MODALIDADES DE PENSIÓN EN LOS SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN INDIVIDUAL Y DECISIONES DE CONSUMO EN LA JUBILACIÓN

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1 MODALIDADES DE PENSIÓN EN LOS SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN INDIVIDUAL Y DECISIONES DE CONSUMO EN LA JUBILACIÓN ANA LEJÁRRAGA GARCÍA, CARLOS VIDAL MELIÁ y JOSÉ E. DEVESA CARPIO Deparameno de Economía Financiera y Maemáica. Faculad de Economía. Universia de València. Edificio Deparamenal Orienal. Avda. de los Naranjos, s.n Valencia. Teléfono Fax Ana.larraga@gseguros.com Carlos.Vidal@uv.es Enrique.Devesa@uv.es RESUMEN Los sisemas de pensiones basados en cuenas de capialización individual de aporación definida, en general, oorgan basane liberad al individuo para decidir la forma de cobro de sus presaciones llegado el momeno de jubilación. Esa liberad, que no exise en los sisemas públicos de reparo, hace que los propios jubilados deban adopar decisiones sobre las modalidades de cobro de sus pensiones que les proporcionen un nivel de consumo ópimo en la fase de la jubilación, para lo que deberán ener en cuena sus expecaivas de vida y sus moivaciones respeco a la posibilidad de dar una herencia, enre oros aspecos. Ese rabajo, a diferencia de la mayor pare de la lieraura reciene que se cenra en los problemas de la fase de acumulación, aborda la problemáica de las modalidades de pensión desde la ópica del jubilado, aspeco sobre el que odavía exisen pocas invesigaciones. La esrucura del rabajo es la que a coninuación se relaciona: después de una breve inroducción se realiza un análisis de las modalidades de pensión disponibles en los principales países en los que el sisema de pensiones es de cuenas de capialización individual de aporación definida, haciendo especial hincapié en los países lainoamericanos. Poseriormene se desarrolla un modelo de opimización basado en el planeamieno inicialmene realizado por Yaari (965) desarrollado por Kolikoff y Spivak (98) o Brown y Poerba (2000) enre oros, que se aplica para deerminar la uilidad esperada que proporciona cada una de las modalidades de pensión en función de las disinas preferencias y percepciones de los individuos. También se realiza un análisis del bienesar individual a parir del concepo de riqueza equivalene. Por úlimo, al modelo básico se le van incorporando caracerísicas con el fin de poder conesar a la preguna de si las modalidades de pensión disponibles se deberían limiar exclusivamene a las renas vialicias, al y como ocurre en la mayoría de países con sisemas de reparo y en algunos países con sisemas de capialización, para eviar el problema de la selección adversa. (JEL: G23, H55, J26) Palabras clave: Capialización, Fondos de Pensiones, Jubilación, Lainoamérica.

2 DIFFERENT TYPES OF PENSION IN INDIVIDUAL CAPITALIZATION SYSTEMS AND DECISIONS FOR THE CONSUMER IN RETIREMENT ANA L EJÁRRAGA-GARCÍA, CARLOS VIDAL-MELIÁ and JOSÉ E. DEVESA-CARPIO Deparameno de Economía Financiera y Maemáica. Faculad de Economía. Universia de València. Edificio Deparamenal Orienal. Avda. de los Naranjos, s.n Valencia. Teléfono Fax Ana.larraga@gseguros.com Carlos.Vidal@uv.es Enrique.Devesa@uv.es SUMMARY Pension sysems based on individual capializaion wih defined conribuions generally offer a cerain amoun of freedom of choice o he individual in deciding he form in which he would like his pension paid when he reaches reiremen. This freedom of choice, which does no exis in public pay-as-you-go sysems, means ha i is he pensioners hemselves ha have o make decisions abou how hey should be paid heir pension in order o provide hemselves wih opimum consumpion pah during heir reiremen. To do his hey need o ake ino accoun heir life expecancy and heir wish wheher or no o leave a legacy, amongs ohers aspecs. Unlike mos recen lieraure, which concenraes on he problems of he accumulaion phase, his paper looks ino he problems involved wih differen ypes of pension from he poin of view of he pensioner, an aspec ino which as ye here has been lile research. The srucure of he paper is as follows: afer a brief inroducion, an analysis is carried ou of he differen ypes of pension available in hose counries which have pension sysems based on individual capializaion accouns wih defined conribuions, wih special emphasis on he counries of Lain America. Aferwards we se ou an opimizaion model based on ideas firs pu forward by Yaari (965) and developed by Kolikoff and Spivak (98) and Brown and Poerba (2000), amongs ohers. This model is applied o deermine he expeced uiliy of each ype of pension according o he differen preferences and percepions of he individual. We also carry ou an analysis of individual welfare based on he concep of equivalen wealh. Finally, oher characerisics are gradually incorporaed ino he basic model in order o answer he quesion as o wheher he ypes of pension available should be limied exclusively o annuiies, as is he case in mos counries wih pay-as-you-go sysems and in some counries wih capializaion sysems, in order o avoid he problem of adverse selecion. (JEL: G23, H55, J26) Key words: Capializaion, Pension Funds, Reiremen, Lain America. 2

3 CONTENIDO: I.-Inroducción. II.-Modalidades de pensión. III.-El modelo básico de elección de la modalidad de pensión. IV.-Uilidad esperada y riqueza equivalene en el modelo básico. V.-Riqueza equivalene e imperfecciones del mercado. VI.-Riqueza equivalene con renas vialicias preexisenes. VII.-Resumen y conclusiones. VIII.-Bibliografía. RELACIÓN DE TABLAS: Tabla : Modalidades de pensión. Tabla 2: Jerarquización hombres. Tabla 3: Jerarquización mujeres. Tabla 4: Riqueza equivalene en hombres. Renas no indizadas Tabla 5: Riqueza equivalene en mujeres. Renas no indizadas. Tabla 6: Riqueza equivalene en hombres. Renas indizadas Tabla 7: Riqueza equivalene en mujeres. Renas indizadas. Tabla 8: Riqueza equivalene en hombres desinando la riqueza inicial a una rena programada indizada. Tabla 9: Riqueza equivalene en mujeres desinando la riqueza inicial a una rena programada indizada. Tabla 0: Riqueza equivalene en hombres en función de la edad de jubilación. Renas no indizadas. Tabla : Riqueza equivalene en mujeres en función de la edad de jubilación. Renas no indizadas. Tabla 2: Riqueza equivalene en hombres en función de la edad de jubilación. Renas indizadas. Tabla 3: Riqueza equivalene en mujeres en función de la edad de jubilación. Renas indizadas. Tabla 4: Riqueza equivalene en hombres en función de la edad de jubilación. Renas programadas, i=4%. Tabla 5: Riqueza equivalene en mujeres en función de la edad de jubilación. Renas programadas, i=4%. Tabla 6: Riqueza equivalene en hombres. Renas no indizadas al 85%. Tabla 7: Riqueza equivalene en mujeres. Renas no indizadas al 85%. Tabla 8: Riqueza equivalene en hombres. Renas indizadas al 85%. Tabla 9: Riqueza equivalene en mujeres. Renas indizadas al 85%. Tabla 20: Porcenaje máximo de reducción de la rena en hombres. Renas no indizadas. Tabla 2: Riqueza equivalene en hombres con una riqueza en renas preexisenes del 50%. Renas no indizadas. Tabla 22: Riqueza equivalene en mujeres con una riqueza en renas preexisenes del 50%. Renas no indizadas. Tabla 23: Riqueza equivalene en hombres con una riqueza en renas preexisenes del 50%. Renas indizadas. Tabla 24: Riqueza equivalene en mujeres con una riqueza en renas preexisenes del 50%. Renas indizadas. 3

4 Tabla 25: Riqueza equivalene en hombres con una riqueza en renas preexisenes del 50%. Renas no indizadas, facor de disminución 5%. Tabla 26: Riqueza equivalene en mujeres con una riqueza en renas preexisenes del 50%. Renas no indizadas, facor de disminución 5%. Tabla 27: Riqueza equivalene en hombres con una riqueza en renas preexisenes del 50%. Renas indizadas, facor de disminución 5%. Tabla 28: Riqueza equivalene en mujeres con una riqueza en renas preexisenes del 50%. Renas indizadas, facor de disminución 5%. RELACIÓN DE FIGURAS: Figura. Flujo de consumo ópimo para hombres. []-Sin renas, [2]-Ra. no indizada, [3]-Ra. indizada, [4]-Ra. Programada. Figura 2. Flujo de consumo ópimo para mujeres. []-Sin renas, [2]-Ra. no indizada, [3]-Ra. indizada, [4]-Ra. Programada. 4

5 I.-INTRODUCCIÓN Los sisemas de pensiones de aporación definida que oorgan liberad al individuo para decidir la forma de cobro de sus presaciones llegado el momeno de jubilación, conducen a dos ipos de problemas: aquéllos a los que deben enfrenarse los propios jubilados, relaivos a las dificulades exisenes en la adopción de decisiones sobre las modalidades de cobro de sus pensiones y de deerminación del consumo ópimo en la fase de jubilación, para lo que deberán ener en cuena sus expecaivas de vida, sus moivaciones respeco a la posibilidad de dar una herencia y la posible exisencia de oras renas procedenes de la Seguridad Social, enre oros aspecos; y aquéllos a los que se enfrenan las compañías de seguros que garanizan una proección al jubilado frene a esos problemas, como son la selección adversa y el riesgo de moralidad. Ese rabajo se va a ocupar del primer ipo de problemas, aunque ambién esará relacionado con el denominado problema de la selección adversa. Una de las formas de hacer frene, desde el puno de visa económico, a la inceridumbre de la fecha en que se producirá el fallecimieno de un jubilado, es conraar una rena vialicia en la que una compañía de seguros asuma el riesgo de longevidad del asegurado y garanice un deerminado ipo de inerés a cambio de una prima única. Sin embargo, esá empíricamene conrasado, Brown (999), el hecho de que muy pocos individuos conraan renas aseguradas, sin que se conozcan los moivos exacos que provocan esa escasez de demanda, aunque se sabe que exisen deerminados facores que influyen en esa decisión. Eso ha conducido a una serie de invesigaciones para enconrar soluciones al enigma de las renas en Esados Unidos. Enre las explicaciones esudiadas esá el papel que desempeñan los moivos de herencia (Bernheim (99), Abel y Warshawsky (990)), selección adversa y coses de adminisración (Friedman y Warshawsky (988), Michell e al (999)), y la capacidad de las familias para agrupar riesgos y así susiuir el mercado de renas privadas (Brown y Poerba (2000), Kolikoff y Spivak (98)). Oros moivos son: la exisencia de pensiones de la Seguridad Social, la escasa flexibilidad en la forma de cobro de las presaciones, o la fala de conocimieno por pare de los consumidores sobre el beneficio que supone cobrar en forma de rena vialicia. La esrucura del rabajo es la que a coninuación se relaciona: En el epígrafe II se realiza un análisis de las modalidades de pensión disponibles en los principales países en los que el sisema de pensiones es de cuenas de capialización individual de aporación definida, haciendo especial hincapié en los países lainoamericanos. Poseriormene, se desarrolla un modelo de opimización basado en el planeamieno inicialmene realizado por Yaari (965), desarrollado por Kolikoff y Spivak (98) o Brown y Poerba (2000) enre oros, que se aplica para deerminar la uilidad esperada que proporciona cada una de las modalidades de pensión analizadas en función de las disinas preferencias y percepciones de los individuos. También se realiza un análisis del bienesar individual a parir del concepo de riqueza equivalene. Por úlimo, al modelo básico se le van incorporando caracerísicas con el fin de poder conesar a la preguna de si las modalidades de pensión disponibles se deberían limiar exclusivamene a las renas vialicias, al y como ocurre en los sisemas de reparo, para eviar el problema de la selección adversa. 5

6 II.-MODALIDADES DE PENSIÓN La descripción de las modalidades de pensión va a ser referida principalmene a los países de Lainoamérica con sisemas de pensiones reformados, y denro de ésos al caso chileno como referene y a parir de ése se realizarán referencias a las disinas paricularidades de los oros países. Las opciones básicas de cobro de la pensión de jubilación en Chile son: Rena Vialicia, Reiro Programado, o una combinación de ambas. También, véase Tabla, en Colombia, Perú y El Salvador se pueden enconrar las mismas opciones. En los oros países conemplados hay más variaciones. En el reiro programado el afiliado obiene el cobro de la pensión con cargo al saldo de su cuena de capialización individual, que al permanecer bajo la responsabilidad y gesión de la adminisradora permie que el jubilado se beneficie de la renabilidad del Fondo. La pensión se fija por períodos anuales y se expresa en unidades de fomeno. La cuanía se calcula considerando el saldo de la cuena individual, el ipo de inerés écnico definido por ley y las expecaivas de vida del rabajador y de su grupo familiar según las ablas de moralidad del Insiuo Nacional de Esadísica. El perfil que el conraane de esa modalidad suele poseer se caraceriza por: expecaiva de vida reducida, olerancia a la flucuación anual del impore de la pensión (normalmene con perfil decreciene), preferencia por una evenual mayor renabilidad de su fondo (el jubilado asume el riesgo de reinversión y el riesgo sisemáico) y por dar herencia a familiares o erceros. La rena vialicia es la modalidad de pensión que conraa el afiliado con una compañía de seguros de vida. Se suscribe un conrao irrevocable enre las pares, por el que el afiliado ransfiere los fondos de su cuena individual a la compañía aseguradora, a cambio de lo cual ésa se obliga a pagar al nuevo pensionisa una rena mensual fija de por vida expresada en unidades de fomeno, una cuoa moruoria y pensiones de supervivencia a los beneficiarios, según sea el caso. El perfil del comprador de la rena vialicia se caraceriza por: elevada expecaiva de esperanza de vida, aversión al riesgo, preferencia por una pensión esable (con lo que renuncia a renabilidades poencialmene elevadas a cambio de mayor seguridad), ener beneficiarios de pensión de supervivencia jóvenes. La adminisradora asume odos los riesgos, lo que se raduce en un mayor precio por sus servicios. La rena emporal con rena vialicia diferida es una combinación de las dos modalidades de pago anes referidas. En ese caso, el afiliado conraa con una compañía de seguros de vida el cobro de una rena mensual a conar desde una fecha expresamene deerminada, reeniendo en la cuena de capialización individual los fondos suficienes para obener de la adminisradora una rena emporal para el período que ranscurrirá hasa que enre a regir la rena vialicia diferida. En esa modalidad el afiliado maniene la propiedad de los fondos de la rena emporal y, por lo ano, durane ese plazo asume el riesgo financiero. El fondo resane es ransferido a la compañía de seguros con la que conraó la rena vialicia diferida, compañía que pasa a ser propiearia de los fondos, por lo que queda obligada a asumir los riesgos financiero y de supervivencia del afiliado. En ese caso, el perfil del conraane presena similares caracerísicas al anerior, pero iene preferencia por una mayor pensión al inicio. 6

7 En la mayoría de los países la rena vialicia es de ipo familiar, el afiliado conraa con una Compañía de Seguros de Vida el cobro de una rena mensual hasa su muere y una pensión de supervivencia para sus beneficiarios. Algunos países presenan paricularidades. En Bolivia, exisen dos opciones: Rena vialicia fija y mensualidad vialicia variable. Esa úlima modalidad se puede definir como un reiro programado de grupo. Se diferencia del reiro programado normal porque cubre el riesgo de supervivencia individual, aunque, al conrario que la rena vialicia, no oorga garanía demográfica alguna, lo cual abaraa su precio. En realidad, es un ipo de auoseguro de supervivencia asumido por el grupo de personas que, permaneciendo en la misma adminisradora, han elegido esa modalidad. Además, se suele ofrecer la posibilidad de poder inverir el saldo enre Fondos con diferenes combinaciones de renabilidad-riesgo. Tabla : Modalidades de pensión CHILE PERÚ COLOMBIA ARGENTINA URUGUAY MÉXICO BOLIVIA EL SALVADOR Reiro Programado Reiro Fraccionado Rena Vialicia Reiro Programado o Rena Temporal con Rena Vialicia Diferida Excedene de Libre Disponibilidad Sí Sí Sí Sí No Sí No Sí No No No Sí No No No No Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí No No No No Sí Sí Sí 2 Sí 3 Sí 4 No Sí 5 No Sí Fuene: Devesa, Marínez y Vidal (2000) y diversos Organismos Reguladores El saldo de la cuena de capialización individual (CCI) debe permiir financiar una presación superior al 70% de la remuneración imponible de los úlimos 0 años y al 20% de la pensión mínima. 2 El saldo de la CCI debe permiir financiar una presación superior al 80% del promedio de las remuneraciones. En el caso de invalidez, se considera como ope el 70% de la remuneración asegurable máxima. 3 El saldo de la CCI debe permiir financiar una presación superior al 0% de la pensión mínima de vez o al 70% del ingreso base de liquidación. 4 El saldo de la CCI debe permiir financiar una superior al 70% de la rena imponible de los úlimos 5 años y a res veces el valor de la máxima presación básica universal (PBU). El excedene no podrá superar 500 veces la máxima PBU en el mes de cálculo. 5 El saldo de la CCI debe permiir financiar una pensión superior al 30% de la pensión garanizada, desconada la prima de seguro de supervivencia. 7

8 En Perú, la cuanía de la rena es consane en el iempo, si bien en el caso de rena vialicia familiar, cuando se percibe en soles, se reajusa la pensión por el Índice de Precios al (IPC) o el indicador que lo susiuya. Esa modalidad de pensión puede ser oorgada en soles o en dólares (no se reajusa al IPC). El reiro fraccionado es una modalidad exclusiva del sisema argenino y sólo pueden opar aquellos afiliados cuyo saldo en su cuena de capialización individual (CCI) no alcance el mínimo para opar a una presación periódica mínima (eniendo en cuena una serie de aspecos como la esperanza de vida, ec.), exinguiéndose al agoarse el saldo de la CCI o a la muere del afiliado. En la mayoría de los países si el afiliado obiene una pensión superior a un deerminado límie, puede uilizar el llamado Excedene de Libre Disponibilidad para el uso que el afiliado esime conveniene. En resumen, de acuerdo con odo lo anerior, los países de América Laina se pueden agrupar en res clases diferenes: a) Países en donde no exise liberad de elección y obligaoriamene la modalidad de pensión iene que ser la rena vialicia: Bolivia y Uruguay. b) Países en los que sí exise ciera liberad de elección y no hay renas preexisenes procedenes de la Seguridad Social: Chile, Colombia, México, El Salvador y Perú. c) Países en los que sí exise ciera liberad de elección y puede haber renas preexisenes procedenes de la Seguridad Social: Argenina. Las modalidades de pensión disponibles en oros países con cuenas de capialización no son uniformes. Según Doyle y Piggo (2000), en Ausralia, a los parícipes se les permie el acceso al saldo compleo del fondo cuando se alcanza la edad de jubilación, opando la mayoría de los jubilados por esa opción, pero ambién ienen basane acepación las renas programadas. En Hong-Kong, WorldBank (200), ambién se les proporciona enera liberad a los pensionisas para que puedan reirar en forma de capial la oalidad del saldo acumulado, si bien ese sisema ha comenzado ese mismo año y no se iene mucha experiencia sobre su funcionamieno. En el Reino Unido, los pensionisas pueden reirar hasa un 25% del fondo acumulado en forma de capial, pero a los 75 años como máximo deben de adquirir una rena vialicia obligaoriamene. Parecido es el caso de Singapur, Doyle, Michell y Pigo (200), donde los parícipes, alcanzada la edad de 55 años, pueden obener del fondo una presación en forma de capial siempre que la cuanía acumulada sobrepase un valor mínimo; ése debe ser desinado a la compra de una rena programada o rena vialicia. En Suecia, Sunden (2000), los pensionisas deben adquirir obligaoriamene una rena vialicia y además es el propio Esado el que la proporciona. Por úlimo, en Polonia y Hungría, Chlon, Gora y Rukowski (999), ambién es obligaoria la compra de renas vialicias alcanzada la edad de jubilación, pero con enidades aseguradoras privadas. 8

9 III.- EL MODELO BÁSICO DE ELECCIÓN DE LA MODALIDAD DE PENSIÓN En la fecha de jubilación, el individuo debe decidir cómo disribuir su riqueza acumulada, para asegurarse de que podrá hacer frene a sus necesidades de consumo fuuras, enfrenándose al problema de maximizar la uilidad esperada que obendrá con el flujo de consumo elegido. Más formalmene, obener el flujo de consumo ópimo en ese modelo de ciclo de vida muli-período y esocásico, (la inceridumbre deviene de la fecha en la que el individuo fallecerá) requiere aplicar el méodo de opimización de Euler, complemenado con oras écnicas de programación dinámica. Sea U(C ) la función de bienesar de un período definida sobre el consumo; δ es la asa pura de preferencia del iempo, es decir, el facor de acualización exponencial clásico de la uilidad fuura; w el máximo largo de vida posible de un individuo: La uilidad esperada viene dada por la siguiene expresión: = ω U ( C ) UE = ( δ ) P [.] Enonces el problema del consumidor, asumiendo adiividad y separabilidad del consumo a lo largo del iempo, y que el individuo no iene acceso al mercado de renas acuariales es: max C ω = U ( C ) ( δ ) P [2.] s.a. C = W r)( π ) W [3.] ( W 0, [4.] donde: W : Riqueza en el momeno que corresponde a la edad, w: Edad final de la abla de moralidad considerada. e j : Edad de jubilación del consumidor, -P : Probabilidad de que un individuo de edad e j alcance la edad, r: Tipo de inerés real de mercado (se supone consane a lo largo de la vida del jubilado) π : Tasa de inflación esperada. C : en cada momeno (se considera anual pospagable). Se pare de la hipóesis de que los individuos manifiesan una aversión relaiva al riesgo β consane (lo que implica una aversión absolua al riesgo decreciene), y que su función de uilidad del consumo adopa la siguiene forma: 9

10 β C ( π ), si β β U ( C ) = [5.] C Ln =, si β ( π ) donde β represena ano la aversión al riego como la inversa de la elasicidad de la susiución ineremporal del consumo: para β elevada, el individuo esá menos dispueso a susiuir consumo a lo largo del iempo en respuesa a incenivos proporcionados a ravés del ipo de inerés. Una comodidad analíica que brinda la elección de esa función de uilidad es que el problema permanece invariable a la escala de la riqueza. Además, se considera como hipóesis adicional que el esado civil del individuo es solero, lo que no supone una pérdida de valor de modelo ya que lo resulados alcanzados por Brown (999) indican que la capacidad del modelo simple de ciclo de vida para predecir la conduca en las renas es más fuere enre soleros 6. Asimismo, se adopa el supueso de que no exisen moivos de herencia, lo que maemáicamene significa que la riqueza en cada momeno no iene que ener un nivel mínimo. En relación con esa úlima hipóesis, en el úlimo rabajo ciado se pone en duda 7 la imporancia de los moivos de herencia en la influencia de las decisiones marginales de comprar renas. Eso indica que un modelo simple de ciclo de vida sin herencia 8 genera predicciones que son consisenes con la conduca marginal de compra de renas vialicias y, como al, proporciona una primera y úil aproximación de la conduca del consumidor. En ese caso, el flujo de consumo ópimo se obiene a parir de las siguienes ecuaciones 9 : 6 Deerminar el bienesar de las renas vialicias en un conexo de paras requiere un número de suposiciones adicionales en la esrucura de la función de uilidad y en la esrucura de las pensiones de los beneficiarios. 7 Ni la presencia de hijos ni la presencia de moivo de herencia ienen un efeco significaivo en la decisión de comprar renas vialicias. Esos resulados coinciden con los de Hurd (987) que dice que los moivos de herencia no ienen un efeco significaivo en la conduca marginal financiera de los conribuyenes de edades elevadas. Sin embargo, eso esá en conradicción con las aporaciones de Bernheim (99) y Lainer y Juser (996), que afirman que los moivos de herencia influyen en la decisión de comprar renas vialicias. 8 Brown (200) inroduce el moivo de herencia en el modelo; los resulados alcanzados indican que en muy pocos casos la compra de rena vialicias de manera obligaoria produce una disminución del bienesar, si bien es ciero que las ganancias de bienesar son inferiores a las conseguidas en el modelo de ciclo de vida sin herencia. 9 Véase el rabajo de Lárraga, Vidal y Devesa (200). 0

11 C = ω = W W ω r ( π ) δ [( r )( π )] β ( ω ) ( ( -) ) [ P ] β [ r] [6.] β r = C ( π ) [ P ]β C δ [7.] Como se deduce de la ecuación [7], la elección del consumo ópimo depende de: la aversión al riesgo del jubilado, la relación enre el ipo de inerés de mercado y la asa de preferencia del iempo y de las probabilidades de supervivencia en cada momeno. En el caso de que el ano de descueno de la uilidad sea mayor o igual que el ipo de inerés, el flujo de consumo es decreciene en érminos reales. En caso conrario, la evolución del consumo dependerá del peso relaivo de la mencionada relación sobre la probabilidad de vida 0. La respuesa clásica para hacer frene al riesgo de longevidad es la conraación de una rena (A ), normalmene a cambio de una prima única. A = w W ( α ) RENTAS θ = [( r )( π )] ( -) P * [8.] A = A ( α ), [9.] Se raa de una rena vialicia, creciene con un incremeno anual igual a α. En el caso de que la rena esé indizada a la inflación, α coincidirá con π. Cuando α= 0, la rena es consane, es decir, decreciene en érminos reales. El érmino θ represena los ggi gasos de gesión que cobra la compañía de seguros; normalmene θ =, donde gge ggi son los recargos que esablece la compañía en concepo de cose de adminisración de la póliza de seguros: gesión de pagos, emisión de recibos, noificaciones al asegurado,, mienras que el facor gge corresponde a los gasos de gesión exerna aplicados, en concepo de gasos derivados de la comercialización de la póliza: * comisiones a agenes, P es la probabilidad de que un individuo de edad e j alcance la edad, en función de las ablas de moralidad uilizadas por la compañía de seguros y W RENTAS es la pare de la riqueza inicial que el individuo desina a la conraación de la rena vialicia. En ese caso la resricción dada por la riqueza se puede planear de dos formas diferenes. El primer planeamieno sería equivalene al aplicado en uno de los rabajos considerados pioneros, Kolikoff y Spivak (98), cuya resricción principal puede expresarse como: 0 Véanse figuras y 2.

12 W 0 w C P Wω = ω = [( r)( π )] [( r)( π )] [0.] es decir, el valor acual esperado del consumo no puede exceder su riqueza inicial (a diferencia de la resricción considerada en el supueso de que el individuo no enga acceso al mercado de renas acuariales, en cuyo caso, el valor acual del consumo no debe exceder el valor de su riqueza inicial); o lo que es lo mismo, Michell (200), el acceso a renas acuariales reduce el precio relaivo del consumo fuuro. Además, a diferencia de los mencionados auores, se incluye de forma explícia la posibilidad de que el consumidor desee dar una riqueza final disina de cero W w. La resricción expresada en la ecuación [0] es equivalene, de acuerdo con Lárraga, Vidal y Devesa (200), a: W [ A ( C ] P = W ( r)( ) α) π [.] donde W es igual a la riqueza inicial en el momeno de la jubilación, deducido el impore desinado a renas: W = W 0 W RENTAS [2.] La opimización del consumo conduce a: C W = w = A ω = ( α ) [( r )( π )] r ( π ) δ P ( -) W β P ω [( r )( π )] ( ( -) ) [ r] ( ω ) [3.] β r C = C( π ) δ [4.] Esá claro, por ano, que la elección del flujo de consumo que maximiza la uilidad esperada depende de diversos facores: del nivel de riqueza inicial, de la rena que el individuo decida conraar y, por ano, de la cuanía de riqueza desinada a la misma, de la riqueza final deseada, del ipo de inerés de mercado r, de la asa de inflación π, de la impaciencia del consumidor δ, de la esperanza de vida del individuo y del grado de aversión al riesgo β que ése manifiese. Oro aspeco imporane es la condición de no negaividad de la riqueza y que explíciamene no aparece en el rabajo de Kolikoff y Spivak (98), lo que hace que las fórmulas obenidas sólo sean aplicables en deerminados casos. 2

13 3 En concreo, en el supueso de que > β α π δ ) r ( se observa que la riqueza se hace negaiva, por ano las fórmulas del consumo obenidas no son válidas, sino que en ese caso el consumo que proporciona la máxima uilidad esperada desinando oda la riqueza a la conraación de una rena vialicia es el que coincide en odo momeno con el impore de dicha rena vialicia, es decir, el consumo ópimo es C = A (α) -,. Por lo ano, añadiendo al modelo la siguiene resricción, 0 W [5.] se puede expresar el flujo de consumo ópimo como sigue: [ ] [ ] [ ] > = = = ) ( ) ( ) ( -) -) β β β ω ω ω α π δ α π δ δ π π π α r, A r, r P r ) )( r ( W ) )( r ( P ) ( A W C ) ( ( ) ( w ( [6.] > = ) ( ) ( ) ( ) ( β β β α π δ α α π δ δ π r, A r, r C C [7.] Ese planeamieno facilia la obención del flujo de consumo ópimo a ravés de una expresión analíica, sin ener que recurrir a écnicas de programación dinámica, permie obener una expresión analíica de la medida de la riqueza equivalene. Sin embargo, si se calcula la uilidad esperada que se deriva de ese modelo, se obiene un resulado sorprendene: en los casos en lo que se ha rabajado siempre se consigue una mayor uilidad esperada desinando la riqueza disponible a renas no indizadas a la inflación, es decir, decrecienes en érminos reales, que la obenida con renas oalmene indizadas a la inflación, o lo que es lo mismo, consanes en érminos reales.

14 Eso conradice el hecho de que el jubilado, a ravés de la función de uilidad elegida, prefiere un flujo de consumo esable a lo largo del iempo. Ese resulado conduce a replanear la resricción presupuesaria aplicada, considerando más adecuado expresar la riqueza: W = W ( r)( ) A ( α) π C [8.] W 0 [9.] siendo W la riqueza inicial, deducida la riqueza desinada a renas. La resricción así expresada es similar a la que planean Brown, Michell y Poerba (999). Es decir, el consumidor al enfrenarse con el problema de opimización valora el consumo de forma análoga al caso en que no iene acceso a las renas, sin aplicarle las probabilidades de vida, como hacen Kolikoff y Spivak (98). La diferencia viene dada porque ahora exise un flujo de ingresos ciero igual a la rena vialicia (que la compañía de seguros pagará al asegurado mienras viva). En ese caso, la solución analíica obenida a parir de las ecuaciones de Euler de forma similar al problema con la resricción [], conduce a valores de la riqueza negaivos en prácicamene la oalidad de los casos, con lo que no es posible reducir la solución del problema a una fórmula analíica, sino que es necesario recurrir a méodos de programación dinámica que permian obener el consumo ópimo y la uilidad esperada. Algunos países, al y como se ha comenado en el aparado anerior, al reformar sus sisemas de pensiones, han opado por incluir, con deerminadas resricciones, la modalidad de pensión en forma de rena programada. En ese ipo de rena, el jubilado maniene una cuena de capialización individual, pudiendo reirar el impore que se obiene de dividir el saldo acumulado en su cuena por el capial necesario para pagar una unidad de pensión. El cálculo se hace cada año, eniendo en cuena -además de la renabilidad real alcanzada con el fondo acumulado- que, como consecuencia de vivir un año más, cambia la relación enre los fondos disponibles y la esperanza de vida y que la asa de inerés écnico uilizada ambién se modifica cada año, en función de la evolución de los mercados. De esa forma, en cada edad, el impore máximo de la rena que puede reirar, vendrá dado por: A = w W RP ( i)( π ) s= [( i)( π )] s s P, [20.] donde W RP es el fondo acumulado en la cuena de capialización al inicio de la anualidad correspondiene a la edad : 4

15 W RP RP = W ( i )( π ) A, [2.] e i es la renabilidad que se espera obener en el fondo acumulado en la cuena de capialización, que se supone igual a la realmene obenida. Aplicando esa igualdad recursivamene se obiene: W RP RP ( s ) [( i )( )] A [( i )( π )], = W π s [22.] = s Se supone que en cada edad, el individuo reira del fondo acumulado el impore de rena máximo permiido (A ), y que maniene una riqueza inicial no desinada a renas W. Se asume, además, que si el consumo en el año es inferior al impore de rena programada A, el excedene pasa a formar pare de la riqueza no desinada a rena, es decir: W = W ( r)( π ) C A [23.] Bajo ese supueso, el problema de maximización se concrea en: U ( C ) max P [24.] C ( δ ) ω = s.a. C ( π A [25.] = W r)( ) W siendo W 0 [26.] ω RP W = W 0 W [27.] Ese planeamieno permie, de forma similar a los casos aneriores, deerminar una expresión analíica para el flujo de consumo ópimo que, sin embargo, en una gran pare de los casos conemplados origina una riqueza negaiva, lo que obliga a uilizar écnicas de programación dinámica que proporcionen unos resulados consisenes con el modelo. 5

16 IV.- UTILIDAD ESPERADA Y RIQUEZA EQUIVALENTE EN EL MODELO BÁSICO En ese epígrafe, a parir de las ablas de moralidad y supervivencia GRMF-95, se ha calculado el valor de la uilidad esperada, en función de diferenes grados de aversión al riesgo, ipo de inerés de mercado y asa de preferencia de acuerdo con el modelo exponencial, ano para hombres como para mujeres. Inicialmene se ha considerado que la compañía de seguros no aplica ningún ipo de gasos en la conraación de la rena vialicia a prima única (ano consane como creciene), así como que las probabilidades que uiliza en la deerminación de la prima coinciden con las probabilidades subjeivas del consumidor (las que él considera a la hora de valorar la uilidad esperada en función de la información adicional de que dispone). Además, se ha supueso que el ipo de inerés real del mercado, r, es el 3%, que el grado de aversión al riesgo puede omar cuaro valores que represenan suficienemene a los individuos, que la edad de jubilación es de 65 años ano para hombres como para mujeres, y que la inflación es igual a r/2. Asimismo, se han esablecido los siguienes valores de asa de preferencia en función del grado de impaciencia 2 del individuo: (A) Muy impaciene: δ = 2[ ( r)( π) ] (B) Impaciene: δ =, 5 [( r)( π) ] (C) Indiferene a la impaciencia: δ = [( r)( π) ] (D) Poco impaciene: δ = 0, 5 [( r)( π) ] (E) Muy poco impaciene: δ = 0, 25 [( r)( π) ] Analizando la uilidad esperada obenida a parir del flujo de consumo fuuro que maximiza la uilidad esperada en las diferenes siuaciones, se puede esablecer el perfil eórico de los individuos que ienen más probabilidades de desinar oda o pare de la riqueza acumulada en la jubilación a la conraación de una rena vialicia (indizada o no indizada). En las ablas 2 y 3 se presena un exraco de la jerarquización alcanzada. Llama poderosamene la aención la gran disparidad de resulados a la que llegan los disinos auores. Algunos esudios empíricos esiman valores de la aversión relaiva al riesgo cercanos a la unidad (Laibson, Repeo y Tobacman, (998)). Por ora pare, oros rabajos sugieren valores para ese parámero mayores que (Barsky e al, (997), Friend y Blume, (975)), o incluso un rango enre 2 y 25 (Baxer y King, (999) según indican Michell, Brown y Poerba (999)). Sin embargo, exisen rabajos basados en esudios economéricos en los que los valores esimados son mucho menores, enre un 0,2 y un 0,4 (Sock y Wise, (990) y Shea, (995)), o aproximadamene un 0,5 (Gourinchas y Parker, (999)). Brown (999, sobre la base de la Encuesa de Salud y Jubilación (HRS), realizada por el Insiuo de Invesigación Social de la Universidad de Michigan, que pregunaba dealles de finanzas, salud, jubilación y oras cuesiones perinenes para una amplia sección ransversal de individuos cercanos a la jubilación, obiene cuaro grupos muesrales que pueden ser caalogados en érminos de su aversión al riesgo y cuyos valores son (0,7-,5-2,9-5). Doyle y Piggo (2000) uilizan valores enre 0,5 y 2,5, sin embargo, Walliser (999) uiliza un rango de valores de 2 a 20, que a la visa de la lieraura ciada parece francamene excesivo. En ese esudio se han considerado valores cercanos a los uilizados por Brown (999), de cualquier manera no parece que exisa un consenso en la lieraura especializada acerca de cuáles son los valores que deban emplearse. 2 En la mayoría de los rabajos ciados no se suele hacer hincapié en el grado de impaciencia. Pocas veces se considera a las personas impacienes o muy impacienes; eso puede ser debido a que represenan mayores dificulades de cálculo. 6

17 Todo parece indicar que las renas vialicias deberían ser obligaorias ya que en la mayoría de los casos son las que proporcionan un mayor bienesar. Riesgo β Tabla 2: Jerarquización hombres Moderadamene Averso,5 Poco averso 0,7 Averso 2,9 Muy averso 4,4 Muy Impaciene No Indizada No Indizada No Indizada No Indizada Impaciene No Indizada No Indizada No Indizada No Indizada Indiferene No Indizada No Indizada Indizada Indizada Poco Impaciene Indizada Indizada Indizada Indizada Muy poco impaciene. Riesgo β Indizada Indizada Indizada Indizada Poco averso 0,7 Fuene: Elaboración propia Tabla 3: Jerarquización mujeres Moderadamene Averso,5 Averso 2,9 Muy averso 4,4 Muy Impaciene Sin renas No Indizada No Indizada No Indizada Impaciene No Indizada No Indizada No Indizada No Indizada Indiferene No Indizada No Indizada Indizada Indizada Poco Impaciene Indizada Indizada Indizada Indizada Muy poco impaciene. Indizada Indizada Indizada Indizada Fuene: Elaboración propia Por ora pare, la uilidad esperada sin desinar nada a renas siempre esá por debajo de la obenida cuando se desina la riqueza acumulada a la conraación de una rena asegurada vialicia con una compañía de seguros, a cambio de una prima única, salvo en el caso de las mujeres poco aversas al riesgo y con gran impaciencia por consumir. Ese resulado es consisene con las conclusiones de Yaari (965) que afirma que, cuando no exisen moivaciones para dar una herencia, el individuo siempre hará una mor valoración si puede acceder al mercado de renas que cuando no iene acceso a ése. La conraación de una rena consane en érminos nominales (decreciene en érminos reales o no indizada), resula más úil que la conraación de una rena indizada a la inflación (consane en érminos reales), en individuos con impaciencia por el consumo. Si el individuo es indiferene al consumo dependerá de su aciud frene al riesgo: cuano mayor sea su aversión al riesgo mayor endencia endrá a elegir una rena vialicia indizada a la inflación. Hasa ahora no se ha hecho ningún ipo de consideración en relación con las moivaciones que pudiera ener el consumidor para dar una herencia. En el primer caso planeado, es decir, cuando no se desina ninguna riqueza a la conraación de una rena asegurada, si el jubilado fallece anes del máximo de largo de vida dará alguna herencia (la riqueza que no ha podido consumir debido a su fallecimieno). Por el conrario, si el individuo desina oda su riqueza a la conraación de la rena vialicia, cuando fallece no le queda ninguna riqueza por consumir, lo que permie eviar herencias no deseadas y obener una mayor renabilidad. 7

18 Varón, muy impaciene, bea 0,7 0,6 0,4 0,2 0, 0,08 0,06 0,04 0, Edad [] [2] [3] [4] Varón, indiferene, bea =,5 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0, Edad [] [2] [3] [4] Varón, muy poco impaciene, bea = 2,9 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0, Edad [] [2] [3] [4] Figura. Flujo de consumo ópimo para hombres. []-Sin renas, [2]-Ra. no indizada, [3]-Ra. indizada, [4]-Ra. Programada 8

19 Mujer, muy impaciene, bea = 0,7 0,4 0,2 0, 0,08 0,06 0,04 0, Edad [] [2] [3] [4] Mujer, indiferene ; bea =,5 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0, Edad [] [2] [3] [4] Mujer, muy poco impaciene, bea =2,9 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0, Edad [] [2] [3] [4] Figura 2. Flujo de consumo ópimo para mujeres. []-Sin renas, [2]-Ra. no indizada, [3]-Ra. indizada, [4]-Ra. Programada 9

20 En las aneriores figuras se represenan los gráficos en los que aparece el flujo de consumo real ópimo para el caso de no uilizar renas, uilizar una rena vialicia consane en érminos nominales o una rena indizada, así como en el caso de que se ope por una rena programada; ano para hombres como para mujeres. En principio, los gráficos segundo y ercero de cada figura parecen los más adecuados para ilusrar el valor de las renas vialicias. Parece claro que esos insrumenos pueden morar la siuación económica de las personas cuando no es posible el acceso al mercado de renas, ya que, dado que la esperanza de vida es inciera, el pensionisa debería gasar lenamene la riqueza en forma de dinero acumulada ras la jubilación para asegurarse un consumo adecuado en caso de vivir durane un período prolongado. Es consaable que ese ipo de auoseguro es muy poco eficiene, ya que aumena las posibilidades de que las personas consuman menos de lo que podrían haber consumido si supieran con exaciud la fecha de fallecimieno. La eficiencia del auoseguro se puede incremenar noablemene mediane la conraación de las renas vialicias que acumulan el riesgo de odos los individuos y permie proporcionar al pensionisa un consumo mayor y más esable a lo largo del iempo, eliminando el riesgo de agoar los recursos y caer en la indigencia. El consumo ópimo con rena programada en los gráficos segundo y ercero iene, prácicamene, la misma forma que el flujo ópimo cuando no se accede a renas aunque ligeramene desplazado hacia arriba; eso no es más que el reflo del mayor rendimieno que se consigue en la cuena de capialización individual. Tal y como ya se ha comenado con anerioridad, la ganancia de bienesar dependerá de diversos facores: la exisencia o no de renas preexisenes, la cuanía de la riqueza desinada a comprar renas, de la riqueza final deseada, del ipo de inerés del mercado r, de la asa de inflación π, de la impaciencia del consumidor δ, de la esperanza de vida del individuo y del grado de aversión al riesgo β que ése manifiese. La ganancia de bienesar se puede valorar mediane una medida que deermina cuál sería el nivel de riqueza adicional necesario para siuarse en la misma curva de uilidad esperada en cualquiera de los casos analizados. Esa medida es la riqueza equivalene que viene dada por: REQU W W 0 = [28.] W 0 siendo W la canidad de riqueza adicional que se debe dar al consumidor para que, siguiendo su flujo de consumo ópimo en cualquiera de los casos planeados, pueda alcanzar el mismo nivel de uilidad que obiene cuando maximiza el flujo de consumo en cualquier oro de ellos. Más específicamene, esa medida va dirigida a evaluar cuáno valoraría el consumidor, averso al riesgo, la posibilidad de poder conraar una rena vialicia 3 y poder proegerse conra el riesgo de una excesiva longevidad en érminos de la mérica que apora la eoría de la uilidad. Brown, Michell y Poerba (999) uilizan un algorimo de búsqueda numérico para enconrar el valor de la riqueza equivalene. Sin embargo, en el primer modelo planeado, es posible obener una expresión analíica 4 que permia obener direcamene 3 O en su caso una rena programada. 4 Véase el rabajo de Lárraga, Vidal y Devesa (200). 20

21 dicho valor, dado que la riqueza equivalene vendrá dada por el porcenaje µ ij que cumple: siendo: U i ( µ ijw0 ) = U j ( W0 ), i, j =,2,3 [29.] U (W): uilidad esperada en el caso (no hay acceso al mercado de renas) U 2 (W): uilidad esperada en el caso 2 (compra una rena con prima única) U 3 (W): uilidad esperada en el caso 3 (desina su riqueza a una rena programada) µ ij represena el porcenaje de incremeno sobre la riqueza inicial que sería necesario para que un individuo en la siuación j obenga la misma uilidad que un individuo en la siuación i. Kolikoff y Spivak (98) ambién obienen una expresión analíica para medir la riqueza equivalene, si bien, la forma de la función de uilidad elegida y la no consideración del caso en que la aversión al riesgo es igual a uno, les ha permiido obener una expresión más sencilla. Evidenemene, µ ij =, para i=j Si se considera la impaciencia del individuo por consumir y, más concreamene, su relación con el ipo de inerés, la inflación y la aversión al riesgo, se obienen los disinos valores de riqueza equivalene que se derivan de la relación expresada en función de los diferenes parámeros uilizados. Asimismo, y al igual que ocurre para deerminar la uilidad esperada, si se planea la resricción presupuesaria de acuerdo con la ecuación [8], es necesario uilizar programas de opimización dinámica que posibilien obener la riqueza equivalene en cada siuación. Los resulados obenidos se muesran en las siguienes ablas: Tabla 4: Riqueza equivalene en hombres. Renas no indizadas 5 Riesgo β β = 0,7 β =,5 β = 2,9 β = 4,4 Muy Impaciene,092,279,448,546 Impaciene,90,383,500,58 Indiferene,292,436,545,609 Poco Impaciene,390,493,58,63 Muy poco impaciene.,433,59,596,64 Fuene: Elaboración propia El resulado marcado en cursiva en la abla 4, significa que el individuo sería indiferene ane una unidad monearia desinada a renas y,092 de riqueza no desinada a renas, o lo que es lo mismo, esará dispueso a renunciar a,092 unidades de riqueza corriene para ener una unidad monearia maerializada en una rena vialicia. Por lo ano, se observa que en odos los casos le resula más úil al individuo desinar su 5 En odas las ablas aparecen subrayados los valores de la riqueza equivalene de las renas no indizadas (indizadas) que son mayores a los de las renas indizadas (no indizadas). En negria se resalan los valores inferiores a la unidad, lo que significa que es preferible la riqueza sin renas. 2

22 riqueza a la conraación de una rena vialicia consane en érminos nominales (decreciene en érminos reales). La valoración de la rena es mayor, en érminos de bienesar, en la medida que se incremene la aversión al riesgo y disminuya su impaciencia por el consumo. Tabla 5: Riqueza equivalene en Mujeres. Renas no indizadas Riesgo β β = 0,7 β =,5 β = 2,9 β = 4,4 Muy Impaciene 0,994,42,266,333 Impaciene,086,207,306,356 Indiferene,76,264,336,373 Poco Impaciene,247,306,358,387 Muy poco impaciene.,273,322,367,392 Fuene: Elaboración propia En ese caso, an sólo cuando el grado de aversión al riesgo es muy pequeño y el individuo se muesra muy impaciene por consumir, se observa que se obiene una mayor uilidad cuando no se conraan renas (el valor de la riqueza equivalene en ese caso es menor que la unidad). Eso se debe a que la mayor valoración de la rena vialicia no compensa la limiación que supone la conraación de una rena por un impore de la prima igual a la cuanía disponible para consumir. Cuando δ es muy grande, el individuo valora mucho menos el consumo fuuro que el consumo acual. También llama la aención que la valoración que realizan las mujeres de la rena es menor que la de los hombres, aunque sobre ese aspeco los resulados que aparecen en la lieraura son diversos: Kolikoff y Spivak (98) y Walliser (999) muesran una mayor valoración para los hombres 6, sin embargo, los resulados de Brown (200) varían según las ablas de moralidad uilizadas. Tabla 6: Riqueza equivalene en hombres. Renas indizadas Riesgo β β = 0,7 β =,5 β = 2,9 β = 4,4 Muy Impaciene,049,233,406,55 Impaciene,59,326,480,577 Indiferene,28,424,555,638 Poco Impaciene,407,520,628,697 Muy poco impaciene.,467,566,662,724 Fuene: Elaboración propia Tabla 7: Riqueza equivalene en mujeres. Renas indizadas Riesgo β β = 0,7 β =,5 β = 2,9 β = 4,4 Muy Impaciene 0,943,089,28,297 Impaciene,049,84,283,350 Indiferene,62,259,346,400 Poco Impaciene,267,336,402,445 Muy poco impaciene.,30,368,426,464 Fuene: Elaboración propia 6 La explicación es clara para Kolikoff y Spivak (98), esá simplemene relacionada con la mayor esperanza de vida de las mujeres. 22

23 Traándose de renas oalmene indizadas a la inflación, ambién se observa que la uilidad esperada es superior que si no se desina riqueza a renas vialicias, siendo la riqueza equivalene mayor o menor que la obenida en el caso de renas no indizadas, dependiendo del grado de impaciencia por el consumo y su aversión al riesgo, al y como ya se comenó en el epígrafe anerior. Mayores valores del parámero de aversión al riesgo implican una preferencia cada vez mayor por las renas indizadas. Las conclusiones obenidas a parir de los resulados alcanzados para hombres son exrapolables al caso en el que el consumidor es mujer, aunque hay que resalar que al igual que ocurría con las renas no indizadas, se observa que se obiene una mayor uilidad cuando no se conraan renas si el grado de aversión al riesgo es muy pequeño y el individuo se muesra muy impaciene por consumir. En cualquiera de los sexos, cuano más averso al riesgo se muesra el consumidor, mayor es la riqueza adicional necesaria que le proporciona el mismo nivel de uilidad que cuando conraa renas vialicias: los individuos más aversos al riesgo valoran mucho más el aseguramieno de la longevidad que ofrecen los seguros de renas vialicias. En relación con las renas programadas, los resulados obenidos son los siguienes: Tabla 8: Riqueza equivalene en hombres desinando la riqueza inicial a una rena programada indizada. Riesgo Rdo = 2% Rdo = 3% Rdo = 4% β β = 0,7 β = 2,9 β = 0,7 β = 2,9 β = 0,7 β = 2,9 Muy Impaciene 0,795 0,900 0,888,000 0,985,02 Indiferene 0,88 0,900 0,98,000,084,02 Muy poco impaciene. 0,900 0,900,000,000,0,02 Fuene: Elaboración propia Tabla 9: Riqueza equivalene en mujeres desinando la riqueza inicial a una rena programada indizada. Riesgo Rdo = 2% Rdo = 3% Rdo = 4% β β = 0,7 β = 2,9 β = 0,7 β = 2,9 β = 0,7 β = 2,9 Muy Impaciene 0,757 0,880 0,865,000 0,977,23 Indiferene 0,86 0,880 0,98,000,04,23 Muy poco impaciene. 0,868 0,880 0,989,000,23,23 Fuene: Elaboración propia Evidenemene, la uilidad esperada cuando se accede a una rena programada, dependerá del ipo de inerés conseguido en la cuena de capialización individual: cuano más elevado sea ése, mayor será la uilidad alcanzada. Como se puede observar, para que la conraación de una rena programada proporcione al consumidor al menos la misma uilidad que se deriva de un consumo a parir de la riqueza acumulada a la jubilación, es necesario que el ipo de inerés mínimo garanizado en la rena programada sea igual al ipo de inerés del mercado, y sólo a parir de un ciero grado de aversión al riesgo y para un bajo nivel de impaciencia por el consumo: los individuos poco aversos al riesgo y muy impacienes por consumir preferirían no desinar su riqueza a una cuena individual desde la que percibirían una rena programada. Cuando 23