VISUALIZACIÓN DE LA RELACIÓN GEOMÉTRICA ENTRE LOS TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO CON GEOGEBRA

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1 VISUALIZACIÓN DE LA RELACIÓN GEOMÉTRICA ENTRE LOS TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO CON GEOGEBRA Doris Espernz Álvrez Quintero Profesor Colegio Los Nogles Bogotá D.C, Colombi Mrth Cristin Segur Brrero Profesor Colegio Mrymount Bogotá D.C, Colombi Resumen En éste rtículo se present un propuest pr l enseñnz de los Teorems Fundmentles del Cálculo por medio de l utilizción del softwre Geogebr, éste softwre permite l visulizción de cd uno de los teorems fundmentles del cálculo, trvés de l interpretción geométric de l integrl como función de áre y l interpretción de l derivd como función de pendientes, posteriormente se relcionn los procesos inversos de integrción y derivción. Introducción Este trbjo se fundment en l histori de los Teorems Fundmentles del Cálculo, retomndo el crácter geométrico de los problems de áres y tngentes que permitió estblecer l relción invers entre l derivción y l integrción; y en l teorí de ls representciones hciendo uso de l tecnologí, provechndo su crácter dinámico pr dr significdo los teorems y pr permitir l trducción entre distintos sistems de representción. El estudio histórico de los Teorems Fundmentles del Cálculo se enmrc en l evolución de los conceptos de integrl y derivd. Aunque los orígenes del cálculo infinitesiml se encuentrn en los griegos (siglo V.C. - siglo III.C.), hst los siglos XVII - XVIII, el cálculo presentó un desrrollo que permitió estblecer por primer vez explícitmente l relción invers entre l derivd y l integrl. Brrow demuestr con rgumentos estrictmente geométricos el teorem, y luego Newton y Leibniz, trbjn est relción en form independiente, bsdos en el concepto de integrción, uno en términos de áres de rectángulos y el otro en términos de sums de mgnitudes infinitmente pequeñs. En el siglo XIX se d l fundmentción del cálculo, grcisl desrrollodel álgebr de desigulddes, l formulción de conceptos básicos de nálisis como el de función, límite, convergenci, continuidd, derivds, integrles y sus propieddes y se obtiene l formulción y demostrción riguros del Teorem Fundmentl del Cálculo dd por Cuchy, ls cules son ls que se presentn ctulmente en los libros de texto. Función de áre Si f(x) 0prtodox [, b] se define l función de áre F pr cd x [, b] comoeláre bjo l gráfic de f entre y x

2 Memoris XVIII encuentro de geometrí y VI de ritmétic L función de áre es un interpretción de l integrl de un función, permite construir un función prtir de los vlores del áre cumuld bjo l curv f desde un punto hst un punto x vrible. L plicción relizd permite Introducir un función f en su representción lgebric visulizr el áre bjo l gráfic de l función f l desplzr un punto c en un intervlo cerrdo [, b] visulizr l construcción de l función de áre F prtir de los vlores del áre cumuld desde hst c. Visulizr el vlor numérico de F (c) Función de pendientes Si F es un función continu y derivble pr todo x [, b] se define l función de pendientes f pr cd x [, b] como el vlor de l pendiente de l rect tngente f en x L función de pendientes es un interpretción de l derivd de un función, permite construir un función prtir de los vlores de ls pendientes de ls rects tngentes F en el punto (c, F(c)). L plicción relizd permite 160

3 Visulizción de l relción geométric entre los teorems... Introducir un función F en su representción lgebric visulizr l rect tngente F en (c, F(c)) visulizr l representción lgebric de y el vlor de su pendiente visulizrl construcción de función de pendientes f l desplzr un punto c en un intervlo cerrdo [, b], prtir de los vlores de ls pendientes de l rects tngentes F en (c, F(c)). Primer teorem fundmentl del cálculo Se l función f continu en el intervlo cerrdo [, b] ysex culquier número en [, b]. Si F es l función definid por x F (x) = f(t)dt entonces F (x) =f(x) El primer teorem fundmentl del cálculo permite construirun función F prtirdelintegrl x f(t)dt. Prf(t) 0ést integrl corresponde l función de áre definid nteriormente. Además F es un ntiderivd de f. L plicción relizd permite Introducir un función f en su representción lgebric 161

4 Memoris XVIII encuentro de geometrí y VI de ritmétic visulizr l función de áre F, l desplzr un punto c en el intervlo cerrdo [, b] Comprobr usndo l función de pendientes, que l función F es un ntiderivd de f, desplzndo el punto A sobre l función F (y que l desplzr el punto A sobre l función F dej el rstro sobre l función f originl) Visulizr l representción lgebric de l ntiderivd F Segundo teorem fundmentl del cálculo Si f es continu en el intervlo cerrdo [, b] yf es culquier ntiderivd de f en [, b], entonces b f(x)dx = F (b) F () El segundo teorem fundmentl del cálculo permite evlur un integrl definid por medio de un ntiderivd. L representción geométric del teorem permite estblecer l relción entre el áre bjo l curv de f entre y b y l longitud del segmento con extremos (0,F()) y (0,F(b)). Dd culquier función f, Geogebr permite hllr lgebric y gráficmente un ntiderivd F, por medio del comndo integrl (f). L construcción de otrs ntiderivds se reliz por medio del deslizdor. L plicción relizd permite 162 Introducir un función f en su representción lgebric

5 Visulizción de l relción geométric entre los teorems... Visulizr l función f en su representción geométric Visulizr un función F ntiderivd de f, tnto en su representción lgebric como geométric. Visulizr los vlores numéricos correspondientes b f(x)dx y F (b) F () prtir de l cul se comprueb l iguldd b f(x)dx = F (b) F () Visulizr b f(x)dx como el áre bjo l curv de l función f y F (b) F () comol longitud de un segmento con extremos (0,F()) y (0,F(b)) Visulizr ntiderivds F (x)+k de l función f donde el vlor de k cmbi l ccionr un deslizdor sobre l zon gráfic 163

6 Memoris XVIII encuentro de geometrí y VI de ritmétic Observmos como l mover el deslizdor y obtener otr ntiderivd, l longitud F (b) F () no cmbi. Relción entre los dos teorems fundmentles del cálculo Del primer teorem l segundo El pso del primer l segundo teorem fundmentl implic evlur l función F en b, esto es, dd l función de áre F (x) = x f(t)dt (l ntiderivd de f que depende de ) hllr l integrl definid x f(t)dt y comprobr que éste vlor es igul F (b) F () L plicción relizd permite Introducir un función f en su representción lgebric Visulizr l función f y l función de áre F (x) = x f(t)dt en su representción lgebric y geométric Visulizr l función G ntiderivd de f generd por geogebr (integrl (f). donde l constnte es 0) Comprr l función de áre F con l ntiderivd G pr deducir que l función de áre es un ntiderivd donde l constnte es G() por medio del deslizdor que permite visulizr ls ntiderivds. 164

7 Visulizción de l relción geométric entre los teorems... Del segundo teorem l primero El pso del segundo l primer teorem fundmentl implic construir l función de áre pr cd vlor, esto es, dd culquier ntiderivd G se tiene b f(t)dt = G(b) G() de donde l vrir b se obtiene x f(t)dt = G(x) G(). Se observ que si G() = 0 se obtiene l función de áre L plicción relizd permite x f(t)dt = G(x) =F (x) Introducir un función f en su representción lgebric Visulizr l función G ntiderivd de f generd por geogebr (integrl (f). donde l constnte es 0) Construir l función de áre l desplzr b sobre el eje x Verificr que l función G corresponde l función de áre cundo G( = 0),por medio del deslizdor que permite trsldr G 165

8 Memoris XVIII encuentro de geometrí y VI de ritmétic Bibliogrfí [1] ALVAREZ, D y SEGURA, C (2007) El trtmiento didáctico ddo los teorems fundmentles del Cálculo en lgunos libros de texto de Tesis de Mestrí [2] APOSTOL, Tom y otros (1992) A Century Of Clculus. Prt II TheRymond W. Brinky Selected Mthemticl Ppers The Mthemticl Assocition Of Americ. Printed In The United Sttes of Americ. [3] BOYER, Crl (1986) Histori de l mtemátic. Mdrid: Alinz Editoril. [4] TALL, D. (1991) Intuition nd rigour: the role of visuliztion in the clculus En: Visuliztion in Mthemtics, MAA, Notes No. 19, [5] TURÉGANO, P. (1998). Del áre l integrl. Un estudio en el contexto eductivo. En: Enseñnz de ls Ciencis, Vol. 16(2), pp