UNIDAD 1. Potencias y raíces

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1 Matemática UNIDAD 1. Potecias y raíces 2 Medio E esta Uidad se profudiza los coocimietos acerca de potecias y raíces. Luego de u repaso de las pricipales ideas relativas a las potecias de expoete atural y etero, se estudia la raíz cuadrada como u primer ejemplo de raíz eésima. E relació co la raíz cuadrada, se itroduce y aaliza la defiició e su relació co las potecias de expoete 2, se subraya la ecesidad de que la catidad subradical sea positiva, se preseta alguas alterativas para el cálculo de raíz cuadrada, co uso de ua calculadora o mediate aproximacioes sucesivas, se preseta alguas aplicacioes extraídas de cotextos geométricos o de ciecias y se discute los casos e que la raíz cuadrada de u úmero atural es u úmero atural o u úmero irracioal. Luego, como geeralizació de la raíz cuadrada, se preseta la raíz eésima y su iterpretació e relació co las potecias de expoete atural. Sobre la base de la defiició y de lo que los estudiates ya sabe acerca de las potecias, se aaliza alguas de sus propiedades. E especial, se mecioa los casos e que la raíz es u úmero irracioal y los casos e que la raíz o tiee solució e el cojuto de los reales, y se preseta y demuestra procedimietos de multiplicació y divisió de raíces de igual ídice. Por último, la Uidad expoe ua iterpretació para las potecias de expoete racioal ampliado el rago de existecia de potecias que hasta ahora se limitaba a potecias de expoete atural y etero. Coteidos Apredizajes esperados Actividades sugeridas Revisió de coocimietos acerca de las potecias Iterpreta potecias de base racioal y expoete etero. Se sugiere trabajar las siguietes guías: Guía º 1 (Las potecias) Raíces Iterpreta la raíz cuadrada de u úmero y aplica el cocepto e diversos cotextos. Recooce el carácter irracioal de alguas raíces. Iterpreta la raíz eésima de u úmero y cooce alguas de sus propiedades. Establece relacioes etre las raíces y las potecias de expoete racioal. Guía º 2 (La raíz cuadrada) Guía º 3 (La raíz eésima de u úmero) Guía º 4 (Potecias de expoete atural) 1

2 GUÍA N 1 LAS POTENCIAS Potecias de expoete atural E la Educació Básica coocimos las potecias, empezado por las potecias cuyo expoete es u úmero atural. Si el expoete es mayor que 1, la potecia a correspode a ua multiplicació de factores iguales e que la base de la potecia idica el factor que se repite y el expoete idica la catidad de veces que ese factor aparece. Así: 3 2 = 3 3 0,8 4 = 0,8 0,8 0,8 0,8 (1/4) 3 = (1/4) (1/4) (1/4) Y e geeral: a = a a a ( veces) e que es u úmero atural y a es u úmero racioal. E especial, se cosidera que a 1 = a. Si el expoete de la potecia es u úmero atural, se puede demostrar que el producto de dos potecias de igual base es ua potecia co la misma base y cuyo expoete es la suma de los expoetes de los factores. Y el cuociete de dos potecias de igual base (distita de 0) es ua potecia co la misma base y cuyo expoete es la diferecia etre el expoete del dividedo y el expoete del divisor. E leguaje algebraico: a a m = a ( + m) a : a m ( - m) = a Por su parte, el producto de dos potecias de igual expoete es ua potecia cuya base es el producto de las bases de los factores y cuyo expoete es el mismo de los factores. Y el cuociete de dos potecias de igual expoete es ua potecia cuya base es el cuociete etre la base del dividedo y la base del divisor y cuyo expoete es el mismo del dividedo y del divisor. Por supuesto, la base del divisor debe ser distita de 0. E leguaje algebraico: a b = ab a : b = (a/b) Para que el expoete del cuociete sea u úmero atural, el expoete del dividedo debe ser mayor que el del divisor. Tambié podemos deducir ua relació para ua potecia elevada a potecia. (a ) m = a a a a (m veces) = a m Es decir, para elevar ua potecia a potecia, coservamos la base y multiplicamos los expoetes. 2

3 ACTIVIDADES 1. (a) Ecuetra metalmete, por escrito o co calculadora el valor umérico de cada ua de las siguietes potecias ,2 3 0,01 3 0,5 2 (1/3) 2 2. (a) Ecuetra el valor umérico de (-1) para = 1, 2, 3, 4, 5. (b) Qué se puede decir acerca del sigo del valor umérico de ua potecia si la base es egativa? 3. (a) Expresa como potecia de expoete 2 los siguietes úmeros (b) Expresa como potecia de expoete 3 los siguietes úmeros (a) Muestra que 1 = 1 para todo úmero atural distito de 0. (b) Muestra que 0 = 0 para todo úmero atural distito de 0. (c) Es lo mismo a b que b a? Explica tu respuesta. (d) Es lo mismo (a b ) c que a (b c )? Explica tu respuesta. 5. (a) Alicia afirma que = 2 4. Tiee razó? Explica tu respuesta. (b) Jorge afirma que a 2 a 3 b 5 = (ab) 5. Tiee razó? Explica tu respuesta. 6. Efectúa las siguietes operacioes y simplifica el resultado. (x 2 y/z 3 ) (xz 2 /y 3 ) x(xy) 2 : 1/y 3 3

4 Potecias de expoete etero La defiició de potecia de expoete atural puede extederse fácilmete a las potecias de expoete etero bajo la codició que los procedimietos de multiplicació y divisió de potecias siga siedo válidos. Cosideremos, e primer lugar, ua divisió de ua potecia de expoete atural por sí misma. a : a co a distito de 0 Por ua parte, sabemos que si se divide u úmero por sí mismo el resultado siempre es 1. a : a = 1 Por otra parte, si aplicamos la regla de divisió de potecias de igual base, tedremos: a : a = a ( ) = a 0 De modo que si o queremos que haya cotradiccioes co las operacioes co potecias de base atural, tedremos que establecer que para cualquier úmero a distito de 0 se cumple que: a 0 = 1 co a distito de 0 Cosideremos ahora la divisió 1/a e que a es u úmero racioal distito de 0 y es u úmero atural distito de 0. Acabamos de ver que cualquier potecia de expoete 0 es igual a 1, de modo que podemos reemplazar el 1 por la potecia a 0. 1/a = a 0 : a Y si aplicamos la regla de divisió de potecias de igual base, tedremos: 1/a = a 0 : a = a (0 ) = a - Como es u úmero atural distito de 0, - debe ser u etero egativo. Ua vez más, si o queremos que haya cotradiccioes co las operacioes co potecias de base atural, tedremos que establecer que ua potecia a - cuyo expoete es u etero egativo es igual al iverso multiplicativo de a. Es decir: a - = 1/a E resume, teemos las siguietes relacioes, e que a es u úmero racioal y es u úmero atural distito de 0. a = a a a ( veces) a 1 = a. a 0 = 1 a - = 1/a 4

5 ACTIVIDADES 1. Qué iterpretació darías a las siguietes potecias? 2-3 0,5-2 (1/3) -4 (-1) -1 (-0,1) Escribe el valor umérico de las siguietes potecias de Qué características tiee todas las potecias de 10 de expoete etero egativo? 5

6 GUÍA N 2 LA RAÍZ CUADRADA La raíz cuadrada de u úmero positivo Aplicado la defiició de potecias para los distitos casos podemos determiar el valor de cualquier potecia si coocemos su base y su expoete. Es decir, e ua ecuació del tipo: a = x ecotramos el valor de x formado el producto de veces el factor a. Para el caso que = 2, el valor de x será igual al cuadrado de a. Supogamos que se cooce el valor umérico de la potecia a 2, pero o se cooce su base. Es decir, se tiee ua ecuació del tipo: x 2 = b E este caso, se trata de ecotrar u úmero x cuyo cuadrado sea igual al valor coocido b. Esta ecuació tiee 2 solucioes, e que ua de ellas es el iverso aditivo de la otra. Por ejemplo, la ecuació x 2 = 25 tiee como solucioes x 1 = 5 y x 2 = -5. Ahora podemos defiir la raíz cuadrada de u úmero positivo b como el úmero positivo cuyo cuadrado es b. Para desigar la raíz cuadrada de b se emplea el símbolo: x = b Es ecesario subrayar que b debe ser u úmero positivo, pues o existe igú úmero real cuyo cuadrado sea egativo. Y, como acabamos de decir, de las dos solucioes de la ecuació x 2 = b, la raíz cuadrada de b es la solució positiva. 6

7 ACTIVIDADES 1. Co ayuda de ua calculadora, Ferado ha determiado que el cuadrado de 286 es (a) Es posible co esta iformació saber cuáto es la raíz cuadrada de 286? Explica tu respuesta. (b) Es posible saber cuáto es la raíz cuadrada de ? Explica tu respuesta. (c) Además del úmero 286, qué otro úmero elevado al cuadrado es igual a ? 2. Ecuetra el úmero cuya raíz cuadrada es 50. Explica tu respuesta. 3. Supogamos que se sabe que p = q 2, e que p es u úmero atural. Cuál o cuáles de las siguietes relacioes so ecesariamete verdaderas? p = q q = p p > 0 (-q) 2 = p 7

8 Cálculo de raíces cuadradas Tú cooces procedimietos de cálculo para el caso de la adició, la sustracció, la multiplicació y la divisió. El procedimieto de cálculo de potecias es tambié relativamete simple. E relació co el cálculo de la raíz cuadrada, la situació o es ta secilla. Felizmete la tecología viee e uestra ayuda. Muchas calculadoras tiee ua tecla especial para el cálculo de raíz cuadrada. Asimismo, e el computador las plaillas de cálculo tambié permite la determiació directa de raíces cuadradas. E tales casos, el problema estaría resuelto. Pero supogamos que o dispoemos de u computador y uestra calculadora o tiee posibilidad de cálculo de raíz cuadrada. Aú así la batalla o está perdida. Veamos qué se puede hacer. Existe u procedimieto de cálculo escrito de raíz cuadrada. Es bastate complicado y o se justifica tratar de aprederlo. E todo caso, si tiees iterés puedes ecotrar umerosos sitios e iteret e que se explica procedimietos. Por ejemplo, puedes ir al sitio de Wikipedia ( E las actividades que sigue se aaliza alguas alterativas más secillas. ACTIVIDADES 1. Si ecesitamos ecotrar la raíz cuadrada de u úmero que es u cuadrado perfecto, la situació se puede resolver fácilmete. (a) Ecuetra metalmete la raíz cuadrada de los siguietes úmeros (b) Cómo podemos ecotrar la raíz cuadrada de ua potecia de 10 de expoete par? 2. (a) Carla piesa así: El úmero 12 está etre 9 y 16. Por lo tato, su raíz cuadrada debería estar etre 3 y 4. Tiee razó? (b) Etre qué úmeros aturales debe estar la raíz cuadrada de 40? (c) Etre qué úmeros aturales debe estar la raíz cuadrada de 90? 3. Si el resultado o es evidete a simple vista, podemos ir aproximádoos paulatiamete co ayuda de ua calculadora. (a) Supogamos que queremos determiar la raíz cuadrada de 580. Este úmero está etre 10 2 y Por lo tato su raíz cuadrada debe estar etre 10 y 100. Explica cómo se llega a esta coclusió. (b) Determia metalmete el cuadrado de 50. De acuerdo co el resultado, la raíz de 580 es mayor o meor que 50? 8

9 (c) (c) Ya sabemos que la raíz de 580 está etre 10 y 50. Determia metalmete el cuadrado de 20. De acuerdo co el resultado, la raíz de 580 es mayor o meor que 20? Ya sabemos que la raíz de 580 está etre 20 y 50. Probemos ahora co el cuadrado de 30. Qué podemos cocluir acerca de la raíz de 580? (d) Ya estamos cerca. Co ayuda de ua calculadora ada delimitado cada vez más el itervalo e el que debe estar la raíz de 580 hasta ecotrar el úmero atural más cercao. (e) Por supuesto, si lo deseas, puedes cotiuar la búsqueda agregado cifras decimales al resultado. 4. Fracisco afirma que la raíz cuadrada de 2 está etre 1,41 y 1,42. Cómo podríamos saber si tiee razó? 9

10 Raíz cuadrada e diferetes cotextos La raíz cuadrada suele aparecer e cotextos geométricos y e varios campos de las ciecias. A cotiuació se mecioa alguos ejemplos. ACTIVIDADES 1. Sabemos que el área de u cuadrado es igual al cuadrado de la logitud de su lados. Si llamamos S a área y a a la logitud de lado, podemos escribir: S = a 2 De acuerdo co esto, tedremos: a = S (a) Ua hectárea equivale a m 2. Cuáto debería medir cada lado de ua parcela de forma cuadrada para que su superficie sea de ua hectárea? (b) Aproximadamete cuáto debería medir cada lado de ua parcela de forma cuadrada para que su superficie sea de media hectárea? 2. De acuerdo co el teorema de Pitágoras, e todo triágulo rectágulo se cumple que el cuadrado de la hipoteusa debe ser igual a la suma de los cuadrados de sus catetos. (a) Aplica este teorema para determiar la logitud aproximada de la diagoal de u cuadrado que mide 10 cm de lado. (b) Explica co ayuda de u ejemplo cómo se podría calcular la logitud de u cateto de u triágulo rectágulo si se coociera la logitud de su hipoteusa y la del otro cateto. 3. Si se deja caer u objeto, la altura h desde la cual cae y el tiempo t que demora e llegar al suelo está relacioados mediate la ecuació: h = gt 2 /2 Esta ecuació es válida si el roce del aire es despreciable y e ella g represeta la aceleració de gravedad. Si la distacia se mide e metros y el tiempo e segudos, g tiee u valor muy cercao a 10 m/s 2. Co ayuda de esta ecuació, determia cuáto demora e llegar al suelo ua moeda que se suelta desde ua altura de 1 m. 10

11 Carácter irracioal de alguas raíces cuadradas Ya hemos dicho que la raíz cuadrada de u úmero egativo o tiee solució e el cojuto de los reales pues o hay igú úmero real cuyo cuadrado sea egativo. Pero aú la raíz cuadrada de u úmero positivo tiee limitacioes e el cojuto de los úmeros racioales. Cosideremos, a modo de ejemplo, la raíz cuadrada de u úmero atural. El caso más simple se da si es u cuadrado perfecto. Es decir, si existe u úmero atural p tal que p 2 =. E estas codicioes, tedremos simplemete que: = p Pero si es u úmero atural pero o es u cuadrado perfecto, etoces la raíz cuadrada de será u úmero irracioal. El siguiete razoamieto demuestra esta afirmació. Supogamos que la raíz de es u úmero racioal q. Si q es racioal, etoces se puede expresar como el cuociete de dos úmeros aturales a y b: q = Supodremos que la fracció a/b es ua fracció irreductible, es decir, se ha simplificado tato como sea posible de modo que o es posible seguir simplificádola porque los úmeros aturales a y b o tiee igú factor e comú. Ahora bie, para que q sea la raíz cuadrada de, debe cumplirse que: Es decir, q 2 = a ( ) 2 = b Y aplicado la regla de elevació a potecia de u cuociete, tedremos: a 2 b 2 a b = Si la fracció a/b es ua fracció irreductible, la fracció a 2 /b 2 tambié lo es, pues al elevar a y b al cuadrado o aparece uevos factores que pudiera permitir ua simplificació. Pero cualquier úmero atural puede escribirse como ua fracció de deomiador 1. De modo que: a 2 b 2 = 1 Aalicemos este resultado. Esta ecuació os dice que las fraccioes a 2 /b 2 y /1 so iguales. Pero tambié sabemos que ambas fraccioes so irreductibles, de modo que ua o puede ser ua amplificació de la otra. Eso deja ua sola posibilidad: ambas fraccioes so exactamete iguales, o sea, sus umeradores so iguales etre sí y sus deomiadores so iguales etre sí. 11

12 Por lo tato, podemos afirmar que: b 2 = 1 (y por lo tato, b = 1) a 2 = Veamos qué os dice esta última igualdad. Recordemos que a y so úmeros aturales. Si es u cuadrado perfecto, etoces: = a Pero si o es u cuadrado perfecto, etoces o hay igú úmero atural a que cumpla co la codició a 2 =, y todo uestro razoamieto queda ivalidado. Esto os obliga a desechar la suposició iicial de que la raíz cuadrada de es u úmero racioal. De modo que o hemos ecotrado la raíz cuadrada de, pero hemos llegado a ua coclusió muy iteresate: Si el úmero atural es u cuadrado perfecto, etoces su raíz cuadrada es tambié u úmero atural. Pero si o es u cuadrado perfecto, etoces su raíz cuadrada es u úmero irracioal. ACTIVIDADES 1. Repite para el caso que = 64 el razoamieto que acabamos de hacer. 2. Repite para el caso que = 2 el razoamieto que acabamos de hacer. 3. El úmero 10 o es u cuadrado perfecto. Por lo tato, de acuerdo co lo que heos visto, su raíz cuadrada debe ser u úmero irracioal. (a) Qué sigifica que la raíz cuadrada de 10 sea u úmero irracioal? (b) U sitio de iteret afirma que la raíz cuadrada de 10 es 3,162. Co ayuda de ua calculadora ecuetra el cuadrado de ese úmero. Qué opias acerca del resultado obteido? 12

13 GUÍA N 3 LA RAÍZ ENÉSIMA DE UN NÚMERO Iterpretació de la raíz eésima de u úmero A lo largo de esta guía solo trabajaremos co úmeros detro del cojuto de los reales positivos. Hemos hablado acerca de la raíz cuadrada de u úmero. Como vimos, si a es u úmero positivo, llamamos raíz cuadrada de a al úmero positivo x que cumple la codició x 2 = a. E este setido, la operació de extracció de raíz es ua operació iversa a la operació de elevació a potecia. Las 2 igualdades que sigue so equivaletes para el caso que tato p como q sea positivos. So dos formas de expresar la relació que existe etre los úmeros p y q. p = q 2 q = p La raíz cuadrada está relacioada directamete co las potecias de expoete 2. Esta o es la úica posibilidad. Tambié podemos defiir raíces asociadas a potecias de otros expoetes. Así, ua potecia de expoete se asocia a la raíz eésima e la siguiete forma. p = q q = p co q 0 Es decir, la raíz eésima de u úmero p es el úmero positivo q que elevado a es igual a p. De aquí se desprede u par de relacioes que o coviee olvidar: p = p p = p co p 0 E el símbolo que represeta ua raíz distiguimos el ídice y la catidad subradical, tal como muestra el siguiete diagrama. ídice p catidad subradical E el caso de la raíz cuadrada se suele omitir el ídice. Es decir, si e ua raíz o se idica el ídice se subetiede que se trata de ua raíz cuadrada. La raíz de ídice 3 se suele llamar raíz cúbica, la de ídice 4 se suele llamar raíz cuarta, la de ídice 5 se suela llamar raíz quita, y así sucesivamete. 13

14 ACTIVIDADES 1. Mirta afirma que la raíz cuarta de 625 es 5. Cómo podrías saber si tiee razó? 2. Cómo podríamos ecotrar el úmero cuya raíz quita es 2? 3. (a) Reescribe cada ua de las siguietes relacioes utilizado el leguaje de raíces. 3 5 = 243 x 3 = 216 a b = c (b) Reescribe cada ua de las siguietes relacioes utilizado el leguaje de potecias = 11 y = Más arriba se afirma que so válidas las siguiees relacioes: p = p p = p co p 0 Qué argumetos darías tú para mostrar que efectivamete so verdaderas? 5. Se podría afirma que 1 para cualquier úmero atural distito de 0? 14

15 Propiedades de las raíces Daremos u rápido vistazo a alguas propiedades de las raíces. 1) Existecia de solucioes racioales para las raíces Muchas de las raíces o tiee solució e el cojuto de los racioales. Ya habíamos visto, por ejemplo, que las raíces cuadradas de u úmero atural solo tiee solució racioal si la catidad subradical es u cuadrado perfecto. E caso cotrario, la solució será irracioal. Esto o solo es válido para la raíz cuadrada de úmeros aturales. Ua raíz eésima de u úmero atural tiee solució atural si la catidad subradical es ua potecia eésima exacta. Si o se cumple esa codició, el valor umérico de la raíz será u úmero irracioal. E geeral, es mucho más frecuete ecotrar raíces irracioales que raíces racioales. 2) Existecia de solucioes reales para las raíces Si la catidad subradical es egativa, o hay solució real para raíces de ídice par, ya que o existe igú úmero real, positivo o egativo que elevado a u expoete par sea egativo. Si embargo, si el ídice es impar, la raíz tiee solucioes reales y estas tiee el mismo sigo que la catidad subradical. Esto es cosecuecia de que ua potecia impar de u úmero egativo es tambié egativo. 3) Producto y cuociete de raíces de igual ídice Podemos multiplicar y dividir raíces de igual ídice. Se cumple e estos casos las relacioes: a a b = ab = b a b La demostració es simple y se basa e la propia defiició de raíz eésima y e los procedimietos de multiplicació y divisió de potecias de igual expoete. Daremos aquí la demostració para el caso de multiplicació de raíces de igual ídice. Desigemos por x e y las raíces que se va a multiplicar: a = x Por lo tato, tedremos: b = y a b = xy a = x b = y Formemos el producto ab: ab = x y = (xy) 15

16 De modo que teemos que: ab = (xy) Y aplicado la defiició de raíz eésima, tedremos que: xy = ab Pero sabíamos que: xy = a b Por lo tato: a b = ab 4) Elevació a potecia de ua raíz Para elevar a potecia ua raíz basta elevar a potecia la catidad subradical, como queda claro co la siguiete demostració. Si p es u úmero atural, se tiee que: ( a ) p = a a a (p veces) Y aplicado la regla de multiplicació de raíces, tedremos: ( a ) p = a a a (p veces) Pero a a a (p veces) = a p Por lo tato, teemos fialmete ( a ) p = a p 16

17 ACTIVIDADES 1. Cuál o cuáles de las siguietes raíces tiee solució racioal? (a) Qué sigo tedrá el valor umérico de cada ua de estas potecias si x es u úmero positivo? x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 (b) Y si x es u úmero egativo? 3. (a) Cuál o cuáles de las siguietes raíces o tiee solució e el cojuto de los úmeros reales si a es u úmero positivo? a a a a (b) Y si a es u úmero egativo? 4. Tato la raíz cuadrada de 2 como la raíz cuadrada de 8 so irracioales. Pero qué sucede co el producto de estas dos raíces? Explica tu respuesta. 5. Demuestra que: 8 = 2 2 Puedes basarte e el procedimieto de multiplicació de raíces de igual ídice y e el hecho que 8 = (a) Tomado como ejemplo la demostració dada para la multiplicació de raíces de igual ídice, demuestra que para la divisió de raíces de igual ídice se cumple la relació a b = a b (b) Propó alguos ejemplos que ilustre esta relació. 7. Demuestra que: ( 5 ) 3 =

18 GUÍA N 4 POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL E busca de ua iterpretació E uestros estudios acerca de las potecias e años ateriores hemos dado iterpretacioes bie defiidas para las potecias de expoete atural y para las potecias de expoete etero. Ya sabemos que si p es u úmero atural mayor que 1, etoces se cumple que: a p = a a a a (p veces) Además sabemos que a 1 = a y que a 0 = 1. Estas relacioes vale para cualquier úmero atural, etero o racioal a. La úica excepció es la potecia a 0 que o está defiida para a = 0. Si p es u úmero etero, etoces a -p es el iverso multiplicativo de a p. Es decir, a -p = 1/a p Tambié esta relació vale para cualquier úmero atural, etero o racioal a. Y uevamete la úica excepció es el caso e que tato a como p vale simultáeamete 0. Ahora estamos e codicioes de seguir ampliado la defiició de potecia para abarcar los casos e que el expoete es u úmero racioal, es decir, potecias del tipo a p/q, e que p y q so úmeros eteros. Cosideremos, e primer lugar, la potecia a 1/q. Si desigamos esta potecia por x, tedremos: a 1/q = x Si elevamos a la potecia q, teemos: (a 1/q ) q = x q Pero (a 1/q ) q = a 1 = a Por lo tato, Es decir, x q = a q x = a Teemos, fialmete: a 1/q q = a 18

19 O sea, ua potecia del tipo a 1/q tiee ua iterpretació muy simple e térmios de raíz eésima. Y para obteer ua iterpretació para las potecias del tipo a p/q basta elevar a potecia p ambos lados de esta última igualdad. (a 1/q ) p q = ( a ) p Y aplicado lo que coocemos acerca de la elevació a potecia de ua potecia o de ua raíz, tedremos: a p/q q = a p ACTIVIDADES 1. Determia el valor umérico de las siguietes potecias. 27 1/3 27 2/3 16 3/4 25 3/2 2. Si a 3 = x, cuál o cuáles de las siguiees igualdades so verdaderas? 3 3 a = x x = a x 2 = a 6 x 1/3 = a x 2/3 = a 2 x 3/2 = a 3 3. Ecuetra la expresió más simple para cada ua de las siguetes expresioes. 5 p 1/3 p 2/3 p 10 p p 4. Resuelve las siguietes multiplicacioes y divisioes. (Tal vez te covega expresar las raíces e forma de potecias de expoete racioal) z z z : z z z 2 4 z 3 19