PARTÍCULA EN UNA CAJA

Transcripción

1 LA PARTÍCULA EN UNA CAJA El problem más sencillo pr empezr plicr los postuldos de l mecánic cuántic es el de un sistem hipótetico constituido por un prtícul de ms m que está encerrd entre dos brrers de potencil infinito y que puede moverse solmente lo lrgo del eje x entre los puntos x = y x =. Dentro de l cj, l prtícul no está sometid ningun fuerz. Este problem recibe el nombre de prtícul en l cj unidimensionl. Es conveniente plnter un metodologí sistemátic como l que se describe continución. 1. METODOLOGÍA (1) Escribir el Hmiltonino del sistem Pr escribir el Hmiltonino se debe identificr primero l energí potencil clásic del sistem. En el cso de l prtícul en un cj l energí potencil es: V (x) = pr x V (x) = pr x < y x > (1) donde es el tmño de l cj. El operdor Hmiltonino es el operdor correspondiente l sum de ls energís cinétic y potencil. d Ĥ = h m dx pr x d Ĥ = h m dx + pr x < y x > () Escribir l ecución de Schrödinger () d h Ψ(x) = EΨ(x) pr x (3) m dx 1

2 [ h d ] m dx + Ψ(x) = EΨ(x) pr x < y x > (4) (3) Resolver l ecución diferencil Dentro de l cj, l ecución en x dmite un solución del tipo: Ψ(x) = e x cuy solución más generl es l siguiente: Ψ(x) = c 1 e ī h me x + c e ī h me x x (5) Fuer de l cj, l ec. 4 puede ser reescrit como h Ψ(x) = Ψ(x) m dx pues E es desprecible en comprción con infinito. L únic solución posible pr l región exterior l cj es que l función de ond se igul cero: d Ψ = x < y x > (6) Imponer ls condiciones de contorno Pr que hy continuidd en l función Ψ(x) dentro y fuer de l cj es necesrio que Ψ() = Ψ() = Substituyendo ests condiciones en l función de l ec. 5 se obtiene un sistem de dos ecuciones. Ψ() = c 1 + c = Ψ() = c 1 e ī h me + c e ī h me = Ests ecuciones no son independientes. Solo permiten encontrr un constnte en función de l otr. De l primer ecución, se obtiene c 1 = c. Substituyendo este resultdo en l segund ecución y utilizndo l fórmul de Euler pr e iα, se lleg que: ( ) 1 h sen me =

3 L función seno es igul cero solmente cundo el ángulo es igul un número entero de π, de modo que est relción solo es válid si se cumple que: (7) Encontrr los utovlores 1 me = nπ n =, 1,, 3,... (6) h L ec. 6 proporcion l condición sobre E pr ls soluciones de l ecución de Schrödinger de l prtícul en un cj. Los posibles vlores de E son los utovlores, o niveles de energí: E n = n ( h 8m ) n =, 1,, 3,... (7) Al imponer l prtícul libre límites su movimiento, se observ que su energí y no puede tener culquier vlor. Solo son permitidos determindos niveles de energí que dependen de l dimensión de l cj. Se dice que l energí está cuntizd. (8) Encontrr ls utofunciones y normlizrls Como c 1 = c, l función Ψ(x) se puede escribir ó, utilizndo los vlores de E n : ( ) Ψ(x) = Nsen men x 1 h Ψ n (x) = Nsen nπx n = 1,,... dónde el vlor n = no h sido incluído porque conduce un solución trivil, Ψ (x) =. L constnte N se denomin fctor de normlizción y se encuentr plicndo l condición: Resolviendo l integrl se tiene: N sen nπx dx = 1 N = Finlmente, ls funciones de ond de l prtícul en un cj se pueden escribir como: Ψ n (x) = sennπx n = 1,,... (8) 3

4 El número n que crcteriz Ψ n y E n es el número cuántico pr el sistem considerdo.. FUNCIONES ORTOGONALES Dos funciones ψ i y ψ j de ls misms vribles y definids pr el mismo intervlo de ls vribles son ortogonles si se cumple l relción: sobre todo el espcio considerdo. ψ i ψ j dτ = (9) Ls funciones de l prtícul en l cj unidimensionl (ec. 8) son tods ortogonles entre sí. Por ejemplo, pr ls funciones ψ n y ψ m se tiene que: ( ) ( ) sennπx senmπx dx = = π π sen nπx senmπx dx sen(ny)sen(my)dy = Como ls funciones ψ n están, demás, normlizds, se dice que el conjunto de untofunciones {ψ n } de l prtícul en l cj formn un conjunto ortonorml de funciones que stisfcen l relción generl: El simbolo δ ij es l delt de Kronecker, definid por: ψ i ψ j dτ = δ ij (1) δ ij = 1 pr i = j δ ij = pr i j L ortogonlidd de dos funciones ψ n y ψ m crcterizds por números cuánticos diferentes es un propiedd generl de ls utofunciones de operdores hermitinos y se puede demostrr de l mner siguiente: Sen ψ n y ψ m dos utofunciones del operdor hermitino Ô, crcterizds por los utovlores o n y o m, respectivmente: Ôψ n = o n ψ n ; Ôψ m = o m ψ m L integrl de ortogonlizción es: 4

5 ψnψ m dτ = (Ôψm ) ψn dτ = 1 o m o m = 1 o ψn)ψ m dτ = 1 m o m ψ nôψ mdτ (o n ψn)ψ m dτ = o n o m ψ nψ m dτ L iguldd entre el primer término y el último pr o n = o m solo puede ser válid si l integrl ψ nψ m dτ es igul cero. Así ls utofunciones de un operdor correspondientes utovlores diferentes son necesrimente ortogonles. 3. DIAGRAMA DE NIVELES DE ENERGÍA De l ec. 7 vimos que los niveles de energí tienen los siguientes vlores: E n = n ( h 8m ) n =, 1,, 3,... indicndo que, pr un vlor ddo del número cuántico n, l energí de l prtícul es inversmente proporcionl su ms y l cudrdo de l dimensión de l cj. Es posible dibujr el digrm de niveles. Como el cero de energí es rbitrrio, lo que relmente import es el espcimiento entre niveles, el cul se puede expresr como: E = E n E n1 = h 8m (n n 1) (11) Cunto más livin es l prtícul y cunto más restringido es el movimiento ( pequeño) más seprdos están los niveles. En cmbio, si m y son grndes, n debe ser muy grnde y entonce E tiende cero. Pr prtículs mcroscópics en cjs mcroscópics, como serí, por ejemplo, el cso de un cnic de 1 g en un cj de 1 cm, E = ( ) erg seg 8 1g 1cm (n n 1) 1 54 ergs lo cul represent un cntidd totlmente desprecible y l energí prece contínu. En generl, pr sistems en los cules m h, l mecánic clásic predice correctmente los resultdos. Éste es un ejemplo del Principio de Correspondenci. 5

6 4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES DE ONDA Es costumbre representr ls funciones de ond por encim de los niveles de energí los cules corresponden. Sin embrgo, se debe tomr cuiddo con l interpretción de ests figurs y, sobretodo, no pensr que l prtícul está oscilndo determind ltur en l cj de potencil. Hy que recordr que l prtícul se mueve en un sol dimensión, que es l dirección x. Un prtícul trsldándose en l dirección x y oscilndo en l dirección y, relizrí un movimiento bidimensionl. L probbilidd de que l prtícul ocupe un espcio infinitesiml lrededor de un cierto punto de l cj es ψ n (x) dx y es máxim en los puntos donde ψ n (x) es máxim. Así, pr el estdo de energí E 1, l posición más probble es en medio de l cj. Pr el estdo de energí E, ls dos posiciones más probbles son 4 y 3 4, mientrs que el centro de l cj tiene probbilidd nul. Los puntos donde ψ n (x) es cero coinciden con los puntos donde l función de ond se hce cero. Estos puntos son los nodos de l función. Se observ que el número de nodos ument con el número cuántico. Cunto myor es l energí del sistem, myor es el número de nodos de l función de ond. Pero entonces, como hce l prtícul pr psr del ldo izquierdo l ldo derecho de l cj? Si l prtícul no puede estr nunc en el nodo, no puede psr de un región otr, y en consecuenci, está pres en un región que se hce cd vez más restringid medid que l energí ument. L explicción de este resultdo requiere l utilizción de l teorí cuántic de Dirc: si se considern los efectos reltivists, ls ecuciones difieren de ls de Schrödinger de mner tl que los nodos son substituidos por puntos de mplitud muy pequeñ pero nunc igul cero. Aprecen en el trtmiento de Schrödinger por ser éste un proximción l de Dirc. 5. PROPIEDADES DE LA DIMENSIONAL PARTÍCULA EN UNA CAJA UNI- L función de ond Ψ de un estdo de un sistem, contiene tod l informción necesri pr clculr culquier propiedd. Pr lguns de ests propieddes l función Ψ represent un estdo puro. Esto ocurre si Ψ es un utofunción del operdor Ô socido l propiedd O: ÔΨ = oψ donde o es un constnte. En este cso, el vlor medio de los vlores o es, por el Postuldo IV: 6

7 Ô = Ψ ÔΨdτ = Ψ oψdτ = o Ψ Ψdτ = o (1) En cmbio, si el estdo no es puro con respecto un propiedd Q, los posibles vlores de Q osciln lrededor de un vlor medio ˆQ. Cómo determinr si el estdo es, o no es, puro con respecto un determind propiedd? Hciendo ctur el operdor correspondiente sobre l función de ond que crcteriz l estdo, se determin si ést es utofunción del operdor. Por ejemplo, pr l energí de un prtícul en un cj de dimensión, cuy función de ond, debidmente normlizd es: se verific que: Ψ = sennπx (13) d Ĥ = h m dx ( ) ( ) senπx = h π ( ) m senπx = h m senπx L función Ψ es un utofunción del operdor Ĥ, y l energí de l prtícul cundo su estdo es el crcterizdo por Ψ es: E = que es l energí del nivel n =. En cmbio, pr el operdor del momento linel: función Ψ se tiene que: h m (14) ˆp x = i h d ( ) dx senπx = i h π cosπx ˆp x = i h d dx, plicdo l Se observ que el miembro de l derech no puede ser escrito como producto de un constnte por l función Ψ originl, lo cul signific que Ψ no es un utofunción del operdor ˆp x. L función Ψ no represent un estdo puro del momento linel. El vlor medio del momento linel es: ˆp x = ( senπx ) ( ) ( π = i h ) ( i h d dx ) ( senπx sen πx cosπx dx El vlor medio del momento linel pr culquier estdo es: 7 ) dx

8 ˆp x = (15) y es independiente de n. Este resultdo está de cuerdo con el obtenido en l ec. 14. Como l prtícul puede ir de izquierd derech ó de derech izquierd con igul probbilidd, el promedio es necesrimente cero. 6. LA PARTÍCULA EN LA CAJA Y EL PRINCIPIO DE IN- CERTIDUMBRE El problem de l prtícul en l cj puede servir pr ilustrr el principio de incertidumbre. Si l prtícul se encuentr en un estdo ψ n crcterizdo por l energí E n, p n m = h n 8m n = 1,,... y el vlor bsoluto de su momento linel es: ( h p n = ±n ) L incertidumbre en el vlor del momento es: p n = nh ( nh ) n = 1,,... (16) = nh n = 1,,... (17) Como no se conoce l posición de l prtícul pero se sbe que debe estr dentro de l cj: x = (18) El producto de ls incertidumbres del momento y de l posición es: p n x = nh = nh h que concuerd con el principio de incertidumbre de Heisenberg. 7. LA PARTÍCULA EN LA CAJA EN DOS Y TRES DIMEN- SIONES En un cj de potencil en tres dimensiones, l prtícul puede desplzrse libremente en ls tres direcciones. El potencil puede ser descrito por ls siguientes relciones: V (x, y, z) = x ; y b; z c 8

9 V (x, y, z) = < x < ; b < y < ; c < z < (19) L ecución de Schrödinger pr el sistem es: h m Ψ(x, y, z) = EΨ(x, y, z) dentro de l cj () h m Ψ(x, y, z) + Ψ(x, y, z) = EΨ(x, y, z) fuer de l cj (1) Como en el cso de l prtícul en l cj en un dimensión, l únic solución posible pr l ec. 1 correspondiente ls regiones fuer de l cj es Ψ(x, y, z) =. L ec. es seprble en tres ecuciones idéntics ls de l prtícul en l cj unidimensionl. Ls utofunciones y los utovlores del sistem son: y Ψ nx,n y,n z (x, y, z) = 8 bc senn xπx ( ) E nx,ny,n z = h n x 8m + n y b + n z c senn yπy sen n zπz b c donde, b y c son ls dimensiones de l cj en ls tres dimensiones x, y y z, respectivmente, y n x, n y y n z son los números cuánticos que crcterizn el movimiento en ess tres dimensiones. En el cso prticulr de l cj cúbic ( = b = c), l función de ond es: () (3) Ψ nx,n y,n z (x, y, z) = y los niveles de energí son: 8 3 senn xπx senn yπy senn zπz (4) E nx,ny,n z = h 8m (n x + n y + n z) (5) El nivel de energí más bjo corresponde n x = 1, n y = 1 y n z = 1: E 1,1,1 = 3h 8m (6) Pr el primer nivel excitdo surge un situción prticulr, porque existen tres mners de obtener l mism energí: E,1,1 = E 1,,1 = E 1,1, = 3h 4m (7) cd un de ls cules, sin embrgo, corresponde un estdo diferente, crcterizdo por un función de ond diferente: 9

10 8 ψ,1,1 = 3 senπx senπy senπz 8 ψ 1,,1 = 3 senπx senπy senπz (8) 8 ψ 1,1, = 3 senπx senπy senπz Cundo vris funciones de ond corresponden un mismo vlor de l energí, se dice que el nivel de energí es degenerdo, y el número de funciones independientes pr ese nivel es l degenerción del nivel. El trtmiento del problem de l prtícul en un cj bidimensionl es completmente nálogo. Ls utofunciones y los utovlores dependen solmente de dos números cuánticos y en el cso de l cj cudrd, precen tmbién niveles degenerdos de energí. En l cj bidimensionl l prtícul se desplz en un plno. 8. APLICACIONES DEL MODELO DE LA UNA CAJA PARTÍCULA EN El problem de l prtícul en l cj es probblemente el ejemplo más sencillo de plicción de l ecución de Schrödinger. Existen en l práctic sistems en los cules el potencil es precido l pozo cudrdo en un, dos o tres dimensiones. Un ejemplo, es un cble conductor, y que el potencil que los electrones experimentn es proximdmente constnte, slvo en los extremos, donde ument rápidmente hst un vlor muy elevdo. El potencil de l prtícul en l cj unidimensionl represent entonces un modelo simplificdo de l estructur de los metles: es el modelo de electrones libres. Moléculs lrgs de dobles enlces conjugdos pueden ser representds por cjs unidimensionles en ls cules se desplzn los electrones π: éste es el modelo de orbitl moleculr de electrones libres que proporcion resultdos rzonbles de espectros de polienos conjugdos. Análogmente, l prtícul sobre un nillo sirve de modelo pr nillos romáticos. Los átomos tmbién hn sido representdos por cjs cúbics. Ls cjs cúbics hn sido utilizds pr estudir propieddes de cierts soluciones de metles en moníco, considerndo l electrón preso en un cvidd cúbic de solvente. 1