Antiderivadas. Taller Uno. 1. Encuentre las funciones antiderivadas de: a) f(x) = ( 2 x) 2. n) l(u) = senu+2senhu. g) f(x) = cothx. h) f(x) = sech 2 x

Transcripción

1 Tller Uno Antiderivds. Encuentre ls funciones ntiderivds de: ) f() = ( ) b) h(t) = t c) m(s) = s 5/ 5 s 4 d) p() = ( ) e) i() = f) f() = tnh. L ntiderivd de sen es g) f() = coth h) f() = sech i) f() = csch j) f() = sechtnh k) f() = coth l) d(t) = 4sin(πt) sin(4π) m) n() = 3e +7sec n) l(u) = senu+senhu ñ) v() = sen cos o) u() = + p) q() = 3 ( 4) q) r(θ) = +tn θ ) sen+c b) cos+c c) cos+sen+c 3. L ntiderivd de tnsec es ) sec3 3 +C b) tn +C c) sec +C 4. Muestre que ls funciones clrmente distints F () = y F = son mbs primitivs de f() = ( ). Cuá es l relción entre F () y F ()? 5. Use ls identiddes cos = +cos() y sin = cos() primitivs de f() = sin y f() = cos. pr determinr ls 6. Un pelot se lnz hci rrib con un velocidd inicil de 64 pies/seg prtir de un ltur inicil de 8 pies. Encontrr l función posición que epres l ltur s en un función del tiempo t. Cuándo llegrá l pelot l suelo? 7. Supong que se dispr un flech en sentido verticl medinte un poderos bllest, desde elpiso,yquevuelvetocrelsuelo48segundosdespués.sipodemosdesprecirlresistenci del ire, determinr l velocidd inicil de l flech y l ltur máim que lcnz. 8. Ls nrcs de derrpe de unos neumáticos indicn que se hn plicdo los frenos durnte un distnci de 6 pies ntes de detenerse el utomóvil. Supongmos que el utomóvil en cuestión tiene un descelerción constnte de pies/seg bjo ls condiciones del derrpe. A qué velocidd vijb el uto cundo se comenzó frenr?

2 9. Cuál de ls siguientes gráfics muestr l solución del problem de vlor inicil dy =, y( ) =. Ls siguientes gráfics muestrn ls curvs solución de ls ecuciones diferenciles. Encuentre, en cd grfic, un ecución pr l curv que ps por el punto mrcdo.. Resuelv los problems con condiciones iniciles ) dy = ( ); y() = dy b) = (+3)3/ ; y(3) =. En Fig. se muestr l gráfic de f. Dibuje l gráfic de f si ést es continu y f() =. 3. En l Fig. se ilustr l gráfic de l derivd f de un función f. Determine. ) () En qué intervlos f es creciente o decreciente? b) (b) Pr qué vlores de l función f tiene un máimo locl o un mínimo locl? c) (c) Trce l gráfic de f. d) (d) Trce l gráfic posible de f. 4. Ls gráfics de f y f psn trvés del origen. Usr l gráfic de f mostrd en l Fig 3 pr bosquejr l gráfic de f y f. Fig Fig Fig 3

3 5. Sen s() y c() dos funciones que stisfcen s () = c() y c () = s() pr todo. Si s() = y c() =. Demostrr que [s()] +[c()] = 6. Dibujr ls gráfics de dos funciones que tengn l derivd señld. 7. Encontrr un función g tl que l gráfic de ést teng un tngente horizontl en (,) y g () =. 8. Hlle l ecución de l curv pr el cul y = 4 y que es tngente l rect +y = 5 3 en el punto (,3). SOL: y = + 9. Si f, < () = f es continu y f() = 3 determinr f, Es diferencible 3, 5 en =?. (M-Interesnte) Se f : R R un función continu en R tl que f() =, f () = Determine f()., (,) e >. (M-Interesnte) Se f : R R un función continu en R tl que +, SOL : f () = +, < e +e 3, > f() = π, f () = + + Hllef() SOL:f rctn π () =, ln( +) rctn ln, >. En ls siguientes gráfics determine que función quien hce el ppel de funcion y de ntiderivd. 3

4 3. Usr l gráfic de f que se muestr en l Fig 4 pr responder lo siguiente, ddo que f() = 4. ) Aproimr l pendiente de f en = 4. Eplicr. b) Es posible que f() =? Eplicr. c) Es f(5) f(4) >? Eplicr. d) Aproimr el vlor de donde f es máim. Eplicr. e) Aproimr culquier intervlo en el que l gráfic de f es cóncv hci rrib y culquier intervlo en el cul es cóncv hci bjo. f) Aproimr l coordend culquier punto de infleión. g) Aproimr l coordend del mínimo de f (). Fig 4 h) Dibujr un gráfic proimd de f. 4. Usndo l gráfic de l Fig 5. Se define l función g() = ) Encuentre g(), g(3) y g( ) f(f)dt b) Hlle los ( 3,4) donde g tiene un máimo reltivo. c) Escrib un ecución pr l rect tngente l gráfic de g en =. d) Hlle los donde g tiene un punto de infleión. e) Encuentre el rngo de g. Fig 5 Sums de Riemnn 5. Se R l región que est bjo l gráfic de y = f() en el intervlo [,b] sobre el eje. Clculr un R-estimción y un L-estimción de ls siguientes funciones usndo un prtición regulr. ) f() = +3 en [,3] n = 6. b) f() = + en [,3] n = 5. c) f() = en [,6], n = 5 6. Determine ls sums de Riemnn pr l función indicd y un prtición regulr del intervlo ddo en n subintervlos. Utilice c i = i es decir, etremo derecho. ) f() = 9 en [,3] n = b) f() = 3 3 en [,4] n = 5 7. Usndo inducción y (o usndo l formul de i=(r k r k )) demuestre que n k= r k = rn+ r 8. Clcule l integrl definid de f() = e en [,4] usndo sums de Riemnn con un prtición regulr. 9. Clcule el áre de l región limitd por ls gráfics de y =, eje, y = 9 usndo sums de riemnn. R/ 36 4

5 3. Clcule l integrl definid de f() = en [,] usndo sums de Riemnn. (Sugerenci: elij c i = i i, y use l identidd m(m+) = m m+ ) 3. Demuestre usndo sums de Riemnn que b 3 = 4 b4 3. Clcule l integrl definid de g() = 3 en [,] (Sugerenci c i = i3 n 3 y i = c i c i ) 33. Evlúe el limite ddo reconociendo primero l sum indicd como un sum de Riemnn socid un prtición regulr de [, ] y evlundo continución l integrl correspondiente n 3 ) lím n 34. Evlúe l integrl n 4 5 b) lím n n n n c) lím n i= 5 interpretándol como el áre bjo l gráfic de ciert función. 35. Encontrr ls constntes y b que mimizn el vlor 36. Geométricmente que signific r r r? 37. Empler fórmuls geométrics pr clculr 8 b i n 3 (4 ). Eplique el rzonmiento 4 si < 4 f() donde f() = si L grfic f está compuest por segmentos de rect y un semicirculo, como se muestr en l figur 3. Evlúe cd integrl definid utilizndo fórmuls geométrics ) f() c) 6 4 f() e) 6 4 f() b) 6 f() d) 4 f() f) 6 4 [f()+] Fig 3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO 39. Determine si cd un de ls siguientes fórmuls es ciert o fls, y rgumente brevemente el porqué de su respuest. + + ) = ++C b) = ++C c) + ( ) 3 = + +C 3 4. Clculr cd un de ls siguientes integrles. Dibujese l grfic en cd cso si ) f() f() = c) f(), f() = ( si < ) c c 3 si < c es un número rel fijo, < c <. b) f() f() = si < si 3 4. Encontrr l integrl indefinid si c si c < 5

6 ) b) secy(tny secy) c) cos cos 4. Supong que f() = d ( ) d ( ) y que g() = +. Encuentre: ) f() c) [ f()] e) [f()+g()] b) g() d) [ g()] f) [f() g()] 43. Hlle todos los vlores c pr los cules c ( ) = 44. Hllr un polinomio cudrático pr el cul P() = P() = y P() = 45. Hlle un polinomio cúbico tl que P() = P( ) =, P() = 5 y 3 P() = Clcule ( ) 47. Clcule f(4) en cd uno de los csos () f(t)dt = cos(π) (b) f() t dt = cos(π) 48. Clcule f() suponiendo que f es continu y stisfce 49. Clcule f() suponiendo que f es continu y stisfce f(t)dt = (+) (+) 5. Supong que f es continu en R, tl que f(3) = 5f() y si 5. Escrib 5. Si 5 f()+ f() = y f() f() = 3,6 encuentre f(t)dt = f() como un sol integrl 4 f() f(s)ds =. Clcule 53. Se f : [ 6,6] R un función continu. Si f es impr y f() = 3, hlle ). b f(): 6 3 (f() 54. Determinr si los enuncidos es Verddero o Flso, si es flso, eplicr por qué proporcionr un ejemplo ) Si f() = 4 y f(), entonces f() = 4 =? b) Cd ntiderivd de un función polinómic de grdo n es un función polinómic de grdo n+ c) Si p() es un polinomio entonces p tiene ectmente un ntiderivd cuy grfic contiene el origen. f(s)ds 6

7 d) Si F() y G() son primitivs de f(), entonces F() = G()+C. e) f()g() = f() g(). f) ls primitivs son únics. g) Si l norm de un prtición tiende cero, entonces el numero de subintervlos tiende infinito. h) el vlor de f() debe ser positivo. 55. Evlur, si es posible, l integrl 56. Usr el TFC pr encontrr F () de ls siguientes funciones ) F() = b) F() = c) F() = d) F() = 3 + +sen t dt cos (y +4)dy (t t)dt cos(t)dt (t ) e) F() = f) F() = g) F() = sen / rdr sen(θ )dθ t dt h) F() = i) F(y) = j) F() = sen cos y y +3 t dt sen(t )dt t(5 t)dt 57. Se F() = sent f(sent)dt = 3 +sint y G() = rcsen(cos) Hlle H () si H() = 58. Si f() = g() 59. Encuentre d f() g()( ) t dt. R/ 8 3 sin g(t)dt = cos. cos dt, donde g() = [+sin(t )]dt, encuentre f (π/) +t ( sent +u4 du) dt 6. Se L un rect tngente l curv C : y = g() en el punto P(,3). Además, l rect g() L ps por el punto Q(,7) que no está en l curv C. Si f() = t +7dt, hlle f (). R/ = 6. Se f un función continu tl que 6. Un función f está definid pr todo rel por l fórmul f() = 3+ tf(t)dt = sin cos. Clcul f(π/) y f (π/). +sin(t) +t dt Hlle un polinomio cudrtico p() = + b + c tl que p() = f(), p () = f () y p () = f () 7

8 63. Dd un función g, continu pr todo, tl que g() = 5 y que f() = y clcule f () y f (). ( t) g(t)dt, demostrr que f () = g(t)dt 64. Hlle un función f y un número tl que Sin integrr, eplicr por qué 66. Si f(), b > y b ( +) = tg(t)dt f() = b +. Hlle f(). 67. Encontrr l función f() y todos los vlores de c, tl que. 68. Se G() = [ s s c f(t)dt = + f(t) t dt = g(t)dt =. Supong ] f(t)dt ds, donde f es continu pr todo t rel. Determinr G(), G (), G () G (). 69. Si f es continu y 8 7. Pruebe que y = sen+ f() = 3, encontrr π ) y = sen+sen() b) Cundo = π y = y y =. 4 f(). cos(t)dt + stisfce ls dos condiciones siguientes: 7. Clculr el áre cotd por el eje y l prábol y = 6 7. Determinr el vlor medio de f() = 3 en el intervlo [,4] 73. Encuentre el áre de ls regiones sombreds de ls figurs 6, Fig Trce l gráfic de F() = te t, R, Hllndo el dominio, ls intersecciones con el eje, los intervlos de crecimientos-decrecimiento, mínimos-máimos, puntos de infleión, concviddes, síntot. 8

9 Tller Dos Técnics de Integrción. Supong que f tiene un derivd positiv pr todos los vlores de, y que f() = Cuáles de los siguientes enuncidos son VERDADEROS pr l función Justifique sus respuests. g() = f(t)dt ) g es un función diferencible de. b) g es un función continu de. c) L gráfic de g tiene un tngente horizontl en = d) g tiene un máimo locl en = e) g tiene un mínimo locl en = f) L gráfic de g tiene un punto de infleión en = g) L gráfic dg de cruz el eje en =. Supong que f es l función diferencible Fig, y que l posición en el tiempo t (seg) de un prtícul que se mueve lo lrgo de un eje coordendo es s(t) = l gráfic pr contestr ls siguientes pregunts. Justifique sus respuests. Cuál es l velocidd de l prtícul en el tiempo t = 5? L celerción de l prtícul en el tiempo t = 5 es positiv o negtiv? Cuál es l posición de l prtícul en el tiempo t = 3? t f() metros. Use En qué momento durnte los primeros 9 segundos lcnz s su vlor máimo? Aproimdmente en qué momento l celerción es cero? Cuándo se está moviendo l prtícul hci el origen? Cuándo lo hce lejándose del origen? Fig. En qué ldo del origen está l prtícul en el tiempo t = 9? 3. Demuestre que 4. Demostrr que n = n(n ) t dt = pr todo rel rel Ayud: Inducción 5. Eprese los limites como un integrl definid sobre un intervlo decudo o el que se pide n n ) lím i ln(+ i) i en [,6] c) lím n n 3 n3 (+i/n) b) lím i= n n i= n n +i 9 d) lím i= n n i= n n+i

10 6. Integrles por sustitución INTERESANTES [ e e rctn +ln (+ ) e ] + e + e + e + + (+ ) 3 senhcosh (+senh ) 5 sen ( ) e 3 ( ) 4 + ( ) cos 3 sen +cos() 7. Clcule +sin + 8. Demuestre que + ln(ln) ln w +3 dw em dm 4+5cos m dm e +4 ln(3) ln(5) ln(+ +) + e +e dw +sin tn ( ) sin (sin+cosln) sin(8) 9+sin 4 (4) cos w(tn w+) (sinw+cosw) dw +cos(5 +4) /, R : (d) 3 ( 5 +4 ) 5 sin +C 8 secz tnz secz +tnz dz e +e lnz z 3 (lnz ) 3dz (4 3ln) 4 d(ln) e e + e tn sen() 3 (+ 3 ) sin(/) z 3 z dz e +e = 4 ( +9) = cos(θ) senθ + dθ senθ + ) b) b b f() = (b ) f(c ) = c c b f ( +(b ) ) f()

11 c) Si > entonces d) Si f es continu entonces Use esto y clcule e) Demostrr que b π dt +t = π / sen +cos f() = b dt +t f(sin) = π f(+b ) π π R(en) = 4 f) Demostrr que si f es continu en [,] entonces esto pr hllr l integrl f(sin) Ayud u = π. f() = ln(+) + R(st+en) = π 8 ln g) Si f es función pr y continu en [,], entonces h) Si f es función impr y continu en [,], entonces demostrr π/4 π/4 f() = f( ) use f() f() =. Use esto pr 9 cos+ 7 tn+sene cos +cos R(p+i) = π+ 4 INTEGRALES POR PARTES cos+sin (sen ) Ayud: lo identidd más importnte de 9 o. ( ln(+) ln( ) ) sen sencos+cos sen sec 5 e zdz (+) tn e (+ln) e rctn (+ ) 3/ cos e sin (cos 3 sen) tn m cos m dm ln 3 z e z dz cos(ln ) lnt t t dt ln(ln) ( ) ln + (cos sen) ( +)e (+) (z 5z 3)sen(z)dz zsen (z) ( z ) 3/dz sen (ln) ln( t+ +t)dt cos 3 cos sen+ (+cos) sin(( ) /4 ) (ln) e / 3 (sin+cos)( cos ) cos (e )( ) e sec e 5 e sen(4)

12 9. Si f () = f() y g () = bg(), donde y b son constntes, hllr f()g (). Clculr. Dd l función F() = f () sbiendo que f() =, f() = 3 y f () = 5 sint dt. Clcule t. Supong que pr ciert función f se sbe que Utilice integrción por prtes pr evlur F() f () = cos(), f(π/) =, f(3π/) = b 3π/ π/ f(). 3. Supong que eiste f es un función continu y invertible en [,], y que Clcule f () 4. Demuestre que pr culquier número > ln+ ln e y dy = ln f() = Supong que f tiene invers y Demuestre f () = f () f(y)dy y prtir de esto clcule cos SUSTITUCIÓN TRIGONOMETRICA 6. Clcule usndo un sustitución brt o un sustitución trigonométric +3 ) g) +9 ( ) (4 4 8) 3 b) (+ ) = e h) (9e +) 3/ c) 6+9 i) 3 d) ( +) / j) e) k) ++5 ( +)( ) f) (+ 4 ) +4 l) m) ( +) 3/ ( 5) 3/ n) 6 ñ) ( ) o) ( ) ARTIFICIOS BONITOS senh+3cosh cosh ( 6senh +senh+5 ) () Ayud: div por cosh3

13 tn + Ayud: Div por tn +. sin 3 (3)tn(3) sencos3 sin 4 ()+cos 4 () sin sen cos cos 6 cos π/ 3 sen7 ()cos sec( ) cos 3 ()sen(3) tn(t)sec 3 (t)dt tnh 4 () sec 6 (t)dt sen cot(t)+csc(t) cos 6 dt sin(t) sen 4 (3) cos 3 (3) 3e 4e 4e e 3 tn 4 7 sec + 8 sen3 cos sin()+3cos 9+4sen cos cosh (5) tn 5 () cos 3 cos 3 sen() sen(3) sin(5) cos() cos(7) (+cos(4)) 3/ sencos3 INTEGRALES FRACCIONES PARCIALES sent 4 ) cost dt +6 g) 3 +3 dm b) + m(m 69 +) 3 h) 3 + tnθdθ c) i) sec ñ) d) 3+4tn+sec () j) e) 3 k) o) m 5 f) (m +4) l) 4 p) + 7. Apliccion: Supong que l poblción P(t) (en millones) de Ruritni stisfce I ecución diferencil dp m) n) cotθ sen 7 θ + dθ +lnt t(3+lnt) dt e 4t (e t ) 3dt 4 dt = kp( P) (k constnte). Su poblción en 94 er de millones y entonces umentb rzón de millón por ño. Pronostique l poblción de este pis pr el ño Demuestre que mn = ) = π (Recuerde que tn (m) + tn (n) = π/ si 9. Integrles EMOCIONANTES ( ) ) ( +) 4 +. Integrles interesntes b) ( ) + c) 4 3 3

14 +4 ) +3 b) g) (y +) dy n c) d) +6 (3+ ) = 6 6 e) (3 ) f) Usndo un sustitución sencill encuentre un integrl ms fácil de integrr. INTEGRAL SUSTITUCIÓN SENCILLA NUEVA INTEGRAL 3 3 u =, du = z = dz = 5+ 4 (4 ) 7/ r = dr =. Use Artificios visto en clse, Euler, ruso, ect ) 3/4 + j) (cos sen) cos() b) (+ 3 k) ) + 3 c) + 4/5 l) ( ) 3+ d) (+5) m) ++ e) (+) 3/4 (+) 5/4 n) /7 + / + f) 8/7 + 5/4 ñ) ( ) + 9 g) +9 o) 3 (+ 3 ) 3 h) ( ) + p) (+ ) 3/ cos 4 i) cos q) (+ ) 3 r) s) t) u) v) w) ) y) z) (+ 3 ) 3 (+ 3 ) /4 + /3 3 3 (+ 3 ) / cossen 7 (sen +sen 4 +cos ) 3/ ( 3 +) 4/3 3. Clcule ls siguientes integrles Usndo un sustitución universl o sustitución uilir sin +3cos sin (4)+tn (4) cos +sincos+sen sin() sin sin 4 +cos 4 sin cos +tn 3 cos +sin+3cos tn sen sentn +sin sin 5sincos sen 3 cos 3 4

15 4. EJERCICIOS DE ENTRETENIMIENTO rcsin (+ 3 ) e ( ) cot+ln(sin) 6e 4 e +3 3 ( ) 3 sen e 4 e +e e e 4 rcsin rcsin m+ cos sen 5+sen() Pruebe que si f es continu, entonces t 6. Encuentre lím 3 t 4 + dt 7. Demostrr que b f()f () = cos 3 sen e ( 8) ( ) e rctn (+e rctn )(+ ) e (+) + e e 3 (+) + e e (+e ) e π/ π/3 7 cost sintdt (+ln()) ln(+ ) tn f(z)( z)dz = ( [f(b)] + [ f() ] ) ( z 8. Se f continu en el intervlo [,b] donde f() f(b ) en [,b]. ) Demuestre que b f() f()+f(b ) = b b) Utilizr el resultdo del prtdo ) pr clculr c) Utilizr el resultdo del prtdo ) pr clculr 9. Clculr f(), sbiendo que f(π) = y que π 3. Se f() un función continu sobre [,b]. supong que b b 3 ) f(t)dt dz sin() sin( )+sin() + 3 [ f()+f () ] sin() = 5 b f() =. Demuestre que f() = pr todo [,b]. 5 b ( ) zsin( πz 4 )dz / / / (f()) = y que e

16 3. Eplique l prente contrdicción sincos() = cot cos () = (Se u = cot() dv = sec ), cotcos() = cottn tn( csc ) = + sincos() quiere decir esto que =? Eplique mtemçticmente. 3. Resuelv los problems con vlor inicil pr y como un función de. ) dy = 6 4, y(4) = b) ( +) dy = + y() = 33. Recuerde que sinh = e e y que cosh = e +e usndo esto demuestre que senh() es un función impr y que cosh es un función pr cosh senh = senh = ln(+ +) pr todo tnh = ) (+ ln pr <. 34. Determine si l epresión es Fls o Verddero, Si es fls eplicr por qué o dr un ejemplo que lo demuestre ) = 4 rcsec(3 4 )+C b) 5+ = 5 rctn( 5 )+C c) = rccos( 4 )+C 6

17 Tller Tres Aplicciones de l Integrl. Regls del Trpecio y regl de Simpson ) Use () l regl del trpecio, (b) l Regl de Simpson pr proimr l integrl con el vlor especificdo de n. (Redondee sus respuests seis decimles.) ) ) 5 ln, n = + cos, n = 8 3) 4) (4 ), n = 6, n = 8 5) 3 +y 5dy, n = 6 b) Aproimr el áre de l región sombred utilizndo ) l regl de los trpecios y b) l regl de Simpson con n = 4.. Clculr el áre de ls regiones según l gráfic 7

18 3. Clcule el áre de l región S limitd por y = +, el eje y ls rects = y = R: A(S) = ln() 4. Clcule el áre de l región limitd por l prábol y = +4, el eje y ls rects = y =. R: A = 6 5. Hlle el áre de l región R limitd por ls gráfics de y =, y = 3, =, =. R: A(R) = 5 6. Hlle el áre de l región R limitd por ls gráfics de y = 4, y = ln( 3), y =. R: A(R) = e Hlle el áre de l región R limitd por ls gráfics de y = , 3y+ =, =, = 4, (Fig.) R: A(R) = Hlle el áre de l región R que se encuentr en el primer cudrnte ( ) y está limitd por ls curvs y =, y = 3, y =, y = 3. R: A(R) = ln Fig. 9. Hlle el áre de l región R, ubicd en el primer cudrnte y que está limitd por ls gráfics de y =, = 4y, +y = 6. R: A(R) = 3 (8 7 6). L región R, limitd por l curv y = 5 y el eje, es dividid en dos prtes igules por un rect que ps por el origen. Hlle l ecución de dich rect. R: y = ( 5 3 4) Fig.. Determine m de mner que l región que está por encim de y = m y debjo de l prábol y = teng áre igul 36. R: m = 4. Un prábol de eje verticl cort l curv y = 3 + en los puntos (,) y (,3). Si se sbe que ls curvs mencionds encierrn un región de áre, hlle l ecución de l prábol. R: y = 3 ++ ó y = Sombree l región R limitd por ls curvs dds y clcule su áre. y + =, y = 3t t < 3 f(t)dt, donde f(t) = R: t, t 4. L hipérbol equiláter y = 8 divide en 3 regiones l circunferenci +y = 6. Hlle el áre de cd un de ls regiones. 5. Dibuje y clcule el áre de l región cotd por ls cd un de ls curvs ) y = ; y = +. b) y = ; y = ( 3). c) = y ; y = ln(); y = ; y = d) y = 4y; y = y + e) y = 4 ; y + = ; = ; = 3 f) y = ; y = 4 g) y = 4 y = +8 h) = y : +y = 3; = 4y y = 6. Encontrr c tl que l rect y = c divide l región cotd por ls dos funciones en dos regiones de áre igul. ) y = 9, y y = b) y = 9, y y = c) y =, y = 4 = d) y = 4, = 8

19 7. Encontrr el áre de l región en el primer cudrnte, que está cotd por rrib por y = y por bjo por el eje y l rect y = 8. Determine el áre de l región R cotd por l rect y = y por l prábol y = Trce l región en el plno y definid por ls desigulddes y y y, y determine su áre.. Pr qué vlores m de l rect y = m y l curv y = definen un región? Clcule + el áre de l región. Fig.. Utilice el cálculo pr obtener l formul A = πr pr el áre de un circulo de rdio r.. Hy un rect que ps por el origen que divide l región definid por l prábol y = y el eje en dos regiones de áre igul. Cuál es l pendiente de l rect? Fig 3. En l figur se ilustr un horizontl y = c que cort l curv y = Encuentre el número c tl que ls áres de ls regiones sombreds sen igules. 4. En l figur se ilustr un curv C con l propiedd de que pr todo punto P en l mitd de l curv y =, ls áres A y B son igules. Determine un ecución de C. 5. L elipse + y =. Demostrr que el áre de l región que cot es A = πb. b 6. Sen A y B los puntos de intersección de l prábol y = y l rect y = + y se C el punto de l prbol donde l rect tngente es prlel l gráfic de y = +. Muestre que el áre del l región entre l prbol y l rect es 4 3 del áre del triángulo ABC. (Fig 3). Fig 3 7. Clcule, si eiste, el áre de l región infinit comprendid entre l curv ( )y = 3, ( > ) y su síntot verticl. A = 3π 8. DdlregióninfinitΩlimitdsuperiormentepory =,inferiormentepory +y = y l izquierd por =. Clcule su áre si eiste. A = ln( ) Fig 4 VOLUMENES DE SOLIDOS: Use culquier método. Encontrr el volumen del sólido formdo l girr l región cotd por ls gráfics de ) y =, y =, = lrededor del eje V= 5π b) y =, y =, = y = lrededor del eje y c) y = +, y = +3 lrededor de y =. d) y = y = 4, () lrededor del eje ; (b) lrededor de y = 6 e) y = 6 y = +6, () lrededor del eje (b) lrededor de y = 3. Un fbricnte tldr un esfer de metl de 5 pulgds de rdio. El orificio tiene un rdio de 3 pulgds. Cuál es el volumen del objeto de metl resultnte? 9

20 3. Supong que l bse de un sólido es l región cotd por ls rects f() =, g() = + y = ; y cundo hcemos secciones trnsversles perpendiculres l eje y son triángulos equiláteros. Con est informción Clcule el Volumen de dicho solido. 4. Demostrr que el volumen de un pirámide con un bse cudrd es V = 3hB, donde h es l ltur de l pirámide y B es el áre de l bse. 5. Encontrr el volumen del sólido generdo por l región cotd por y = 3 +, y =, = = 3 l cul gir lrededor de l rect y = L región limitd por l circunferenci (+) +(y ) = gir lrededor de l rect = 3. Clcule el volumen del sólido generdo (toro de revolución). V=π 7. Encontrr el volumen del sólido generdo por l región cotd (y ) = 4, y = l girr lrededor de ls rects dds. El eje l rect y = 5 El eje y l rect = 5 8. Encontrr el volumen del sólido generdo l girr cd región pln lrededor del eje y. (ddo el cso proime los puntos de intersección) 9. Determine el volumen común dos cilindros circulres, mbos de rdio r, si los ejes de los cilindros se cortn en ángulos rectos ver fig.. Clcule el volumen común dos esfers, cd un de rdio r, si el centro de cd esfer está en l superficie de l otr esfer. Se f : [, ) R un función continu tl que f() >, >. Pr todo >, el volumen del sólido generdo por l rotción de l región limitd por ls gráfics de y = f(), =, = y el eje, lrededor del eje es: V = Determine f(). R : f() = π +4.. Clcule el volumen de l región infint R comprendid entre l curv y = ( R) y su síntot y el eje de rotción es su síntot. V = 3π 6 4t (t +) 3dt,

21 3. Se cort un cuñ curv de un cilindro con rdio 3 en dos plnos. Uno de los plnos es perpendiculr l eje del cilindro; el otro cruz l primero formndo un ángulo de 45 en el centro del cilindro ver figur. Determinr el volumen de l cuñ. 4. Cd un de ls integrles represent el volumen de un sólido de revolución. Identificr ) l región pln que se gir y b) el eje de revolución. ) π b) π c) π d) π 6 3 y y 3/ dy (y +) 6 ydy (4 )e e) π f) π g) π h) π 5 4 ( ) y[5 (y +]dy ( ) [6 (y) ]dy 5. Volumen de un csquete de un esfer Se un esfer de rdio r que se cort por un plno, formndo un csquete esférico de ltur h. Mostrr que el volumen de este segmento es 3 πh (3r h). 6. Clcule el volumen de un tronco de un cono circulr recto cuy ltur es h, bse inferior de rdio R, y rdio de l prte superior r. 7. Sen V y V los volúmenes de los sólidos que resultn cundo l región pln limitd por y =, y =, = 4, y = c (c > ) se gir lrededor del eje y el eje y, respectivmente. 4 Encontrr el vlor de c pr el cul V = V. 8. Considerr l gráfic y = (4 ) (ver l figur ). Encontrr los volúmenes de los sólidos que se genern cundo l espir de est gráfic se gir lrededor ) del eje, b) del eje y y c) l rect = 4. Fig Fig 9. L bse de un sólido es l región limitd por l esfer +y =. Hlle el volumen del sólido S si ls secciones trnsversles perpendiculres l eje son: ) Ls secciones trnsversles son discos circulres con diámetros en el plno y. b) Ls secciones trnsversles son cudrdos con bse en el plno y. c) Ls secciones trnsversles son cudrdos con digonles en el plno y.. d) Ls secciones trnsversles son triángulos equiláteros con bses en el plno y.. El sólido se encuentr entre los plnos = y = 4 y ls prábols y = y y = ) Ls secciones trnsversles son discos circulres con diámetros en el plno y. b) Ls secciones trnsversles son cudrdos con bses en el plno y.

22 c) Ls secciones trnsversles son cudrdos con digonles en el plno y. d) Ls secciones trnsversles son triángulos equiláteros con bses en el plno y.. L región limitd por l elipse + y b = con < b < gir lrededor de su eje myor. Clcule el volumen del sólido generdo. V = 4 3 b π. L regiones que se muestr continución se hce girr lrededor del eje pr generr un sólido. Cuál de los métodos (el de discos, el de rndels, o el de csquillos) podrí utilizrse pr determinr el volumen del sólido? Cuánts integrles son necesris en cd cso? Eplique. 3. L región infinit comprendid entre l curv + y y = y su síntot verticl gir lrededor de su síntot verticl. Clcule, si eiste, el volumen del sólido. V = π 4. Determine el volumen del sólido de revolución generdo l rotr lrededor del eje l re gión infinit comprendid entre l rect y = y l curv y = 3 V = 3π 5. Clcule el volumen del sólido de revolución que se obtiene l girr lrededor de l rect = l región limitd por ls gráfics de y = 3, y + =, =, 4 =, V = L región infinit comprendid entre l gráfic de y = (3 ), ( > ) y su síntot verticl = gir lrededor del eje y. Clcule el volumen del sólido generdo. V = 9 π