Determinantes. Números reales. Los viajes de Gulliver

Transcripción

1 SOLUCIONRIO Determinntes Números reles L I T E R T U R Y M T E M ÁT I C S Los vijes de Gulliver «Su Sublimísim Mjestd [el Rey de Liliput] propone l Hombre- Montñ [Gulliver], recientemente llegdo nuestros celestiles dominios, los siguientes rtículos, que dicho Hombre-Montñ se compromete observr bjo solemne jurmento: El Hombre-Montñ no prtirá de nuestros dominios sin nuestr licenci utorizd por nuestro grn sello. No entrrá en nuestr cpitl sin nuestr orden expres, y cundo lo hg, los hbitntes serán dvertidos con dos hors de nticipción pr no slir de sus css. El dicho Hombre-Montñ pserá solmente por nuestros más nchos cminos reles y no ndrá ni se tenderá en ningun prder o cmpo de grno. [ ] Será nuestro lido contr nuestros enemigos de l isl de Blefuscu y hrá cunto esté en su mno pr destruir su flot, que l szón se prepr invdirnos. El sobredicho Hombre-Montñ, en sus rtos de ocio, yudrá y sistirá nuestros trbjdores, uxiliándolos levntr cierts grndes piedrs, erigir el muro del prque principl y otrs obrs de nuestros reles edificios. El menciondo Hombre-Montñ deberá, en el término de dos luns, eje cutr un exct medición del perímetro de nuestros dominios medinte un cómputo de sus propios psos en torno l cost. Finlmente, y previo su solemne jurmento de observr todos los enuncidos rtículos, el dicho Hombre-Montñ recibirá un consignción diri de vinds y bebids suficiente l mntenimiento de.8 de nuestros súbditos, sí como libre cceso nuestr person y otrs señles de nuestro fvor. Ddo en nuestro plcio de Belfborc, el dí de l lun 9 de nuestro reindo». El lector puede tener el gusto de observr que en l últim de ls norms necesris pr recobrr l libertd, el Emperdor estipul que se me conced un cntidd de comid y bebid suficiente pr mntener.8 liliputienses. lgún tiempo después, hbiendo preguntdo un migo de l Corte cómo se ls rreglron pr fijr un cifr tn concret, me dijo que los mtemáticos de Su Mjestd, trs medir l ltur de mi cuerpo usndo un cudrnte, descubrieron que er veces más grnde que l de uno de ellos. JONTHN SWIFT 8

2 SOLUCIONRIO Los vijes de Gulliver Jonthn Swift El rgumento de est novel clásic es muy conocido, pero quizá no se tn populr el hecho de que, lo lrgo de sus págins, precen numeross referencis ls mtemátics, especilmente en los cpítulos dedicdos ls «visits» que hce Gulliver Liliput y Lput. El párrfo elegido pertenece l primer de ells, un ventur que comienz cundo Gulliver, después de nufrgr, lleg un ply y, mientrs duerme, es presdo por los liliputienses. unque er un prisionero, el Emperdor trt Gulliver con much dignidd: orden que cd mñn, como sustento, le suministren seis reses vcuns, curent ovejs y otrs provisiones, demás de un «cntidd proporcionl de pn, vino y otros licores», siendo todo ello, como es nturl, de tmño liliputiense. Orden tmbién que trescientos sstres le confeccionen un trje l mod del pís y que seis de los más grndes sbios de Su Mjestd se ocupen de instruirlo en su lengu. Encrg, demás, que le hgn un colchón formdo por cutro cps de ciento cincuent colchones liliputienses cd un, cosidos entre sí, unque, pesr de todo, Gulliver no dejb de sentir l durez del suelo, que er de piedr bruñid. El Emperdor, convencido finlmente de que el Hombre-Montñ podí serle muy útil, sobre todo pr luchr contr los enemigos, decide concederle l libertd bjo uns cierts condiciones estipulds en un documento que se reproduce en el texto nterior. Puesto que l ltur medi de los liliputienses es l docev prte de l de Gulliver, ese dto le permite l novelist cuntificr el tmño del colchón donde h de dormir «el gignte» l cntidd de comid que deben drle en relción l de un liliputiense, l «superficie» de su vestido, etc. Todos estos números precen distribuidos por el texto y son un fuente de ctividdes didáctics muy interesntes. Form un mtriz cudrd de orden con los números que precen en el texto. Clcul el vlor de l expresión pr es mtriz, pr su trspuest y pr l que result de sumrle l primer column l segund. Qué observs? Por qué crees que ocurre esto? L mtriz que formn los números que precen en el texto es: L mtriz trspuest es: t L mtriz que result de sumrle l primer column l segund es: El vlor de l expresión es siempre el mismo, porque en el cso de l mtriz trspuest solo hemos vrido el orden de los fctores, y esto no vrí el resultdo, y en el segundo cso, porque l utilizr un combinción linel de ls columns l relción entre los términos no cmbi. 9

3 Determinntes NTES DE COMENZR RECUERD Comprueb si existen combinciones lineles entre ls fils de ests mtrices. ) B ) Pr comprobrlo estudimos si: F kf kf Considermos los elementos de ls columns primer y tercer, y que los de l segund column son todos nulos, y por tnto, verificn culquier combinción. k k k k k k Entonces: F F F Existe un combinción linel entre ls fils de est mtriz. Pr comprobrlo estudimos si: F kf kf kf Tommos los elementos de ls tres primers columns: k k k k k k k k k k k k k k k k k k Si k k k F F F Est combinción linel entre ls fils tmbién se verific con los elementos de l últim column; por tnto, existe un combinción entre ls fils de est mtriz. Clcul l mtriz invers de l mtriz, y comprueb que se cumple que I y que I. 8

4 SOLUCIONRIO CTIVIDDES Clcul el vlor de los determinntes de ests mtrices. ) ) 6 Clcul x pr que estos determinntes vlgn cero. ) 8 x x x ) x 8 x x x x x 6 x x 8 x Hll el determinnte de l mtriz trspuest de ests mtrices. ) t ) 6 t 8 6 Si b c d, clcul: ) c d b b c d c) c d b ) c d b b c d b c d c b d c) c d c d b b b c d 8

5 Determinntes Clcul el determinnte de y, prtir de él, hll B. B B ( 98) Si b c d, clcul: ) c b d c c c) b d ) c b d b c d c c c) b d Hll los siguientes determinntes plicndo sus propieddes. ) b b b b c) b b ) b b b b c) b b 8 Comprueb que ls dos mtrices cumplen que B B. B 6 B 6 6 B 6 6 B 6 6 B 8

6 SOLUCIONRIO 9 Determin el menor complementrio de. ) ) 6 Hll los elementos cuyo djunto es negtivo. ) ), y,,, y Resuelve estos determinntes, plicndo l definición y desrrollndo por lgun de sus columns. ) ) Utilizndo l definición: Desrrollndo por l primer column: ( ) ( ) Utilizndo l definición: 6 6 Desrrollndo por l segund column: + c) ( ) ( ) ( ) 6 c) Utilizndo l definición: Desrrollndo por l primer column: ( ) Resuelve estos determinntes. ) ) ( ) 8 8

7 Determinntes Hll todos los menores de est mtriz: Menores de orden :,,,,,,,,,,,,,, y Menores de orden : 6, 9,,,,, 6,, 6, 9, 6,,,,, 6,,,, 6,, 6,, 9,,,,,,,,,, 6, y Menores de orden : 8, 6,,,, 9,,, 8,, 9,,,, 8

8 SOLUCIONRIO 9 y Menor de orden : Clcul el rngo de ests mtrices. ) 6 B ) El rngo de l mtriz es. 6 El rngo de l mtriz es. Clcul el rngo de ests mtrices. ) 6 ) El rngo de l mtriz es. El rngo de l mtriz es. 6 Clcul x pr que el rngo de ests mtrices se. ) x x ) x Pr que el rngo de l mtriz se, el otro menor de orden tiene que ser distinto de cero. 6 x 6 x 6 8

9 Determinntes El rngo de l mtriz es pr culquier vlor de x. Determin l mtriz de los djuntos de ls siguientes mtrices. ) B 6 c) C ) dj ( ) dj ( B) 6 c) dj ( C ) 8 Comprueb que se cumple que dj () t I, siendo I l mtriz identidd de orden y. 9 9 Clcul l mtriz invers de ests mtrices. ) B ) dj t ( ) 9 9 B 6 dj B t 8 ( ) B

10 SOLUCIONRIO Hll x pr que ests mtrices tengn invers. Determin l invers cundo exist. ) x B x x ) x x 8 L mtriz tiene invers si x B x x t dj ( ) x 8 x x x x x 8 x x si x x x x x x x 8 x x x x x L mtriz B tiene invers si B x x x t B B x x B dj ( ) x x x x x x x x x x si x x x x x x x x x Clcul los siguienátes determinntes. ) c) b e) 6 9 d) x x x f) ) c) b b e) 6 9 d) x x x f ) 8

11 Determinntes Clcul, b, c y d pr que se cumpln ls igulddes. ) 6 b b c) c d) cc d d 8 ) 6 6 b b b b c) d) c c c c c c c d d d 8 d Obtén el vlor de los siguientes determinntes. ) c) e) x x x d) b c f) b c b c c b ) d) b c bc e) x x x x c) f) b c b c c b b c bc Clcul el determinnte de ls siguientes mtrices: B (L Rioj. Junio. Prte B. Problem ) B

12 SOLUCIONRIO Hll los vlores reles de, b y c pr que se cumpln ls igulddes. ) c) c c c 9 b b b d) d d d d d 8 ) b b b b b b b c c c) c c c 9 No tiene solución. d) d d d d d 8 d d d 6 Clcul el vlor del determinnte de l mtriz B, siendo: B B B Hll el vlor del determinnte de l mtriz B. 9 B B 6 B

13 Determinntes 8 Sen ls mtrices: B C 6 Comprueb si se verificn ls siguientes igulddes. Si lgun se verific, decide si se trt de lgun propiedd generl de los determinntes. ) c) C B C B B B d) B B 6 ) L iguldd no se cumple. 9 B B L iguldd no se cumple. c) C B 6 C B 6 ( ) L iguldd no se cumple. d) B 9 8 B ( ) L iguldd se cumple, porque es un de ls propieddes de los determinntes. 9 Dds ls mtrices: B 9 comprueb que se cumple que B B. Es siempre cierto pr culesquier dos mtrices cudrds de l mism dimensión? En cso firmtivo, justifíclo y, en cso negtivo, fcilit un contrejemplo. 6 B B 9 L iguldd se cumple en este cso, pero no siempre; el prtdo de l ctividd nterior es un contrejemplo. 9

14 SOLUCIONRIO Clcul cd uno de estos determinntes pr comprobr que: b c b c b c 6 c 8 8 b 6 9 b c b c ( 6 9 ( c ) 9 b c Si M es un mtriz cudrd y M 6, qué puedes decir del determinnte de M? Y del determinnte de M? M M M M M 6 6 Si n es el orden de l mtriz cudrd M, entonces: M n M n 6 n Hll el vlor de los siguientes determinntes, desrrollndo por l fil o column que más te interese. ) c) d) ) ( ) ( 6) 6 6 c) ( ) d) 9

15 Determinntes Clcul el siguiente determinnte 6 ) Usndo l regl de Srrus. Desrrollndo por los elementos de l primer column. ) ( ) 9 ( 9) Obtén el vlor del determinnte de l mtriz: Clcul el rngo de l mtriz: El rngo de l mtriz es. 6 Comprueb que l siguiente mtriz es de rngo El rngo de l mtriz es. 9

16 SOLUCIONRIO Estudi el rngo de ests mtrices. ) c) e) d) 8 f) ) El rngo de l mtriz es El rngo de l mtriz es. 8 c) 8 El rngo de l mtriz es. d) 8 9 El rngo de l mtriz es. 6 6 e) 8 El rngo de l mtriz es. 6 8 El rngo de l mtriz es. f ) El rngo de l mtriz es. 8 Comprueb que l mtriz tiene rsngo. ñde dos fils que no sen 6 nuls ni igules ls nteriores de modo que el rngo sig siendo. 6 El rngo de l mtriz es. 6 Respuest biert. Por ejemplo: 8 6 9

17 Determinntes 6 9 Dd l mtriz 6 9, ñde un column de modo que el rngo se. Demuésrlo. Respuest biert, por ejemplo: El rngo de l mtriz es. Pr qué vlor de m el rngo de est mtriz es? 6 m 6 Pr que el rngo de l mtriz se, el menor de orden tiene que ser igul. 6 m 6 m m 8 m 6 m El rngo de l mtriz es. Se consider l mtriz, siendo un prámetro rel. Clculr el rngo de según los vlores del prámetro. (rgón. Junio. Opción B. Cuestión ) Rngo () 6 Si 6: El menor de orden es distinto de cero. El rngo de l mtriz es. Si 6: El menor de orden es nulo. El rngo de l mtriz es. 9

18 SOLUCIONRIO Obtén el vlor de pr que el rngo de l mtriz se igul. 6 Pr que el rngo de l mtriz se, los menores de orden tienen que ser igules El rngo de l mtriz es. Clcul el rngo de cd mtriz en función de cd uno de los prámetros. ) 6 c ) 8 Rngo Si El menor de orden es distinto de cero. El rngo de l mtriz es. Si El menor de orden es nulo. El rngo de l mtriz es. 6 Rngo c 6 c Si c El menor de orden es distinto de cero. El rngo de l mtriz es. Si c El menor de orden es nulo. El rngo de l mtriz es. 9

19 96 Determinntes Hll l mtriz invers de ests mtrices: B C 6 D ) B B c) C C d) D D 9 9 Clculr l mtriz invers de l mtriz: (Murci. Junio. Bloque. Cuestión )

20 9 SOLUCIONRIO 6 Dds ls mtrices: B determinr l mtriz X ( B t ), donde es l mtriz invers de y B t es l mtriz trspuest de B. Justificr l respuest. (Extremdur. Junio. Opción. Problem ) B t X B t ( ) Dds ls mtrices: B con un prámetro rel no nulo, compruebe que B. (rgón. Junio. Opción. Cuestión ) B 8 Encuentre el vlor de que hce que l siguiente mtriz no teng invers. M (L Rioj. Junio 6. Prte. Cuestión ) 6 Si 6, l mtriz no tiene invers.

21 Determinntes 9 Encuentre el vlor de que hce que l siguiente mtriz no teng invers. M (L Rioj. Septiembre. Prte. Cuestión ) Si, l mtriz no tiene invers. Se l mtriz: m 6 m ) Determine pr qué vlores del prámetro m existe. Clcule pr m. (ndlucí. ño. Modelo. Opción B. Ejercicio ) ) m 6 m m m 6 m m m 6 m Si m R {, }, y por tnto, l mtriz tiene invers. Si m Pr qué vlores del prámetro l siguiente mtriz no tiene invers? M Hll l mtriz invers cundo. M L mtriz no tiene invers si su determinnte es nulo, es decir, si o. Si M M M 98

22 SOLUCIONRIO x Se consider l mtriz: x x ) Clcule los vlores de x pr los que no existe l invers de. Pr x, clcule, si es posible,. (ndlucí. ño. Modelo 6. Opción. Ejercicio ) x ) x x Si x o x, no existe l invers de. x x Si x 6 Es posible que un mtriz de tmño coincid con su trspuest? Y con su invers? (L Rioj. Junio. Prte. Cuestión ) Sí, cundo los elementos situdos en lugres simétricos respecto l digonl principl son igules. Si I I L mtriz identidd verific est relción. Clcul ls mtrices X, Y, Z y T que cumplen ls siguientes ecuciones. ) X c) Z 9 66 Y 6 d) T ) X 6 Y c) Z d) T

23 Determinntes Resuelve l ecución mtricil X B, siendo: / B (Bleres. Septiembre. Opción B. Cuestión ) X B X B I X B X B X B 6 Dds ls mtrices: B ) Clcule B. Clcule l mtriz invers de B y utilícel pr resolver l ecución XB B. (rgón. Junio 8. Cuestión ) ) B B B 6 XB B X B B BB B B ( ) I X

24 SOLUCIONRIO Dds ls mtrices: ) Hll l mtriz invers de. Resuelve l ecución mtricil X B. c) Clcul l mtriz X. (Cstill-L Mnch. Septiembre. Bloque. Ejercicio ) ) B X B X B B ( ) B I c) X 8 Resuelve l ecución mtricil MX M M t, siendo X un mtriz desconocid de tmño, M y Mt l trspuest de M. (L Rioj. Junio 8. Prte. Cuestión ) t t t t MX M M X M M M M M M M M ( ) I M M M X 9 Dds ls mtrices: B clculr un mtriz X tl que X B C. (Cstill-L Mnch. Septiembre. Bloque. Ejercicio ) C 8 6

25 Determinntes X B C X B C ( ) X Determin l mtriz X que verific l ecución X B donde: B (Extremdur. Septiembre. Opción B. Problem ) X B X B X B 6 X Dds ls mtrices: B clculr l mtriz X tl que XB. (Cntbri. Septiembre 8. Bloque. Opción )

26 SOLUCIONRIO XB X B B B X Siendo y B, rzone si posee solución l ecución mtricil X B y, en cso firmtivo, resuélvl. (ndlucí. ño. Modelo. Opción. Ejercicio ) Como es un mtriz de, pr obtener un mtriz B de, X tiene que tener dimensión. X B X B X 6 Dd l mtriz:, determine, si existe, l mtriz X que verifique: X. (ndlucí. ño. Modelo. Opción. Ejercicio ) X X X

27 Determinntes 6 Dd l mtriz: m m 6 ) Hllr los vlores de m pr los cules tiene invers. Hciendo m, encontrr l mtriz X que cumple: X ( ) (Pís Vsco. Junio 8. prtdo. Ejercicio ) ) 6 Se l mtriz: m L mtriz tiene invers si m. X ( ) X ( ) Si m 6 X ( ) 6 ( ) m 6 m ) Clcule los vlores de m pr que dich mtriz teng invers. Hciendo m, resuelv l ecución mtricil: X ( ) (ndlucí. ño. Modelo 6. Opción. Ejercicio ) ) m m m m m m Si m R {, } L mtriz tiene invers. X ( ) X ( ) 6 Si m X ( ) 6 6 ( ) 6

28 SOLUCIONRIO 66 Determin el vlor de X, Y y Z en ls ecuciones. ) 9 X Y c) 8 Z 8 ) X 9 9 Y c) Z Determine l mtriz X, de orden, que verific l iguldd: X (ndlucí. ño. Modelo 6. Opción B. Ejercicio ) X X X X 6

29 6 Determinntes 68 Resolver l ecución mtricil BX I donde: B e I es l mtriz identidd de orden tres. Justificr l respuest. (Extremdur. Junio. Opción B. Problem ) BX BX X B I I I ( ) B B X 69 Resuelv l siguiente ecución mtricil: X B C, siendo: B C (ndlucí. ño. Modelo. Opción. Ejercicio ) X B C X C B X C B ( ) X 8 6 Dds ls mtrices: B se pide: ) Clculr. Resolver l ecución mtricil X B B. (Glici. Junio. Bloque. Ejercicio )

30 SOLUCIONRIO ) I X B B X B B X B B B I I ( ) X Resuelve l ecución mtricil X B, siendo: B X B X B X B X B ( ) ( I I ) B ( ) X Hll ls posibles mtrices X que cumplen l ecución XC C, siendo: C XC C XC C X C C X ( ) ( I )C X C I I I ( )

31 Determinntes Sen ls mtrices: ) Clcule los vlores de y b pr que: B B Pr y b, resuelv l ecución mtricil: XB I (ndlucí. Junio 8. Opción. Ejercicio ) ) b B 6 b b b B 6 b B 6 Pr que B B los vlores deben ser: b b B x y X 6 z t x z y t 6 6 x y y z 6t t x 6 y x 6 y y z t t 6 x y y z 6t z t t Por tnto, result que: X Sen ls mtrices: B C ) Relice, cundo se posible, los siguientes productos de mtrices: B BC C Resuelv l ecución mtricil X B C. (ndlucí. ño. Modelo. Opción. Ejercicio ) ) B 8 El producto BC no es posible, porque l mtriz B tiene tres columns, y l mtriz C solo tiene dos fils. Del mismo modo, el producto C no es posible, y que l mtriz C tiene tres columns y l mtriz solo tiene dos fils. 8

32 9 SOLUCIONRIO X B C X C B X C B ( ) X Determin l mtriz X tl que XB C, siendo: B C 8 (Cstill-L Mnch. Junio. Bloque. Ejercicio ) XB C XB C XB C X C B ( ) ( ) B B X Sen ls mtrices: M N ) Clcule l mtriz MM t M (M t indic l trspuest de M). Clcule l mtriz B M y resuelv l ecución N XM MB, donde X es un mtriz. (ndlucí. ño. Modelo. Opción B. Ejercicio )

33 Determinntes ) M B M N XM MB N XM I XM I N X ( I N) M X Resolver l ecución mtricil t X B siendo: en donde t denot l mtriz trspuest de. (Glici. Junio. Bloque. Ejercicio ) B 6 t X B t X B X t ( ) B t t ( t ) X Dd l mtriz: ) Hll su invers. Resuelve l siguiente ecución: X 6 8 ) X X 6 8 X ( )

34 SOLUCIONRIO 9 6 ( ) 9 X Sen ls mtrices: B C Clcule l mtriz P que verific BP C t. (C t indic trspuest de C.) (ndlucí. ño. Modelo. Opción B. Ejercicio ) t t t BP C BP C P B ( C ) B B P 8 Dds ls mtrices: B C ) Hll l mtriz invers de. Resuelve l ecución mtricil X B C. c) Clcul l mtriz X. (Cstill-L Mnch. Junio. Bloque. Ejercicio )

35 Mtrices ) X B C X C B X C B ( ) c) X 8 Sen ls mtrices: B C ) Clcule l mtriz ( I )B, siendo I l mtriz identidd de orden. Obteng l mtriz B t (mtriz trspuest de B) y clcule, si es posible, B t. c) Clcule l mtriz X que verific X B C. (ndlucí. ño. Modelo. Opción. Ejercicio ) ) ( ) B I B t c) X B C X C B X C B ( ) X

36 SOLUCIONRIO 8 Determin l mtriz X pr que se cumpl: T 8 9 T Determinr l mtriz X, solución de l ecución mtricil XB I, donde: B I (Extremdur. Septiembre 8. Opción B. Problem ) XB I X IB X B X B B B X 8 Clcul l mtriz: b X c que verific l ecución mtricil XB C, siendo: B C 8 (C. Vlencin. Septiembre. Ejercicio B. Problem )

37 Determinntes XB C X CB X CB B B X Dds ls mtrices: B C se pide: ) Clculr l mtriz invers de y l mtriz invers de B. Hllr l mtriz X tl que XB C. c) Clculr l mtriz X. (Cstill-L Mnch. Junio. Bloque. Ejercicio ) ) B B XB C X CB X CB c) X 86 Se l mtriz m m m. ) Clcule los vlores de m pr que teng invers. Hciendo m, resuelv l ecución mtricil X I, donde I es l mtriz unidd de orden y X es un mtriz cudrd de orden. (ndlucí. ño. Modelo. Opción B. Ejercicio ) ) m m m m No tiene solución. Tiene invers pr culquier vlor de m.

38 SOLUCIONRIO X X X X I I m X Despej l mtriz X de ls siguientes ecuciones mtriciles. ) X X c) X X B e) X BX C X X B d) X X B f) X BX Clcul l mtriz X, en cd uno de los csos, sbiendo que: B C ) X X X X X X X B X B X B ( ) X c) X X B X B X B ( ) ( ) I I I ( ) I X d) X X B X B X B ( ) ( ) I I I ( ) 9 I X 9 9

39 6 Determinntes e) X BX C B X C X B C ( ) ( ) B ( ) B X f ) X BX BX X B X X B ( ) ( ) B ( ) B X 88 ) Despej l mtriz X en l ecución: X B X Hll l mtriz X de l ecución nterior sbiendo que: B (Cstill-L Mnch. Junio 8. Bloque. Ejercicio ) ) X B X X X B X B X B ( ) ( ) I I I ( ) I X

40 SOLUCIONRIO 89 Determine l mtriz X que verific l ecución BX X siendo: B (Extremdur. Junio. Opción B. Problem ) BX X BX X B X X B ( I) ( I) B I ( B I) X 9 Dd l ecución mtricil X B X con: ) Despejr l mtriz X. Clculr l mtriz X. (Nvrr. Junio. Ejercicio. Opción ) B ) X B X X X B X B X ( I ) ( I ) B I ( I ) X 9 Resuelve l ecución mtricil X BX C, siendo: B C (Glici. Septiembre. Bloque. Ejercicio ) X BX C X BX C ( B) X C X ( B) C B ( B) X

41 Determinntes 9 ) Despej l mtriz X en l ecución: X B X Hll l mtriz X sbiendo que: B (Cstill-L Mnch. Septiembre 6. Bloque. Ejercicio ) ) X B X X X B X( I) B X B( I) I ( I) X 9 Resolver l ecución mtricil X X B, siendo: B (Glici. Septiembre. Bloque. Ejercicio ) X X B X B X ( I) ( I) B I ( ) I X 8

42 9 SOLUCIONRIO 9 ) Despej l mtriz X en l ecución: X X I, siendo l mtriz invers de. Hll l mtriz X sbiendo que: I (Cstill-L Mnch. Septiembre. Bloque. Ejercicio ) ) X X X X X X I I I ( ) ( ) I ( ) I X 9 ) Despej l mtriz X en l ecución: X X B t Hll l mtriz X de l ecución nterior sbiendo que ls mtrices y B son: B 8 ) X X B X B X B t t t ( ) ( ) I I I ( ) I X 8 8

43 Determinntes 96 Considerr l ecución mtricil X X B t C, en donde ls mtrices, B y C vienen dds por: B C y donde B t denot l mtriz trspuest de B. ) Despejr l mtriz X en l ecución mtricil, qué orden tiene? Clculr l mtriz C B t y l invers de l mtriz I, siendo I l mtriz identidd de orden. c) Resolver l ecución mtricil obteniendo el vlor de l mtriz X. (Glici. Septiembre 8. Bloque. Ejercicio ) t t t ) X X B C X X C B X( I ) C B t X ( C B )( I ) L mtriz C B t tiene dimensión. L mtriz I es un mtriz cudrd de orden ; por tnto, l mtriz X tiene dimensión. C B t I ( I ) c) X 9 ) Resuelve l ecución mtricil: X X t C siendo t l mtriz trspuest de. Hll l mtriz X sbiendo que: C (Cstill-L Mnch. Septiembre. Bloque. Ejercicio ) ) X X t C X( t ) C X C( t )

44 SOLUCIONRIO t ( ) t X 98 ) Resuelve l ecución mtricil: X t XB siendo t l mtriz trspuest de. Hll l mtriz X sbiendo que: B (Cstill-L Mnch. Junio. Bloque. Ejercicio ) ) X XB XB X X B X B t t t t ( ) ( ) B ( ) B X

45 Determinntes 99 ) Despej l mtriz X en l ecución: X X BX C Hll l mtriz X sbiendo que: B C (Cstill-L Mnch. Junio 6. Bloque. Ejercicio ) ) X X BX C X X BX C B X C X B C ( ) ( ) I I B I ( ) B I X Determin l mtriz X, que es solución de l ecución mtricil: ( B)X t X I siendo: B ( ) ( ) ( ) B X X B X X B t t t I I B t X B t ( )

46 SOLUCIONRIO Rzon si ls soluciones de ls siguientes ecuciones mtriciles son corrects. Considermos como l mtriz nul. ) X Solución X X Solución X c) X X Solución X ) No es correct, porque hy mtrices no nuls que, multiplicds por sí misms, dn l mtriz cero; por ejemplo, ls mtrices de orden del tipo k y k. k k k k Si l mtriz tiene invers, l únic solución es X. Si no existe puede hber otrs soluciones, tl como sucede en el cso nterior. c) Escribiendo l ecución en l form: X X X( X ) se ve que puede hber otrs soluciones. Si y B son dos mtrices cudrds de orden y es digonl: ) Se verific B B pr culquier mtriz B? Cómo deberí ser pr que se cumplier est iguldd? ) No siempre se verific B B; por ejemplo: B b c b c B b c Vemos cómo debe ser pr que se verifique siempre l iguldd: b B b b c b b B b b b b b b b b b b b b b b b b bb cb b b c b b bb cb bb bb bb b bb cb cb cb cb L iguldd de ests mtrices implic que b c. Luego l mtriz debe ser de l form I.

47 Determinntes PREPR TU SELECTIVIDD ) Despej l mtriz X en l ecución: X B. Hll l mtriz X sbiendo que y B. (Cstill-L Mnch. Septiembre. Bloque. Ejercicio ) ) X B X XB XB X X B X B ( ) ( ) B ( ) B X Determinr l mtriz X que verific l ecución X B X donde: y B Justificr l respuest. (Extremdur. Junio. Opción B. Problem ) X B X X X B X B X B ( ) ( ) ( ) X

48 SOLUCIONRIO Determinr l mtriz que verific l ecución B B t, donde B y B t represent l mtriz trspuest de B. (C. Vlencin. Septiembre 6. Ejercicio. Problem ) t t t B B B B B B ( I) ( I) B I ( B I) 6 6 Hllr tods ls mtrices: X b c, b, c R que stisfcen l ecución mtricil X X. (Mdrid. Junio. Opción B. Ejercicio ) X b c b c b bc c b bc c b c ( ) b b bc b ( c) b b c c c c c c c c ( ) c Si b c X Si y b c X Si c y b X Si c y b X X b Si b c X b

49 6 Determinntes Dds ls mtrices y B, con un prámetro rel no nulo, compruebe que B. (rgón. Junio. Opción. Cuestión ) 6 Sen ls mtrices: B ) Clcule BB t t. Hlle l mtriz X que verific ( t )X B. (ndlucí. ño. Modelo 6. Opción. Ejercicio ) ) ( ) 8 8 ( ) ( ) X B X B t t t ( ) t X

50 SOLUCIONRIO Dd l mtriz : ) Hll su invers. Resuelve l ecución X 6 8. (C. Vlencin. Septiembre 8. Ejercicio B. Problem ) ) X X 6 8 X ( ) ( ) X

51 Sistems de ecuciones lineles Números reles SOLUCIONRIO L I T E R T U R Y M T E M ÁT I C S El tío Petros y l conjetur de Goldbch No quiero verte hciendo unos estudios que te conducirán l frcso y l desdich. En consecuenci, te pido que me hgs l firme promes de que no te convertirás en mtemático menos que descubrs que tienes un tlento extrordinrio. cepts? [ ] Pero cómo puedo determinr eso, tío? No puedes ni necesits hcerlo respondió con un sonrisit rter. Lo hré yo. Tú? Sí. Te pondré un problem que te llevrás cs y trtrás de resolver. Según lo que hgs con él, podré juzgr mejor si tienes mder de grn mtemático. [ ] Cuánto tiempo tendré? pregunté. [ ] Mmm... Bien, digmos que hst el comienzo del curso lectivo, el primero de octubre. Serán csi tres meses. Ignornte de mí, pensé que en tres meses er cpz de resolver no uno sino culquier número de problems mtemáticos. Tnto? Bueno, el problem será difícil contestó. No culquier puede resolverlo, pero si tienes dotes pr ser un grn mtemático, lo conseguirás. Nturlmente, deberás prometer que no pedirás yud ndie ni consultrás libros. Lo prometo dije. [ ] Eso signific que cepts el trto? [ ] Lo cepto! Sin pronuncir un plbr, el tío Petros se mrchó y l cbo de unos instntes regresó con lápiz y ppel. [ ] Quiero que intentes demostrr que todo entero pr myor que es igul l sum de dos primos. [ ] Eso es todo? Tío Petros scudió un dedo modo de dvertenci. No es tn sencillo! [ ] Por difícil que se lo conseguiré. Empezré trbjr de inmedito. PÓSTOLOS DOXIDIS 8