= + Tabla 1. Formas funcionales más frecuentes. (B) y (A) Convergencia asintótica implica que que y=0? xi. Leontief. si si 0 o UBC no.

Transcripción

1 Formas Flexbles en seres de empo Francsco Parra Rodríguez. Docor en Cencas Económcas. UNED. Jefe de Servco Esadíscas Económcas y Socodemográfcas del Insuo Canabro de Esadíscas..- Inroduccón Grffn, Mongomery, y Rser (987) en una revsón de la radconal leraura económca acerca de las funcones de produccón, denfcaron vene formas funconales (abla ) frecuenemene ulzadas, los nombres de cada una de esas funcones y sus formas algebracas aparecen lsadas en la prmera columna de la abla, en las sguenes fguran las prncpales propedades de dchas funcones, en la abla fguran las prmeras dervadas.

2 Tabla. Formas funconales más frecuenes. Funcon Forma funconal (,, k =,... n) = mn β β,..., β β Leonef y [ x, x x ] n n n > Lneal Cuadráca a y = α + βx + δx x Cúbca ab y = α + βx + δx x Leonef generalzada a (A) (B) (C ) (D) S x =0 para S x =0 para y Convergenca odo un mplca asnóca mplca que que y=0? x y=0? s s 0 o UBC no no no UBC no y = α + β x + y k = λ x x x k k δ x x Square roo a Logarmca Mscherlch Spllman Coob-Douglas Generalzada de y = α + β x + δ x x y = α + β ln x y = α + { exp( βx )} ( x ) y = α + β β no no U no no no U no s no UBN no no no U no ndefndo ndefndo UBN no s s UBN s s UBN s s UBN no y = α + x Coob-Douglas x a + x ln y = α + δ ln Transcendenal ( exp( δ )) β y α x x = + ndefnda no U no s s U no s β < 0 s 0 < β <

3 ( x ) Ressance y = α + β δ + Ressance modfcada y = α + β a x + δ x x CES ν ρ y = α + βx β Translog a ln y = α + β ln x + δ ( ln x )( ln x ) Generalzada ν cuadráca δ δγ δ ( γ ) y = β x x Generalzada de poencas y = α x / ( x)exp( g ( x) ) Generalzada Boxy = + x + x x Cox ( θ ) α β ( λ ) δ ( λ ) ( λ) Aumenada Fourer de donde y ( θ ) ( λ ) = θ ( y ) λ ( x ) θ donde x = λ y = α + β x + δ x x + γ h exp h x * h H donde odo x γ = γ + γ = [ π ] 0,, r c h h h, no no UBN s ndefndo ndefndo UBN s ndefndo ndefndo UBN no ndefndo ndefndo U no s no UBN no s s U no no no U no no no U no

4

5 Funcon (E) Lneal Homogénea (F) Homoeca (G) Elescadad consane susucón de (H ) Concavdad c (I) Número de dsnos parámeros (J) Lnealdad separable (K) Lnealdad separable s x = 0 Leonef S S σ = 0 s n no no Lneal S α = 0 S σ = affne n+ s s Cuadráca a S α = 0, odo s β = 0 ó NG NG s s lneal ( n + )( n + ) δ = 0 δ = 0 Cúbca ab d e NG NG ( )( )( ) 6 Leonef S S NG generalzada a Square roo a S α = 0, β = 0 s β = 0 Logarímca No S NG Mscherlch No No NG Spllman No No NG Coob-Douglas S β = Generalzada de Coob- S δ = Douglas a Transcendenal Ressance S β = S 0 Ressance modfcada a S 0 odoδ = 0 CES S 0 NG S s odo δ 0 s β > 0, odo δ 0 s β > 0 s α > 0, β < 0, exp ( β x ) < s 0 0 < β <, β x < α >, σ = s α > 0, 0 < β <, β < S no NG, δ = 0 s δ = 0 s δ = 0 s β > 0, δ > 0 α =, δ = 0 s δ = 0 NG s α > 0, 0 < β <, β < α =, α =, v = Translog a S β =, odo δ = 0 s odo δ = 0 NG S σ = ( + ρ ) S odo δ = 0 NG NG S 0 β > 0, 0 < v < α >, S β > 0, odo δ 0 s s Lneal n + 3 n + n + ( n )( n + ) ( n + )( n + ) s s (L) Subsumda en oras funcones cuadráca s s Generalzada de Leonef n+ s ndefndo n+ no no Spllman n+ no no Mscherlch n+ s no ( ) n + n + s f Coob-Douglas n+ s no Coob-Douglas n+ s s ( ) n + n + s ndefnda n+3 NG ndefnda Lneal, Coob- Douglas ( n + )( n + ) s ndefnda Coob-Douglas

6 Generalzada cuadráca Generalzada de poencas Generalzada Box-Cox Aumenada de Fourer S v = S NG S odo β 0, 0 γ, δ, ν n +3 NG NG Generalzada de Leonef, CES NG NG NG NG ndeermnada NG NG Transcendenal S = αλ + odo λβ = β, δ S odo δ = 0 o odo δ = 0, y odo λβ = δ No No NG NG NG NG g h NG NG s s Lneal cuadráca Noas: U sn resrccones de sgno (+, 0, ó -); UBC sn resrccones de sgno pero consane; UBN sn y resrccones de sgno bu nonswchng (eemplo s > 0 y para algún x x > 0, enonces > 0 para x odo x > 0 ); y NG no en general. a Asummos que δ = δ para odo,. b Asummos que λk = λ k = λk = λ k = λk = λk para odo,, k. c Algunas de las condcones de esado son sufcenes pero no necesaras para la concavdad local d Alguna como las formas cuadrácas con γ k = 0 para odo,,k. e S alguna de las sguenes condcones es sasfecha: () odo β = 0 () odo δ = 0 (3) γ k = 0 f S pero x puede ser gual a cero para solo un. ( ) g + 3n + 3 n asumendo θ y λ son lbres h ver apéndce Lneal, cuadráca, generalzada de leonef, raz cuadrada, logarmca, Coob Douglas, ressenca modfcada, CES, ranslogarmca. Fuene: Selecng Funconal Form n Producon Funcon Análss.Ronald C. Grffn, John M. Mongomery, and M. Edward Rser. Wesern Journal of Agrculural Economcs, (): 6-7

7 Tabla Prmeras dervadas de las formas selecconadas Funcon y x Leonef Lneal Cuadráca a 0 o β β β + δ x + Cúbca ab β δ x + 6γ k x xk + 3γ x J k Leonef generalzada a δ x x Square roo a β + δ x x Logarmca β x Mscherlch αβ ( ) ( ( ) exp β x exp β x ) Spllman Coob-Douglas Generalzada de Coob- x x ( β ) ( β ) αβ ln αβ x x β β + y Douglas ( ) a x x Transcendenal β α δ + x ( δ x ) x α exp Ressance β + y Ressance modfcada a y β x + δ x x CES ρ x β ν α + β x ( δ x ) ν + ρ ρ ρ

8 Translog a y β + β ln( x ) Generalzada ν δ v γ x cuadráca δγ δ ( γ ) δ ( γ ) ( ) Generalzada de poencas Generalzada νx y β x x + γ + λ δ x + hγ h exp * Box-Cox λ θ λβ δ ( λ x y x ) Aumenada de Fourer β + h H h x β x x δγ S se desea conocer las propedades de esas funcones consular las referencas bblográfcas que se can al fnal del exo: Heady y Dllon (quadrac, square roo, Mscherlch, Spllman, ressance, modfed ressance); Lau (square roos); Haler, Carer, and Hockng (ranscendenal); Uzawa (CES); Slberberg (CES); Dewer (generalzed Leonef); Chrsensen, Jorgenson, y Lau (ranslog - ranscendenal logarmca); Fuss, McFadden, y Mundlak (ranslog, generalzed Cobb- Douglas, square roo); Denny (generalzed quadrac); Bernd and Khaled (generalzed Box-Cox) y Gallan (augmened Fourer). A la hora de escoger una funcón para un rabao de economía aplcada hay que ener presene una sere de creros, que Grffn, Mongomery, y Rser (987) agrupan en cuaro caegorías de acuerdo a la relacón que enen con la presenca de hpóess, la esmacón, los daos o las aplcacones sobre las que esemos rabaando. En lo concernene a la presenca de hpóess hay que ener en cuena que algunas funcones pueden no verfcar las hpóess que se esablezcan en los fundamenos eórcos de la funcón a esmar. Por ano, a la hora de elegr la forma funconal a ulzar en la esmacón empírca, hay que escoger aquella especfcacón que perma el análss de dchas hpóess sn mponer resrccones a pror. Como han apunado Fuss, McFadden, y Mundlak (978), escoger una forma funconal deermna que algunas hpóess no puedan ser verfcadas, a veces la cuesón de s las hpóess especfcas podrían ser esadas o manendas es crca" (Ladd, 979).

9 En ese sendo la forma funconal debe ser conssene con la sasfaccón o volacón de las hpóess eórcas esablecdas, de modo que los resulados empírcos obendos sean consecuenca de los daos y no de la eleccón de la forma funconal. Esa propedad es lo que se denomna flexbldad susanva de la forma funconal. Por ano, sería preferble usar formas funconales que even resrccones mpuesas por la propa forma funconal, como son las llamadas formas funconales flexbles, desarrolladas sobre la base de que proporconan una buena aproxmacón local a una funcón arbrara dos veces dferencable (Dewer, 974). Eso perme además, que resrccones adconales ales como homogenedad, homoecdad, separabldad, rendmenos consanes a escala o elascdad de susucón consane puedan ser conrasados empírcamene a parr de los daos, más que mpuesas como resrccones a pror. Aunque, las formas funconales flexbles, son menos resrcvas en cuano a la presenca de hpóess, hay que ener en cuena la gran nformacón necesara para especfcar adecuadamene ales relacones. Caves, Chrsensen y Treheway (980) señalan la exsenca de res problemas que pueden resar aracvo a las formas funconales flexbles ulzadas en el rabao empírco, a saber: la volacón de las condcones de regulardad en la esrucura de la produccón, la esmacón de un número excesvo de parámeros y la ncapacdad para permr observacones que conengan nveles nulos. En cero sendo el esablecer reduccones en lo relavo a la presenca de hpóess ene sus coses, añadr flexbldad es no sempre deseable, y hay gualmene que ener en cuena un cose efecvo de oporundad al consderar una parcular dmensón de flexbldad. La forma funconal ene mplcacones para el proceso esadísco de esmacón de los parámeros. La dsponbldad de sufcenes daos, las propedades de esos daos, y la dsponbldad de recursos compuaconales pueden afecar a la eleccón de la forma funconal en el proceso de esmacón esadísca. A menudo, algunas formas no permen la esmacón de los parámeros por procedmenos de MCO, y procedmenos alernavos ípcos que ofrecen poca nformacón concernene a las propedades del esmador. Una ercera caegoría de creros de seleccón mplca consderacones específcas sobre la aproxmacón que se realza a los daos, en ese sendo el grado de sgnfcacón y grado de bondad esadísca en relacón a la varable explcava es un crero de seleccón de la funcón a ulzar en la aplcacón economérca. El cuaro grupo de creros de seleccón perenece a las caraceríscas de la aplcacones específcas que esemos esudando, así, por eemplo s el resulado de la ecuacón es ser

10 usado en smulacón o procedmenos de opmzacón, deermnadas propedades de las formas funconales pueden ser deseables a oras propedades. En general se suele preferr una forma funconal a ora según el eercco se rae de de funcón de produccón, una de demanda, benefcos o cose de produccón, así los recenes avances en leraura apunan a que las formas flexbles han sdo preferdas en aplcacones de demanda y cose. Una de las forma funconal más ulzada en la esmacón economérca de de funcones de produccón es la funcón Cobb-Douglas, fácl de esmar pero que presena mporanes lmacones o resrccones. La funcón Cobb-Douglas ha sdo amplamene ulzada en la leraura para examnar los efecos de escala, dado que esos podían ser fáclmene conrasados paramercamene por referenca a los exponenes de la funcón. Esa funcón perenece a la clase de funcones homogéneas y por ano resrnge la forma en la cual pueden ocurrr ano los efecos de escala como las elascdades de susucón. Exsen formas funconales que superan esas lmacones. Así, la funcón de elascdad de susucón consane (CES) fue la exensón naural de la Cobb-Douglas ya que permía que la elascdad de susucón pudese omar valores dsnos de la undad. S se busca una funcón que perma que la elascdad de susucón cambe al varar el produco o las proporcones de los facores producvos ulzados, la forma funconal que perme esas dos generalzacones es la funcón ranscendenal logarímca o ranslog. En el análss de las funcones de produccón, las formas funconales flexbles más ulzadas son la funcón cuadráca y ranslog. Cada una de esas formas funconales flexbles ene venaas e nconvenenes de modo que la eleccón enre ambas es algo que dependerá del obevo del rabao. En la esmacón de ssemas de demanda (funcones de uldad) se venían ulzando las especfcacones algebracas de las funcones lneales, CES y Coob-Douglas, que se caracerzan por mponer resrccones, explíca o mplícamene, sobre la funcón de uldad. Por ello, los ulmos análss han desarrollado aproxmacones a las funcones de uldad (dreca o ndreca) o de gaso en lugar de formas algebracas específcas. La funcón es homogénea de grado α + β + + β n. S α + β + + β n > hay rendmenos crecenes a escala, s α + β + + β n = ndca rendmenos consanes y s α + β + + β n <, enonces exsen rendmenos decrecenes a escala. Para mayor dealle consular Tovar, Jara-Díaz, Trullo (004).hp://

11 En prncpo, los úncos requermenos exgdos a esas formas son que, en prmer lugar, deben poseer sufcenes parámeros como para que puedan consderarse una aproxmacón adecuada a la verdadera funcón de uldad o gaso; y, en segundo lugar, deben generar funcones de demanda poencalmene negrables, es decr, capaces de verfcar las resrccones eórcas. Las formas flexbles más usadas en el análss de la demanda son las que proceden de aproxmacones de Taylor, de las que desacan las formas Translog nroducdas por Chrsensen, Jorgenson y Lau (975), y el Ssema de Demanda Cas Ideal, AIDS, propueso por Deaon y Muellbauer (980), que es el más ulzado en la hsora recene de la eoría de la demanda. 3. Flexbldad Dado que la forma funconal de la relacón enre la varable dependene y los regresores es en general desconocda, uno puede pregunarse s exse un modelo paramerco que pueda aproxmar una ampla varedad de relacones funconales. Flexbldad es así un concepo muldmensonal, y dar una defncón écnca de flexbldad puede no ser adecuado a odas las suacones. La flexbldad local (a veces Dewer flexbldad o smplemene flexbldad) mplca que una aproxmacón a una forma funconal converge a error cero (aproxmacón perfeca) para una funcón arbrara en sus dos prmeras dervadas en un puno parcular. Las seres de expansón de Taylor han domnado el campo de las formas de flexbldad local pero no es la únca posbldad de ofrecer flexbldad local (Barne). Ignorando las complcacones de la esmacón esadísca se puede asumr se puede aproxmar funconalmene una relacón conocda a una forma flexbles mponendo amplos errores en la aproxmacón funconal y sus dervadas leos del puno de aproxmacón perfeca (Despoaks, 980). Los problemas asocados a la esmacón de esos modelos ha reducdo el aracvo de las formas de flexbldad local. El eemplo propueso por Whe (980) demuesra que los esmadores mínmo cuadrados de las seres de expansón de Taylor no son ndcadores muy reales del vecor de los parámeros para una expansón cera de una funcón 3 Para más dealle consular Ramao J. Avances recenes en el análss economérco de la demanda.hp://eco.unex.es/ramao/vcnea.pdf

12 conocda. Como consecuenca de esas y oras nvesgacones, las propedades predcvas de las formas de flexbldad local han sdo enconradas poco sasfacoras. La flexbldad global (a menudo flexbldad de Sobolev) se prefere a la flexbldad local por la ausenca de resrccones de segundo oreden en cualquer puno (Gallan 98, 98). En prncpo, los úncos requermenos exgdos a esas formas flexbles son que, en prmer lugar, deben poseer sufcenes parámeros como para que puedan consderarse una aproxmacón adecuada a la verdadera funcón; y, en segundo lugar, deben generar funcones poencalmene negrables, es decr, capaces de verfcar las resrccones eórcas. En su aplcacón, a menudo, la norma de Sobolev no perme obener parámeros esmados, enonces la esmacón de las formas flexbles globales podría usar las radconales meddas de dsanca de mínmos cuadrados (Elbadaw, Gallan, y Souza, 983)...- Flexbldad local La flexbldad se enende como local (flexbldad de Dewer), cuando da lugar a una aproxmacón que converge a error cero (aproxmacón perfeca) a una funcón arbrara y sus dos prmeras dervadas en un puno concreo. Las seres de expansón de segundo orden de Taylor han domnado el campo de las formas de flexbldad local, pero las nferencas basadas en seres de Taylor pueden esar seramene sesgadas, debdo al comporameno problemáco del érmno resdual de la aproxmacón. Supongamos que el modelo es ( x) e y = g + Una sere de expansón de segundo orden de Taylor (que remaneder erm) de la funcón g(x) en el puno x=0 es x' Dx g(0) x g( x) = g(0) + x' D g(0) + x + R Usamos la aproxmacón, que smplfcamos oculando el ermno resudal, como una aproxmacón de g(x):

13 g( x) gk( x) = g(0) + x' D g(0) x + x' Dx g(0) x Cuando x 0, la aproxmacón vene a ser más o menos exaca, en el sendo de que gk(x) g(x), D x gk(x) D x g(x) y D xgk(x) D xg(x). Para x=0, la aproxmacón es excaa, en la prmera y segunda dervada. La dea que esa derás es que en muchas formas funconales flexbles g(0), D x g(0) y D xg(0) son consanes. S nosoros raamos esas como parámeros, la aproxmacón podría ener sufcenes parámeros lbres para aproxmar la funcón g(x), cuando es desconocda la forma; en concreo, el prmero y segundo orden, en el puno x=0. El modelo es: gk( x) = α + x' β + x' Γx Enonces el modelo de regresón a esmar es y = α + x'β + x' Γx Enre las formas flexbles más usadas que proceden de aproxmacones de Taylor desaca las formas Translog, noducdas por Chrsensen, Jorgenson y Lau (975). Sn embargo, al como han mosrado Caves y Chrsensen (980), Gulkey y Lovell (980), Barne (983), o Gallan (98), las nferencas dervadas de funcones basados en seres de Taylor pueden esar seramene sesgadas, debdo al comporameno problemáco del érmno resdual de la aproxmacón; ese hecho no es de exrañar 4, ya que las 4 En el modelo de regresón Dewer-flexble, se planea la sguene cuesón: Es p lm ˆ α = g(0)? Es plm ˆ β = D g(0)? Es plmγ ˆ = D g(0)? x La respuesa es no, en general, ya que s enconramos los valores ceros de los parámeros en esas dervadas, enonces e (error) forma pare del ermno resdual, el cual es funcón de x, enonces x y e esán correlaconados, lo que mplca que el esmador esa sesgado. (Creel M Economercs Verson 0.80, x

14 aproxmacones de Taylor poseen un carácer nherenemene local, funconando ben en un enorno pequeño (de amaño desconocdo) de un puno específco. En la leraura han surgdo varas alernavas que han nenado meorar (no sn dfculades) los problemas de la reducda dmensón de la regón regular de los modelos Taylor-flexbles (ambén denomnados modelos localmene flexbles. Enre ellas desacan las propuesas hechas por Barne (983), Gallan (98,98), o Dewer y Wales (987,988). Barne (983) propone el uso de aproxmacones de Lauren en lugar de las radconales de Taylor debdo a que las prmeras producen errores (de aproxmacón) con un comporameno global mucho menos volál que el de las segundas. De hecho, sus rabaos muesran que la forma Mnflex-Lauren (que resula de resrngr algunos parámeros de la aproxmacón orgnal), aún sn ser globalmene regular, da lugar a ssemas de demanda con regones de regulardad mucho más amplas que las dervadas de aproxmacones de Taylor. La aproxmacón complea de Lauren a la funcón ( x) Φ que ulza Barne (983) se escrbe en noacón marcal como: * Φ x = Φ ω = ao + a' ω + ω' Aω b' ω ω ' Bω + R ω ( ) ( ) ( ) ω, x n, ==,,..., w w w n Donde = ( w ) = ( x x,..., ) ω y ( ω) R es el error de la aproxmacón, y donde se supone que las marces de los parámeros A = [ ] y B = [ ] son smércas. La aproxmacón Mnflex-Lauren se obene al mponer las resrccones b = 0, b = 0 sobre la marz B y a 0 y b 0para sobre las marces A y B. Por oro lado, cuando el vecor b y las marces A y B son nulas, la expresón aneror da lugar a la funcón Leonef-Generalzado (Dewer, 97). En Dewer y Wales (987) se ulza la msma base de expansón (Mnflex-Lauren) que en los rabaos anerores, dando lugar a un modelo que ellos denomnan Barne- Generalzado. El modelo es compleamene regular, pero sólo localmene cuas-flexble, lo que supone lmar sensblemene el rango de nferencas que se derva de dcho modelo. a b February, 006 Dep. of Economcs and Economc hsory, Unversa auònoma de Barcelona). hp://pareo.uab.es/mcreel/economercs/economercs.pdf

15 .-. Forma Flexble de Fourer Gallan (98,98) nroduo una forma funconal con capacdades muy dsnas a las propuesas hasa el momeno, cuyas propedades de flexbldad eran en odos los casos locales. La forma de Fourer que ulza Gallan posee la propedad de flexbldad global, es decr, perme aproxmar arbraramene cerca ano a la funcón como a sus dervadas sobre odo el domno de defncón de las msmas. La dea que subyace en ese po de aproxmacones (que podrían denomnarse sem-no-paramércas) es amplar el orden de la base de expansón, cuando el amaño de la muesra aumena, hasa consegur la convergenca asnóca de la funcón aproxmane a la verdadera funcón generadora de los daos y a sus dervadas. Por raarse de una forma Sobolev-flexble 5 (frene a la Dewer-flexbldad de las anerores) es capaz de esmar conssenemene las elascdades preco y rena sobre odo el espaco de daos (ElBadaw, Gallan y Souza, 983); además, asnócamene pueden consegurse conrases esadíscos nsesgados (Gallan, 98, 98) y la elmnacón del problema de nferencas aumenadas provocado por la especfcacón de un deermnado modelo. Por úlmo, Gallan y Souza (99) han mosrado la normaldad asnóca de las esmacones dervadas de la forma de Fourer. En la pare negava, el modelo de Fourer puede consegur la regulardad global, pero las resrccones paramércas que ello mplca son excesvamene fueres (Gallan, 98); sn embargo, exsen condcones más débles (que no desruyen n la flexbldad n la conssenca de los esmadores) con las que se puede consegur la regulardad eórca al menos sobre un conuno fno de punos (Gallan y Golub, 983), aunque la mplenacón de ales resrccones resula complea (McFadden, 985). En cualquer caso, las smulacones de Mone Carlo realzadas por Flessg, Kasens y Terrell (997) y Chalfan y Gallan (985) han mosrado que la regón de regulardad de la forma de Fourer lbre -sn resrccones de nngún po- es mucho mayor que la correspondene a las formas Leonef-Generalzada o Translog. Un polnomo de Fourer vene dado por la expresón: a + k ( u cos( wo) + v sn( wo) ) = Donde k es el número de cclos eórcos o armóncos que consderamos, sendo el máxmo n/. 5 Para consular la norma Sebolevhp://pareo.uab.es/mcreel/Economercs/economercs.pdf

16 π w0 = es la frecuenca fundamenal (ambén denomnada frecuenca angular n fundamenal). oma los valores eneros comprenddos enre y n (es decr, =,, 3,...n). Los coefcenes de los armóncos venen dados por las expresones: n n n a = y, u = ( y cos( w0 ) ), v = y sn( wo ) n n n = = = La aproxmacón a una funcón no perodca g(x) por una sere de expansón de Fourer se realza en Gallar (98) añadendo es esa un érmno lneal y cuadráco. De esa forma que la aproxmacón unvarada se escrbe como: J g( x / θ ) = a + bx + cx + u cos( x) v s sn( x) () = El vecor de parámeros es = ( a b, c, u v,...,, ) θ, u J v J de longud K = 3 + J. Suponendo que los daos sgueran el modelo y = g( x ) + e para =,,,n esmaramos θ por mínmos cuadrados, mnmzando s n n ( θ ) = ( ) y g ( x / θ ) n [ K ] = Dado que la varable exógena x no esa expresada en forma peródca, debe de ransformase o normalzarse en un nervalo de longud menor que π 0,π., [ ] 0 Consderando θ la solucón al problema de mnmzacón aneror, podríamos obener dferenes solucones mnmocuadrácas para g (x), consderando dferenes valores de n y K y elegr aquel de ellos que meor aproxme, g (x), ( d / dx) g( x), y ( d / dx ) g( x). La norma de Sobolev perme evaluar dchos errores de aproxmacón. La expresón de la prmera y segunda dervada de la funcón () son las sguenes: D D x x g g J ( ) ( x ) = b + cx + u sn( x) v cos( x) /θ () = J ( ) ( x ) = c + u cos( x) + v sen( x) /θ (3) =

17 La aproxmacón mulvarada se descrbe en Gallan (984): A ( ) ' ' g x / θ = uo + b' x + x' Cx + u0 α + [ u α cos( kα x) v α sn( kα x) ] = α Donde C = A α = u ' 0α kα k a. La regla de formacón de la secuenca { kα } (98) y en Gallan (98) para dferenes ssemas. esá dada en Gallan Eemplo Sguendo a Gallan (98) vamos a esmar una forma de flexbldad global para la funcón g ( x) = ln( x + ), ulzando 50 observacones de x para un nervalo comprenddo enre [ 0,0;6 ]. Tabla 3 X g ( x) = ln( x + ) 0,0 0,0 0,3 0, 0,5 0, 0,37 0,3 0,49 0,40 0,6 0,48 0,73 0,55 0,85 0,6 0,97 0,68,09 0,74, 0,79,33 0,85,45 0,90,57 0,94,69 0,99,8,03,93,08,05,,7,5,9,9

18 ,4,3,53,6,65,9,77,33,89,36 3,0,39 3,3,4 3,5,45 3,37,47 3,49,50 3,6,53 3,73,55 3,85,58 3,97,60 4,09,63 4,,65 4,33,67 4,45,70 4,57,7 4,69,74 4,8,76 4,93,78 5,05,80 5,7,8 5,9,84 5,4,86 5,53,88 5,65,89 5,77,9 5,89,93 La aproxmacón ulzada es la descra en () con una únca varable dependene, y se ulzan 7 armóncos. Los regresores y el resulado de la esmacón mnmo cuadráca de () aparecen en la abla aduna: Tabla 4 x X g ( x /θ ) COS (x) SENO(x) COS(x) SENO(x) COS(3x) SENO(3x) COS(4x) SENO(4x) COS(5x) SENO(5x) COS(6x) SENO(6x) COS(7x) SENO(7x) 0,0 0,000 0,00,000 0,00,000 0,030 0,999 0,040 0,999 0,050 0,998 0,060 0,998 0,070 0,00 0,3 0,0 0,99 0,30 0,966 0,57 0,95 0,380 0,868 0,497 0,796 0,605 0,7 0,703 0,64 0,790 0, 0,5 0,03 0,969 0,47 0,878 0,479 0,73 0,68 0,540 0,84 0,35 0,949 0,07 0,997-0,78 0,984 0,3

19 0,37 0,07 0,93 0,36 0,738 0,674 0,445 0,896 0,09 0,996-0,76 0,96-0,605 0,797-0,85 0,54 0,35 0,49 0, 0,88 0,47 0,557 0,830 0,0 0,995-0,379 0,95-0,770 0,638-0,980 0,00-0,959-0,84 0,399 0,6 0,9 0,80 0,573 0,344 0,939-0,56 0,967-0,764 0,645-0,996 0,09-0,869-0,495-0,48-0,904 0,476 0,73 0,7 0,745 0,667 0, 0,994-0,580 0,84-0,976 0,0-0,874-0,487-0,36-0,945 0,387-0,9 0,548 0,85 0,36 0,660 0,75-0,9 0,99-0,830 0,558-0,967-0,56-0,446-0,895 0,378-0,96 0,945-0,37 0,65 0,97 0,47 0,565 0,85-0,36 0,933-0,973 0,30-0,740-0,673 0,37-0,99 0,895-0,447 0,874 0,485 0,678,09 0,59 0,46 0,887-0,57 0,80-0,99-0,8-0,345-0,939 0,673-0,740 0,967 0,54 0, 0,975 0,737, 0,73 0,353 0,936-0,75 0,66-0,883-0,469 0,7-0,99 0,973-0,3 0,560 0,89-0,578 0,86 0,793,33 0,88 0,38 0,97-0,886 0,463-0,66-0,750 0,57-0,8 0,933 0,359-0,6 0,99-0,993 0,5 0,846,45,05 0, 0,993-0,97 0,39-0,355-0,935 0,886-0,465 0,568 0,83-0,749 0,663-0,748-0,663 0,896,57,3 0,00,000 -,000 0,00-0,00 -,000,000-0,003 0,004,000 -,000 0,005-0,006 -,000 0,944,69,43-0,9 0,993-0,97-0,36 0,350-0,937 0,888 0,459-0,56 0,88-0,755-0,656 0,74-0,67 0,990,8,64-0,37 0,97-0,888-0,460 0,658-0,753 0,576 0,87-0,93 0,366-0,35-0,99 0,995 0,03,033,93,86-0,35 0,936-0,753-0,658 0,88-0,473 0,34 0,99-0,975-0,3 0,55-0,834 0,587 0,80,075,05, -0,46 0,887-0,575-0,88 0,99-0,33-0,339 0,94-0,678-0,735 0,965-0,63-0, 0,977,5,7,35-0,564 0,86-0,364-0,93 0,974 0,5-0,735 0,678-0,45-0,989 0,899 0,438-0,869 0,495,54,9,6-0,659 0,75-0,3-0,99 0,833 0,554-0,965 0,6 0,439-0,899 0,387 0,9-0,949-0,36,9,4,9-0,744 0,668 0,07-0,994 0,584 0,8-0,977-0,4 0,870-0,494-0,37 0,948-0,397-0,98,7,53 3, -0,89 0,574 0,34-0,940 0,6 0,965-0,768-0,64 0,997 0,084-0,864 0,504 0,48-0,908,6,65 3,5-0,88 0,47 0,554-0,83-0,096 0,995-0,385-0,93 0,775 0,63-0,98-0,9 0,955-0,95,95,77 3,84-0,93 0,363 0,736-0,677-0,440 0,898 0,084-0,996 0,83 0,959-0,6-0,79 0,857 0,55,37,89 4,8-0,969 0,49 0,876-0,48-0,78 0,685 0,535-0,845-0,308 0,95 0,06-0,998 0,89 0,98,358 3,0 4,53-0,99 0,3 0,966-0,60-0,93 0,385 0,865-0,50-0,79 0,6 0,704-0,70-0,605 0,796,389 3,3 4,9 -,000 0,0,000-0,03-0,999 0,035 0,999-0,046-0,998 0,058 0,998-0,069-0,997 0,08,48 3,5 5,8-0,994-0,08 0,977 0,5-0,948-0,30 0,907 0,40-0,857-0,56 0,796 0,606-0,76-0,688,447 3,37 5,68-0,974-0,6 0,897 0,44-0,774-0,633 0,6 0,79-0,46-0,909 0,99 0,980 0,08 -,000,475 3,49 6,09-0,940-0,34 0,767 0,64-0,50-0,865 0,76 0,984 0,70-0,985-0,497 0,868 0,763-0,646,50 3,6 6,5-0,89-0,45 0,59 0,806-0,65-0,986-0,98 0,954 0,697-0,77-0,946 0,35 0,99 0,37,58 3,73 6,96-0,83-0,555 0,384 0,93 0,93-0,98-0,705 0,709 0,980-0,98-0,95-0,379 0,559 0,89,554 3,85 7,4-0,759-0,65 0,53 0,988 0,56-0,850-0,953 0,303 0,9 0,390-0,446-0,895-0,44 0,970,579 3,97 7,88-0,676-0,737-0,086 0,996 0,79-0,60-0,985-0,7 0,540 0,84 0,55-0,967-0,885 0,466,603 4,09 8,36-0,583-0,8-0,30 0,947 0,956-0,9-0,795-0,607-0,030,000 0,89-0,559-0,937-0,348,67 4, 8,86-0,48-0,876-0,536 0,844 0,998 0,064-0,45-0,905-0,589 0,808 0,99 0,7-0,366-0,930,65 4,33 9,37-0,373-0,98-0,7 0,69 0,9 0,4 0,04-0,999-0,94 0,335 0,66 0,749 0,448-0,894,673 4,45 9,9-0,59-0,966-0,865 0,50 0,708 0,706 0,498-0,867-0,967-0,56 0,004,000 0,965-0,63,696 4,57 0,4-0,4-0,990-0,960 0,8 0,44 0,90 0,84-0,539-0,653-0,757-0,657 0,754 0,840 0,543,77 4,69-0,0 -,000-0,999 0,045 0,067 0,998 0,996-0,089-0, -0,994-0,99 0,34 0,56 0,988,739 4,8,6 0,097-0,995-0,98-0,94-0,89 0,957 0,95 0,38 0,469-0,883-0,833-0,553-0,63 0,776,759 4,93, 0,6-0,976-0,907-0,4-0,607 0,794 0,644 0,765 0,886-0,464-0,6-0,965-0,999 0,048,780 5,05,8 0,33-0,944-0,78-0,65-0,848 0,59 0,9 0,976 0,993 0,7 0,439-0,898-0,70-0,7,800 5,7 3,4 0,44-0,897-0,60-0,793-0,980 0,97-0,57 0,966 0,754 0,657 0,93-0,386 0,06-0,998,80

20 5,9 4 0,546-0,838-0,404-0,95-0,987-0,6-0,674 0,739 0,5 0,968 0,948 0,38 0,784-0,60,839 5,4 4,6 0,64-0,766-0,75-0,985-0,867-0,499-0,939 0,344-0,340 0,94 0,503 0,864 0,985 0,70,858 5,53 5,3 0,730-0,684 0,064-0,998-0,636-0,77-0,99-0,8-0,8 0,585-0,9 0,98 0,53 0,847,876 5,65 6 0,806-0,59 0,300-0,954-0,33-0,946-0,80-0,57 -,000 0,04-0,79 0,6-0,76 0,96,895 5,77 6,6 0,87-0,49 0,58-0,855 0,03 -,000-0,464-0,886-0,839-0,544-0,998-0,06-0,900 0,436,93 5,89 7,3 0,94-0,383 0,706-0,708 0,38-0,94-0,00 -,000-0,385-0,93-0,709-0,705-0,95-0,380,930 Los represenacón gráfca de los resulados obendos aparece en la fgura nº. Fgura,5,5 g(x)=ln(x+) FFF_MCO 0, En el cuadro aduno fguran los coefcenes obendos en la esmacón MCO de la expansón de Gallan(98): Tabla 5 coefcenes COEFICIENTE VARIANZA Consane -0,40 0,0058 X 0,855 0,0063

21 x -0,639 0,00 COS (x) 0,709 0,004 SENO (x) 0,093 0,0009 COS (x) 0,079 0,000 SENO (x) 0,07 0,0004 COS (3x) 0,0090 0,0004 SENO (3x) 0,0050 0,000 COS (4x) 0,0037 0,000 SENO (4x) 0,006 0,000 COS (5x) 0,007 0,000 SENO (5x) 0,0005 0,000 COS (6x) 0,0008 0,000 SENO (6x) 0,000 0,000 COS (7x) 0,0004 0,0000 SENO (7x) 0,0000 0,000

22 3.- Modelos de Regresón Armónca. La aplcacón de la forma de Fourer a los modelos de seres emporales ha dado lugar a los modelos de regresón armónca. Una regresón armónca dnámca es una parcularzacón del conuno de modelos de componenes no observables que adopa la sguene forma: R ( ϖ ) ( ϖ ) ν () x( ) = a cos + b sn + ; =,,..., N = 0 donde v es resduo con la forma de un proceso esaconaro, que puede ser represenado por un modelo ARMA; a, b y w son parámeros desconocdos. El número de armóncos R se puede consderarse conocdo o desconocdo, exsendo dferenes procedmenos para deermnar el número de armóncos a consderar en el méodo de esmacón. Una vez se esablece el número de armóncos y se deermnan las frecuencas w, se realza una regresón para obener una esmacón de los parámeros a y b. A parr de esa regresón se obene el resduo v, y se procede a denfcar y esmar un modelo ARMA para v. El problema esa enonces en deermnar el número de armóncos R y las frecuencas w. Exsendo para ello cnco procedmenos: - Los méodos basados en el perodograma o la ransformada dscrea de fourer (TDF) (Wle (95), Waler (973), Hannan (973), Campbell y Waler (977) ec..). - Los méodos del especro mxo (Presley (964,98) y Bhansal (979)). 3- Los méodos auoregresvos (Marple, (987), Troung Van s (990)). 4- Méodos de auovalores (Psarenko (973) y Kay Marple (98)). 5- Méodos de regresón dnámca (Young, Pedregal y Tych, 999). Los méodos basados en el perodograma, proporconan esmacones de las frecuencas ω cuando se asume que v es un error gausano.

23 La Transformada de Fourer, F(u), se defne para una funcón connua de varable real, f(x), medane la sguene formula: = xu dx F(u) f(x)e [ π ] [ ] sendo =, e π ux = cos(π ux) + sen(π ux) las dsnas frecuencas. y u una varable que represena Esa funcón ene ransformada nversa, lo que sgnfca que ha parr de la funcón F(u) podemos calcular la funcón f(x): f(x) = F(u)e [ π xu] du Para que una funcón enga Transformada de Fourer han de verfcarse algunas condcones (Condcones de Deerlch). No obsane, hay que desacar que, por regla general, las funcones con las que raamos los problemas reales verfcan odas las condcones que es necesaro mponer para que las expresones anerores puedan calcularse. Como ya se ha señalado, la Transformada de Fourer es una funcón complea con una pare real y ora pare magnara, es decr: F( u) = R( u) + I( u) donde R(u) es la pare real y I(u) es la pare magnara. La represenacón gráfca de la funcón de magnud F(u) se le denomna Especro de Fourer y se expresa en érmnos del modulo del número compleo: F( u) = R ( u) + I ( u)

24 Las seres emporales no son consderadas funcones connuas como al, sno muesras de señales connuas omadas a una msma dsanca emporal a parr de un valor ncal Y 0. La Transformadas Dscrea de Fourer asocadas a una sucesón fna (Y ) de amaño N, que esá defnda para los armóncos πk/n con: w k n = Y e n = 0 k( )π n k = 0,,... n, n = par k = 0,,... n, n = mpar El gráfco de los módulos al cuadrado frene a la frecuenca es el perodograma o especro empírco de la sucesón Y. Enonces, s se ene en cuena la relacón de Parseval que expresa que : nσ q n = k = wk + wn, q = Se muesra que el perodograma esuda de hecho la dsrbucón de la varanza o poenca de la sere en funcón de los dversos armóncos. Dado que la expresón: k ( )π ) n e equvale a: sen k( )π + cos k( ) π n n

25 Alvarez (990) propone obener el perodograma, a parr de los coefcenes de Fourer, obendos al esmar por mnmos cuadrados una ecuacón del po: o k p ( a p cos pϖ 0 + bp pwo) v C = a + sn + C w En la que o = π desgna el cclo esmado (sere lbre de endenca); T ;T es el amaño de la sere y concde con el perodo de mayor cclo que es posble esmar con el amaño de la sere; p a p b ndca el orden del armónco; y p son los coefcenes a esmar por mínmos cuadrados; v es un resduo no explcado de los k cclos que verfca las propedades cláscas de la perurbacón de los modelos economércos 6. El perodograma o esmador del especro se calcularía enonces a parr de: I ( w ) p T = ( a + b ) p 4π p ( a + ) p b p y la conrbucón de la varanza por cada armónco, sería. S una sere emporal presena en su perodograma unos pocos cclos que explcan un porcenae sgnfcavo de su varanza e ncluye además algún pcos en el perodograma, podemos obener un esmador del cclo de dcha sere wk emporal a parr de los y de los armóncos correspondenes a dchos cclos. a 6 p La esmacón de cada par de coefenes y armónco regresando la sere bp se realza ndependenemene para cada C sobre cada seno y coseno calculado para wo.

26 Parendo pues de una represenacón de la endenca ó movmeno relevane de la sere emporal obenda, por eemplo a parr de una endenca cuadráca, un especfcacón de un modelo de regresón armónca sería el sguene: p ( a p cos p + bp pwo) v k 6 y = a + b + c + ϖ 0 sn + () T + ( T + )( T + ) Donde k es el número de armóncos correspondenes a los cclos que explcan en el perdograma un porcenae deermnado de la varanza de la sere. Como se puede observar el modelo de regresón armónca anerormene descro se asemea al obendo parr de la aproxmacón unvarada en la forma de Gallan (), para el caso parcular en donde x=. J g( w / θ ) = a + bw + cw + u cos( w ) v s sn( w ) (3) = π Donde w =, el vecor de parámeros es θ = ( a b, c, u v,..., u J, v J ) de longud T K = 3 + J, sendo J = 7. Eemplo, A connuacón realzamos una regresón armónca a la sere ln(+), en base a () y ulzando los 5 armóncos deermnanes (T/). La endenca cuadráca calculada y la represenacón del cclo esmado o sere lbre de endenca aparece en las fguras y 3. Fgura

27 4,5 4 3,5 3,5,5 0, g()=ln(+) Tendenca Fgura 3 0,4 0, 0-0, -0,4-0,6-0,8 - -, Cclo Esmacón del cclo Las esmacones MCO para obener los 5 armóncos (T/) fguran en la abla 5. En la fgura 3 se puede aprecar el ause realzado en la esmacón del cclo con

28 la suma de los 5 prmeros armóncos, consderados como los más relevanes una vez represenado el perodograma del cclo esmado (fgura 4). Tabla 5 Perodograma I ( w p ) Conrbucón a la varanza cclo armónco a b 50,0 0,0763-0,338 4,3460 0,0553 5,0-0,0457-0,338 0,7850 0,000 6,7 3-0,0587-0,0706 0,33 0,004,5 4-0,0568-0,040 0,90 0,004 0,0 5-0,050-0,09 0,67 0,006 8,3 6-0,0469-0,08 0,099 0,00 7, 7-0,04-0,0043 0,0706 0,0009 6,3 8-0,0379 0,000 0,0564 0,0007 5,6 9-0,034 0,0050 0,0465 0,0006 5,0 0-0,0306 0,0080 0,0393 0,0005 4,5-0,075 0,003 0,0339 0,0004 4, -0,047 0,0 0,098 0,0004 3,8 3-0,0 0,036 0,065 0,0003 3,6 4-0,097 0,048 0,039 0,0003 3,3 5-0,075 0,058 0,09 0,0003 3, 6-0,054 0,066 0,00 0,0003,9 7-0,035 0,073 0,089 0,000,8 8-0,06 0,078 0,078 0,000,6 9-0,0098 0,083 0,069 0,000,5 0-0,008 0,086 0,06 0,000,4-0,0064 0,089 0,056 0,000,3-0,0048 0,09 0,05 0,000, 3-0,003 0,093 0,050 0,000, 4-0,006 0,093 0,048 0,000,0 5 0,0000 0,0097 0,0037 0,0000 Fgura 4

29 Perodograma de ln(+) 60,0 50,0 40,0 30,0 0,0 0,0 0, Fnalmene en la abla 6 aparece el ause realzado sobre la sere orgnal, y en la fgura 5 la represenacón del ause obendo, se ncluye la represenacón de la Forma Flexble de Fourer de Gallan (3), realzando la ransformacón w = π para realzar la expansón en el nervalo [ 0,π ]. T Tabla 6 n w() g()=ln(+) Regresón FFF_Gallan armónca 0,8 0,693 0,7069 0,693 0,565,0986,077, ,3847,3863,387, ,59,6094,69, ,64,798,80, ,7694,9459,9468, ,8976,0794,0735,0794 8,058,97,9,97 9,54,306,306,306 0,83,3979,408,3979,405,4849,4896,4849,5387,5649,5664,5649 3,6670,639,6365,639

30 Fgura 5 4,795,708,704,708 5,934,776,7708,776 6,057,833,8348,833 7,799,8904,8937,8904 8,308,9444,9466,9444 9,4363,9957,9949,9957 0,5646 3,0445 3,046 3,0445,698 3,090 3,0886 3,090,80 3,355 3,356 3,355 3,9493 3,78 3,805 3,78 4 3,0775 3,89 3,5 3,89 5 3,057 3,58 3,586 3,58 6 3,3339 3,958 3,938 3, ,46 3,33 3,394 3,33 8 3,5904 3,3673 3,366 3, ,786 3,40 3,408 3, ,8468 3,4340 3,4369 3, ,975 3,4657 3,4674 3, ,033 3,4965 3,4955 3, ,35 3,564 3,533 3, ,3598 3,5553 3,5530 3, ,4880 3,5835 3,5840 3, ,66 3,609 3,640 3, ,7444 3,6376 3,6407 3, ,877 3,6636 3,6638 3, ,0009 3,6889 3,6857 3, ,9 3,736 3,7095 3, ,574 3,7377 3,7366 3, ,3856 3,76 3,7646 3, ,538 3,784 3,7896 3, ,640 3,8067 3,8089 3, ,7703 3,886 3,845 3, ,8985 3,850 3,843 3, ,067 3,87 3,8675 3, ,550 3,898 3,8988 3, ,83 3,90 3,94 3, ,44 3,938 3,90 3,938

31 4,5 4 3,5 3,5,5 0, g(x)=ln(x+) FFF_Gallan Regreson Armónca 4.-Aproxmacón de Fourer en la represenacón en forma de angene. y N σ. Dadas n observacones de la varables aleaoras ( ) y, y y y y =.. y n A cada observacón (, y ) le corresponde un puno P en el ee caresano, de forma que P (, y); P (, y);... Pn ( n, y n ) A su vez, se hace corresponder un forma polar r γ para cada par (, y ), sendo: y r = + y y γ = ArcTg

32 Dado que P (, y ) = + y = ( r cos γ ) + ( r senγ ),se obene que y = r sen( γ ) o y = g( γ ) (4) Pudéndose esmar la varable aleaora γ, a parr de una expansón de la forma () ó (3) π ( ) c sn π n ( n ) = n/ 6 ( ) γ ( ) = γ 0 + γ + γ + c cos + n + ( n + )( n + ) = J g( γ / θ ) = a + bγ + cw + u cos( γ ) v ssn( γ ) Eemplo 3 = Tomando los puesos de rabao equvalenes a empo compleo de la CNTR de España, vamos a consrur dcha sere emporal a parr de la regresón armónca del cclo empírco del argumeno, es decr de y = g(α ) sendo 6 α ( ) ( ) = α0 + α + α + + n + n + n + = n/ c cos π ( )( ) ( ) c sn π n ( n ) = En la abla 7 fguran los cálculos realzados para obener el argumeno de la sere emporal, su endenca y cclo empírco: Tabla 7 Puesos de rabao equvalenes a empo compleo y/x argumeno en radanes (α) Tendenca del argumeno Cclo empírco del argumeno (YC) 995TI, TII 3, TIII 3,

33 995TIV 3, TI, TII 3, TIII 3, TIV 3, TI 3, TII 3, TIII 3, TIV 3, TI 3, TII 4, TIII 4, TIV 4, TI 4, TII 4, TIII 5, TIV 5, TI 5, TII 5, TIII 5, TIV 5, TI 5, TII 6, TIII 6, TIV 6, TI 6, TII 6, TIII 6, TIV 6, TI 6, TII 6, TIII 7, TIV 7, TI 7, TII 7, TIII 7, TIV 7, TI 7, TII 7, TIII 8, TIV 8,

34 006TI 8, TII 8, TIII 8, TIV 8, TI 8, La represenacón del argumeno en radanes y la endenca calcula aparecen en la fgura 6. Fgura a radanes endenca TI 996TI 997TI 998TI 999TI 000TI 00TI 00TI 003TI 004TI 005TI 006TI 007TI En la fgura 7 aparece el cclo empírco:

35 cclo emprco TI 995TIV 996TIII 997TII 998TI 998TIV 999TIII 000TII 00TI 00TIV 00TIII 003TII 004TI 004TIV 005TIII 006TII 007TI Los coefcenes y los pesos del perodograma obendos fueron los sguenes: Tabla 6 Frecuenca Perodo R c c ( ) I w p () E E E E E E E E E E E E E E E E %()

36 E E E E E E E E Los pesos del perodograma muesran una sere en la que los armóncos y. explcan el 96.8% de la varanza de la sere, en ano que el armónco sería el únco pco relevane del perdograma. Esos armóncos consurían por ano la represenacón del cclo eórco de la sere. Como se comprueba en la abla 7 y en la fgura nº8 en donde se represenan las seres del cclo empírco de la esmada a parr de la suma de armóncos, y en el gráfco nº9 en donde aparecen represenados los errores de esmacón obendos. Tabla nº 7 Esmacón cclo emprco Puesos de rabao equvalenes a empo compleo (Esmado Cclo empírco) Esmacón α radanes 995TI 0,000, TII 0,000, TIII 0,000, TIV 0,000, TI 0,000, TII 0,000, TIII 0,0000, TIV 0,0000, TI 0,0000, TII 0,0000, TIII 0,0000, TIV 0,0000, TI 0,0000, TII -0,000, TIII -0,000,

37 998TIV -0,000, TI -0,000, TII -0,000, TIII -0,000, TIV -0,000, TI -0,000, TII -0,000, TIII -0,000, TIV -0,000, TI -0,000, TII -0,000, TIII -0,000, TIV -0,000, TI -0,000, TII -0,000, TIII 0,0000, TIV -0,000, TI -0,000, TII 0,0000, TIII 0,0000, TIV 0,0000, TI 0,0000, TII 0,0000, TIII 0,0000, TIV 0,0000, TI 0,0000, TII 0,0000, TIII 0,000, TIV 0,000, TI 0,000, TII 0,000, TIII 0,000, TIV 0,000, TI 0,000, Fgura 8

38 0, , , Sere suma de armóncos Sere de cclo empírco (YC) 0, , , , La represenacón de la sere emporal orgnal y Fgura 9. Fgura TI 996TII 997TIII 998TIV 000TI 00TII 00TIII 003TIV 005TI 006TII = g(α ) se represena en la

39 TI 996TII 997TIII 998TIV 000TI 00TII 00TIII 003TIV 005TI 006TII Puesos de rabao equvalenes a empo compleo.(esm ado cclo empírco) Puesos de rabao equvalenes a empo compleo Como se puede aprecar la aproxmacón por el cclo eórco es basane mprecsa en el arranque de la sere pero es acepable en su exremo fnal. Eemplo 4 Tomando los puesos de rabao equvalenes a empo compleo de la CNTR de España, vamos a consrur dcha sere emporal a parr de la expanson FFF del argumeno, y = g(α ) sendo

40 J g w a bw cw u w v s w ( / θ ) = cos ( ) sn ( ) = π donde w = 49 K = 3 + J, sendo J 7., el vecor de parámeros es = ( a b, c, u v,...,, ) θ, u J v J de longud En la abla nº8 aparecen las esmacones de los puesos de rabao equvalenes a empo compleo ulzando la expansón FFF del argumeno de la ransformacón polar. En las fgura nº 0, se represenan los resulados obendos. Tabla nº8 Puesos de rabao equvalenes a empo compleo y/x α radanes Puesos de rabao equvalenes a empo compleo FFF α radanes FFF 995TI.9 9,00,00,5707, TII ,00,00,5706, TIII ,00 3,00,5706, TIV ,50 4,00,5705, TI ,00 5,00,5704, TII ,50 6,00,5703, TIII ,00 7,00,5703, TIV ,3 8,00,570, TI ,67 9,00,570, TII ,00 0,00,570, TIII ,8,00,5700, TIV ,83,00,5699, TI ,85 3,00,5699, TII ,50 4,00,5698, TIII ,07 5,00,5698, TIV ,38 6,00,5697, TI ,7 7,00,5696, TII ,8 8,00,5696, TIII , 9,00,5695,

41 Fgura nº 999TIV ,80 0,00,5695, TI ,43,00,5694, TII ,4,00,5694, TIII ,78 3,00,5693, TIV , 4,00,5693, TI ,6 5,00,569, TII ,88 6,00,569, TIII ,67 7,00,569, TIV , 8,00,569, TI ,38 9,00,5690, TII ,73 30,00,5690, TIII ,39 3,00,5689, TIV ,09 3,00,5689, TI ,55 33,00,5688, TII ,68 34,00,5688, TIII ,37 35,00,5687, TIV ,86 36,00,5687, TI ,9 37,00,5686, TII ,03 38,00,5686, TIII ,69 39,00,5686, TIV ,45 40,00,5685, TI ,6 4,00,5685, TII ,7 4,00,5684, TIII ,49 43,00,5684, TIV ,07 44,00,5684, TI ,67 45,00,5683, TII ,50 46,00,5683, TIII ,40 47,00,5683, TIV ,67 48,00,568, TI ,53 49,00,568,

42 TI 996TII 997TIII 998TIV 000TI 00TII 00TIII 003TIV 005TI 006TII Puesos de rabao equvalenes a empo compleo Puesos de rabao equvalenes a empo compleo FFF 4.. Relacón enre dos varables con daos de sere emporal x N σ Dadas n observacones de dos varables aleaoras ( ) e y N( σ ) x = x x.. x n y y y =.. y n x, x. y, y A cada observacón forma que ( x, y ) le corresponde un puno P en el ee caresano, de P ( x, y); P ( x, y );... Pn ( x, y n n )

43 A su vez, se hace corresponder un forma polar r α r = x + y y y α = ArcTg x para cada par ( x, y ), sendo: Dado que P ( x, y ) = x + y = ( r cosα ) + ( r senα ),se obene que: x = r cos( α ) y, = r sen( α ) e y = g(α ) x. Dadas n observacones de la varables aleaoras x N ( y, σ y ). x x x =.. x n A cada observacón (, x ) le corresponde un puno forma que P en el ee caresano, de P (, x ); P (, x );... P ( n, x ) n n A su vez, se hace corresponder un forma polar r β para cada par (, x ), sendo: x r = + x y β = ArcTg Dado que P (, x ) = + x = ( r cos β ) + ( r senβ ),se obene que x = r sen( β ) o x = g( β )

44 Enonces, cabe consderar la esmacón de y, a parr de la expresón: y = g( α ) g( β ) dado que se cumple que g( γ ) = g( α ) g( β ) () Eemplo 5 Parmos de las cfras de Puesos de rabao y PIB en Indces de Volumen de la CNTR (Tabla 7), calculamos el argumeno de la relacón polar enre ellos, la endenca y el cclo empírco. La funcón a parr de la que se calcula dcha endenca cuadráca es la sguene: * 6 α = 0, , , n + n + ( n + ) Tabla nº 9 Produco Ineror Bruo (x) ( ) Puesos de rabao equvalenes a empo compleo (y) y/x α radanes endenca Cclo Emprco 995TI ,006 0,006 0,0063-0, TII ,0063 0,0063 0,0063 0, TIII , ,006 0,0063-0, TIV , ,0065 0,0063 0, TI , ,0063 0,0063 0, TII , ,0064 0,0063 0, TIII , ,006 0,0063-0, TIV , ,0065 0,0063 0, TI , ,0063 0,0063 0, TII , ,0064 0,0063 0, TIII ,006 0,006 0,0063-0, TIV ,0066 0,0066 0,0063 0, TI , ,0063 0,0064 0, TII , ,0064 0,0064 0, TIII , ,006 0,0064-0, TIV , ,0066 0,0064 0, TI , ,0063 0,0064-0, TII , ,0064 0,0064 0,000

45 999TIII , ,006 0,0064-0, TIV , ,0066 0,0064 0, TI ,0064 0,0064 0,0064 0, TII ,0065 0,0065 0,0064 0, TIII , ,006 0,0064-0, TIV , ,0065 0,0064 0,000 00TI , ,0064 0,0064 0, TII , ,0065 0,0064 0, TIII , ,006 0,0064-0, TIV , ,0066 0,0064 0,000 00TI , ,0064 0,0065 0, TII , ,0065 0,0065 0, TIII , ,006 0,0065-0, TIV , ,0067 0,0065 0, TI , ,0065 0,0065 0, TII , ,0065 0,0065 0, TIII , ,006 0,0065-0, TIV , ,0067 0,0065 0, TI , ,0065 0,0065 0, TII , ,0065 0,0065 0, TIII , ,0063 0,0065-0, TIV , ,0067 0,0065 0, TI , ,0066 0,0065 0, TII , ,0066 0,0065 0, TIII , ,006 0,0065-0, TIV , ,0067 0,0065 0, TI , ,0066 0,0066 0, TII , ,0067 0,0066 0, TIII , ,0063 0,0066-0, TIV , ,0068 0,0066 0, TI , ,0067 0,0066 0,000 La represenacón gráfca del argumeno de la relacón polar enre empleo y PIB es modelzable ya que sgue unas pauas emporales claras, ano en lo relavo a su endenca como en lo relavo a las osclacones cíclcas y esaconales (Fgura nº). Fgura nº