Capítulo 4. Problemas unidimensionales

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1 Cpítulo 4 Problems unidimensionles 4 Prtícul encerrd 4 Brrer de potencil finit 4 nergís menores que l brrer < V 4 Coeficientes de trnsmisión y reflexión 4 Probbiliddes 4 nergís myores que l brrer > V 43 nergí igul l brrer V 43 Pridd 44 Pozo inito Anexo 4 Integrción numéric de l ecución de Schrödinger

2 4 Problems unidimensionles L diferenci entre un sistem y otro está en el tipo de fuerzs o bien en l form de l energí potencil ( r) V Pr un sistem de un prtícul en un dimensión l ecución de Schrödinger se expres como o bien d + V x u x u x m dx u m V x u Por lo tnto el signo de l curvtur de l función u depende de l diferenci V( x) Cundo > V( x) u y u tienen signos contrrios y l función oscil mientrs que cundo V( x) < u y u tienen el mismo signo y l función es monóton n el Anexo 4 se muestr un procedimiento de integrción numéric en el que se reflej este trtmiento culittivo n este cpítulo se resuelve l ecución de vlores propios pr lgunos sistems modelo sencillos que permiten nlizr comportmientos generles de los sistems cuánticos 4 Prtícul encerrd l cso más sencillo de trtr corresponde l de un prtícul libre de fuerzs que se encuentr encerrd en el intervlo [ ] st condición de confinmiento se puede representr por un potencil con brrers de ltur infinit V( x) 0 x x > 4-

3 n este cso sólo existen estdos con energí positiv y que l energí totl es sólo energí cinétic Además por el confinmiento l prtícul sólo puede estr entre ls prdes por lo que ( x) u 0 pr x > Dentro de ls predes x u u en donde < el potencil es cero V( x ) 0 y m > 0 L solución generl de l ecución diferencil es un combinción de funciones trigonométrics u x Acos x + Bsin x en donde A y B son constntes por determinr Ddo que l solución debe de ser un función contínu entonces 0 u Acos + Bsin x 0 u Acos Bsin x Sumndo mbs condiciones se tiene que 0 Acos y 0 Bsin L primer solución solución corresponde l cso en que A 0 por lo tnto cos 0 es decir m π Además sin 0 por lo tnto B 0 Así l solución qued en l form u ( x) Acos x st solución corresponde un función pr m π m L segund solución corresponde l cso en que A 0 por lo tnto B 0 y sin 0 Así 4-3

4 mπ m π n este cso l solución tom l form u ( x) Bsin x Observe que ést es un solución impr Pr x m π m mbs soluciones pueden escribirse con un único índice u ( x) n nπx Acos nπx Bsin n impr solución pr n pr solución impr Pr este sistem tom sólo lgunos vlores de l energí formn un espectro discreto n n π por tnto los vlores propios n n π m m n 8 Aún es necesrio determinr l constnte de normlizción de ls funciones propis Prtiendo de l condición A B u x dx se tiene que n cos xdx A sin xdx B + cosx dx A cos x dx B sin + sin y como n nπ entonces sin n 0 por lo tnto A B sin Relciones trigonométrics α + cos α cos α sin α cos α cos α + cos α sin α cosα 4-4

5 Así pr x u ( x) n nπx cos nπx sin n impr n pr Al estdo de menor energí se le denomin estdo bsl en este cso el estdo bsl tiene ls propieddes siguientes u x ( x) cos π π 8m n generl el espectro puede escribirse en l form n n unciones trigonométrics Anlizndo ls funciones propisu n se puede concluir que u n present: ) n máximos igulmente espcidos ) n nodos dentro de ls predes Los polienos o trns-policetilenos son moléculs plns con enlces dobles conjugdos Los electrones π se mueven lo lrgo de tod l molécul pero fuer del 4-5

6 plno que formn los núcleos l modelo de prtículs encerrds en un dimensión proporcion un descripción culittiv de los orbitles moleculres pr este tipo de moléculs y se present en el mteril uxilir Moléculs politómics con dobles enlces conjugdos en l proximción de electrones libres Ls ecuciones de este modelo se pueden plicr un sistem mcroscópico encerrdo en un dimensión Por ejemplo pr un blín encerrdo en un crril sin fricción se puede nlizr el espectro y l densidd de probbilidd de ls funciones propis L interpretción decud de ls predicciones del modelo cuántico permiten observr que l descripción cuántic del comportmiento de este sistem es similr l que proporcion l mecánic clásic 4 Brrer de potencil finit Ahor se nliz el problem de un prtícul libre que choc contr un brrer finit de potencil n este cso el potencil tiene l form V( x) V < x < 0 0 x < 0 x > con V > 0 por lo tnto > 0 Como el potencil está definido en trmos es necesrio resolver l ecución diferencil en cd intervlo y posteriormente plicr ls condiciones de continuidd 4-6

7 Ddo que el signo de l diferenci V( x) determin el comportmiento de ls soluciones de l ecución de vlores propios en conveniente nlizr por seprdo ls soluciones de cd cso 4 nergís menores que l brrer < V Pr x < 0 l ecución diferencil tom l form u u en donde m > 0 con un solución generl que consiste en un combinción linel de exponenciles imginris ix u x e + Ae ix s importnte comentr que ests exponenciles ϕ operdor de momento con vlor propio p ϕ ϕ x ix e son funciones propis del Por tnto el primer término de l solución generl corresponde un hz de prtículs que vijn con momento positivo (hci l brrer) mientrs que el segundo puede socirse con prtículs que rebotn con l brrer Arbitrrimente se h signdo mplitud unitri l hz de prtículs incidentes Pr 0 < x < u κ u l ecución diferencil puede escribirse como en donde κ m V > 0 con l solución generl siguiente x u x Be + Ce κ κ x inlmente en el intervlo x u u con solución generl de l form > se tiene l ecución diferencil 4-7

8 ix u x De n este cso sólo prece un término debido que el hz incidente tiene momento positivo y en est región sólo hy ls prtículs que se lejn de l brrer L condiciones de continuidd de u y u en x 0 tomn l form + A B + C i ia κb + κ C L fctorizción de l últim condición conduce κ ( ) κ ( ) A ( C B) i i A C B y combindol primer qued un ecución que sólo incluye B y C B κ + C + κ (*) i i Mientrs que l constnte A depende de B y C A B + C Similrmente en x κ Be + Ce Κ κ D i L segund condición llev κ κ κ Ce Be ide i κb κ + Ce κ ide i κ κ κ i [ ] i Ce Be De limindo D se obtiene otr ecución que sólo contiene B y C κ 0 κ + Κ + κ Be Ce (**) i i L constnte D depende únicmente de ls otrs D e i κ ( Be κ + Ce ) L constntes B y C se obtienen resolviendo ls ecuciones (*) y (**) de quí que ( )( ) κ B Ce κ i + κ i 4-8

9 Propieddes de ls funciones hiperbólics α α coshα e + e α sinhα e e cosh α sinh α sinh α sinhα coshα ± e e e ± e e e e ± e ± e e ± e α α α α Así Ce κ ( κ ) i + κ i ( κ κ ) [ e ] + κ κ ( + e ) i C + κ i ( κ ) ( κ ) C( + i) C e κ κ i i + κ i Usndo funciones hiperbólics l ecución tom l form κ ( e sinh ) e κ coshκ + i κ κ C κ + i κ coshκ + i( κ ) sinhκ κ Ce κ + i o bien κ κ ( κ + i ) e ( + iκ ) e C κ coshκ + i κ sinhκ κ sinhκ + iκ coshκ Se ( ) κ sinhκ + iκ cosh κ entonces i C + κ e κ B i κ + iκ e iκ + iκ e κ κ D e i + iκ + iκ iκ e i 4-9

10 A κ κ κ κ κ κ ( + iκ) e + ( + iκ ) e ( e e ) + iκ ( e + e ) ( κ + ) sinhκ + iκ coshκ + κ sinhκ iκ coshκ sinhκ Con ests constntes ls funciones propis tomn su form finl Pr x u ( x) ix κ + ix e + sinh κ e x < 0 + iκ κ ( x) iκ κ ( x) e + e 0 < x < iκ e i x x > > se puede observr que l función exponencil tiene un desplzmiento en l vrible x ste efecto es debido l intercción con brrer y se le denomin corrimiento de fse l nálisis de los corrimientos de fse es de grn utilidd pr estudio de ls intercciones entre los proyectiles y el blnco Un vez que se hn obtenido ls soluciones se puede concluir que el espectro es continuo y que no hy ningun restricción sobre los vlores que puede tomr l energí 4 Coeficientes de trnsmisión y reflexión Al nlizr el comportmiento de l función de ond ést no es cero en x > Por tnto hy trnsmisión de prtículs trvés de l brrer ún cundo desde el punto de vist clásico no poseen energí suficiente pr remontr el obstáculo ste fenómeno tiene un origen cuántico y se le denomin efecto tunel Los coeficientes de reflexión R y trnsmisión T pueden obtenerse prtir del módulo cudrdo de l función de ond T en donde D 4 κ ( + κ ) sinh R A κ 4-0

11 Por lo tnto ( κ ) sinh κ 4 κ cosh κ 4 4 ( κ κ ) sinh κ 4 κ ( sinh κ) ( ) 4 κ κ sinh κ T + ( + κ ) 4 κ sinh κ R + κ 4 ( + κ ) sinh κ demás mbos coeficientes stisfcen l ecución T + R Como κ depende de y V podemos seprr l dependenci usndo un vrible nuev L mv + κ sí κ L L L L V y es posible expresr l coeficiente de trnsmisión en términos del cociente V ( L) T + 4 L L ( sinh L ) sinh L L L ( + 4 L ) L L Cundo de l brrer << L se obtiene un comportmiento linel en y exponencil en el ncho T L sinh L + L L L Le L e L Pr energís cercns l ltur de l brrer L es conveniente introducir un ε L << sí medid de est cercní 4-

12 T L + L + L + L L L L + + ε ε ε por lo tnto ún cundo l energí es prácticmente igul l ltur de l brrer el coeficiente de trnsmisión no tiende uno 4 Probbiliddes Pr x < 0 u ix ix ix { κ sinhκe κ sinhκe iκ coshκe } ( x) { sinhκ( cos x κ isin x) κ coshκ( i cosx sin x) } sinhκ cos x κ coshκsin x + i( κ coshκ cos x κ sinhκsin x) por lo que u sinh κ cos x κ sinhκ coshκ cos x sin x + κ cosh κsin x + κ cosh κ cos x 3 4 κ coshκsinhκ cos x sin x + sinhκsin x 4 4 sinh κ( cos x + κ sin x) + κ cosh κ κ( + κ ) sin x sinh κ n el intervlo 0 < x < u Cundo x en donde {[ sinhκ ( x ) ] [ κ coshκ ( x ) ] } > 4 κ u { sinh κ ( x) κ cosh κ ( x) } 4-

13 L 4 4 sinh κ κ + 4 Así u 4 ( ) 4 sinh κ + L κ sin x + κ cosh κ x < 0 κl sinh κ sin x 4 sinh κ ( x) + κ cosh κ ( x) 0 < x < κ x > u ( x) pr ( L ) 4 nergís myores que l brrer > V n este cso V es negtivo y κ m V κ < 0 por lo que es conveniente hcer el reemplzo κ i κ en tods l ecuciones 4-3

14 Relción entre funciones iα iα α α cosα cosiα ( e e ) cosh iα e + e + coshα iα iα α α sinα sin α i sinh iα e e i i e e isinhα Así κ κ L κ cos κ + i( + κ )sin κ ( κ ) C + e i κ D e i B ( κ ) ei κ i κ A ( κ ) 4 κ + κ sin κ sin κ T D ( κ ) ( κ ) sinκ + κ ( ) L sin L + L n ests condiciones nuevmente se tiene un espectro continuo De l expresión pr el coeficiente de trnsmisión T se puede observr que en generl T es menor que l unidd ún cundo ls prtículs tienen energí myor que l brrer por tnto no tods l trvesrán Adicionlmenet T es máximo cundo sin κ 0 T mx y R 0 esto es sólo pr estos vlores de κ no hy reflexión ste efecto se h interpretdo como un interferenci totl entre ls funciones de ond de l prtículs reflejds por ls dos predes de l brrer L trnsmisión totl ocurre cundo κ n π es decir cundo n L + L + π κ n V + π m Observe que ests energís son similres l espectro de un prtícul encerrd entre 0 y bjo un potencil constnte igul V Adicionlmente pr ests energís se tiene que 4-4

15 ix A 0 por lo que pr x < 0 u e esto es no hy reflexión Pr x > n+ ( ) κ y u ( ) n i( x) e Tmbién hy vlores de l energí pr los cules T es un mínimo locl Cundo sin l reflexión present un máximo T min + L L 4 + L L 4 4 Al umentr l energí estos vlores tienden sintóticmente uno 43 nergí igul l brrer V Cundo V κ 0 demás m mv L n este cso ls soluciones tienen un comportmiento diferente Al resolver se obtiene que T D ( ) ste resultdo coincide con el límite clculdo en el cso 43 Pridd Se P el operdor de pridd Pf ( r) f ( r) ecución vlores propios correspondiente Pf ( r) f ( r) λ Sus funciones propis stisfcen l pero P f λ f Pf f ( r) ( r) ( r) ( r) entonces λ por lo tnto λ ± y ls funciones pres e impres son ls funciones propis del operdor de pridd 4-5

16 unciones pres λ p( ) p unciones impres r r λ p( ) p r r Si l energí potencil es un función pr V( r) V ( ) H ( Pf ) P Hf m P f P Vf + Pf + VPf m r entonces por lo tnto [ H P ] 0 y mbos operdores tienen funciones propis comunes Teorem: Si l función de energí potencil es simétric entonces ls funciones propis de H tienen pridd definid Un ejemplo de este cso es el de l prtícul encerrd entre y Al elegir que el origen esté situdo en el centro del recipiente ocsion que ls funciones propis tengn pridd 44 Pozo inito inlmente se consider un prtícul dentro de un pozo finito de potencil L energí potencil de este problem tiene l form 4-6

17 V( x) V x > 0 x < con V > 0 por lo que l energí es positiv > 0 Ddo que este potencil es simétrico ls soluciones tienen pridd definid por tnto se pueden seprr en soluciones pres e impres Considere el cso en que los segmentos se obtienen ls soluciones siguientes < V Al resolver l ecución diferencil en cd uno de m > 0 κ m V > 0 x < u κ u u ( x) Ae κ x x < u u u ( x) C x cos pr Dsin x impr x > u κ u u ( x) Be Aplicndo ls condiciones de continuidd u y u en cd un de ls predes del pozo x ± se tiene que x soluciones pres soluciones impres A B A B Ae C cos Ae Dsin κae C sin κae κd cos κ tn κ cot tn > 0 cot < 0 nπ ( n ) < < + π π π ( n + ) < < ( n + ) L mv κ + > 0 4-7

18 ( L) ( ) ( tn + ) ( ) sec ( L) ( ) ( cot +) ( ) csc cos ± sin ± L L nπ < < nπ + π nπ + π < < nπ + π Ls ecuciones que permiten obtener est prte del espectro son ecuciones trscendentes y se requiere de un método numérico pr obtener sus soluciones n el mteril uxilir spectro discreto del pozo finito unidimensionl se muestr un método sencillo pr encontrr ls soluciones Pr energís menores que l ltur de l brrer el espectro del pozo es discreto y existe l menos un estdo que está ligdo este potencil (estdo ligdo) Pr cd energí del espectro ls soluciónes quedn en l form A Ce κ cos A De κ sin κ ( x+ ) e cos u ( x) Ccos x κ ( x) e cos κ ( x+ ) e sin x < u x Dsin x x < κ ( x) e sin x > en donde los vlores de C y D están fijos por l condición de normlizción A prtir de l form de l función de ond en l región de ls predes se puede concluir que unque el sistem no teng energí suficiente pr escpr l probbilidd de encontrrlo fuer del pozo no es cero unque est probbilidd dece exponencilmente conforme se lej de ls predes del pozo Al comprr este cso con el de l prtícul encerrd se puede observr que pr grntizr que el sistem que limitdo permnecer dentro de ls predes el vlor de κ debe ser infinito Por est rzón el potencil en ls predes de un sistem confindo debe ser infinito Desde el punto de vist microscópico ls predes impenetrbles se representn por brrers de potencil infinitmente lts 4-8

19 Pr el cso en que l energí es myor que l ltur de l brrer > V ls soluciones son semejntes ls del problem de l brrer y est prte del espectro es continu Por lo tnto en este problem el espectro tiene un prte continu y un discret 4-9

20 Anexo 4 Integrción numéric de l ecución de Schrödinger Considere en desrrollo en series de Tylor de f ( x h) f x h f x hf x h f x O h 3 ( + ) n form nálog f x h f x hf x h f x O h 3 ( ) + + por tnto sumndo mbs ecuciones se tiene que 4 ( + ) + ( ) + + f x h f x h f x h f x O h + lrededor de x Aplicndo est proximción l ecución de Schrödinger pr h se obtiene l ecución de recurrenci siguiente 4 ( x + ) ( x) ( x ) + ( x) + O Ψ Ψ Ψ Ψ m Ψ( x) + V ( x ) Ψ x Ψ x + O m Ψ( x) + [ V ( x ) ] Ψ( x ) O ( ) [ ] Tomndo un mll formd por un conjunto de puntos igulmente espcidos xi x + i 0 se puede clculr l función de ond en estos puntos Ψi Ψ( xi ) medinte l ecución nterior m Ψi Ψ i + [ V ( x i ) ] Ψi + Por ejemplo pr el potencil { } 0 0 5( x 5) V x exp m l solución pr 5 con 0 05 se muestr en l figur siguiente De cuerdo m con lo esperdo l solución present un comportmiento osciltorio en los extremos de 4-0

21 l figur en donde > V mientrs que l función es monóton en el centro cundo < V n este cpítulo se resuelve el problem de un brrer rectngulr y su solución exct muestr ls misms crcterístics V R I Psi^