PRECISIONS OF THE DERIVATIVE AND ANTI-DERIVATIVE OF THE ROOT OF AN INTEGER POWER

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1 Revista de la Facultad de Ciecias Uiversidad Nacioal de Colobia, Sede Medellí V 5 N 1 Eero-Juio de 216 ISSN X / ISSN-e Artículo Ivestigació Págias 61 a 75 DOI: PRECISIONES SOBRE LA DERIVADA Y LA ANTI-DERIVADA DE LA RAÍZ DE UNA POTENCIA ENTERA a PRECISIONS OF THE DERIVATIVE AND ANTI-DERIVATIVE OF THE ROOT OF AN INTEGER POWER MANUEL SIERRA-ARISTIZÁBALb Recibido , aceptado , versió fial Artículo Ivestigació RESUMEN: E este artículo, se costruye de aera detallada, fórulas para calcular la derivada y la ati-derivada de fucioes de la fora f(x) = x, dode es u etero y es u etero positivo. Se prueba que estas fórulas so válidas e todo el doiio de la fució. Se uestra que si x = (x ) 1 = x, dode y so pares y x es egativo, etoces las fórulas tradicioales, D X [x r ] = rx r y x r dx = xr+1 r+1 + C, falla. Fialete, las fórulas tradicioales so odificadas, cuado y so pares y x es egativo. PALABRAS CLAVE: Ati-derivada, derivada, expoete racioal, raíz. ABSTRACT: I the preset article, forulas for calculatig the derivatives ad atiderivatives of fuctios of the for f(x) = x, where is a iteger ad is positive iteger, are costructed i detail. These forulas are show to be valid for the etire doai of the correspodig fuctio. It is show that if x = (x ) 1 = x, where ad are eve ad x is egative, the the traditioal forulas, Dx [x r ] = rx r y x r dx = xr+1 +C, fail. Fially, traditioal forulas are odified, whe ad are eve ad x is egative. r+1 KEYWORDS: Atiderivative, derivative, ratioal expoet, root. 1. INTRODUCCIÓN La fució potecia etera de ua raíz, g(x) = ( x), dode es u etero positivo y es u etero diferete de cero, es apliaete utilizada e los cursos de cálculo diferecial e itegral que se iparte e las uiversidades que tiee prograas de ciecias, adiistració e igeiería. Co el fi de calcular la derivada y la ati-derivada de esta fució e el capo de los a Sierra-Aristizábal M. (216). Precisioes sobre la derivada y la ati-derivada de la raíz de ua potecia etera. Revista de la Facultad de Ciecias, 5 (1), DOI: b Profesor del Departaeto de Ciecias Mateáticas, Uiversidad EAFIT 61

2 MANUEL SIERRA-ARISTIZÁBAL úeros reales, se acostubra represetarla coo ua fució de potecias racioales, defiiedo ( x) = (x 1 ) = x, y se afira que la derivada y la ati-derivada está dadas por las siguietes fórulas tradicioales: D x [( x) ] = D x [x r ] = rx r y ( x) dx = x r dx = xr+1 r+1 + C, dode r =. E los textos de cálculo Gozález et al. (212), Larso & Edwards (216), Stewart (212), Zill (211), se preseta estas fórulas coo válidas e todo el doiio de la fució, y adeás, e los textos Edwards et al. (28), Leithold (1998), Purcell et al. (27) y Thoas (25), se preseta razoaietos co los cuales se prueba la validez de las isas e todo el doiio de esta fució. La fució raíz de ua potecia etera, f(x) = x, dode es u etero positivo y es u etero diferete de cero, tabié se acostubra represetarla coo ua fució de potecias racioales, defiiedo x = (x ) 1 = x, y se afira que la derivada y la ati-derivada está dadas por las fórulas tradicioales: D x [ x ] = D x [x r ] = rx r y x dx = x r dx = xr+1 r+1 + C, dode r =. E los textos de aálisis ateático coo Apostol (1967), Lax & Terrell (214), Mahudov (213), Mercer (214), Schiazi (213), se prueba que estas fórulas so válidas para los reales positivos, pero o se refuta i se prueba su validez e los reales egativos. Por otro lado, e Spivak (1996) se prueba que las fórulas vale para los reales positivos, y adeás, para los reales egativos cuado la raíz es ipar, pero o se cosidera el caso para los reales egativos, cuado y so pares. Se tiee etoces que las fórulas tradicioales, proporcioa resultados correctos cuado se trata de la fució g(x) = ( x). Tabié se tiee que estas fórulas proporcioa resultados correctos cuado se trata de la fució f(x) = x, y el doiio se restrige a los reales positivos, y tabié cuado es ipar y x es u real arbitrario. Fialete, se tiee que para x toado valores e los reales o egativos, abas fucioes coicide, es decir, x = ( x). Lo aterior tiee coo cosecuecia, que e las aplicacioes a la igeiería y a la adiistració, las fórulas tradicioales sea pertietes, puesto que e estas aplicacioes se trabaja co valores de x o egativos. E este trabajo se uestra que, para el caso de la f(x) = x, las fórulas tradicioales o puede ser aplicadas cuado y so pares y x es u real egativo, y que éste es el úico caso e el cual estas fórulas o aplica. Tabié se prueba que las uevas fórulas D x [ x ] = x x y x dx = + x x + C, fucioa correctaete e todo el doiio de la fució f(x) = x. Fialete se prueba que, cuado x es egativo y tato coo so pares, etoces x x = ()x y x x = ()x +1, y e cosecuecia, las fórulas tradicioales se puede adaptar de la siguiete aera D x [ x ] = () x y x dx = () x C, cuado y so pares y x es egativo. Respecto al estado del arte, e lo referete a las fórulas tradicioales, e Malik (1984) se uestra que e 1635, Cavalieri, publica el trabajo, Geoetria Idivisibilibus, e el cual itroduce la idea de 62 Revista de la Facultad de Ciecias Uiversidad Nacioal de Colobia, Sede Medellí

3 PRECISIONES SOBRE LA DERIVADA Y LA ANTI-DERIVADA DE LA RAÍZ DE UNA POTENCIA ENTERA idivisible, y co ella establece u resultado previo al surgiieto del cálculo, el cual es aálogo a la fórula a x dx = a Adeás, e Boyer (197) se uestra que, e la isa época, este resultado fue obteido idepedieteete por Roberval y por Torricelli, y que fue geeralizado por Ferat para todos los valores racioales de, excepto =. Por otro lado e Rosethal (1951), se tiee que e 1656, Wallis, e su libro Arithetica ifiitoru, establece la validez de esta fórula para cualquier expoete real, co =. Fialete, e Gree (1979) se uestra que alguas décadas después, Newto prueba que el área bajo la curva y = ax, está dada por + ax. Se tiee de esta aera, resultados co cerca de 4 años de atigüedad. + El artículo se ecuetra orgaizado de la siguiete aera: e la parte 2 se preseta cotraejeplos co los cuales se uestra que las fórulas tradicioales o puede ser extedidas para el caso de la fució f(x) = x, cuado x es egativo co y pares. E las partes 3 y 4 se preseta las uevas fórulas para la derivada y la ati-derivada, las cuales so válidas e todo el doiio de la fució raíz de ua potecia etera. E la parte 5 se establece las codicioes y las odificacioes precisas e las fórulas tradicioales, para que pueda ser utilizadas e el caso de la fució f(x) = x, cuado x es egativo co y pares. E la parte 6 se uestra que las fórulas tradicioales fucioa perfectaete e el capo de los úeros coplejos. Fialete, e la parte 7 se preseta las coclusioes y alguas observacioes. 2. CONTRAEJEMPLOS El prier paso cosiste e ilustrar, co u caso específico de la fució f(x) = x, que las fórulas tradicioales o aplica cuado x toa valores e los reales egativos siedo y pares. Para esto, se cosidera dos probleas típicos del cálculo diferecial e itegral. Problea 1. Ecotrar el área de la regió liitada por las gráficas de las curvas y =, x =, y = 6 x 2. Problea 2. Ecotrar la pediete de la recta tagete a la gráfica de la fució f(x) = 6 x 2 e el puto P (, 1) Para solucioar estos probleas, se utiliza los siguietes resultados del cálculo diferecial e itegral: Resultado 1. E Larso & Edwards (216) se tiee que, el área de la regió liitada por las gráficas de las curvas y =, x = a, x = b, y = f(x), dode a < b y f(x), está dada por la itegral b a f(x)dx. Resultado 2. E Larso & Edwards (216) se tiee que, la pediete de la recta tagete a la gráfica de la fució y = f(x) e el puto (c, f(c)) es f (c). V 5 N 1 Eero-Juio de 216 ISSN X / ISSN-e DOI: Artículo 63 Ivestigació

4 MANUEL SIERRA-ARISTIZÁBAL Figura 1: Gráfica de la fució f(x) = 6 x 2 Solució al problea 1. Las fórulas tradicioales o puede ser aplicadas e este caso, puesto que al hacerlo resulta la siguiete cotradicció: 6 Área = x 2 dx = x 2 6 dx = x = x = () 8 6 () 8 6 = () () 8 = = , (1) Obteiédose u área egativa, lo cual es iposible. Cosiderado la sietría de la gráfica de la fució, se puede asegurar que el área coicide co la itegral evaluada etre los valores o egativos y 1, y utilizado las fórulas tradicioales se obtiee coo resultado el valor correcto. Si se quiere proceder si utilizar las fórulas tradicioales co expoetes racioales o eteros, ua fora de hacerlo es la siguiete: Teiedo e cueta que x <, se ifiere que x = x, y e cosecuecia: Área = 6 x 2 dx = 3 x 2 dx = 3 x dx = Sea u = 3 x, etoces u 3 = x, por lo que 3u 2 du = dx, resultado que 3 xdx = 3 xdx. (2) x= x= 3 xdx = x= u(3u2 du) = x= 3u3 du 64 Revista de la Facultad de Ciecias Uiversidad Nacioal de Colobia, Sede Medellí

5 PRECISIONES SOBRE LA DERIVADA Y LA ANTI-DERIVADA DE LA RAÍZ DE UNA POTENCIA ENTERA x= = [ 3u4 4 ] x= x= = [ 3( 3 x) 4 4 ] x= = 3( 3 ) ( 3 ) 4 4 = 3 4. (3) Solució al problea 2. Las fórulas tradicioales tapoco puede ser aplicadas e este caso, puesto que al hacerlo se obtiee el siguiete resultado iválido: x f (x) = D x [ 6 x 2 ] = D x [x 2 6 ] = 2 6 x 2 6 = 2 6 x 4 6 =, evaluado e x = se tiee que la pediete 4 es, f 1 () =, lo cual es iposible, puesto que la fució es decreciete cuado x =, 3 6 () 4 = 1 3 por lo que la pediete debe ser egativa. Si se defie h(x) = 6 x y t(x) = x 2 etoces 6 x 2 = h t(x) = h(t(x)), por lo que, aplicado la regla de la cadea y utilizado las fórulas tradicioales, se obtiee el valor correcto de la derivada. Si se quiere proceder si utilizar las fórulas tradicioales co expoetes racioales o eteros, ua fora de hacerlo es la siguiete: sea u = 6 x 2, coo x < resulta u = 3 x = 3 x, es decir, u 3 = x por lo que 3u 2 u =, resultado que f (x) = u = = 3u 2 3( 3 x) 2. La pediete se obtiee evaluado la derivada e x = f () = 3( 3 ()) 2 = 1 3. Se cocluye etoces, que existe casos cocretos de la fució f(x) = x, e los cuales la estrategia usual, utilizado las fórulas tradicioales, o puede ser utilizada, tato para el caso de la derivada coo para el caso de la ati-derivada. Co base e lo aterior, la propuesta de este trabajo es ecotrar fórulas para la derivada y para la ati-derivada, las cuales pueda ser aplicadas e todo el doiio de la fució f(x) = x, e el capo de los úeros reales. Ates de hacerlo, e la proposició 2.1, se preseta alguos resultados que debe ser teidos e cueta, cuado se ecesita trasferir propiedades de los expoetes eteros a los expoetes racioales. Proposició 2.1. Propiedades de la raíz de ua potecia etera. a) Si se defie x = (x ) 1 = x etoces o tiee validez geeral igua de las siguietes dos afiracioes: D x [x r ] = rx r y x r dx = xr+1 r+1 + C, dode r = b) No se puede asegurar que x p x q = x p+q, i que xp x q u real egativo. c) x = x, cuado es u etero positivo ipar y x u real arbitrario. es u racioal. = x p q, cuado p y q so racioales siedo x V 5 N 1 Eero-Juio de 216 ISSN X / ISSN-e DOI: Artículo 65 Ivestigació

6 d) x = x, cuado es u etero positivo par y x u real arbitrario. MANUEL SIERRA-ARISTIZÁBAL Deostració. a) Es cosecuecia directa de los cotraejeplos presetados ás arriba. b) Se sigue de los siguietes cotraejeplos: () 1 () 2 6 = ()1 =, ietras que () = () 8 6 = 1, por lo que () 1 () 2 6 () () 1 = () =, ietras que ()1 2 6 = () 4 6 = 1, por lo que ()1 () 1 2 () c) Sea x = b, etoces b = x. Si es ipar etoces b = x, por lo que x = x, si es par etoces b es positivo y adeás b = ( x), e cosecuecia b = x, es decir, x = x. 3. DERIVADA E el teorea 3.1 de esta secció, se ecuetra ua fórula para la derivada, la cual es válida e el doiio de la fució f(x) = x. E la prueba se utiliza la derivada de ua potecia etera, y teiedo presete la parte b) de la proposició 2.1, sólo se utiliza las propiedades de los expoetes eteros. Teorea 3.1. Derivada de la fució raíz de ua potecia etera. Si es u etero positivo, u etero, f(x) = x ua fució de valor real, etoces, para toda x diferete de cero e el doiio de defiició de la fució f, se cuple que: D x [ x ] = x x Deostració. Sea u = x, por lo que u = x, derivado co respecto a x se tiee u u = x, al ser x diferete de cero, u tabié lo es, por lo que u u u = x, de dode x u x = x, luego u = x x x = x = x x () x, y se cocluye que D x [ x x ] = x. Se ha probado de esta aera lo que se pide, para cada real positivo x e el caso que sea u etero ipar y etero positivo par, y para cada real x diferete de cero e los deás casos. Adeás, es u hecho apliaete coocido, que cuado la fució está defiida e x =, tabié es derivable e este valor, excepto cuado <, y cuado = co par. Solució al problea 2. El valor correcto de la pediete pedida e el problea 2, puede ser ecotrado aplicado la ueva fórula presetada e el teorea 3.1, resultado que f (x) = D x [ 6 x 2 ] = 2 6 x 2 6 x, lo cual iplica que la pediete correcta es: f () = 2 6 () 2 = Revista de la Facultad de Ciecias Uiversidad Nacioal de Colobia, Sede Medellí

7 PRECISIONES SOBRE LA DERIVADA Y LA ANTI-DERIVADA DE LA RAÍZ DE UNA POTENCIA ENTERA 4. ANTI-DERIVADA Ya se sabe que el teorea 3.1 proporcioa ua fórula para la derivada, la cual es válida e todo el doiio de la fució (salvo e x = cuado <, y cuado = co par). A partir de este resultado, y utilizado el teorea fudaetal del cálculo, e el teorea 4.1, se obtiee ua fórula para la ati-derivada, la cual es válida e todo el doiio de la fució. Teorea 4.1. Ati-derivada de la fució raíz de ua potecia etera. Sea u etero positivo, u etero, f(x) = x ua fució de valor real. Para toda x e el doiio de defiició de la fució f, se cuple que: x dx = + x x + C, dode (4) Deostració. D x [ + x x ] = = = + D x[x x ] = + [D x[x] x + xd x [ x ]] + [ x + x x x ] = x [1 + + ] x [ + + ] = x (5) La prueba aterior tiee la restricció x. Para que la prueba sea válida e todo el doiio de la fució f(x) = x cuado su doiio icluye x =, se debe probar que F (x) = + x x es derivable e x =, lo cual se hace a cotiuació: E cosecuecia, x dx = Solució al problea 1. F F (x) F () () = lí x x + x x = lí x x = lí x = lí x ( + x x x + x ) =. (6) + + x x + C dode, e el doiio de la fució. El valor correcto del área pedida e el problea 1, puede ser ecotrado aplicado la ueva fórula presetada e el teorea 4.1, resultado que el área correcta es: 6 x 2 dx = [ x 6 x 2 ] = () 6 () 2 = 6 8. (7) V 5 N 1 Eero-Juio de 216 ISSN X / ISSN-e DOI: Artículo 67 Ivestigació

8 MANUEL SIERRA-ARISTIZÁBAL 5. DERIVADAS Y ANTI-DERIVADAS DE LAS POTENCIAS RACIONALES Hasta el oeto se tiee que las fórulas tradicioales, o aplica para el caso de la fució f(x) = x, cuado y so pares y x u real egativo, adeás, co los teoreas 3.1 y 4.1, se ha ecotrado fórulas que sí aplica e todo el doiio de esta fució. E esta secció, co los teoreas 5.2 y 5.3, se establece la coexió etre abos tipos de fórulas, y se ajusta las fórulas tradicioales cuado y so pares y x u real egativo. Ates de hacerlo, e el teorea 5.1, se preseta alguos resultados, los cuales so claves para lograr la coexió propuesta. Teorea 5.1. Propiedades de la raíz -ésia. a) x z = x z, cuado es u etero positivo ipar, x es u real, co z es u real diferete de cero; y tabié cuado es u etero positivo par, x u real o egativo, co z u real positivo. b) xz = x z, cuado es u etero positivo ipar, y tato x coo z so reales; y tabié cuado es u etero positivo par, y tato x coo z so reales o egativos. c) x = ( x), e todo el doiio de la fució f(x) = ( x), es decir, x es u real o egativo cuado es par, y x es u real arbitrario cuado es ipar. Pero, x ( x), cuado es u etero positivo par y u etero par, co x u real egativo. Deostració. a) Sea x = a, z = b, etoces a = x, b = z, coo z etoces b y se obtiee x z = a b = ( a b ). Si es ipar etoces x z = a b, por lo que x z = x, si es par co x z y z positivos etoces a, b y a b so positivos, por lo que tabié se ifiere que x z = a b, es decir, x z = x z. b) Sea x = a, z = b etoces a = x, b = z, de dode se obtiee xz = a b = (ab). Si es ipar etoces xz = ab, por lo que xz = x z, si es par co x y z positivos etoces a, b y ab so positivos, por lo que tabié se ifiere que xz = ab, resultado xz = x z. c) Sea x = a, x = b, etoces a = x, b = x, y tabié a = x, de dode b = a. Si es ipar etoces b = a, si es par y x es positivo resulta que a y b so positivos, por lo que tabié b = a. Coo e abos casos b = a se ifiere que x = ( x). Por otro lado, cuado es u etero positivo par y u etero par co x u real egativo, ( x) o es u úero real, ietras que x si lo es, e cosecuecia x ( x). Teorea 5.2. Coexió etre la fórula correcta para la derivada y la fórula tradicioal. Si se defie x = (x ) 1 = x etoces 68 Revista de la Facultad de Ciecias Uiversidad Nacioal de Colobia, Sede Medellí

9 PRECISIONES SOBRE LA DERIVADA Y LA ANTI-DERIVADA DE LA RAÍZ DE UNA POTENCIA ENTERA a) D x [ x ] = D x [x ] = x, cuado es u etero positivo ipar, u etero diferete de cero y x u real arbitrario (x diferete de cero cuado es egativo); tabié cuado es u etero positivo par, u etero ipar y x u real positivo; y adeás, cuado es u etero positivo par, u etero par diferete de cero y x u real positivo. b) D x [ x ] = D x [x ] = () x, cuado es u etero positivo par, u etero par y x u real egativo. c) D x [( x) ] = D x [x ] = x, e todo el doiio de la fució f(x) = ( x), es decir, x es u real o egativo cuado es par, y x es u real arbitrario cuado es ipar. Deostració. Aplicado el teorea 3.1, la parte a) del teorea 5.1, las partes b), c) y d) de la proposició 2.1, y las propiedades de los expoetes eteros, resulta que: a) D x [x ] = D x [ x ] = x x = x x = x x = x = x = x. b) D x [x ] = D x [ x ] = () x x x = x ( x ) = ( ) x x = ( ) x = ( ) x = c) Cosecuecia directa de la parte a) de este teorea y de la parte c) del teorea 5.1. Teorea 5.3. Coexió etre la fórula correcta para la ati-derivada y la fórula tradicioal. Si se defie x = (x ) 1 = x etoces a) x dx = x dx = x C, cuado es u etero positivo ipar, u etero y x u real arbitrario (x diferete de cero cuado o es positivo); tabié cuado es u etero positivo par, u etero ipar y x u real positivo; y adeás cuado es u etero positivo par, u etero par y x u real positivo. b) x dx = x dx = () x C, cuado es u etero positivo par, u etero par y x u real egativo. c) ( x) dx = x dx = x C, e todo el doiio de la fució f(x) = ( x). Deostració. Aplicado el teorea 4.1, la parte b) del teorea 5.1, las partes b), c) y d) de la proposició 2.1, y las propiedades de los expoetes eteros, resulta que V 5 N 1 Eero-Juio de 216 ISSN X / ISSN-e DOI: Artículo 69 Ivestigació

10 a) x dx = x dx = = x + + C = + + x x + C = + x + + C = 1 x x + C = + + MANUEL SIERRA-ARISTIZÁBAL x + + C = x C x x + C + b) x dx = x dx = = ( ) x + + C = + + x x + C = + x + + ( x ) x + C = ( ) x x + C + () + C = + x + x +1 + C = () C c) Cosecuecia directa de la parte a) de este teorea y de la parte c) del teorea CONSIDERACIONES EN EL CAMPO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Al observar los resultados obteidos e los teoreas 5.2 y 5.3, surge ua preguta atural: Ocurre algo siilar e el capo de los úeros coplejos? La respuesta es o. A cotiuació, esto se prueba e la proposició 6.1; para realizar esta prueba es ecesario teer e cueta los siguietes resultados sobre los úeros coplejos. El úero coplejo z = x+iy, dode tato x coo y so úeros reales, puede ser represetado e fora polar coo z = r(cosθ + iseθ), dode r = x 2 + y 2 es el ódulo de z; cuado x es diferete de cero, θ = Arcta [ y x ] es el argueto de z; cuado x es cero y y es positivo, θ = π 2, cuado x es cero y y es egativo, θ = π 2 ; es decir, θ es el águlo que fora z co el eje real positivo cuado z se iterpreta coo u radio vector. Por otro lado, e Merzbach & Boyer (211) se uestra que, e relació co el problea de los logaritos de úeros egativos, Euler, e 1747 preseta la fórula e iθ = cosθ + iseθ. Coo cosecuecia de esta fórula y de la represetació polar, se obtiee la represetació expoecial z = re iθ. Para ser utilizado e la prueba de la proposició 6.1, es iportate otar que: e iθ 1 e iθ 2 = cosθ 1 + iseθ 1 cosθ 2 + iseθ 2 = (cosθ 1 cosθ 2 + seθ 1 seθ 2 ) + i(seθ 1 cosθ 2 seθ 2 cosθ 1 ) = cos(θ 1 θ 2 ) + ise(θ 1 θ 2 ) = e i(θ 1 θ 2 ) 7 Revista de la Facultad de Ciecias Uiversidad Nacioal de Colobia, Sede Medellí

11 PRECISIONES SOBRE LA DERIVADA Y LA ANTI-DERIVADA DE LA RAÍZ DE UNA POTENCIA ENTERA De aera siilar se prueba que e iθ 1 e iθ 2 = e i(θ 1+θ 2 ), y coo cosecuecia se tiee la fórula (hallada por Moivre e 177): de lo aterior resulta que z = re iθ. (e iθ ) = (cosθ + iseθ) = cos(θ) + ise(θ) = e iθ, Respecto a la igualdad de coplejos, se tiee que, r 1 e iθ 1 = r 2 e iθ 2 dode k es u etero. si y sólo si r 1 = r 2 y θ 1 = θ 2 + 2πk Por otro lado, cada coplejo tiee raíces -ésias: 1 z = z = (re iθ ) 1 = {ck c k = θ+2πk i( re ) co k =, 1, 2,..., 1} (8) E cosecuecia, z = (z ) 1 = (r e iθ ) 1 = {ck c k = r e θ+2πk i( ) co k =, 1, 2,..., 1} (9) E Katz (29), se afira que Euler, e u trabajo publicado e 1777, establece que ua fució copleja, f(x+yi), puede ser expresada de la fora u(x, y)+iv(x, y). Siguiedo esta idea, Cauchy, e ua eoria publicada 1827, obtiee las actualete llaadas ecuacioes de Cauchy-Riea, adeás, Riea e 1851, e su tesis doctoral, Foudatios for a Geeral Theory of Fuctios of Oe Coplex Variable (Grudlage für eie allgeeie Theorie der Fuctioe eier veräderliche coplexe Grösse), covierte estas ecuacioes e fudaetales para el desarrollo de las fucioes de variable copleja. E Churchill (1986) se prueba que, si f(z) = u(r, θ) + iv(r, θ), etoces las ecuacioes Cauchy- Riea so las siguietes: u r = 1 r v θ, 1 r u θ = v r, y ocurre que, si z = re iθ las satisface, etoces f (z) = e iθ (u r iv r ). Proposició 6.1. Derivada de la raíz de ua potecia etera e el capo de los úeros coplejos. Si f(z) = z = (z ) 1 = r e θ+2πk i( ) para algú etero k dode k 1, etoces f (z) = D z [ z ] = z z = z Deostració. Coo z = r e θ+2πk i( ) = r (cos ( θ+2πk ) + ise ( θ+2πk )). Toado u(r, θ) = r cos ( θ + 2πk ), v(r, θ) = r θ + 2πk se ( ), V 5 N 1 Eero-Juio de 216 ISSN X / ISSN-e DOI: Artículo Ivestigació 71

12 resulta que: MANUEL SIERRA-ARISTIZÁBAL u r = ( r r u θ = r ( + 2πk ) cos (θ ), v θ = r ( + 2πk se (θ )), v r = ( r r + 2πk cos (θ )), + 2πk ) se (θ ) Observado que se satisface las ecuacioes de Cauchy-Riea: u r = 1 r v θ, 1 r u θ = v r, se puede asegurar que f (z) = e iθ (u r iv r ), es decir: D z [ z ] = f (z) = e iθ [( Pero tabié, coo r es positivo: r r + 2πk ) cos (θ ) i ( r r = ( r r ) 1 + 2πk [cos (θ ) ise ( eiθ = r e i θ+2πk re iθ = z z r θ+2πk ei e re iθ = r( ) e ( )θ+2πk i( ) Cocluyédose fialete que: = r( ) e i( θ+2πk θ+2ßk θ i( θ) = + 2πk ) se (θ )] θ + 2πk )] = ( r r ) ei r( ) ) = z = z. θ+2πk e iθ D z [ z ] = z z = z. 7. CONCLUSIONES Y OBSERVACIONES Coo cosecuecia de los resultados obteidos e las seccioes ateriores, se tiee las siguietes coclusioes y observacioes: Coclusió 1. Para la fució f(x) = x, cuado es u etero positivo par, u etero par y x u real egativo, la derivada o coicide co la expresió x y la ati-derivada o coicide co la expresió x +1 +1, pero la derivada y la ati-derivada si coicide co estas expresioes e los deás casos e los que la fució esté defiida. Defiiedo x = (x ) 1 = x, y utilizado los teoreas 3.1, 4.1, 5.2 y 5.3, e la tabla 1 se preseta los ajustes a las fórulas tradicioales, ediate la coexió co las uevas fórulas. 72 Revista de la Facultad de Ciecias Uiversidad Nacioal de Colobia, Sede Medellí

13 PRECISIONES SOBRE LA DERIVADA Y LA ANTI-DERIVADA DE LA RAÍZ DE UNA POTENCIA ENTERA Tabla 1: Fórulas y restriccioes Fórulas x x = D x [ x ] = D x [x ] = () x = () x x + x x = x dx = x dx = () x +1 () +1 = + x + Restriccioes Cuado es u etero positivo par, u etero par y x u real egativo. x x = D x [ x ] = D x [x ] = x = x x E los deás casos + x x = x dx = x dx = x = + x + Observar que egativo. x x = () x y + x x = () x +1 +1, cuado y so pares y x es Coclusió 2. Se debe efatizar que, para el caso de la fució f(x) = x, las restriccioes e las fórulas tradicioales para la derivada y la ati-derivada, tal coo se señala e la proposició 6.1, sólo se requiere e el capo de los úeros reales, cocretaete co los reales egativos cuado y so pares; o hay restriccioes co la fució g(x) = ( x), y tapoco co la fució f(x) = x e el capo de los úeros coplejos. Coclusió 3. Es iportate teer presete que, si es u etero positivo, u etero, y tato p coo q so racioales, etoces tal coo se uestra e la proposició 2.1, o se puede asegurar que las siguietes ecuacioes se satisface siepre: x = ( x), x p x q = x p+q, xp x q = xp q. Coo cosecuecia de la coclusió aterior, los razoaietos presetados e los textos Edwards et al. (28), Leithold (1998), Purcell et al. (27), Thoas (25), co los cuales se prueba la validez de las fórulas tradicioales para el caso la fució g(x) = ( x), o puede ser aplicados a la fució f(x) = x, cuado y so pares y x u real egativo. Observació 7.1. Alguas veces se restrige la validez de las fórulas tradicioales a los casos e los cuales y sea prios etre sí. Observado la tabla 1, es claro que bajo esta restricció las fórulas fucioa, si ebargo, esta restricció o es adecuada, puesto que las fórulas tabié fucioa e uchos casos e los cuales la restricció o se cuple, por ejeplo, co = 3 6. Debe quedar claro, que las fórulas tradicioales o aplica co la fució f(x) = x, úicaete, cuado y so abos pares y x es u real egativo. Observació 7.2. Se acostubra exteder, las fucioes cosideradas e este trabajo a fucioes co expoetes reales, ediate la defiició x c = e (c.l(x)), dode c es u úero real. Vale aotar, que las fórulas tradicioales aplica co estas fucioes, puesto que su doiio o icluye los reales egativos; e cosecuecia, las fucioes defiidas de esta aera o so relevates e este V 5 N 1 Eero-Juio de 216 ISSN X / ISSN-e DOI: Artículo 73 Ivestigació

14 trabajo. MANUEL SIERRA-ARISTIZÁBAL Fialete, cosiderado que la fució f(x) = x, satisface las siguietes ecuacioes: f (x) = k 1 f(x) x, f(x)dx = k 2 xf(x) + C, dode k 1 y k 2 so costates reales; se platea, para ser desarrollado e trabajos posteriores, u estudio sobre la failia de fucioes que satisface estas ecuacioes. 8. AGRADECIMIENTOS El autor agradece a los siguietes profesores de la Uiversidad EAFIT: Carlos Alberto Cadavid, José Albeiro Sáchez y Pedro Vicete Esteba. Referecias Apostol, T. (1967). Calculus, Volue 1. (Jo Wiley & Sos)(p. 3, 81, 93, 12, 161, 162, 163, 166, 397, 368). Boyer, C. B. (197). The history of the calculus. The Two-Year College Matheatics Joural, 1(1), Churchill, R. V. & Brow, J. W. (1986). Variable copleja y aplicacioes. (McGraw-Hill) (p , 6, 61). Edwards, C. H.; Edwards, D. E. H. & Peey, D. E. (28). Cálculo co trascedetes tepraas. (Pearso Educació)(p. 121, 126, 138, 139, 14, 319, 373). Gozález, J.; Bravo, J. & Mesa, F. (212). Cálculo itegral e ua variable. (Ecoe Edicioes) (p.12). Gree, D. R. (1979). Historical topics: The developet of itegral calculus. Matheatics i School, 8(3), Katz, V. (29). A history of atheatics. (Addiso-Wesley)(p. 797, 84). Larso, R. & Edwards, B. (216). Cálculo Too 1. (Cegage Learig) (p. 17, 122, 147, 246). Lax, P. & Terrell, M. (214). Calculus with applicatios. (Spriger) (p. 135, 141, 276). Leithold, L. (1998). El cálculo. (Oxford Harla) (p.174, 175, 3, 1253, 1259). Mahudov, E. (213). Sigle variable differetial ad itegral calculus. Matheatical aalysis. (Atlatis Press) (p. 119, 121, 225). 74 Revista de la Facultad de Ciecias Uiversidad Nacioal de Colobia, Sede Medellí

15 PRECISIONES SOBRE LA DERIVADA Y LA ANTI-DERIVADA DE LA RAÍZ DE UNA POTENCIA ENTERA Malik, M. (1984). A ote o Cavalieri itegratio. Matheatics Magazie, 57(3), Mercer, P. (214). More calculus of a sigle variable. (Spriger) (p.78, 79, 8, 253). Merzbach, U., & Boyer, C. (211). A history of atheatics. (Joh Wiley & Sos) (p. 413). Purcell, E.; Varberg, D. & Rigdo, S. (27). Cálculo diferecial e itegral. (Pearso Educació) (p. 18, 133, 198, A5). Rosethal, A. (1951). The history of calculus. The Aerica Matheatical Mothly, 58(2), Schiazi, R. (213). Fro calculus to aalysis. (Spriger) (p. 152, 174). Spivak, M. (1996). Cálculo ifiitesial. (Reverté) (p. 33, 331, 377, 44). Stewart, J. (212). Cálculo de ua variable trascedetes tepraas. (Cegage Learig) (p. 175, 176, 345, 398). Thoas, G. (25). Cálculo, ua variable. (Pearso Educació) (p. 16, 166, 29, 21, 369). Zill, D., & Wright, W. (211). Cálculo: trascedetes tepraas. (MacGraw-Hill) (p. 1, 131, 149, 269). V 5 N 1 Eero-Juio de 216 ISSN X / ISSN-e DOI: Artículo 75 Ivestigació