Había bastante tráfico en la autovía. Es una velocidad media bastante baja. - La velocidad media entre la primera hora y la segunda hora ha sido de:

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1 66 Mtemátics I. Bcillerto de Ciencis. Cpítulo 8: Derivds LirosMreVerde.tk CAPÍTULO 8: DERIVADAS. CONCEPTO DE DERIVADA.. Ts de vrición medi de un unción Actividdes de introducción Un vije Jore y Adel n ido de vije desde Mdrid ci Alicnte. Hn slido ls ors. Llevn un prto que les dice en todo momento cuánto tiempo llevn vijndo desde que slieron y los kilómetros que llevn recorridos. Por eso sen que l or de er slido de cs sólo n recorrido 4 kilómetros y que ls ors n recorrido 5 6 kilómetros. Hn representdo ráicmente l unción tiempo en ors distnci recorrid en km. Los trmos OA, AB, CD y DE los n representdo con sementos, y los trmos BC y EF con práols. Qué distnci n recorrido en totl? Cuánto n trddo? Cuál sido l velocidd medi del coce durnte el vije? Hn prdo en lún momento? En cuál o en cuáles? Cuánto considers que trdron en slir de Mdrid ci l utoví? Cuál sido l velocidd medi entre l primer medi or y un or? Crees que í muco tráico en l utoví? Cuál sido l velocidd medi entre l primer or y l seund or? Cuál sido l velocidd medi entre los instntes 5 y ors? Cuál sido l velocidd medi entre los instntes y 5 ors? En utoví l velocidd máim permitid es de 0 km/, crees que en lún momento se sorepsdo? Puedes estr seuro? En l ráic podemos ver que se n recorrido unos 450 km. Hn sido ectmente 446 km. Hn trddo 5 ors. - L velocidd medi entre los instntes t y t viene t t dd por el cociente: t t lueo l velocidd medi del vije sido de: ' 0 89'4 km/ Hn ido muy despcio l principio del vije. Quizás estn todví en Mdrid y prn en los semáoros o í tscos. Trdron un medi or en slir de Mdrid. Posteriormente y un prd lr de medi or ls dos ors de vije. Quizás prron comer. - L velocidd medi entre l primer medi or y un or sido de: 0' km/. 0'5 0'5 Hí stnte tráico en l utoví. Es un velocidd medi stnte j. - L velocidd medi entre l primer or y l seund or sido de: 5'6 4 0'6 km/. '5 08'6 5'6 - L velocidd medi entre los instntes 5 y sido de: 0 km/. '5 0' ' 08'6 - L velocidd medi entre los instntes y 5 ors sido de: 8' 8 km/. 5 Por el cálculo que emos eco de velociddes medis oservmos que n estdo cerc de l velocidd máim permitid, pero no podemos seurr que se y sorepsdo, ni tmpoco que no. Pr responder est preunt deeremos ser más. Ts de vrición Se deine l ts de vrición de un unción entre los vlores y como: TV, = Ts de vrición medi Se deine l ts de vrición medi de un unción entre los vlores y como: TVM, = L ts de vrición medi determin l velocidd medi, si l unción es un unción espcio tiempo, y determin l Revisor: Mrí Molero y Emilio Díz Ilustrciones: Bnco de Imáenes de INTEF

2 67 pendiente o coeiciente nulr de l rect secnte que ps por los puntos, y,. Actividdes resuelts L pendiente o coeiciente nulr de l rect secnte de y = ² + en el intervlo [, ] es: En eecto, l rect que ps por los puntos, 4 y, 8 tiene de ecución: y = 7, y su coeiciente nulr es 7. L pendiente o coeiciente nulr de l rect secnte de y = ² + en el intervlo 0 0 [, 0] es:. 0 En eecto, l rect que ps por los puntos, y 0, 0 tiene de ecución: y =, y su coeiciente nulr es. L ts de vrición medi de un unción en el intervlo, coincide con l pendiente de l rect secnte l ráic de l unción que ps por los puntos, y,. L velocidd medi de un coce que trd 5 ors en recorrer 550 km es 550/5 = 0 km/. L ts de vrición medi de un unción espcio tiempo en el intervlo, nos proporcion l velocidd medi entre el tiempo y el tiempo. L ts de vrición medi de un unción velocidd tiempo nos proporcion l celerción medi. Actividdes propuests. Hll l ts de vrición medi en los intervlos [, ], [, 5] y [0, ] de ls unciones siuientes: y = 4 y = c y = d y = A l vist de lo que s otenido, crees que l ts de vrición medi de ls unciones polinómics de primer rdo es siempre constnte e iul l pendiente de l rect que l represent?. Hll l ts de vrición medi de l unción y = en los intervlos [, ], [, 5] y [0, ]. Es or constnte?. Hll l ts de vrición medi de l unción y = + en los intervlos [, ], [, 5] y [0, ]. Hrás comprodo que en los dos últimos ejercicios l ts de vrición medi no es constnte. 4. Al cer un estudio sore el terrizje de viones se r un películ desde el momento en que el vión toc tierr st que se pr, y se miden los tiempos y ls distncis recorrids: Tiempo t en seundos Distnci d en metros Clcul l velocidd medi del vión. Clcul l velocidd medi en los intervlos: [0, 6], [, 0] y [6, 4]. c Es constnte? 5. Se estudi l posición de un coce respecto de l slid de un túnel y se otienen los dtos siuientes: Tiempo seundos Distnci metros Clcul l velocidd medi del coce en el intervlo [0, 40]. Clcul l velocidd medi en los intervlos [5, 5] y [0, 0]. Es contnte? c Si l velocidd máim permitid es de 0 km/, considers que podido sorepsrl en lún momento? Y si l velocidd máim uese de 80 km/? 6. El tren AVE sle de l estción y ument su velocidd st ller 50 km/ en 0 minutos, mntiene entonces es velocidd constnte durnte or y medi, y comienz disminuirl st prrse en otros 0 minutos. Represent en un ráic l unción tiempo - velocidd. Y ses que l celerción nos indic l vrición de velocidd. Indic l celerción medi en los primeros 0 minutos. c Indic l celerción medi entre el minuto 0 y el minuto 90. d Determin l celerción en los últimos 0 minutos. 7. Al lnzr un ojeto verticlmente ci rri l ltur en metros y, que lcnz los seundos viene dd por l unción: y = 40 5². Escrie un tl de vlores y diuj l ráic de l unción. Tiene sentido pr vlores de menores que 0? Y myores 8? Clcul l velocidd medi del ojeto en los intervlos siuiente: [0, ], [0, 8], [, 4], [4, 8] y [, 8]. c Cuál es l ltur máim lcnzd por el ojeto? Mtemátics I. Bcillerto de Ciencis. Cpítulo 7: Derivds Revisores: Emilio Díz y Mnuel Froue

3 68.. Ts de vrición instntáne El estudio de l ts de vrición medi result insuiciente pr resolver determindos prolems. Por ejemplo, si volvemos l ctividd del vije, no semos qué velocidd i el coce ls ors ectmente. Tmpoco semos si en lún momento sorepsdo l velocidd permitid de 0 km/. Otro ejemplo: Si un vión o un coce sure un ccidente, y los epertos quieren determinr ls cuss, no les interes l velocidd medi del vión, sino l velocidd instntáne en el momento del ccidente. Otro ejemplo más: Los omeros utilizn lons pr recoer ls persons que deen sltr de un incendio. Pr ricr l lon y que resist deen conocer l velocidd en el momento del impcto, no l velocidd medi de cíd. Actividdes de introducción L rm de práol que represent el último trmo del vije del ejercicio de introducción tiene por ecución: y = 0 ² Hn puesto un mult, y queremos ser si emos sorepsdo l velocidd permitid. Cómo crees que l policí de tráico se si l emos sorepsdo? Se clculr l ts de vrición instntáne? No. No se. Hcen un otorí y clculn l ts de vrición medi en un intervlo muy pequeño. Queremos ser cuál sido l velocidd del coce en el instnte t = 4, en el que nos n puesto l mult. Utilizmos l clculdor del móvil y clculmos l velocidd medi en el intervlo [4, 5], que es l pendiente de l rect secnte PQ ' 7 ' 8 '9 5 4 Clculmos velociddes medis y pendientes en intervlos cd vez más pequeños: 4' 4 9' 8 7' '88 - Velocidd medi en el intervlo [4, 4 ]: 8' 8 4' 4 0' 0' 4'0 4 8'4880 7' - Velocidd medi en el intervlo [4, 4 0]: 8' 80 4'04 0'0 4'00 4 7'4800 7' 0' Velocidd medi en el intervlo [4, 4 00]: 8' 800 4'00 4 0'00 0'0 4' ' ' 0' Velocidd medi en el intervlo [4, 4 000]: 8' ' '000 0'00 Los vlores: 8 9; 8 8; 8 80; 8 800; , qué vlor crees que se proimn? Precen cercrse 8 8? Tommos or intervlos de etremo 4: - Velocidd medi en el intervlo [, 4] = pendiente de l rect R P. 4 7' 08'6 8'7 4 4 '9 7' 5'4 '79 - Velocidd medi en el intervlo [ 9, 4]: 8' 79 4'9 0' 0' 4 '99 7' 6' 0 - Velocidd medi en el intervlo [ 99, 4]: 8' 799 4'99 0'0 4 '999 7' 7' Velocidd medi en el intervlo [ 999, 4]: 8' '999 0'00 4 '9999 7' 7'88 0' Velocidd medi en el intervlo [ 9999, 4]: 8' '9999 0'000 0'000 Los vlores 8 7; 8 79; 8 799; ; , qué vlor tienden? Precen cercrse, de nuevo, 8 8? Este es el procedimiento usdo por l policí de tráico. Hcen un otorí y determinn l velocidd medi en un intervlo muy pequeño. Estmos seuros de que ls 4 ors no emos sorepsdo los 0 km/ permitidos, pero emos estdo muy cerc, 8 8 km/. NOTA: Este procedimiento de ir clculndo velociddes medis en intervlos cd vez más pequeños es muy lorioso. Nunc más vmos cerlo sí. Pero emos querido cerlo l menos un vez pr que comprends mejor el pso l ite. Oserv que ls velociddes medis y ls pendientes de ls rects secntes que psn por P prece que se proimn un número, 8 8, tnto cundo 4 es el orien del intervlo como cundo es el etremo. A ese número, el ite l que tienden ls velociddes medis, es lo que vmos deinir como velocidd instntáne, y en enerl como derivd de un unción en un punto. Mtemátics I. Bcillerto de Ciencis. Cpítulo 7: Derivds Revisores: Emilio Díz y Mnuel Froue

4 69 En el ejemplo nterior ese ite prece que es 8 8 km/ que es l velocidd instntáne ls 4 ors de vije. Oserv cómo ls rects secntes se proimn un rect, que es l rect tnente l ráic de l unción en el punto P. Actividdes resuelts Clcul l derivd de l unción y = 0 ² en = 4. Hemos irmdo que, precen cercrse, pero pr seurrnos vmos clculr l ts de vrición medi en culquier intervlo [, 4] y clculr el ite cundo tiende 4. Por lo que l solución ps por resolver este ite. Por lo que l solución ps por resolver este ite. 4 0' 8 46' 7' 0' 8 47'6 ' Recordndo lo prendido sore ites, vemos que se trt de un indeterminción que se resuelve dividiendo los polinomios. De mner que, iul que en otrs ocsiones, dividiremos los polinomios pr simpliicr l epresión y clculr el ite. Medinte culquier método de descomposición medinte ríces, se comprue que: 0 ² = Por ejemplo, pr clculr el ite podemos dividir el polinomio del numerdor entre 4 por l rel de Ruini: El cociente es: Por lo que l solución ps por resolver este ite: '4 4 0' 8 47' ' 8'4 8'8 Resuelt l indeterminción, pr clculr el ite, st sustituir por 4, y emos otenido 8 8. Actividd resuelt Pr estr seuros de no er sorepsdo l velocidd permitid vmos clculr l velocidd instntáne ls 5 ors de er comenzdo el vije: ' 8 46' 446' 5 5 0' 8 59'5 5 0' 8'5 0 Pr simpliicr el cociente emos dividido los polinomios por l rel de Ruini: El cociente es Resuelt l indeterminción, pr clculr el ite, st sustituir por 5, y emos otenido 0 L velocidd instntáne ls 5 ors es de 0 km/, pero no emos sorepsdo los 0 km/... Deinición de derivd de un unción en un punto L derivd de un unción en un punto responde l estudio de dos prolems prentemente distintos: El primero es el estudio del ritmo de vrición de l unción en dico punto. El seundo es de índole eométric: l derivd de un unción en un punto indic el vlor de l pendiente de l rect tnente l ráic de l unción en ese punto. Por eso se clcul como el vlor de l pendiente de un rect, dividiendo el incremento de l vrile y entre el incremento de l vrile : Incremento de l vrile y = Incremento de l vrile = Pendiente de l rect secnte que ps por, y por, = m = Ese cociente de incrementos es el vlor de l pendiente de l rect secnte lrededor de, no de l tnente en el punto. Pr que se tnente en el punto, el vlor de se tiene que proimr l vlor de y, por ello, deemos clculr el ite. 5 Mtemátics I. Bcillerto de Ciencis. Cpítulo 7: Derivds Revisores: Emilio Díz y Mnuel Froue

5 Mtemátics I. Bcillerto de Ciencis. Cpítulo 7: Derivds Revisores: Emilio Díz y Mnuel Froue 70 Entonces ls rects secntes se proimn l rect tnente. Si cemos un cmio de vrile, tl que = + tendremos que, cundo tiende entonces tiende 0 y por ello, podemos escriir l deinición de derivd como: 0 Deinición: Si X es un intervlo ierto, : X un unción y X, se dice que es derivle en si eiste el ite: y es un número rel es decir, no es ininito. El vlor del ite lo denominmos derivd de en =, y lo representmos por, D o por d d. d d DF ' = 0 Actividdes resuelts Clcul l derivd de l unción y = 0 ² en =. Queremos cer lo mismo que en ctividdes resuelts nteriores, pero en un punto enérico =. Por tnto 8 0' 46' 8 0' 46' 8 0' 8 0' 8 0' 8 0'. Por tnto = Reto: Clcul l derivd pr culquier punto = de l unción y = ². Solución : Sustituyendo los vlores de l unción y = ² en l deinición result que: = ; = ; ' Por lo que l solución ps por resolver este ite. Recordndo lo prendido sore ites, vemos que se trt de un indeterminción y que pr el vlor se nuln el numerdor y el denomindor. De mner que, iul que en otrs ocsiones, deemos dividir mos polinomios. Medinte culquier método de descomposición medinte ríces, se comprue que: = + sum por dierenci, dierenci de cudrdos Así que, después de sustituir, el ite serí: ' Clcul l derivd de l unción y = ² medinte el ite de l otr epresión de l derivd. Solución : Sustituyendo los vlores de l unción y = ² en l deinición ' 0 result que: = ; = ; + = ' Dividiendo por, se otiene: ' 0 0 Reto: Clcul l derivd en un punto culquier pr l unción y = ².

6 7 Actividdes propuests 8. Hll l derivd de ls unciones siuientes en los puntos =, = y = 5: y = 4 y = c y = d y = A l vist de lo que s otenido, crees que l derivd de ls unciones polinómics de primer rdo es siempre constnte e iul l pendiente de l rect que l represent? 9. Hll l derivd de l unción y = en los puntos =, = y = 5. Es or constnte? 0. Hll l derivd de l unción y = + en los puntos =, = y = 5. Hrás comprodo que en los dos últimos ejercicios l derivd no es constnte.. Al lnzr un ojeto verticlmente ci rri l ltur en metros y, que lcnz los seundos es: y = Clcul l velocidd los = 0, =, = 4 y = 6 seundos. Determin tmién l ltur de l piedr esos seundos. Cuál es l ltur máim lcnzd por el ojeto?. En el vije de l ctividd de introducción el coce recorrí entre l primer or y l seund un distnci y dd por l ecución: y = Determin l velocidd que llev el coce pr = 5.. En dico vije l distnci recorrid pr 5 viene dd por l ecución y = 0 4. Y pr 5 por y = 0 ² Pr = y un cmio en l velocidd. Clcul l velocidd ntes de =, y l velocidd después de =. 4. Al cer un cuerpo en el vcío l distnci d en metros, recorrid los t seundos viene dd proimdmente por l epresión: d = 5t². L epresión es d = /t², donde es l celerción de l rvedd terrestre, proimdmente de 9 8: A qué velocidd llerá l suelo un person que en un incendio se lnce l lon de los omeros y trde 4 seundos en ller ell? A qué velocidd llerá si se lnz desde un ltur de 0 metros? 5. Un veículo espcil despe de un plnet con un tryectori dd por: y = 50 0 ² e y en km. L dirección del veículo nos l proporcion l rect tnente en cd punto. Determin l dirección del veículo cundo está km de distnci sore el orizonte. 6. Desde un vión nodriz se suelt un vión eperimentl cuyo impulsor se enciende l máim potenci y permnece encendido 0 seundos. L distnci que sepr l vión eperimentl del vión nodriz viene dd por d = 0 t⁴. Clcul l velocidd del vión eperimentl los, 4, 7 y 0 seundos de er sido soltdo. 7. Represent ráicmente l unción y =, y determin su derivd pr =,,.... Cuánto vle? Es siempre l mism? Ocurrirá lo mismo pr culquier rect orizontl y =? 8. Diuj un unción culquier y dos puntos sore ell, y, correspondientes ls ordends,. Interpret eométricmente l deinición de derivd prtir del diujo. 9. Diuj un unción culquier y un punto culquier sore l unción. Diuj tmién un semento sore el eje de sciss con orien en y lonitud. Interpret de nuevo l deinición de derivd en un punto sándote en dic iur. 0. Clcul l derivd medinte el ite de l unción y = ² + en el punto =. Clcul l derivd medinte el ite de l unción y = ² + en el punto =. Clcul medinte l epresión resultnte,,, 5 4 y 7. Posiciones de l pelot intervlos reulres de tiempo, pr t =,,, 4, Cíd lire de un pelot. En l iur se muestrn, medinte otorí estrooscópic, ls posiciones de l pelot intervlos reulres de tiempo: pr t =,,, 4, 5,..., el espcio recorrido es proporcionl, 4, 9, 6, 5,..., etc. Clcul l unción de posición y = t, y clcul l velocidd y l celerción derivndo l unción de posición..4. Derivds por l derec y derivds por l izquierd Ejemplo: En el ejercicio de introducción del vije clculmos ls velociddes medis cundo 4 er el orien y lueo cundo 4 er el etremo del intervlo. En un cso los vlores de ls velociddes medis otenids ern de: 8 7; 8 79; 8 799; ; , cundo el punto er menor que 4, y en el otro de: 8 9; 8 8; 8 80; 8 800; , cundo el punto er myor que 4. En el primer cso se clculdo el ite l izquierd y en el seundo, el ite l derec. Se deine l derivd de un unción en un punto por l derec o por l izquierd seún el ldo por el que se proime l vrile l punto donde se v clculr el ite de l unción. Un lámpr estrooscópic es un instrumento que ilumin un escen durnte intervlos reulres de tiempo. Si utilizmos este tipo de luz sore un movimiento repetitivo, como l rotción de un rued, y el intervlo coincide con un periodo completo de movimiento, el ojeto precerá estático l oservdor. Mtemátics I. Bcillerto de Ciencis. Cpítulo 7: Derivds Revisores: Emilio Díz y Mnuel Froue

7 7 Deinición de derivd l derec Deinición: Si X es un intervlo, : X un unción y X, se dice que es derivle por l derec en si eiste el ite por l derec:. Al vlor del ite lo llmmos derivd por l derec de en =, y lo representmos por +. Es decir, l vrile se proim l punto por l derec, y por tnto es siempre >. Deinición de derivd por l izquierd: Deinición: Si X es un intervlo, : X un unción y X, se dice que es derivle por l izquierd en si eiste el ite por l izquierd:. Al vlor del ite lo llmmos derivd por l izquierd de en =, y lo representmos por. Es decir, l vrile se proim l punto por l izquierd, y por tnto es siempre <. Pr que eist l derivd de l unción en un punto,, dee eistir el ite por lo que deen eistir los dos ites lterles y por tnto deen eistir l derivd por l derec y l derivd l izquierd en ese punto, y sus vlores deen coincidir. Actividdes resuelts Ls unciones cuys ráics precen continución son derivles en todos los puntos ecepto en 0, 0. Oserv el comportmiento de l ráic en dico punto. Comprue cómo o no eiste luno de los ites lterles o éstos no coinciden. Los ites lterles eisten, pero no coinciden, vlen y respectivmente. Los ites lterles eisten, pero no coinciden, vlen 0 y respectivmente. El ite lterl l izquierd no eiste. Los ites lterles eisten, pero no coinciden. L unción no es continu en el orien..5. Función derivd Hst or emos clculdo l derivd de un unción en un punto, o lo que es lo mismo, l pendiente de l rect tnente l curv en ese punto. Hemos clculdo derivds en puntos concretos como =, =... y en ocsiones en un punto enérico =. L ventj de utilizr un punto de cálculo enérico =, es, que sustituyendo por el vlor que nos interese =, =..., podemos clculr rápidmente l derivd en dicos puntos, y no tendremos que repetir el cálculo pr cd uno de ellos. De est orm estmos deiniendo un nuev unción, pues cd punto le sinmos su derivd, que vmos denominr unción derivd, y =, y l punto le vmos llmr, en lur de,. A l unción se le llm unción derivd de. Deinición: Si es derivle en X se llm unción derivd de l unción que soci cd número rel de X el vlor de l derivd d de en dico punto. A est nuev unción l desinmos por, D o. d Por ejemplo, en el cso: = ³ entonces = ² L seund epresión es un unción que sin cd punto su cudrdo multiplicdo por tres. Por lo tnto: si = ³ entonces = ². Ejemplo: 0 0 Pr clculr l derivd de = k, utilizmos l deinición de derivd: ' 0 Ejemplo: Pr clculr l derivd de = ³ volvemos utilizr l deinición de derivd: Derivción y continuidd Si es derivle en un punto entonces l unción es continu en dico punto. Mtemátics I. Bcillerto de Ciencis. Cpítulo 7: Derivds Revisores: Emilio Díz y Mnuel Froue

8 7 Actividdes propuests. Complet en tu cuderno l siuiente tl con ls derivds: Función = ³ = = ² = = k = + = ² + Derivd = ² = = = = = =. Piens en un ejemplo de unción no derivle y que sí se continu.. REGLAS DE DERIVACIÓN El procedimiento de clculr l unción derivd clculndo el ite se puede simpliicr muco utilizndo ls rels de derivción. Y emos clculdo mucs derivds, por lo que y ses que l derivd de y = ² + es y = ; que l derivd de y = 80 7 es y = 80; que l derivd de y = 0 ² es y = Pr que el proceso de clculr derivds no se tn lorioso como lo es plicndo l deinición de derivd, vmos estudir ls rels que nos permitn derivr rápidmente y con eicci... Derivd de l unción potencil = n, n N Oserv que y emos clculdo l derivd de vris de ests unciones: si = ² entonces = ; si = ³ entonces = ²... Cuál crees que es l derivd de ⁸? Y l de ⁵? Son 8⁷ y 5⁴, s certdo? Pr l derivd de = n, n N espermos otener que: Si = n entonces = n n, n N n n = n + n + n + + n + n n n n - n - n - n - n c.q.d. Oservción: El símolo + con puntos suspensivos equivle l sum de todos los términos intermedios, que como se puede ver en los eponentes, son un totl de n. Tmién se puede escriir en orm de sumtorio: n + n + n + + n + n n n = k k k Otr oservción: c.q.d. es l revitur de como querímos demostrr. L derivd de l unción = k, unque k no se un número nturl, es = k k. L demostrción que emos eco es sólo válid pr vlores nturles del eponente, pero sin emro el resultdo es más enerl y sirve pr culquier vlor del eponente. Más delnte lo demostrremos, pero sí y puedes utilizrlo desde el principio del cálculo de derivds. Actividdes resuelts Hll l derivd de l unción Se tiene que y por lo tnto: Oserv cómo se n otenido ls derivds siuientes: Función = ⁴ = ⁷ = = / = / = = /² = Derivd = 4³ = 7⁶ = / / = / / = Mtemátics I. Bcillerto de Ciencis. Cpítulo 7: Derivds = ² = = ³ =.. Derivd de un sum Tmién y nos emos encontrdo con sums en los ejercicios que emos eco, pr y = 0 ² emos otenido que su derivd es y = ; o que si y = 0 4 entonces y = 0. Cuál crees que es l derivd de y = 7 + ²? Si opins que es y =, s certdo! Vmos encontrr or l rel enerl: L derivd de un sum de unciones es l sum de ls derivds de cd un. Es decir: + = + Demostrción: Por l deinición de derivd y por l propiedd del ite de un sum: ' Actividdes resuelts ' ', c.q.d. Revisores: Emilio Díz y Mnuel Froue

9 Mtemátics I. Bcillerto de Ciencis. Cpítulo 7: Derivds Revisores: Emilio Díz y Mnuel Froue 74 Hll l derivd de l siuiente unción = ⁵ + ³. Se deriv cd término y se sum el resultdo, lueo = 5⁴ + ²... Derivd de un constnte por un unción En ejercicios nteriores y emos otenido que l derivd de 0 ² es 0, o que l derivd de 0 es 0. Cuál crees que es l derivd de ²? Si opins que es 6 tu conjetur es certd. Aor vmos encontrr un rel enerl. Cundo un unción esté multiplicd por un constnte, su derivd es iul l constnte por l derivd de l unción: Si = c entonces = c. Demostrción: Utilizmos l deinición de derivd: ' c c c c, c.q.d. Por veriicrse ests dos propieddes, l derivd de un sum y l derivd del producto de un constnte por un unción, se dice que el operdor derivd es un operdor linel. Actividdes resuelts Hll l derivd de l siuiente unción = 8⁴. Lo primero es "jr" el eponente multiplicr por l vrile y llr un nuevo eponente restndo un unidd. Después se simpliic l epresión y se eliminn los préntesis. = 8⁴ = 8 ⁴ lueo = 8 4⁴ ¹ = ³..4. Derivd de un producto L derivd del producto de dos unciones es iul l producto de l derivd de l primer unción por l seund unción sin derivr más el producto de l primer unción sin derivr por l derivd de l seund unción: = + Demostrción: Escriimos l deinición de derivd: ' Summos y restmos : Scmos ctor común y : Aplicmos propieddes de los ites, el ite de un sum y el ite de un producto: Clculmos los ites: +, c.q.d. Pr llr l derivd del producto de más de dos unciones puedes utilizr l propiedd socitiv. Actividdes resuelts Hll l derivd de l siuiente unción = 4 + ⁷ +. Identiicmos ls unciones de l siuiente mner: = 4 + lueo = 4; = ⁷ + lueo = ⁶ y utilizndo l rel nteriormente epuest, vemos que: = = + = 4⁷ ⁶ = ⁷ ⁷ + 4⁶ = 96⁷+ 4⁶+ 8 Comprue que el resultdo es el mismo si primero eectumos el producto y lueo derivmos..5. Derivd de un cociente L derivd del cociente de dos unciones es iul l derivd del numerdor por el denomindor sin derivr menos el numerdor sin derivr por l derivd del denomindor, divididos por el cudrdo del denomindor. ' ' l Aunque no es riuroso, pr simpliicr l notción y vorecer l memori, se puede escriir de l siuiente mner: ' ' l Teniendo siempre presente que l vrile de ls unciones es común tods. Actividdes resuelts Hll l derivd de l siuiente unción Identiicmos ls unciones de l siuiente mner: = + = ; = =

10 75 y utilizndo l rel de l derivd del cociente, vemos que: ' ' ' ' 6 6 ' ' 4 4 Resumen: Derivd de un sum de unciones + = + Derivd del producto de un constnte por un unción c = c. Derivd de un producto de unciones = + Derivd de un cociente Actividdes resuelts Clcul ls siuientes derivds y comprue el resultdo: ' 5 c 4 5 ' d e 6 ' 6 6 Mtemátics I. Bcillerto de Ciencis. Cpítulo 7: Derivds l 9 4 ' ' 4 ' 9 ' 4 ' Actividdes propuests 4. Escrie ls unciones derivds de ls unciones siuientes: = ²⁴; = 6¹⁰; c = 6/7¹³; d j = ⁴ 5² + 7; e p = 5³ 5. Clcul ls derivds de ls siuientes unciones polinómics: y = 6 + 5²; y = 6² 7 + ⁵; c y = /⁷ + 8/5⁵ 9/4⁴; d y = ⁸ 6. Un determindo s ocup un volumen de m³ un presión de 5 Newtons por m². Seún l ley de Boyle cd presión ejercid sore el s corresponde un volumen ddo por V = 0/P. Cuál es l ts de vrición instntáne del volumen cundo l presión es de 0 Newtons por m². Y cuándo es de 0 Newtons por m²? Es l mitd? 7. Y emos otenido l derivd de y. Utilízl pr otener l derivd en =, 4, 5... Puedes otener l derivd en = 0? Rzon l respuest. 8. Clcul ls derivds de ls siuientes unciones: y = ² + 6⁶ 5; y = 7³ 5⁴ + 4; c y 5 9. Clcul ls derivds de ls siuientes unciones: 5 y ; y = ² + 5/³ + 7; c y ; d y Clcul ls derivds de ls siuientes unciones: y ; y ; c y ; d y Notción dierencil L ts de vrición medi de un unción y = en el intervlo, + es:. Siendo el numerdor el dy incremento de l unción y el denomindor el incremento de l vrile. Gottried Wilelm Leiniz utilizó l notción: pr d denotr l derivd de l unción y respecto de l vrile, donde dy y d no son numerdor y denomindor, sino un todo inseprle. Se lee, derivd de y respecto de. Est notción es útil, sore todo, si y distints vriles. Ejemplo: ds dv dv Si S = 4πr² entonces 8 r. Si V = πr² entonces = πr y = πr². dr dr d.6. Rel de l cden L rel de l cden es un órmul mtemátic pr clculr l derivd de l unción compuest por dos o más unciones. Revisores: Emilio Díz y Mnuel Froue

11 76 Esto es, l rel de l cden epres l derivd de l unción compuest en términos de ls derivds de y : d d d ' ' ' ' o escrito en notción de Leiniz d d d Demostrción L demostrción riuros es complicd pero si no eplicmos los psos diíciles podemos comprender de dónde procede: ' Multiplicmos y dividimos por : = Aplicmos l propiedd de los ites: el ite de un producto es el producto de los ites: Con determinds condiciones de continuidd, cundo tiende entonces tiende, por lo que: =. Actividdes resuelts Utilizndo que l derivd de y = e es iul y = e ll l derivd de l unción e Identiicmos ls unciones de l siuiente mner: e ' e ; ' y utilizndo l rel de l cden otenemos que: e ' ' ' ' ' e. Clcul l derivd de y = ³ + ². Pr plicr ien l rel de l cden es muy importnte que comprends ien l composición de unciones. En l derivd propuest tenemos l unción elevr l cudrdo, cuy derivd conoces ien, y l unción ³ + cuy derivd es ². Aplicmos l rel de l cden, primero l derivd de l unción cudrdo en el punto ³ +, y lueo multiplicmos por l derivd de est unción: y = ³ + ² = 6⁵ + 8². En este cso prticulr podemos compror el resultdo clculndo el cudrdo y derivndo en otros csos no qued más remedio que derivr plicndo l rel de l cden: y = ³ + ² = ⁶ + 6³ + 9 lueo y = 6⁵ + 8². Comprodo! L derivd de l unción seno es l unción coseno y = sen y = cos. Utiliz est inormción pr clculr ls derivds de y = sen² y l de y = sen². En l unción y = sen² l unción seno se plic l unción cudrdo, lueo su derivd es y = cos². Mientrs que en l unción y = sen² = sen nos encontrmos primero con l unción cudrdo que se plic l unción seno, lueo su derivd es: y = sen cos. Si y son dos unciones derivles en todo punto, y se se que =, = 5, =, = 6, =, = 6, 6 = 4, =, =, 5 =. Determin el vlor de: ' ; ' ; c ' ; d '. ' = ' ' = 6 = 4 =. ' = ' ' = = = 9. c ' = ' ' = 5 = 6 = 6. d ' = ' ' = = 6 = 8. Actividdes resuelts Clcul ls derivds de ls unciones siuientes y comprue el resultdo: ' 4 c Actividdes propuests. Clcul ls derivds de ls siuientes unciones: ' d 9 ' ' y = ⁵ 7³¹² y = ³ 5²⁷ c y d y 4. Clcul ls derivds de ls siuientes unciones: 4 Mtemátics I. Bcillerto de Ciencis. Cpítulo 7: Derivds Revisores: Emilio Díz y Mnuel Froue

12 y 6 7 y c 5 Mtemátics I. Bcillerto de Ciencis. Cpítulo 7: Derivds 5 y d y 8.7. Derivd de l unción loritmo y derivción lorítmic Vmos estudir l derivd de un unción muy interesnte, l unción loritmo, y vmos utilizr un técnic muy útil, l derivción lorítmic, pr clculr ls derivds de otrs mucs unciones. Si = lo entonces = lo e. Demostrción lo Utilizmos l deinición de derivd: ' 0 0 Por ls propieddes de los loritmos: lo A lo B = lo A/B; klo A = lo A k. ' lo = lo lo lo lo n n n Clculmos el ite, que es un ite tipo e. Recuerd que e y que los ites en que l se tiende, y el eponente ininito se clculn utilizndo est deinición del número e: ' lo e, c.q.d. Actividdes resuelts Hll l derivd de = ln⁵ 7³ Tenemos que utilizr l derivd de l unción loritmo neperino = ln = / y l rel de l cden 4, donde = ⁵ 7³ y su derivd: = 5 4. Por tnto: ' = Actividdes propuests. Clcul ls derivds de ls siuientes unciones: 5 5 y = lo⁵ 7³¹² y = lo ³ 5²⁷ c y ln d y ln 4 4 Técnic de l derivción lorítmic Pr clculr luns derivds es imprescindile utilizr est técnic y, en otrs ocsiones, cilit los cálculos. Consiste en plicr loritmos los dos miemros de l unción, y continución, derivr. Actividdes resuelts ⁵ 7³ Hll l derivd de = e Aplicmos loritmos neperinos: ln = lne ⁵ 7³ Utilizmos propieddes de los loritmos pr simpliicr el seundo miemro en este ejemplo, el loritmo de un potenci es iul l eponente por el loritmo de l se: ln = lne ⁵ 7³ = ⁵ 7³ lne = ⁵ 7³ 4 Derivmos los dos miemros de l iuldd: ' 5 4 Despejmos : = 5 4 = e ⁵ 7³ 5 4. Hll l derivd de l unción eponencil =. Utilizmos l mism técnic. Intent cerlo tú solo y lueo comprue si te slido ien: Aplicmos loritmos: ln = ln Utilizmos propieddes de los loritmos pr simpliicr el seundo miemro en este ejemplo, el loritmo de un potenci es iul l eponente por el loritmo de l se: ln = ln = ln Derivmos los dos miemros de l iuldd: ' ln 4 Despejmos : = ln = ln. Si y = entonces y = ln. Si y = e entonces y = e. L unción eponencil y = e coincide con su derivd, y = e. Hll l derivd de l unción potencil = k, k. Revisores: Emilio Díz y Mnuel Froue

13 78 Antes delntmos su derivd, pero or vmos demostrrlo siendo el eponente culquier número, no únicmente un número nturl. Intent cerlo tú solo y lueo comprue si te slido ien: Aplicmos loritmos: ln = ln k Utilizmos propieddes de los loritmos pr simpliicr el seundo miemro en este ejemplo, el loritmo de un potenci es iul l eponente por el loritmo de l se: ln = ln k = k ln Derivmos los dos miemros de l iuldd: k ' 4 Despejmos : = k/ = k k/ = k k-. Si y = k entonces y = k k-, k. Hll l derivd de l unción eponencil potencil: =. Utilizmos l mism técnic. Intent cerlo tú solo y lueo comprue si te slido ien: Aplicmos loritmos: ln = ln Utilizmos ls propieddes de los loritmos pr simpliicr el seundo miemro en este ejemplo, el loritmo de un potenci es iul l eponente por el loritmo de l se: ln = ln = ln Derivmos los dos miemros de l iuldd: ' ' ln ' 4 Despejmos : ' ' ln ' Hll l derivd de l unción eponencil potencil: =. Utilizmos l mism técnic. Intent cerlo tú solo y lueo comprue si te slido ien: Aplicmos loritmos: ln = ln Utilizmos propieddes de los loritmos pr simpliicr el seundo miemro en este ejemplo, el loritmo de un potenci es iul l eponente por el loritmo de l se: ln = ln = ln Derivmos los dos miemros de l iuldd: ' ln ln 4 Despejmos : = ln + Resumen: Si = ln entonces = ' e Si y = ln entonces y = y ln e y' e Si = entonces = ln y = y = ln 5 5 y e y' e 6 = = = = y y = ' y' y = ' Actividdes propuests 4. Utiliz derivción lorítmic pr clculr ls derivds de ls siuientes unciones: y 7 y e y = ⁵ 7³ y = + ³ 5² c y = e 4⁵ 8³⁵ d y' e y' e y 5. Utilizndo que l derivd de y = e es y = e, clcul ls derivds de ls siuientes unciones: y = e ⁵ 7³ y = e ³ 5² ⁷ c y = e 4⁵ 8³⁵ d.8. Derivds de unciones trionométrics e iperólics Vmos estudir ls derivds de mucs más unciones. Derivd de l unción seno Si = sen entonces = cos. Demostrción Utilizmos l deinición de derivd: y 7 4 e Mtemátics I. Bcillerto de Ciencis. Cpítulo 7: Derivds Revisores: Emilio Díz y Mnuel Froue

14 79 B sen B sen ' = B B B B L órmul de l dierenci de senos: B B cos sen cos sen B B B B Por l propiedd del ite de un producto: B B B cos sen sen B cos B B B B B Clculmos los ites: B Por tnto = cos, c.q.d. Derivd de l unción coseno Si = cos entonces = sen. Demostrción B cos cos cos; B B sen B Semos que cos = sen por lo que si = cos entonces = cos = sen, c.q.d. Derivd de l unción tnente Si = t entonces = + t = Demostrción Semos que = t = cos. sen, por lo que utilizmos l derivd de un cociente: cos sen+ = sencos + cossen sen = sencos cossen sen+ sen = cossen Si +=B y = entonces: B B, Sustituyendo: B B senb sen cos sen sen' cos sen cos' cos cos sen sen cos sen = cos cos cos cos O ien, dividiendo numerdor y denomindor por cos, se tiene: cos sen sen = t, c.q.d. cos cos Derivd de ls unciones iperólics L unciones seno iperólico, coseno iperólico y tnente iperólic se deinen como: e e e e s s, c, t. c Si = s entonces = c. Si = c entonces = s. Si = t entonces = t. Demostrción Derivndo se otiene que: ' ' e e e e e e s' c ; e e e e e e c' s Y l derivd de l tnente se otiene utilizndo l derivd del cociente. Oserv que ls derivds de ls unciones iperólics se precen ls derivds de ls unciones trionométrics con un cmio en los sinos. Qué te precen? Más áciles de recordr, o más diíciles? Resumen: = sen = cos y = sen y = cos y = sene y = e cose = cos = sen y =cos y = sen y = cos y = sen = t = + t y = t y = + t y = t y = + t Mtemátics I. Bcillerto de Ciencis. Cpítulo 7: Derivds Revisores: Emilio Díz y Mnuel Froue

15 80 = s = c y = s y = c c y = s y = = c = s y = c y = s s ln y = cln y = = t = t y = t y = t y = t 4 y = 4 t 4 Actividdes resuelts Clcul ls siuientes derivds y comprue los resultdos: sen cos 7 cos ' cos c cos sen7 ' 7cos7 sen sen7 e 6 cos 6sen ' cos scos ' sen ccos sen ' 4 sen 7 cos 7 sen sen 7 d t 5 sen ln sen ln sen ' cos 5 ' cos ' t i ln c = t j = lncos = t Actividdes propuests cos 6. Recuerd l deinición de cosecnte: cosec =. Demuestr que: cosec = sen sen sen 7. Recuerd l deinición de secnte: sec. Demuestr que: sec ' cos cos 8. Recuerd l deinición de cotnente: cot =. Demuestr que: cot = t sen 9. Clcul ls derivds de ls siuientes unciones: 4 y = sen⁵ 7³ y = sen³ 5²⁷ c y = sen 5 cos 7 d y sen Clcul ls derivds de ls siuientes unciones: y = cose ⁵ + 4³ y = cot5³ ² 4 c y = sencost7⁵ ³ d y cs 4 4. Clcul ls derivds de ls siuientes unciones: e t s c e 4 9sen t d cos sen cos cos sen.9. Derivd de l unción invers Recuerd que: L unción invers de l unción y = se deine como: y = y = Por este motivo, recuerd que l ráic de un unción y su invers son simétrics respecto de l dionl del primer cudrnte. Si conocemos l derivd de un unción podemos clculr l derivd de su unción invers, pues: Si es un unción derivle y iyectiv en X con 0 X entonces es derivle en X y: y = Demostrción: Pr compror que y es derivle y clculr su derivd deemos clculr el ite: ' lim y y Pero = y y se =. Además, por deinición de unción invers: y = y =. Por ser continu, cundo y, entonces, por lo que el ite nterior es equivlente : ' lim. Por tnto: ' y Mtemátics I. Bcillerto de Ciencis. Cpítulo 7: Derivds Revisores: Emilio Díz y Mnuel Froue

16 8 ' lim. ' Por lo que eiste el ite y su vlor es: ' ' ', c.q.d. ' Derivd de ls unciones inverss de ls unciones trionométrics Arco seno L unción rco seno es l unción invers de l unción seno y se deine por tnto como: y = rcsen = seny Si l deinimos en el intervlo π/, π/ es iyectiv. Compruélo! Entonces su derivd es: y = rcsen y = Demostrción: Aplicmos l derivd de l unción invers: = ' = Semos que sen + cos =, por tnto: cos sen. Lueo: cos rcsen = cos rcsen sen rcsen Arco coseno L unción rco coseno es l unción invers de l unción coseno y se deine por tnto como: y = rccos = cosy Si l deinimos en el intervlo 0, π es iyectiv. Compruélo! Entonces su derivd es: y = rccos y = Demostrción: Aplicmos l derivd de l unción invers: = ' = senrccos, c.q.d. Semos que sen + cos =, por tnto: sen cos senrccos = cos rccos, c.q.d. Arco tnente L unción rco tnente es l unción invers de l unción tnente y se deine por tnto como: y = rct = ty Si l deinimos en el intervlo π/, π/ es iyectiv. Compruélo! Entonces su derivd es: y = rct y = Demostrción: Aplicmos l derivd de l unción invers: = ' = t rct, c.q.d. Resumen: = rcsen = =rccos = y = rcsen y = y=rccosy = ' ' y = rcsene y = y = rccos y = e e 4 Mtemátics I. Bcillerto de Ciencis. Cpítulo 7: Derivds Revisores: Emilio Díz y Mnuel Froue

17 8 ' = rct = y = rct y = y = rct y = 6 Actividdes resuelts Clcul ls siuientes derivds y comprue los resultdos: ln rct e ' rccos ' cos c rcsen ' sen d rct ' 5 cos cos 4 5cos 5 4cos Actividdes propuests 4. Clcul ls derivds de ls siuientes unciones: y = rcsen y lnrccos c y rct e d y rccos sencos 4. Clcul ls derivds de ls siuientes unciones: sen rccos y = rcsen y e c y sen rct d y rccos sen Arumento seno iperólico L unción rumento seno iperólico es l unción invers de l unción seno iperólico y se deine por tnto como: y = rs = sy Entonces su derivd es: y = rs y = 9 Utilizremos est derivd cundo estudiemos ls interles, pues nos permitirá otener luns. Demostrción: Aplicmos l derivd de l unción invers: = ' = cr s Semos que c s =, por tnto: c s crs = s rs c.q.d. Arumento coseno iperólico L unción rumento coseno iperólico es l unción invers de l unción coseno iperólico y se deine por tnto como: y = rc = cy Entonces su derivd es: y = rc y = Demostrción: Aplicmos l derivd de l unción invers: = ' = src Semos que c s =, por tnto: s c : =, c.q.d. src c rc, Mtemátics I. Bcillerto de Ciencis. Cpítulo 7: Derivds Revisores: Emilio Díz y Mnuel Froue

18 8 Arumento tnente iperólic L unción rumento tnente iperólic es l unción invers de l unción tnente iperólic y se deine por tnto como: y = rt = ty Entonces su derivd es: y = rt y = Demostrción: Aplicmos l derivd de l unción invers: = ' =, c.q.d. t rt Resumen: = rs = ' y = rs y = y = rse e y = e ' = rc = y = rc y = y = rc y = 4 ' = rt = y = rt y = y = rt y = 6 Actividdes resuelts Y semos que l derivd de y = e es iul y = e, y que l derivd de y = ln es iul y = /. Tmién semos que ls unciones eponencil y loritmo son inverss l un de l otr. Utiliz l derivd de l unción eponencil y de l unción invers pr demostrr de nuevo l derivd de l unción loritmo neperino. Actividdes propuests 44. Clcul ls derivds de ls siuientes unciones: y = r s y lnr t5 c 4 y r c e d y r sr t 45. Clcul ls derivds de ls siuientes unciones: s y = r s r c 7 sen y e c y sr t d y r c s sen. APLICACIONES DE LA DERIVADA.. Interpretción eométric de l derivd: Rect tnente Y emos visto que l pendiente de l rect tnente l ráic de y = en el punto, es iul. Por tnto l ecución de l rect tnente es: y = +. Ejemplo: Pr encontrr l rect tnente y = ³ + en = uscmos l rect de pendiente que pse por el punto, : = ³ + = 4; = ² + ; = ² + = 6; Ecución de un rect de pendiente 6 que ps por el punto, 4: y = Actividdes propuests 46. Determin l ecución de l rect tnente l ráic de l unción y = 7² + 5 en el punto = 47. El peril de un ciert montñ tiene l orm de un práol: y = ², donde e y se miden en km. Escrie l ecución de l rect tnente pr = 0, =, =, = km... Interpretción ísic de l derivd L velocidd es l derivd en el cso en que l unción indique, ddo el tiempo, el espcio recorrido. de dv L celerción es l derivd de l velocidd respecto del tiempo: v ; dt dt Ejemplo: El espcio recorrido por un veículo viene ddo por e = t t², donde e se mide en metros y t en seundos. Determin l velocidd pr t = seundos. Determin l unción velocidd y l unción celerción. Clculmos l derivd: e = + 0 6t. Pr t =, e = 6 m/s = v. L unción velocidd es l derivd v = e = + 0 6t. Derivmos pr otener l celerción: = v = 0 6 m/s². Actividdes propuests 48. Un coce recorre un distnci e, en kilómetros, ls t ors, siendo e = 0t + 0 5t². Determin su unción velocidd y su unción celerción. Es constnte l celerción? Si siue es velocidd, en qué instnte soreps l velocidd máim permitid de 0 km/? Mtemátics I. Bcillerto de Ciencis. Cpítulo 7: Derivds Revisores: Emilio Díz y Mnuel Froue

19 84.. Crecimiento y decrecimiento Actividdes resuelts Imin que desde un punto 0 soltmos un vión de juuete que descrie un tryectori = 0 ². Cómo podemos ser si los 5 metros del punto de lnzmiento el vión está suiendo o jndo? Lo mismo los 5 metros? En este cso es ácil que lo seps, y que l tryectori es un práol que cort l eje de sciss en los puntos 0,0 y 0,0, que como es un curv simétric los 5 metros el vión está suiendo. Alcnz el punto más lto los 0 metros, y los 5 metros desciende. Pr culquier otr curv, que no conozcs tn ien, este prolem nos lo resuelve l derivd: Como ' entonces pr vlores de 0 próimos cero, tenemos: '. En este ejemplo: = 0 ² = 0. Pr = 5 tenemos 5 = 0 5 = > Por tnto cundo es próimo cero. Como el cociente es positivo, numerdor y denomindor deen tener el mismo sino. Por lo que, si > 0 tendrá tmién que ser: > 0, lueo 5 + > 5. Si < 0 tmién < 0, lueo 5 + < 5. L situción es l de l iur y podemos seurr que, en un intervlo suicientemente pequeño de centro 5, l unción es creciente. Oserv que emos podido irmrlo por ser l derivd en 5 un número positivo. Pr = 5 tenemos 5 = 0 5 = < 0. Por tnto 5+ 5/ cundo es próimo cero. Como el cociente es netivo, numerdor y denomindor deen tener distinto sino. Por lo que, si > 0 tendrá que ser: < 0, lueo 5 + < 5. Si < 0 tmién > 0, lueo 5 + > 5. L situción es l de l iur y podemos seurr que, en un intervlo suicientemente pequeño de centro 5, l unción es decreciente. Oserv que emos podido irmrlo por ser l derivd en 5 un número netivo. En enerl, podemos irmr que: Si > 0 entonces l unción y = es creciente en =. Si < 0 entonces l unción y = es decreciente en =. Determin si y = 0 ² es creciente o decreciente en = 4. Clculmos l derivd: y = 0 + 8; en = 4: y 4 = = 8 8 > 0. L unción es creciente. Actividdes propuests 49. Determin los intervlos de crecimiento y decrecimiento de l unción: y = ³ +. Determin los intervlos de crecimiento y decrecimiento de l unción: y = ³. Cómo es en = 0? Y en =? Y en =?.4. Máimos y mínimos Recuerd que: Un unción lcnz en, un máimo lol o soluto si es el myor vlor que lcnz l unción. Un unción lcnz en, un mínimo lol o soluto si es el menor vlor que lcnz l unción. Un unción lcnz en, un máimo locl o reltivo si eiste un intervlo que contiene en el que es el myor vlor de l unción en ese intervlo. Un unción lcnz en, un mínimo locl o reltivo si eiste un intervlo que contiene en el que es el menor vlor de l unción en ese intervlo. Ejemplo: L unción y = + 4 de l ráic del mren no lcnz ni máimos ni mínimos solutos, pero lcnz un máimo reltivo en punto A0, 4 y un mínimo reltivo en el punto B. Ejemplo: L unción de l ráic del mren no tiene máimos solutos, pero lcnz máimos reltivos en = 5 y en = 0 5. Tiene tres mínimos que son l vez solutos y reltivos en =, = 0 y en =. Mtemátics I. Bcillerto de Ciencis. Cpítulo 7: Derivds Revisores: Emilio Díz y Mnuel Froue

20 85 Releion: Imin un unción continu y con derivd continu. Antes de que l unción lcnce un máimo, dee ser un unción creciente, y después del máimo dee ser decreciente l unción. Por tnto, ntes de un máimo l derivd dee ser positiv, y después dee ser netiv. En consecuenci si l unción tiene un máimo en un punto de un intervlo y es derivle en dico punto, entonces l derivd en el máimo es cero. Hcemos un rzonmiento similr pr un mínimo. Antes de que un unción lcnce un mínimo, dee ser un unción decreciente, y después del mínimo dee ser creciente. Por tnto, ntes de un mínimo l derivd dee ser netiv, y después dee ser positiv. En consecuenci si l unción tiene un mínimo en un punto de un intervlo y es derivle en dico punto, entonces l derivd en el mínimo es cero. Propiedd Si un unción tiene un máimo o un mínimo en, y eiste, entonces = 0. Ejemplo: L unción y = 0 + 5t² 0 4t³ nos d los inresos mensules por un nuevo producto que slido l mercdo. Alcnzrá máimos o mínimos locles en los puntos en los que se nul l derivd: y = 0t t² = 0 t = 0 y t = 5/. Pr vlores de t < 0 l derivd es siempre netiv, por qué? En t = l derivd es positiv. Vemos, por ejemplo, el sino pr t = 0: y 0 = = 00 0 = 0 < 0. Podemos seurr que pr t < 0 l derivd es netiv, que 0 < t < 5/ es positiv y que pr t > 5/ es netiv. Por tnto l unción tiene un mínimo locl pr t = 0, en el punto 0, 0 y un máimo locl pr t = 5/, en 5/, Ejemplo: L práol y = ² tiene por derivd y =, que únicmente se nul en = 0. Pr vlores netivos de l derivd es netiv, y pr vlores positivos, es positiv, lueo, como y símos, l práol tiene un mínimo en 0, 0, su vértice. Actividdes resuelts Un rquitecto está diseñndo ls ventns pr un loque de viviends y dese que tenn un supericie de m², pero que el coste de los periles se el mínimo posile. Tods ls ventns tienen l mism luz, m², por tnto su se,, por su ltur, y, dee ser iul. Despejndo y = /. El perímetro P de l ventn es iul P = + y = + /. Pr conseuir que el perímetro se mínimo, derivmos e iulmos cero: P = /² = 0 /² = ² = = o =. L solución netiv no es válid como se de un ventn, lueo =, y por tnto y =. L solución de perímetro mínimo es el cudrdo de se m y ltur m. Dos oservciones importntes Pueden eistir máimos o mínimos en puntos donde no eist l derivd. Por ejemplo: si 0 L unción vlor soluto de tiene un mínimo en 0, 0. si 0 Pero l derivd no se nul en 0, 0. No eiste. L derivd l derec de 0 vle, y l derivd l izquierd vle. Son distints, lueo l unción no es derivle en 0, 0. Pueden eistir puntos donde l derivd vl 0 y sin emro no sen ni máimos ni mínimos. Por ejemplo: L unción y = ³ de derivd y = ², que se nul en 0, 0 no tiene en dico punto ni un máimo, ni un mínimo. L unción es siempre creciente. V tener en 0, 0 un punto de inleión de tnente orizontl. Mtemátics I. Bcillerto de Ciencis. Cpítulo 7: Derivds Revisores: Emilio Díz y Mnuel Froue

21 86 Vmos denominr punto sinulr o punto crítico de y = los puntos en los que se nule l derivd. En l ctividd resuelt nterior de l ventn, cómo semos que l solución otenid es l de menor perímetro, l más rt, y que no es l más cr? Pr ser si un punto crítico es un máimo, o un mínimo, o un punto de inleión podemos utilizr luno de los tres criterios siuientes: Criterio : Si = 0, estudimos los vlores de próimos, tnto l derec como l izquierd. En el prolem de l ventn, clculmos el perímetro pr =, y tommos por ejemplo vlores próimos, como 0 9 y, en los que clculmos el perímetro: P = 4; P0 9 = /0 9 = 8/0 9 > 4; P = + / = / > 4. Por tnto es un mínimo. Sin emro pr l cúic: y =, estudimos puntos próimos 0, 0, y0 = 0 00; y0 = 0 00, por tnto y0 < y0 < y0, por lo que l unción es creciente. No tiene ni máimo ni mínimo, como y símos. Criterio : Estudir el sino de l derivd en puntos próimos, con lo que sremos si l unción crece o decrece en esos puntos. En el prolem de l ventn, semos que P = /², por tnto: P 0 9 = /0 8 = 0 47 < 0. L unción es decreciente en 0 9. P = / = 0 5 > 0. L unción es creciente en. Si ntes del punto es decreciente y después es creciente, el punto es un mínimo. Sin emro pr l cúic: y = y =, estudimos el vlor de l derivd en puntos próimos 0, 0, y 0 = 0 0; y 0 = En mos puntos l derivd es positiv y l unción es creciente, por lo que 0, 0 no es ni máimo ni mínimo. Criterio : Pr que el punto, se un mínimo, l derivd dee ser netiv ntes de, cero en, y positiv después de, lo que nos indic que l unción derivd dee ser creciente. Como es un unción derivle, podemos clculr su derivd,, que es l seund derivd de l unción. Pr que se creciente en = dee ser positiv. Se ce un rzonmiento náloo si el punto es un máimo, l derivd ps de ser positiv nulrse y lueo ser netiv, lo que nos indic que l unción derivd dee ser decreciente y l seund derivd de l unción en = netiv. Por tnto este criterio nos dice: Si = 0 y > 0 entonces, es un mínimo. Si = 0 y < 0 entonces, es un máimo. En el ejemplo de l ventn: P = /² = ² P = ³ = 4/³ P = 4 > 0, lueo es un mínimo. En el ejemplo de l cúic: y = y = y = 6, por lo que y 0 = 0, lueo el punto 0, 0 no es ni un máimo ni un mínimo. Es un punto de inleión de tnente orizontl. Actividdes resuelts Se quieren construir depósitos cilíndricos de 4 m³ de cpcidd. Se dese que l supericie de cp se mínim pr rtr costes. Qué dimensiones son más convenientes? El volumen de un cilindro es iul V = r² que dee ser iul 4 m³. Por lo que = 4/ r². L supericie, S, de un cilindro es iul : S = r + r² = r4/r² + r² = 8/r + r². Derivmos e iulmos cero: S = 8/r² + 4r = 0 r = 8/4 = / r =. Los puntos críticos son: 0, 0 y, 8. Si r = 0 no tenemos cilindro. Usmos el tercer criterio pr ser si el punto crítico es máimo o mínimo: S r = 8 /r³ + 4= 6/r³ + 4 S = 6/ + 4> 0. Es un mínimo. Actividdes propuests 50. Clcul los máimos y mínimos de ls unciones siuientes: y = 4² + ; y = 5⁴ ; c y = ³ + ; d y = 4⁴ ² + 5; e y = 7³. 5. Se dese ricr envses con orm de prism recto cudrnulr de se cudrd de orm que el volumen se de un litro y l supericie empled se mínim. 5. Determin los máimos y mínimos de ls unciones siuientes: y = 6³ ² ; y = ³ + 5; c y = I 4I; d y = I + I + I I. Mtemátics I. Bcillerto de Ciencis. Cpítulo 7: Derivds Revisores: Emilio Díz y Mnuel Froue