leyeda de datos. Ejemplo: PRINCIPALES CAUSAS DE MORTALIDAD POR ENFERMEDADES CRONICAS EN VENEZUELA (DEFUNCIONES POR HABITANTES) ENF. CER-VAS DIABETES NEFRITIS EPILEPSIA

16 6 Pictogramas: Se busca algú símbolo que represete la frecuecia absoluta de cada clase. Equivale a habitates por km Equivale a habitates por km Datos Cuatitativos Datos si agrupar Histograma de frecuecia (absolutas o relativas): Es este caso, como los datos so putuales, solo se represeta ua líea. f i X X X 3 X 4 Ojiva (frecuecia acumulada absoluta o relativa): Es ua forma de escalera ya que etre u dato y dato o hay valores itermedios. F i o H i X X X 3 X 4

17 7 Datos agrupados Histograma de frecuecia: Similar al de los datos cualitativos solo que e el eje horizotal se coloca los límites reales, el acho de los rectágulos es igual a la amplitud del itervalo de clase y el puto medio represeta la marca de clase. f i L L L 3 L 4 Polígoo de frecuecia: Es la uió de los putos medios de las barras (marcas de clase). Se usa para compara dos distribucioes e ua misma gráfica f i L 0 L L L 3 L 4 L 5 Ojiva: Es la líea quebrada que se traza por los putos de itersecció de las coordeadas que correspode a los límites reales de cada clase y sus respectivas frecuecias acumuladas. F i o H i L 0 L L L 3 L 4

18 8 Medidas de Tedecia Cetral So las medidas que aaliza el comportamieto de los datos e sus valores cetrales y so represetativos e todas sus variates. E este curso solo estudiaremos la media aritmética, la mediaa y la moda. Media Aritmética La Media Aritmética es el promedio aritmético e ua distribució de datos. Es el más usado de los promedios, siempre y cuado la serie o presete valores extremos, ya que esto distorsioa el valor de la media, e este caso sería acosejable otra medida (la mediaa por ejemplo). Es el valor típico represetativo de u cojuto de datos y se caracteriza por depeder de todas las medidas que forma la serie de datos. Datos si agrupar Viee represetado por la sumatoria de todos los valores de la variable dividida etre el úmero de datos: X x i i x + x + L + x dode x i correspode al valor de la variable e el idividuo i, para i,,..., y es el úmero de datos. Ejemplo: Se desea calcular la media de los úmeros, 5, 6, 8 y 4. X La media de los úmeros es 5. Datos agrupados E el caso de que los datos este agrupados, la media aritmética viee expresada por la fórmula X f i x i i

19 9 dode f i es la frecuecia de la clase i y x i es la marca de la clase i. Ejemplo: La siguiete tabla se refiere a la estatura de 50 estudiates (e metros) de la Escuela de Nutrició y Dietética de la Uiversidad Cetral de Veezuela. Estatura de 50 estudiates de la Escuela de Nutrició y Dietética de la Uiversidad Cetral de Veezuela L ri L rs f i X i f i X i (metros) Total Así: 79.6 x. 59 m 50 La estatura media de los 50 estudiates de la Escuela de Nutrició y Dietética es.59 m. Propiedades de la Media Aritmética Si a cada uo de los datos le sumamos ua catidad costate, la ueva media aritmética es igual a la aterior sumada por esa misma costate, es decir, sea los datos (x + k, x + k, x 3 + k,, x + k) etoces ' X X + k

20 0 Si a cada uo de los datos se le multiplica por ua misma costate, la ueva media aritmética es igual a la aterior multiplicada por la misma costate, es decir, sea los datos ( cx,cx,cx 3,,cx ) etoces X ' c X Si se tiee varias muestras, etoces X x + + x + x + L+ 3 3 k + + L+ 3 k x k Vetajas del uso de la Media Aritmética Fácil de eteder y calcular. Hace uso de todos los datos de ua distribució. Es el más coocido. Es usada e la iferecia estadística. Se presta a maipulació algebraica. Desvetajas del uso de la Media Aritmética Puede ser iflueciada por los valores extremos que haga perder su medida cetral. E el caso de variables discretas, el valor o es exactamete alguo de los datos, por lo que a veces se redodea. La media aritmética o puede ser calculada para ua distribució co itervalos de clases abiertas, esto es, cuado los elemetos está agrupados e itervalos de clase de tipo por ecima de o por debajo de.

21 La Mediaa La Mediaa es el valor de la variable que equidista de ambos extremos de la distribució cuado está ordeada de maera creciete, es decir, es el valor que deja por debajo de él el 50% de los datos, cosecuetemete por ecima de la mediaa se halla el 50% de los datos. El valor de la mediaa puede coicidir o o co u valor de la serie de datos. Datos si agrupar Tedremos dos casos depediedo del valor de la població. Si dicho tamaño es: Impar: La medida coicidirá co la variate cetral, que se obtiee sumado a la frecuecia total y dividiedo el resultado por dos. Md X + Par: La mediaa está represetada por la media aritmética de las dos variates cetrales Md X + X ( + ) Ejemplo: Calcule la mediaa de,8,5,3,4,6, Primero se ordea los datos e forma creciete,,3,4,5,6,8 E este caso 7, por lo que la mediaa esta e la posició 4, así la mediaa es 4 Ejemplo: Calcule la mediaa de,8,0,3,4,,3,5 Primero se ordea los datos e forma creciete,,3,3,4,5,8,0 E este caso 8, por lo que la mediaa está e la posició 4.5, así la mediaa es 3.5

22 Datos agrupados E este caso, la mediaa se obtedrá mediate la fórmula siguiete: dode: Md L ( ) F ( at) i +. fi Nos da la posició aproximada de la mediaa e la distribució, de acuerdo al úmero de datos que se dispoga. L i límite iferior real de la clase mediaal F (at) frecuecia acumulada de la clase aterior a la clase mediaal. f i frecuecia absoluta de la clase mediaal. A amplitud real del itervalo. A Ejemplo: Siguiedo co los datos de las estaturas de 50 estudiates de la Escuela de Nutrició y Dietética teemos: Estatura de 50 estudiates de la Escuela de Nutrició y Dietética de la Uiversidad Cetral de Veezuela L ri L rs f i X i f a (metros) Total 50 Hallamos la clase mediaal. Teemos que 50 5.

23 3 La clase mediaal estará e el itervalo dode se tega por lo meos ua frecuecia acumulada de 5 datos. Así la clase mediaal es (.57,.60). Por lo que: 5 6 Md m El valor de la mediaa de las 50 estaturas de los estudiates de la Escuela de Nutrició y Dietética es.59m. Propiedades de la Mediaa No es u estadígrafo suficiete, ya que o cosidera a todos los datos. Vetajas del uso de la Mediaa Los valores extremos o la afecta ya que está determiada por el úmero de observacioes y o por el valor de las mismas. Se puede calcular auque los valores extremos sea abiertos. Es fácil de calcular. Desvetajas del uso de la Mediaa No se presta a tratamietos algebraicos. Es ecesario ordear las variates ates de que se pueda calcular la mediaa. Es poco coocida.

24 4 La Moda La Moda se defie como el valor que tiee más frecuecia e ua serie de datos. Puede que o exista o bie que exista varios valores cadidatos a ser moda. Datos si agrupar. E ua distribució de datos estadísticos, es el valor que más se repite. Ejemplo: Ecuetre el valor de la moda e el siguiete cojuto de datos 8,4,,,4,3,7,5,4,,3,8 La moda es 4. Datos agrupados Si los datos está agrupados e distribucioes de frecuecias, la moda sería el valor de frecuecia más alta (clase modal). E este caso, la moda se calcula mediate la siguiete fórmula: Mo Li +. A + L i límite iferior real de la clase modal Diferecia absoluta etre la frecuecia de la clase modal y la de la clase aterior. Diferecia absoluta etre la frecuecia de la clase modal y la de la clase posterior. A amplitud real del itervalo.

25 5 Ejemplo: Siguiedo co los datos de las estaturas de 50 estudiates de la Escuela de Nutrició y Dietética teemos: Estatura de 50 estudiates de la Escuela de Nutrició y Dietética de la Uiversidad Cetral de Veezuela L ri L rs f i X i f a (metros) Total 50 La clase modal es ( ). Por lo que: Propiedades de la Moda 3 Mo m La estatura que más se repite es.59m. Ua distribució puede teer u solo valor modal, e este caso decimos que la distribució es uimodal. Si dos variates se repite co la misma frecuecia decimos que la distribució es bimodal. Si hay más de dos variates co la misma frecuecia, la distribució es llamada multimodal. Si todos los datos tiee la misma frecuecia, o existe moda. La moda correspode al valor dode el histograma alcaza la máxima altura. No es u estadígrafo suficiete, ya que o toma e cueta todos los datos y si alguos datos se altera, es posible que la moda siga igual. Carece de sigificació e distribucioes que cotegas pocos datos y o ofrezca ua marcada tedecia cetral. No es afectada por los valores extremos.

26 6 Relació de las Medidas de Tedecia Cetral Se cumple la siguiete relació empírica: Mo X 3 ( X Md) Depediedo de la forma de la distribució, puede ocurrir que si la distribució es simétrica, por ejemplo la distribució ormal, la media, la mediaa y la moda coicide. X Mo Md Si la distribució es asimétrica, puede ocurrir que Mo < Md < X Mo Md X o bie que X < Md < Mo X Md Mo Cómo cree Ud. que so los datos?

27 7 Medidas de Posició Las medidas de posició so medidas estadísticas que divide la distribució de los datos e partes iguales y describe la posició que tiee u dato detro de ua distribució, ua vez que se ordea de forma creciete. Estudiaremos los Percetiles, Deciles y Cuartiles. Percetiles So valores que divide la distribució e 00 partes iguales y os da la situació de los datos segú el lugar que ocupa e tato por cieto. So 99 y se deota por P, P,..., P99. Así P k correspode al aquel valor que supera al k% de datos a lo más y a la vez es superado por el ( 00 k)% de los datos a lo máximo. Datos si agrupar Se ordea los datos de forma creciete. Seguidamete calculamos k. F k 00 para determiar la posició del percetil k. Para hallar P k buscamos e la columa de frecuecia acumulada, e qué elemeto se ubica por lo meos F datos. Datos agrupados. k El percetil será hallado mediate la siguiete fórmula: dode: k. F( P Li + 00 f at) k i A k. idica la posició dode está ubicado el percetil. 00 L i límite iferior real de la clase dode esta ubicado el percetil F (at) frecuecia acumulada de la clase aterior de dode está ubicado el percetil. f i frecuecia absoluta de la clase dode está ubicado el percetil. A amplitud real del itervalo.

28 8 Deciles So valores que divide la distribució e 0 partes iguales, so 9 y se deota por D, D,..., D9. Así D por ejemplo, correspode a aquel valor que supera al 0 % de datos a lo más y a la vez es superado por el 80 % de los datos a lo máximo. Datos si agrupar Se ordea los datos de forma creciete. Seguidamete calculamos F k k. 0 para determiar la posició del decil k. Para hallar D k buscamos e la columa de frecuecia acumulada, e qué elemeto se ubica por lo meos F k datos. Datos agrupados El decil será hallado mediate la siguiete fórmula: dode: D k. F( Li + 0 f at) k i A Cuartiles k. idica la posició dode está ubicado el decil. 0 L i límite iferior real de la clase dode esta ubicado el decil F (at ) frecuecia acumulada de la clase aterior de dode está ubicado el decil. f i frecuecia absoluta de la clase dode está ubicado el decil. A amplitud real del itervalo. So valores que divide la distribució e 4 partes iguales, so 3 y se deota por Q, Q, Q3. Así Q por ejemplo, correspode a aquel valor

29 9 que deja por debajo de él, el 5 % de datos y a la vez deja por ecima el 75 % de los datos. Datos si agrupar Se ordea los datos de forma creciete. Seguidamete calculamos F k k. 4 para determiar la posició del cuartil k. Para hallar Q k buscamos e la columa de frecuecia acumulada, e qué elemeto se ubica por lo meos F k datos. Datos agrupados El cuartil será hallado mediate la siguiete fórmula: dode: Q k. F( Li + 4 f at) k i A k. idica la posició dode está ubicado el cuartil. 4 L i límite iferior real de la clase dode esta ubicado el cuartil F (at) frecuecia acumulada de la clase aterior de dode está ubicado el cuartil. f i frecuecia absoluta de la clase dode está ubicado el cuartil. A amplitud real del itervalo. Propiedades. Se cumple que:

30 30 Q P Q P 0 5 Me P D 50 Q 3 P P P 0 D 9 D Ejemplo: Los siguietes datos correspode a los sueldos semaales (e miles de bolívares) de 80 bioaalistas del Laboratorio X. Sueldo semaal (e miles de bolívares) de 80 bioaalistas del Laboratorio X o Calcule P 60 X i (Bs.) f i f a x80 La posició de este percetil es F De esta forma P Bs o Calcule Q La posició de este cuartil es F 3 x De esta forma Q 3 3 Bs. Calcule D La posició de este decil es D 9 x 7. 0 De esta forma D 9 35 Bs.

31 3 Ejemplo: Siguiedo co los datos de las estaturas de 50 estudiates de la Escuela de Nutrició y Dietética teemos: Estatura de 50 estudiates de la Escuela de Nutrició y Dietética de la Uiversidad Cetral de Veezuela L ri L rs f i f a (metros) Total 50 o Calcular P x50 E pricipio calculamos la posició del percetil, F Así teemos que 33 P x m 9 o Calcular Q 50 E pricipio calculamos la posició del cuartil, F x. 5 4

32 3 Así teemos que.5 9 Q.5+ x m 4 o Calcular D E pricipio calculamos la posició del decil, D 3 x 5 0 Así teemos que 5 3 D x m 3

33 33 Medidas de Dispersió Las Medidas de Tedecia Cetral o de Localizació da ua visió del grupo, pero la misma es icompleta. Ellas da iformació acerca del cetro de los datos pero o qué ta dispersos so los mismos. Para complemetar las medidas de tedecia cetral se usa las medidas de variabilidad, ellas mide la dispersió de los datos alrededor de la medida de localizació usada. Las medidas de variabilidad idica qué ta disemiados so los datos del grupo al cual se le calcula la medida. Si u grupo tiee ua baja variabilidad esto idica que está compuesto por idividuos aproximadamete iguales, los datos está poco esparcidos, está bastate agrupados. La mayoría de los putajes estará alrededor de la medida de tedecia utilizada. E este caso se dice que los idividuos posee características homogéeas. Pero si la variabilidad es alta, los putajes estará dispersos, los idividuos u objetos que coforma el grupo será disímiles. E este caso se dice que los idividuos posee características heterogéeas. Desviació Típica La Desviació Típica es ua medida que da ua mejor idea de cómo los datos se dispersa de la media. La Desviació Típica mide cómo los datos difiere de la Media Aritmética. Datos si agrupar Si los datos so simples (si frecuecia) usaremos la fórmula: S ( x i X ) i Si los datos está repetidos (co frecuecias), usaremos la fórmula: ( x X ) i S i f i

34 34 e dode x i correspode al valor de la característica, X la media de los datos y f la frecuecia de la característica i. i E caso tal que < 30, usaremos la fórmula S ( x i X ) i Este estadístico se usa cuado se desea estimar la variabilidad de u cojuto de datos. Dicha correcció del deomiador cuado <30, utiliza tambié para datos repetidos o agrupados. Datos agrupados La fórmula a utilizar es: ( x X ) i S i f i e dode x i correspode a la marca de clase del itervalo i, X la media de los datos y f i la frecuecia del itervalo i. Características de la Desviació Típica Proporcioa la variació de datos respecto a la media aritmética. Su valor se ecuetra e relació directa co la dispersió de los datos, a mayor dispersió de ellos, mayor desviació típica; a meor dispersió, meor desviació típica. Es la medida de dispersió adecuada cuado la medida de tedecia cetral es la media. Es susceptible de los valores extremos. La mayor utilidad de la desviació típica se preseta e ua distribució ormal, al ecotrar que e los itervalos: x ± σ se cocetra aproximadamete el 68% de los datos, x ± σ se cocetra aproximadamete el 95% de los datos, x ± 3σ se cocetra aproximadamete todos los datos.

35 35 Variaza Se defie como el cuadrado de la desviació típica. Se iterpreta como la desviació típica solo que difiere e la magitud y uidad de medida. Datos si agrupar La fórmula es: S i ( x i X ) E el caso e el que los datos esté repetidos, usaremos la fórmula ( x X ) i S i e dode x i correspode al valor de la característica, X la media de los datos y f i la frecuecia de la característica i. E caso tal que < 30, usaremos la fórmula S f i ( x i X ) i Dicha correcció del deomiador, se utiliza tambié para datos repetidos o agrupados, co <30.

36 36 Datos agrupados La fórmula es: e dode x i correspode a la marca de clase del itervalo i, X la media de los datos y f i la frecuecia del itervalo i. Desviació Media ( x X ) i S i Es la desviació que preseta los datos co respecto a la mediaa o a la media aritmética. Se usa usualmete cuado las desviacioes extremas ifluye e la desviació típica. Datos si agrupar Si los datos so simples, usamos la fórmula: f i D. M. i x i X Si los datos está repetidos etoces, usamos la fórmula: D. M. i x i X f i e dode x i correspode al valor de la característica, X la media de los datos y f i la frecuecia de la característica i.

37 37 Datos agrupados Se calcula mediate la fórmula: e dode x correspode a la marca de clase del itervalo i, X la i D. M. i x i X f i media de los datos y f i la frecuecia del itervalo i. Rago Cuartílico Esta medida se basa e el cuartil y cuartil 3, por lo que excluye el 5% iferior de los datos y el 5% superior de los mismos. Esto idica que el rago cuartílico mide la cocetració de los datos e el 50% cetral de los mismos. El Rago Cuartílico expresa la distacia etre Q y Q 3, RQ Q 3 Q E la medida que esa distacia sea meor, mayor será la cocetració del 50% cetral de los datos. Si la distacia etre Q y Q 3 es mayor, etoces hay ua mayor dispersió del 50% cetral de los datos. Características del Rago Cuartílico No es ua medida segura de dispersió, ya que su valor se ecuetra afectado por el 50% de los datos, 5% iferior y 5% superior. Igualmete obvia la distribució de datos etre Q y Q 3. Es posible que dos series de datos co diferetes distribucioes presete igual rago cuartílico, por ser iguales e los valores de Q y Q 3. Ua medida de dispersió derivada del rago cuartílicos, es la desviació semicuartil, que es la semisuma de Q y Q 3. Es la medida de variabilidad adecuada cuado la mediaa es la medida de tedecia cetral.

38 38 Coeficiete de Variació Las medidas de variabilidad e geeral se expresa e las mismas uidades de los datos. A meudo es deseable comparar la variabilidad cuado las uidades de medició so diferetes. Así el Coeficiete de Variació es u ídice de variabilidad que permite comparar el grado de dispersió etre distribucioes co respecto a la media aritmética. Nos permite expresar el grado de homogeeidad del grupo de datos cosiderados e su cojuto. Su fórmula es: CV S X 00% El coeficiete de variació depede de la desviació típica y de la media aritmética, por lo que a mayor coeficiete de variació, sigifica la existecia de mayor variabilidad etre los datos, y u CV pequeño idica meor variabilidad o mayor homogeeidad e los datos. Ejemplo: Siguiedo co el ejemplo de los sueldos semaales (e miles de bolívares) de 80 bioaalistas del Laboratorio X. Sueldo semaal (e miles de bolívares) de 80 bioaalistas del Laboratorio X X i (Bs.) f i F a ( X i X ) f i X i X X i X f i TOTALES Se quiere calcular la desviació típica, la variaza, la desviació media, el rago cuartílico y el coeficiete de variació. o Desviació típica Calculamos e pricipio la media aritmética 9546 X 9Bs 80

39 39 Así la desviació típica es: S S ( x X ) i i f i Bs o Variaza S 8Bs 34Bs Directamete se tiee que ( ) o Desviació media Se tiee que xi X fi D. M. 9 Bs. 80 o Rago Cuartílico. Calculamos Q y Q 3. Para ello debemos hallar primero F y F F x 0, esto implica que Q 5Bs F 3 x 60, esto implica que Q 3 3Bs. 4 Por lo tato: RC Q Q 3 5 8Bs 3

40 40 o Coeficiete de Variació Se obtiee que 8Bs C. V. x00% 5% 9 Bs Ejemplo: Siguiedo co los datos de las estaturas de 50 estudiates de la Escuela de Nutrició y Dietética teemos: Estatura de 50 estudiates de la Escuela de Nutrició y Dietética de la Uiversidad Cetral de Veezuela L ri L rs f i f a X i X i f i ( X I X ) f i (metros) X i X f i , , , , , , , , , , , Se quiere calcular la desviació típica, la variaza, la desviació media, el rago cuartílico y el coeficiete de variació. o Desviació típica Calculamos e pricipio la media aritmética X. 59m 50 Así la desviació típica es: S m 50

41 4 o Variaza S m De forma directa se tiee que ( ) o Desviació media Se tiee que.79 D. M m 50 o Rago Cuartílico F 3. Calculamos Q y Q 3. Para ello debemos hallar primero F y 50 x.5 9 F.5, por lo que Q.5+ x m 4 4 y x F 37.5, por lo que Q x m 4 4 Por lo tato RC (.63.54) m 0. 09m o Coeficiete de Variació 0.40m Se ecotró que el C. V. x00% 5%.59m

42 4 Medidas de Forma Ua distribució queda bie caracterizada mediate la tedecia cetral y la variabilidad, pero quedará mejor si éstas medidas so acompañadas co medidas que describa la asimetría y aputamieto de la distribució. Sesgo Las curvas que represeta las observacioes de datos puede ser simétricas o asimétricas (sesgadas). El Sesgo es u idicador que mide el grado de asimetría o falta de simetría de ua distribució. Así, el sesgo viee dado por la fórmula: Sesgo X Mo S Ua distribució se cosiderará simétrica si cada uo de los lados de la distribució que queda a partes de la mediaa, so exactamete de igual área y forma. Figura X Mo Md Si la acumulació de datos se ecuetra hacia los valores bajos de la característica estudiada, se dice que la asimetría es positiva. Figura Mo Md X

43 43 Si la acumulació de datos se ecuetra hacia los valores altos de la característica estudiada, se dice que la asimetría es egativa. Figura 3 X Md Mo Características del Sesgo Si el sesgo es igual a 0, hay simetría. Figura. Si el sesgo es mayor a cero, la cola derecha es más larga que la izquierda respecto al valor cetral. Se dice que la asimetría es positiva. Figura. Si el sesgo es meor a cero, la cola derecha es más corta que la izquierda co respecto al valor cetral. La asimetría es egativa. Figura 3. Si ua distribució tiee varias modas o carece de algua, el sesgo se puede calcular mediate las siguietes fórmulas: Sesgo de Pearso: ( X Me) Sesgo 3 para mayor que 50 S Sesgo Cuartílico (Bowley): Sesgo Q Sesgo Percetílico: Sesgo P 3 Q P Sesgo por los mometos: M Sesgo S 3 3 Q + Q Q P50 + P P 0 0

44 44 k ( xi X ) dode M k es la fórmula de los mometos de orde k, e dado caso que los datos esté si agrupar y k ( xi X ) f i i M k es la fórmula de los mometos de orde k, e dado caso que los datos esté agrupados. Curtosis Es el grado de aputamieto de ua distribució co respecto a ua curva modelo o curva ormal de Laplace-Gauss. La fórmula es: M 4 K 4 ó S K Q3 Q P ( P ) 90 0 K 3 K 0.63 Si K > 3 ó K > 0.63 etoces la distribució es Leptocúrtica Los datos so meos dispersos Si K 3 ó K 0.63 etoces la distribució es Mesocúrtica

45 45 Si K < 3 o K < 0.63 etoces la distribució es Platicúrtica. Los datos so más dispersos Ejemplo: E la Escuela Bicetearia, ua muestra aleatoria de 80 iños e edad escolar, se observó su coteido de calcio(mg/dl) e la sagre que presetaba cada uo de ellos y se clasificaro segú su cosumo de leche diario: Grupo A: 46 iños que toma meos de ½ litro de leche diario. Grupo B: 34 iños que tomas más de litro de leche diario. Los datos obteidos se muestra e la siguiete tabla: Determie: a) El grado de variabilidad de cada muestra. b) El grado de asimetría de cada muestra. c) E fució de los resultados ateriores, se podrá afirmar que la catidad de igesta de leche diaria ifluye e los coteidos de calcio e la sagre. Calculamos cada uo de los estadígrafos para ambos grupos: Catidad de calcio (mg/dl) e sagre de iños escogidos aleatoriamete del grupo A de la Escuela Bicetearia Nivel de calcio (mg/dl) L Li Ls i L s Li L s f i A f i B f i F a X i ( X I X ) f i , , , , ,58 Total 46 30,655 Datos sumiistrados por la uidad médica de la Escuela Bicetearia. Febrero, 997.

46 46 El valor de la media es La desviació típica es X 8,6mg / dl S 0.8mg / dl 46 De este modo, el grado de variabilidad obteido es de 0.8 C. V. x00% 9% 8.6 Para calcular el grado de asimetría, ecesitamos tambié obteer el valor de la moda: Mo x mg / dl. Así el sesgo será Sesgo Catidad de calcio (mg/dl) e sagre de iños escogidos aleatoriamete del grupo B de la Escuela Bicetearia Nivel de calcio (mg/dl) L Li Ls i L s f i F a X i ( X I X ) f i , , , , ,9675 Total 34 5,65 Datos sumiistrados por la uidad médica de la Escuela Bicetearia. Febrero, El valor de la media es La desviació típica es 90.0 X 8.5mg / dl S 0.5mg / dl 34

47 47 De este modo, el grado de variabilidad obteido es de 0.5 C. V. x00% 6% 8.5 Para calcular el grado de asimetría, ecesitamos tambié obteer el 5 valor de la moda: Mo x mg / dl. Así el sesgo será Sesgo Si observamos la muestra, o se podría decir que los iños que toma litro de leche diaria (grupo B) posea más calcio e sagre que los que igiere medio litro diario (grupo A), por el cotrario se observa que e alguos casos, los iños que cosume meos de ½ litro posee mayores iveles de calcio e sagre. Está icliació o es muy fuerte, pues las muestras de ambos grupos A y B, so muy parecidas. Es así como el cosumo de leche debe cosiderarse como ua posible variable pero o de mucha importacia. Obsérvese los valores de la moda, media aritmética, desviació estádar, coeficiete de variació y sesgo. Coclusió fial: No hay evidecia de diferecia etre los iveles de calcio sérico etre iños que cosume u litro de leche diario y los que cosume medio litro.

48 48 Aplicació: Diagrama de Caja Dispositivo visual útil para comuicar la iformació coteida e u cojuto de datos. Para su costrucció se usa los cuartiles o percetiles: Se represeta la variable cuatitativa e el eje de las Y, la variable cualitativa e el eje de las X (ua o más) Dibujar u eje vertical que se extieda desde la observació más pequeña hasta la más grade e los datos, cerrado cada observació co u apequeña líea horizotal. Dibujar sobre el eje vertical u cuadro que se extieda desde el cuartil Q (extremo iferior) y cuartil Q 3 (extremo superior) Dividir el cuadro e dos partes co ua líea que pase por el cuartil Q o mediaa. Los diagramas de caja se caracteriza por requerir u solo eje; aquel e el cual se preseta sólo u resume de los datos. La caja cetral represeta valores de la mediaa, los cuartiles y 3. Depediedo del usuario o paquete estadístico usado, los extremos de la líea vertical que divide la caja podrá sigificar diferetes medidas. Para ello observemos los siguietes ejemplos: a) Gráfico de caja secillo, represeta el meor y mayor dato de la distribució.

49 49 b) Gráfico de caja que represeta los percetiles 0 y 90 de la distribució. P 90 P 0 c) Gráfico de caja geerado por el paquete SPSS, utiliza cuartiles y rago cuartílico. Además represeta valores atípicos y aberrates de la distribució. Q 3 + 3RQ >Q 3 +.5RQ < Q + 3RQ Q! + 3RQ

50 50 Para eteder mejor su costrucció, mostremos e u diagrama de caja la distribució de 50 observacioes correspodietes a las estaturas de u grupo de estudiates a la Escuela de Bioaálisis de la Uiversidad Cetral de Veezuela. Los datos los eumeramos a cotiuació: Diagrama de Caja de la estatura de 50 estudiates de la Escuela de Bioaálisis de Uiversidad Cetral de Veezuela,0,9 6,8,7,6 785,5 N 50 ESTATURA La caja cetral, que aparece de forma vertical e el ejemplo mostrado ateriormete, se extiede desde el cuartil hasta el cuartil 3. Estos valores correspode a Q. 64 m y Q m. La líea que corre etre estos percetiles es la mediaa, esto es, Me. 67 m. Si la mediaa se ubica aproximadamete a la mitad, etre los dos cuartiles, esto implica que las observacioes e el cetro del cojuto de datos so aproximadamete simétricas. Las líeas que se proyecta fuera de la caja a ambos lados se extiede a los valores adyacetes del diagrama. Los valores adyacetes so las

51 5 observacioes más extremas e el cojuto de datos, costituyedo estas aproximadamete el percetil 0 y el percetil 90. Para este ejemplo, el P.6 m y P m. Todos los putos fuera de éste rago represetados co círculos, costituye las observacioes que se cosidera valores atípicos, o putos de datos que o so represetativos del resto de los valores. Para este caso, se tiee datos atípicos hacia valores bajos, que correspode a los tres idividuos que mide.56m y u dato atípico por hacia valores altos, correspodiete al idividuo que mide.90m. E cuato a las características geerales de la distribució de los datos, se observa que existe ua alta cocetració de datos que se ecuetra a valores bajos de la estatura.

52 5 CAPÍTULO III Probabilidades El problema cetral de la Estadística es el maejo del azar y la icertidumbre. Los evetos aleatorios siempre se ha cosiderado como misteriosos. Los avaces cietíficos de los siglos que siguiero al Reacimieto, efatizado la observació y la experimetació cuidadosa, diero lugar a la Teoría de Probabilidad para estudiar las leyes de la aturaleza y los problemas de la vida cotidiaa. Las estadísticas reemplaza las palabras imprecisas pudo ser, casi co seguridad, por u úmero que va de 0 a ; esto idica ua forma más precisa de qué ta probable o improbable es u eveto. E el campo médico los coceptos de probabilidad so útiles para compreder e iterpretar datos presetados e cuadros y gráficas de iformes publicados, además, permite hacer euciados acerca de cuáta es la cofiaza que se tiee e estimacioes de medias, proporcioes y/o riesgos relativos. Clásica Defiició de Probabilidad La probabilidad que se dé u feómeo determiado es igual al cociete etre el úmero de casos favorables al feómeo y el úmero total de casos posibles. Estadística La probabilidad estimada de u suceso se toma como la frecuecia relativa de la aparició del suceso, cuado es muy grade. Experimetos aleatorios Coceptos Básicos Hay experimetos e los cuales los resultados o so esecialmete los mismos a pesar de que las codicioes sea aproximadamete idéticas; estos experimetos so deomiados aleatorios. Para ello, es ecesario que se satisfaga las siguietes codicioes: a) Se puede repetir idefiidamete bajo idéticas codicioes. b) Se cooce el cojuto de posibles resultados del experimeto.

53 53 c) La aparició de cada resultado depede del azar. Espacio Muestral o Uiverso (cojuto de putos muestrales) Es u cojuto que está formado por todos los resultados posibles de u experimeto aleatorio; a cada uo de los resultados se deomia puto muestra. El espacio muestral usualmete se deota por S. El espacio muestral puede ser: a) fiito: tiee u úmero fiito de putos. (Discreto) b) Ifiito cotable: tiee tatos putos como úmeros aturales. (Discreto) c) Ifiito o cotable: tiee tatos putos como hay e algú itervalo. (Cotiuo) Sucesos o Evetos Es u subcojuto del espacio muestral. Los evetos so deotados por (A, B, C,...). Si u suceso cotiee u solo puto muestral, lo llamaremos suceso simple, e cambio que si cotiee o más putos muestrales, lo llamaremos suceso compuesto. Ejemplo : Si os fijamos e el experimeto de lazar la moeda, el mismo será u experimeto de ua sola prueba y su espacio muestral tiee ta solo dos putos muestrales(eveto): S {cara o sello}. Ejemplo : E ua escuela rural, se va a seleccioar ua muestra aleatoria de iños cursates del cuarto grado. Si se va a observar e cada iño la presecia o o de gigivitis Cuál es el espacio muestral? Teemos dos posibles casos: Gigivitis positiva Gigivitis egativa

54 54 Luego: S { ( ), ( ), ( ), ( ) } Ejemplo 3: E el caso del lazamieto de u dado (experimeto), ecotramos como espacio muestral a S {,,3,4,5,6 } El caso de u eveto Si e u espacio muestral teemos u úmero fiito de putos muestrales, y cada uo tiee la misma probabilidad de darse; siedo s i u puto muestral (i,,...,m) y m es el úmero total de putos muestrales del espacio, la probabilidad de que se dé el puto muestral s i es: P( s i ) m El caso de dos o más evetos Por otra parte, si m a es el úmero de elemetos del suceso A, A es u subcojuto de S y el úmero de elemetos de S es m, etoces P( A) Es decir, la probabilidad de que se dé u determiado suceso A, es igual al cociete del úmero de casos favorables y el úmero total de casos posibles co la codició de que todos tega la misma probabilidad de ocurrecia. m a m Ejemplo 4: Cuál es la probabilidad de que al lazar u dado, salga el úmero 5? La respuesta es P (salga u 5 e u solo lazamieto) / 6 Ejemplo 5: Cuál es la probabilidad de que al lazar u dado, salga ua cifra par? y ua cifra impar?

55 55 Se tiee que P(obteer u úmero par) P(obteer u úmero impar) 3 / 6 / Ejemplo 6: Cuál es la probabilidad de sacar ua carta de corazó e u juego de cartas? La respuesta es P(sacar u corazó e u juego de cartas) 3 / 5. Tipos de evetos Evetos mutuamete excluyetes Sea A y B dos subcojutos de S. Decimos que A y B so mutuamete excluyetes si A B, es decir, la aparició de uo de ellos impide la ocurrecia simultaea del otro. Para este caso, teemos que: P(A B) P(A) + P(B) (Regla aditiva) Ejemplo 7: Cuál es la probabilidad de extraer u tres de u juego de carta o de extraer u diez? Teemos que P(A) P( extraer u tres) 4 / 5 P(B) P(extraer u diez) 4 / 5 Así P(A B) 4 / / 5 8 / 5 Ejemplo 8: Cuál es la probabilidad de extraer u siete de u juego de cartas o u dos? Teemos que P(A) P(extraer u siete) 4 / 5 P(B) P( extraer u dos) 4 / 5 Así P( A B ) 4 / / 5 8 / 5 Evetos o mutuamete excluyetes

56 56 Para este caso, utilizaremos la fórmula: P( A B ) P(A) + P(B) P( A B ) E este caso los evetos parece ser mutuamete excluyetes, pero existe ua itersecció e los evetos A y B, es decir, puede ocurrir que e el espacio muestral exista u eveto que icluya a los evetos A y B, por lo tato debemos restar dicha itersecció para evitar cotarla e las probabilidades de A y de B. Ejemplo 9: Cuál es la probabilidad de extraer u diamate de u juego de carta o u as? 5 barajas Teemos que: P(A) P (extraer u diamate) 3 / 5 P (B) P (extraer u as) 4 / 5 P(A B) P (u as de diamate) / 5 P (AUB) P (A) +P (B) - P (A B) 4 ases 3 P (AUB) 3/5 + 4/5 - /5 6/5 As de Ejemplo 0: Cuál es la probabilidad de extraer u trébol de u juego de carta, u diez o u dos? Teemos que: P(A) P (extraer u trébol) 3 / 5 P (B) P (extraer u diez) 4 / 5 P(C) P (extraer u dos) 4 / 5 P(A B) P (u diez de trébol) / 5 P (B C) 0 P(A C) P (u dos de trébol) / 5 Así: P(A B C) P(A) + P (B) + P(C) P(A B) P(A C) P (B C) 3 / / / 5 / 5 0 / 5 9 / 5 Eveto codicioal