En una trayectoria circular de radio r con velocidad uniforme v, una partícula experimenta una aceleración que tiene una magnitud dada por.

Transcripción

1 Aplicaciones de las Leyes de Newton Moimiento cicula unifome En una tayectoia cicula de adio con elocidad unifome, una patícula expeimenta una aceleación que tiene una magnitud dada po a = (0.1) Debido a que el ecto elocidad cambia su diección continuamente duante el moimiento, el ecto aceleación a se diige hacia el cento del cículo, po lo cual ecibe el nombe de aceleación centípeta. Además, a siempe es pependicula a. Fuezas centales Considee una bola de masa m unida a una cueda de longitud que da ueltas en una tayectoia cicula hoizontal sobe la pate supeio de una mesa, como se muesta en la figua 1. Figua 1. Supóngase que la bola se muee con apidez constante y que tiende a mantene su moimiento en línea ecta, sin embago, la cueda eita ese moimiento al ejece una fueza sobe la bola haciendo que siga una tayectoia cicula. Esta fueza, diigida a taés de la cueda hacia el cento del cículo, es un ejemplo de fueza cental. Si aplicamos la segunda ley de Newton a lo lago de la diección adial, se encuenta que la fueza cental es 109

2 a (0.) F = m = m De la misma manea que la aceleación centípeta, la fueza cental actúa hacia el cento de la tayectoia cicula que sigue la patícula. Debido a que actúan hacia el cento de otación, las fuezas centales poducen un cambio en la diección de la elocidad. Estas fuezas no son difeentes a las otas que hemos encontado. El témino cental se utiliza simplemente paa indica que la fueza está diigida hacia el cento de un cículo. En el caso de una bola que gia en el extemo de una cueda, la fueza ejecida po ésta sobe la bola es la fueza cental. Paa un satélite en una óbita cicula alededo de la Tiea, la fueza cental es la fueza de gaedad. La fueza cental que actúa sobe un automóil que ecoe una cua en un camino plano es la fueza de ficción ente las llantas y el paimento, etcétea. En geneal, un cuepo puede moese en una tayectoia cicula bajo la influencia de fuezas, como la ficción, la fueza gaitacional o una combinación de fuezas. Si la fueza cental que actúa sobe un objeto desapaece, el objeto ya no se moeá en su tayectoia cicula; en ez de ello, se moeá a lo lago de la tayectoia ecta tangente al cículo. Esta idea se ilusta en la figua paa el caso de una bola que da ueltas en un cículo en el extemo de una cueda. Figua. Si la cueda se ompiea en cieto instante, la bola se moeía po la línea ecta tangente al cículo. 110

3 Se Consideaan algunos ejemplos de moimiento cicula unifome. En cada caso, se deben econoce las fuezas extenas que obligan al cuepo a moese en su tayectoia cicula. Velocidad conta tensión Una bola de masa m = kg está unida al extemo de una cueda cuya longitud es 1.50 m. La figua muesta cómo gia la bola en un cículo hoizontal. Si la cueda puede sopota una tensión máxima de 50.0 N, cuál es la elocidad máxima que la bola puede alcanza antes de que la cueda se ompa? Solución: Como en este caso la fueza cental es la tensión T ejecida po la cueda sobe la bola, de la ecuación (1.), se obtiene T = m (0.3) Despejando la elocidad, se obtiene = T m (0.4) La apidez máxima que la bola puede alcanza coesponde a la tensión máxima. En consecuencia, se encuenta que = max (50.0N)(1.50m) 0.500kg Es deci max = 1. m/s. Ejecicio Calcule la tensión en la cueda si la apidez de la bola es 5.00 m/s. Respuesta: 8.33 N. El péndulo cónico Un pequeño cuepo de masa m está suspendido de una cueda de longitud L El cuepo gia en un cículo hoizontal de adio con apidez constante, como muesta la figua 3. (Puesto que la cueda bae la supeficie de un cono, el sistema se conoce como un péndulo cónico.) Encuente la elocidad del cuepo y el peiodo de eolución, T, definido como el tiempo necesaio paa completa una eolución. 111

4 Figua 3. Solución: En la figua 3 se muesta el diagama de cuepo libe paa la masa m, donde la fueza ejecida po la cueda, T, se ha descompuesto en una componente etical, Tcosθ, y una componente hoizontal, Tsenθ, que actúa hacia el cento de otación. Puesto que el cuepo no acelea en la diección etical, Tcosθ = mg Puesto que, en este ejemplo, la fueza cental es popocionada po la componente Tsenθ, de la segunda ley de Newton se obtiene que Tsenθ = m a = m Al diidi la segunda ecuación ente la pimea, se encuenta que tanθ = g Peo, de acuedo con la geometía del péndulo, se obsea que = Lsenθ y despejando de la ecuación anteio, esulta que = gtanθ = glsenθtanθ En ista de que la bola ecoe una distancia de π (la cicunfeencia de la tayectoia cicula) en un tiempo igual al peiodo de eolución T, se obtiene que el peiodo está dado po π π T = = gtanθ T = π gtanθ Peo = Lsenθ, po lo que 11

5 T = π Lcosθ g Nótese que la expesión paa T es independiente de la masa m. Si se toma L = 1.00 m y θ = 0.0, se encuenta que el peiodo del péndulo es T = 1.95 s. Seá posible tene un péndulo cónico con θ = 90 o? Cua con pealte Un ingenieo desea diseña una ampa de salida cua paa una caetea de manea tal que un auto no tenga que depende de la ficción paa liba la cua sin patina. Suponga que un auto odinaio ecoe la cua con una elocidad de 30.0 mi/h (13.4 m/s) y el adio de la cua es 50.0 m. Con qué ángulo debe pealtase la cua? Figua 4. Vista de un auto que ecoe una cua sobe un camino pealtado a un ángulo θ con la hoizontal. Ignoando la ficción, la fueza cental es popocionada po la componente hoizontal de la fueza nomal. Razonamiento: Sobe un camino nielado la fueza cental debe se suministada po la fueza de ficción ente el auto y el suelo. Sin embago, si el camino está pealtado a un ángulo θ, como se muesta en la figua 4, la fueza nomal, n, tiene una componente hoizontal nsenθ, apuntando hacia el cento de la tayectoia cicula. Supóngase que sólo la componente nsenθ popociona la fueza cental. Po tanto, el ángulo de pealte que esulte seá uno paa el cual no se equiee fueza de ficción. En otas palabas, un automóil que se muee a la elocidad coecta (13.4 m/s) puede ecoe la cua incluso sobe una supeficie con hielo. Solución: De la segunda ley de Newton escita paa la diección adial se obtiene nsenθ = m Como el auto está en equilibio en la diección etical, ncosθ = mg 113

6 -1 Diidiendo estas dos ecuaciones, se obtiene que θ = tan = 0.1 o. g Si un auto ecoe la cua a una elocidad meno que 13.4 mi/s. el conducto tendá que confia en la ficción paa eita desliza hacia abajo po la pendiente. Un conducto que intente liba la cua a una elocidad mayo que 13.4 mi/s tendá que depende de la ficción paa eita desliza hacia aiba en el pealte. Ejecicio Esciba la segunda ley de Newton aplicada a la diección adial paa el auto en una situación en que una fueza de ficción f se diige hacia abajo de la pendiente del camino pealtado. Respuesta: nsenθ + fcosθ = m. Rapidez máxima en cua plana. Un automóil de 1,500 kg que se muee sobe un camino hoizontal plano ecoe una cua cuyo adio es 35.0 m, como en la figua 5. Si el coeficiente de ficción estático ente las llantas y el paimento seco es 0.5, encuente la apidez máxima que el automóil puede tene paa toma la cua con éxito. Figua 5. La fueza de ficción estática diigida hacia el cento del aco mantiene al auto moiéndose en un cículo. Solución: En este caso, la fueza cental que pemite al automóil pemanece en su tayectoia cicula es la fueza de ficción estática f s. En consecuencia, de la ecuación (1.) se obtiene que f = m (0.5) s 114

7 La apidez máxima que el automóil puede alcanza alededo de la cua coesponde al alo paa el cual está a punto de patina hacia afuea. En este punto, la fueza de ficción tiene su alo máximo f s max = µn Combinando estas dos últimas ecuaciones se obtiene que la elocidad máxima es fs max max = (0.6) m Como en este caso la fueza nomal es igual al peso( n = mg), se encuenta que f s max = (0.500) (1500 kg) (9.80 m/s ) = 7350 N. Al sustitui este alo en (1.6), se obtiene que el alo de la elocidad máxima es max = 13.1 m/s. Ejecicio. En un día húmedo el auto descito en este ejemplo empieza a deslizase en la cua cuando la elocidad es igual a 8.00 m/s. Cuál es el coeficiente de ficción estático? Respuesta Moimiento de satélites. Este ejemplo tata el poblema de un satélite que se muee en óbita cicula alededo de la Tiea. Paa compende mejo el poblema se debe adeti pimeo que la fueza gaitacional ente dos patículas con masas m 1 y m, sepaadas po una distancia, es una fueza de atacción que tiene una magnitud dada po mm 1 F = G (0.7) G donde G = 6.67 x Nm /kg. Esta es la ley de gaitación de Newton. Considee ahoa un satélite de masa m que se muee en una óbita cicula alededo de la Tiea a elocidad constante y a una altitud h sobe la supeficie del planeta, como muesta la figua 6. Figua 6. Un satélite se muee en una óbita cicula con elocidad constante 115

8 alededo de la Tiea. La fueza cental es popocionada po la fueza gaitacional ejecida po la Tiea sobe el satélite. a) Detemine la elocidad del satélite en función de G, h, R T (el adio de la Tiea) y M T (la masa de la Tiea). Solución: Puesto que la única fueza extena sobe el satélite es la gaedad, la cual actúa hacia el cento de la Tiea, se tiene que mm F = G T Combinando esto con la segunda ley de Newton se obtiene que mmt G = m Al despeja la elocidad y ecodando que = R T + h, se tiene GM T = = GMT R + h T b) Detemine el peiodo de eolución del satélite, T, alededo de la Tiea. Solución: Puesto que el satélite ecoe una distancia de π (la cicunfeencia del cículo) en un tiempo T, con la ecuación anteio se encuenta que Es deci π T = = T = π GM π GMT R + h T T 3/ Los planetas se mueen alededo del Sol en óbitas apoximadamente ciculaes. Los adios de estas óbitas pueden calculase de la ecuación anteio eemplazando M T po la masa del Sol. Obséese que si la ecuación anteio se 3 elea al cuadado, se obtiene que T. El hecho de que el cuadado del peiodo sea popocional al cubo del adio de la óbita se econoció pimeo como una elación empíica basada en datos planetaios obtenidos po J. Keple. 116

9 Ejecicio Un satélite está en una óbita cicula a 1,000 km de altua. El adio de la Tiea es R T = 6.37 x 10 6 m. Detemine la elocidad del satélite y el peiodo de su óbita. Respuesta: elocidad = 7.35 x 10 3 m/s; peiodo = 6.31 x 10 3 s = 105 min. Moimiento cicula no unifome Si una patícula se muee con elocidad aiable en una tayectoia cicula, además de la componente centípeta de la aceleación, también hay una componente tangencial de magnitud d. Puesto que la aceleación total de la dt patícula es a = a + a, la fueza total ejecida sobe la patícula es F = F t + F t, como se muesta en la figua 7. Figua 7. El ecto F está diigido hacia el cento del cículo y es esponsable de la aceleación centípeta. El ecto F t es esponsable de la aceleación tangencial, la cual hace que la elocidad de la patícula cambie con el tiempo. El siguiente ejemplo demuesta este tipo de moimiento. Gio etical Una pequeña esfea de masa m está unida al extemo de una cueda de longitud R la cual gia en un cículo etical alededo de un punto fijo O, como se muesta en la figua 8a. Deteminemos la tensión en la cueda en cualquie instante cuando la elocidad de la esfea es y la cueda foma un ángulo θ con la etical. 117

10 Figua 8. Solución: Obseemos que la elocidad no es unifome puesto que hay una componente tangencial de aceleación que suge del peso de la esfea. A pati del diagama de cuepo libe de la figua 8a se e que las únicas fuezas que actúan sobe la esfea son el peso, mg, y la fueza de tensión ejecida po la cueda, T. Después de esto se descompone mg en una componente tangencial, mgsenθ, y una componente adial, mgcosθ. Al aplica la segunda ley de Newton a las fuezas en la diección tangencial, se obtiene F = mgsenθ = ma t Esta componente hace que cambie en el tiempo, puesto que a t = d/dt. Si se aplica la segunda ley de Newton a las fuezas en la diección adial y se obsea que tanto T como θ están diigidas hacia O, se encuenta que t m F = T - mgcosθ = T = m + gcosθ Casos límite: En la pate más alta de la tayectoia, donde θ = 180, se tiene cos 180 = -1, y la ecuación de la tensión se uele aiba T aiba = m - g R Este es el alo mínimo de T. En este punto t = 0 a y, en consecuencia, la aceleación es adial y está diigida hacia abajo, como en la figua 4b. En la 118

11 pate infeio de la tayectoia, donde θ = 0, en itud de que cos 0 = 1, se e que abajo T abajo = m + g R Este es el alo máximo de T. Ota ez, en este punto a t = 0 y la aceleación es adial y está diigida hacia aiba. Ejecicio Con qué oientación del sistema seía más pobable que la cueda se ompiea si aumentaa la elocidad pomedio? Respuesta En la pate infeio de la tayectoia, donde T tiene su alo máximo. Moimiento en sistemas de efeencia no ineciales Las leyes del moimiento de Newton sólo son álidas en un maco de efeencia inecial. En esta sección analizamos cómo un obseado en un maco de efeencia no inecial (uno que está aceleado) intentaía aplica la segunda ley de Newton. Si una patícula se muee con una aceleación a especto de un obseado en un maco inecial, el obseado inecial, con la segunda ley de Newton puede afima coectamente que F = ma. En un sistema de efeencia aceleado (obseado no inecial) un obseado que tate de aplica la segunda ley de Newton paa estudia el moimiento de una patícula, debe intoduci fuezas ficticias paa loga que dicha ley tabaje en ese maco de efeencia. Sin embago, esas fuezas ficticias no existen cuando el moimiento se obsea en un maco inecial. Las fuezas ficticias se emplean sólo en un maco aceleado, peo no actúan ealmente sobe el cuepo. (Po fuezas eales entendemos la inteacción del cuepo con su ambiente.) Si las fuezas ficticias se definen de manea apopiada en el maco aceleado, entonces la descipción del moimiento en éste seá equialente a la descipción de un obseado inecial que sólo considea fuezas eales. Paa compende el moimiento desde un sistema que es no inecial debido a una otación, considee un automóil que iaja po una autopista a gan elocidad y que se apoxima a una desiación cua, como se muesta en la figua

12 Figua 9. Cuando el auto toma la cua, en el momento de desiase una pesona sentada en el asiento del copiloto se desliza hacia la deecha sobe el asiento y golpea la pueta. En ese punto, la fueza ejecida po la pueta eita que se salga del auto. Qué es lo que ocasiona que el pasajeo se desplace hacia la pueta? Una explicación popula, aunque inexacta, es que cieta fueza misteiosa la empuja hacia afuea. (Ésta a menudo ecibe el nombe de fueza "centífuga ", peo no debemos usa este témino debido a que causa confusión.) El pasajeo inenta esta fueza ficticia con el fin de explica lo que está ocuiendo en su maco de efeencia aceleado. El conducto del auto también expeimenta este efecto, peo se sostiene en el olante paa no deslizase en el asiento. El fenómeno se explica como sigue. Antes de que el auto ente a la cua, el pasajeo se muee en una tayectoia en línea ecta. Confome el cao enta a la desiación y ecoe una tayectoia cua, el pasajeo tiende a moese a lo lago de su tayectoia oiginal en línea ecta. Esto concueda con la pimea ley de Newton: La tendencia natual de un cuepo es continua moiéndose en una línea ecta. Sin embago, si una fueza cental suficientemente gande (hacia el cento de cuatua) actúa sobe el pasajeo, éste se moeá en una tayectoia cua junto con el auto. El oigen de esta fueza cental es la fueza de ficción ente el pasajeo y su asiento en el ehículo. Si esta fueza de ficción no es lo suficientemente gande, el pasajeo se deslizaá sobe el asiento cuando el auto libe la cua. En algún momento el pasajeo se topaá con la pueta, la cual binda una fueza cental de suficiente magnitud paa eita que el pasajeo se salga del auto. La causa de que el pasajeo se deslice hacia la pueta no es ninguna fueza misteiosa que apunta hacia afuea, se desliza poque no hay una fueza cental lo suficientemente gande paa pemitile moese a lo lago de la tayectoia cicula que sigue el automóil. En esumen, se debe tene mucho cuidado en distingui fuezas eales de fuezas ficticias. Un obseado en un auto que se muee sobe una cua está en un sistema de efeencia aceleado e inenta una fueza ficticia paa explica po qué es lanzado hacia afuea. Sin embago, un obseado estacionaio fuea del auto sólo considea las fuezas eales sobe el pasajeo. Paa este 10

13 obseado, la misteiosa fueza hacia afuea no existe! La única fueza extena eal sobe el pasajeo es la fueza cental (hacia adento) debida a la ficción o a la fueza nomal ejecida po la pueta. Fuezas ficticias en un sistema en otación Un obseado en un sistema en otación epesenta un ejemplo de un obseado no inecial. Supóngase un bloque de masa m que se encuenta sobe una mesa giatoia sin ficción hoizontal y que se conecta a una cueda, como muesta la figua 10. Figua 10. Un obseado inecial eía que si el bloque gia de manea unifome, entonces expeimentaá una aceleación de magnitud /, donde es la elocidad tangencial. El obseado inecial concluye que esta aceleación centípeta es popocionada po la fueza de tensión T ejecida po la cueda, y escibe la segunda ley de Newton como T = m /. Po su pate, un obseado no inecial montado en la mesa giatoia eía que el bloque está en eposo. Po consiguiente, al aplica la segunda ley de Newton intoduciá una fueza ficticia hacia afuea de magnitud m /. Según el obseado no inecial, dicha fueza se equiliba con la fueza ejecida po la cueda y consecuentemente T - m / = 0. Se debe tene cuidado cuando se empleen fuezas ficticias paa descibi fenómenos físicos. Recuede que las fuezas ficticias se emplean sólo en macos de efeencia no ineciales. Al esole poblemas es mejo usa un maco inecial. Fuezas ficticias en el moimiento lineal En la figua 11 se muesta una pequeña esfea de masa m que cuelga de una cueda amaada al techo de un agón. (Cuando el agón no está aceleando, la cueda está etical, o θ = 0.) De acuedo con el obseado inecial en eposo (figua 11a). 11

14 Figua 11. las fuezas sobe la esfea son la tensión T ejecida po la cueda y la de la gaedad mg. El obseado inecial concluye que la aceleación de la esfea es la misma que la del agón y que esta aceleación la causa la componente hoizontal de T. Asimismo, la componente etical de T equiliba el peso. Po consiguiente, el obseado inecial escibe la segunda ley de Newton como T + mg = ma, que se descompone en las componentes F x = Tsenθ = ma F y = Tcosθ - mg = 0 Así, al esole las ecuaciones anteioes en foma simultánea, el obseado inecial puede detemina la aceleación del cao po medio de la elación a = gtanθ Es deci, la desiación de la cueda de su posición etical sie como una medida de la aceleación del cao, y po tal azón un péndulo simple puede emplease como un aceleómeto. 1

15 Según el obseado no inecial que iaja en el cao, figua 6b, la cueda también foma un ángulo θ con la etical, la esfea está en eposo y su aceleación es ceo. En consecuencia, el obseado no inecial intoduce una fueza ficticia, -ma, paa equiliba la componente hoizontal de T y afima que la fueza neta sobe la esfea es ceo! En este sistema de efeencia no inecial, la segunda ley de Newton en sus dos componentes nos da F = Tsenθ - m a = 0 ' x ' F y = Tcosθ - mg = 0 Estas expesiones son equialentes a las que se obtienen del sistema inecial de efeencia; po consiguiente, el obseado no inecial obtiene los mismos esultados matemáticos que el obseado inecial. Sin embago, la intepetación física de la deflexión de la cueda difiee en los dos macos de efeencia. Nótese que, en ambos sistemas de efeencia, el péndulo no oscila. Moimiento en pesencia de fuezas esistias Anteiomente descibimos la inteacción ente un objeto móil y la supeficie a lo lago de la cual se muee. Se Ignoó po completo toda inteacción ente el objeto y el medio a taés del cual efectuaba su moimiento. Considéese ahoa el efecto de un medio como un líquido o un gas. El medio ejece una fueza esistia R sobe el objeto que se muee a taés de él. La magnitud de esta fueza depende de factoes como la elocidad del objeto, y se opone siempe al moimiento del objeto. Po lo geneal, la magnitud de la fueza esistia aumenta con la elocidad. Algunos ejemplos son la esistencia del aie asociada a ehículos en moimiento (llamada aaste del aie) y las fuezas iscosas que actúan sobe objetos que se mueen po un líquido. La fueza esistia puede tene una dependencia complicada de la elocidad. En los siguientes páafos se considean dos situaciones. Pimeo supóngase que la fueza esistia es popocional a la elocidad; este es el caso paa objetos que caen con baja elocidad po un líquido y paa objetos muy pequeños, como patículas de polo que se mueen a taés del aie. En segundo luga se tataán situaciones en las cuales la fueza esistia es popocional al cuadado de la elocidad del objeto; objetos gandes, como un paacaidista que se muee a taés del aie en caída libe, expeimentan dichas fuezas. Fueza esistia popocional a la elocidad de un objeto Si suponemos que la fueza esistia que actúa sobe un objeto que se muee po un medio iscoso es popocional a la elocidad del objeto, en ese caso la fueza esistia puede expesase como R = - b 13

16 donde es la elocidad del objeto y, b es una constante que depende de las popiedades del medio y de la foma y dimensiones del objeto. Si éste es una esfea de adio, entonces b es popocional a. Consideemos una esfea de masa m que se suelta desde el eposo en un líquido, como en la figua 1a. Figua 1. Supóngase que las únicas fuezas que actúan sobe la esfea son la fueza esistia -b, y el peso mg. Al aplica la segunda ley de Newton al moimiento etical, y al elegi la diección hacia abajo positia paa el eje y, y obseando que F y = mg - b, se obtiene d mg - b = m dt donde la aceleación apunta hacia abajo. Es deci, d dt b = g - m 14

17 La ecuación anteio es una ecuación difeencial, y los métodos paa esole una ecuación de este tipo aún no nos son familiaes. Sin embago, obsee que inicialmente, cuando = 0, la fueza esistia es ceo y la aceleación, d/dt, es simplemente g. Cuando t aumenta, la fueza esistia se incementa y la aceleación disminuye. En algún momento, la aceleación se uele ceo cuando la fueza esistia se uele igual al peso. En este punto el objeto alcanza su elocidad teminal, t, y de ahí en adelante se muee con aceleación ceo. La elocidad teminal puede obtenese de la ecuación anteio consideando que a = d/dt = 0. Esto poduce o bien mg - b t = 0 t = mg/b La expesión paa que satisface la ecuación difeencial con (0) = 0 es mg b -bt/m -t/τ = (1 - e ) = t (1 - e ) Esta función se gafica en la figua 1b. La constante de tiempo τ = m/b es el tiempo que tada el objeto en alcanza el 63.% de su elocidad teminal. Esto puede ese cuando t = τ, la expesión anteio paa la elocidad poduce (τ) = 0.63 t. Se puede compoba que la expesión paa la elocidad es una solución paa la ecuación difeencial mediante una deiación diecta, como se muesta a continuación d d mg mg mg d = - e = - e = ge dt dt b b b dt -bt/m -bt/m -bt/m La sustitución de las expesiones paa y d/dt en la ecuación difeencial muesta que la solución, en efecto, si la satisface. Resistencia del aie en altas elocidades En el caso de gandes objetos que se mueen a altas elocidades po el aie, Como aiones, paacaidistas y pelotas de béisbol, la fueza esistia es apoximadamente popocional al cuadado de la elocidad. En estas situaciones, la magnitud de la fueza esistia puede expesase como R = 1 DρA donde ρ es la densidad del aie, A es el áea de la sección tansesal del objeto que cae medida en un plano pependicula a su moimiento, y D es una cantidad empíica adimensional conocida como coeficiente de aaste. Éste tiene un 15

18 alo de apoximadamente 0.5 paa objetos esféicos, aunque puede se tan alto Como paa objetos de foma iegula. Considee un aión en uelo que expeimenta una de dichas fuezas esistias. La ecuación anteio muesta que la fueza es popocional a la densidad del aie. Puesto que la densidad del aie disminuye con el aumento en la altitud, la fueza esistia sobe un aión jet que uela a una elocidad deteminada también debe disminui con las altitudes cecientes. Sin embago, si a una altitud deteminada se duplica la elocidad del aión, la fueza esistia aumenta po un facto de 4. Con el fin de mantene esta elocidad ceciente, la fueza de populsión también debe aumenta po un facto de 4 y la potencia equeida (fueza po elocidad) debe aumentase po un facto de 8. Moimiento en caída libe Ahoa se analiza el moimiento de un objeto en caída libe sujeta a la fueza 1 esistia del aie hacia aiba cuya magnitud es R = DρA. Supóngase que un objeto de masa m se suelta desde la posición y = 0, con elocidad inicial ceo, como se muesta en la figua 13. Figua 13. El objeto expeimenta dos fuezas extenas: la fueza hacia abajo de la gaedad, mg, y la fueza esistia, R, hacia aiba. (Hay también una fueza de flotación hacia aiba que se ignoa.) Po tanto, la magnitud de la fueza neta es 1 F neta = mg - DρA Peo, de acuedo con la segunda ley de Newton, neta F = ma. La aceleación del objeto que cae es entonces 16

19 DρA a = g - m También en este caso es posible calcula la elocidad teminal, t usando el hecho de que cuando el peso es balanceado po la fueza esistia, la fueza neta es ceo y, po lo tanto, la aceleación es ceo. Haciendo a = 0 en la ecuación anteio se obtiene DρA g - t = 0 m Es deci, la elocidad teminal esta dada po = t mg DρA Con esta expesión podemos detemina cómo la elocidad teminal depende de las dimensiones del objeto. Suponga que el objeto es una esfea de adio. En 3 este caso, A y m (puesto que la masa es popocional al olumen). En consecuencia t. La siguiente tabla egista las elocidades teminales de aios objetos que caen a taés del aie. Velocidad teminal paa objetos que caen en el aie Áea de la supeficie Objeto Masa(kg) (m ) Paacaidista Bola de béisbol Bola de golf Ganizo Gota de lluia x x x x x x 10-5 t (m/s)

20 Poblemas de aplicación de las leyes de Newton Moimiento cicula unifome 1. Un cao de juguete que se muee con apidez constante completa una uelta alededo de una pista cicula (una distancia de 00 m) en 5.0 s. (a) cuál es la apidez pomedio? (b) Si la masa del auto es de 1.50 kg, cuál es la magnitud de la fueza cental que lo mantiene en un ciculo? Solución: (a) apidez pomedio = 00/5 = 8 m/s 8 (b) F = m = (1.50) = 3 N 00/(3.1416). En un aceleado de patículas (ciclotón), un deuteón (de masa atómica u) alcanza una elocidad final de 10% la elocidad de la luz mientas se muee en una tayectoia cicula de 0.48 m de adio. El deuteón se mantiene en la tayectoia cicula po medio de una fueza magnética. Qué magnitud debe tene la fueza? Solución: 7 3 (3 10 ) -9 F = m = (/(6.0 x 10 ) ) = 6. x 10 N En un átomo de hidogeno el electón en obita alededo del potón expeimenta una fueza atactia de apoximadamente 8.0 X I0-8 N. Si el adio de la obita es 5.30 X m, cuál es la fecuencia en eoluciones po segundo? Solución: (πf) F F = m e = m e f = 4π m e f = 4.3 X e/s 4. Una masa de 3.00 kg unida a una cueda ligea gia sobe una mesa sin ficción hoizontal. El adio del ciculo es m y la cueda puede sopota una masa de 5.0 kg antes de ompese. Qué intealo de elocidades puede tene la masa antes de que se ompa la cueda? Solución: 0 < < max F = m = Mg max = Mg m 18

21 max = [(5)(9.8)(0.8)/3] 1/ = 8.08 m/s 5. Un satélite de 300 kg de masa se encuenta en obita cicula alededo de la Tiea a una altitud igual al adio medio de la Tiea. Encuente: (a) la elocidad obital del satélite, (b) el peiodo de su eolución, y (c) la fueza gaitacional que actúa sobe él. Solución: (a) Velocidad: 6 3 = g = ( ) 9.8 = m/s 6 π ( ) = 3 (b) Peiodo: T = = 7147 s = 1.98 hoas mm (c) Fueza: F = G = = N Mientas dos astonautas estaban en la supeficie de la Luna, un tece astonauta la obitaba. Suponga que la obita es cicula y se encuenta l00 km sobe la supeficie de la Luna. Si la masa y el adio de la Luna son 7.40 x 10 kg y 1.70 x 10 6 m, espectiamente, detemine: (a) la aceleación del astonauta en obita, (b) su elocidad obital, y (c) el peiodo de la obita. 7. Una caja de hueos se localiza en la pate media de la platafoma plana de una camioneta en el momento que ésta cicula po una cua no pealtada. La cua puede considease como un aco de un cículo de 35 m de adio. Si el coeficiente de ficción estático ente la caja y la camioneta es 0.60, cuál debe se la elocidad máxima del ehículo paa eita que la caja se deslice? 8. Una patinadoa de hielo de 55 kg se muee a 4.0 m/s cuando agaa el extemo suelto de una cueda cuyo oto extemo esta amaado a un poste. Después se muee en un cículo de 0.80 m de adio alededo del poste. (a) Detemine la fueza ejecida po la cueda sobe sus bazos. (b) Compae esta fueza con su peso. 9. Un disco de aie de 0.50 kg de masa esta amaado a una cueda y se deja que gie en un cículo de 1.00 m de adio sobe una mesa sin ficción hoizontal. El oto extemo de la cueda pasa po un agujeo en el cento de la mesa y tiene una masa de 1.00 kg unida a él. La masa suspendida se mantiene en equilibio mientas el disco gia. (a) Cuál es la tensión en la cueda? (b) cuál es la fueza cental que actúa sobe el disco? (c) cuál el elocidad del disco? 10. La elocidad de la punta de la manecilla de los minutos en el eloj de un pueblo es 1.75 x 10-8 m/s. (a) Cuál es la elocidad de la punta de la manecilla de los segundos si tiene la misma longitud? (b) cuál es la aceleación centípeta de la punta de la manecilla de los segundos? Solución: 19

22 π (a) Velocidad segundeo: s = T. Velocidad minuteo: π m = s T. Peo m π s T m = 60T s. Entonces m = = 60Ts 60. Luego, s = 60 x 1.75 x 10-8 = 1.05 x 10-6 m/s. -6 T s ( )(60) -6 (b) El adio = = = m. π s ( ) -6 Aceleación: a = = = m/s Una moneda situada a 30.0 cm del cento de una mesa giatoia hoizontal que esta en otación se desliza cuando su elocidad es 50.0 cm/s. (a) Qué oigina la fueza cental cuando la moneda está estacionaia en elación con la mesa giatoia? (b) cuál es el coeficiente de ficción estático ente la moneda y la mesa giatoia? 1. Considee un péndulo cónico con una plomada de 80.0 kg en un alambe de 10.0 m fomando un ángulo de 5.00 con la etical (Véase la figua). Detemine, (a) las componentes hoizontal y etical de la fueza ejecida po el alambe sobe el péndulo y (b) la aceleación adial de la plomada. Moimiento cicula no unifome 13. Un cao que iaja sobe un camino ecto a 9.00 m/s pasa sobe un montecillo en el camino. Este puede considease como un aco de un cículo de 11.0 m de adio. (a) Cuál es el peso apaente de una muje de 600 N en el cao cuando ella pasa sobe el montecillo? (b) cuál debe se la elocidad del cao sobe el montecillo si ella no tiene peso en ese momento? (Es deci, su peso apaente es ceo). 14. En el modelo del átomo de hidogeno de Boh, la elocidad del electón es apoximadamente. x 10 6 m/s. Encuente: (a) la fueza cental que actúa sobe el electón cuando este gia en una obita cicula de adio 0.53 x m, y (b) la aceleación centípeta del electón. 15. Un halcón uela en un aco hoizontal de 1.0 m de adio a una elocidad constante de 4.00 m/s. (a) Encuente su aceleación centípeta. (b) El halcón continúa olando a lo lago del mismo aco hoizontal peo aumenta su elocidad 130

23 a la tasa de 1.0 m/s. Encuente la aceleación (magnitud y diección) bajo estas condiciones. 16. Un niño de 40.0 kg se mece en un columpio sopotado po dos cadenas, cada una de 3.00 m de lago. Si la tensión de cada cadena en el punto más bajo es de 350 N, encuente: (a) la elocidad del niño en el punto más bajo, y (b) la fueza del asiento sobe el niño en ese mismo punto. (Ignoe la masa del asiento.) 17. Un objeto de 0.40 kg se balancea en una tayectoia cicula en una cueda de 0.50 m de lago. Si se mantiene una elocidad constante de 4.0 m/s, cuál es la tensión en la cueda cuando el objeto esta en el punto mas alto del cículo? 18. Un cao que iaja inicialmente hacia el este ia hacia el note en una tayectoia cicula a elocidad unifome, como se muesta en la figua. La longitud del aco ABC es 35 m y el cao completa la uelta en 36.0 s. (a) cuál es la aceleación cuando el cao se encuenta en B localizado a un ángulo de 35.0? Expese su espuesta en función de los ectoes unitaios i y j. Detemine, (b) la elocidad pomedio del cao y (c) su aceleación pomedio duante el intealo de 36.0 s. 19. Un cao de montaña usa tiene una masa de 500 kg cuando esta totalmente lleno de pasajeos (Véase la siguiente figua). (a) Si el ehículo tiene una elocidad de 0.0 m/s en el punto A, cuál es la fueza ejecida po la pista sobe el ehículo en este punto? (b) cuál es la elocidad máxima que el ehículo puede alcanza en B y continua sobe la pista? 131

24 Moimiento en sistemas de efeencia aceleados 0. Un causel completa una eolución en 1.0 s. Si un niño de 45.0 kg está sentado sobe el piso hoizontal del causel a 3.00 m del cento, encuente (a) la aceleación del niño y (b) la fueza hoizontal de ficción que actúa sobe él. (c) Qué coeficiente mínimo de ficción estático es necesaio paa eita que el niño se deslice? 1. La Tiea gia alededo de su eje en un peiodo de 4 h. Imagine que la elocidad otacional puede incementase. Si un objeto en el ecuado a a tene peso apaente igual a ceo, (a) cuál debe se el nueo peíodo? (b) En que facto se incementaía la elocidad del objeto cuando el planeta este giando a la elocidad más alta? (Sugeencia: Vea el poblema 39 y note que el peso apaente del objeto se uele ceo cuando la fueza nomal ejecida sobe el es ceo. También, que la distancia ecoida duante un peiodo de otación es πr, donde R es el adio de la Tiea.). Un helicópteo conta incendios tanspota un ecipiente de 60 kg en el extemo de un cable de 0.0 m de lago, como se muesta en la figua. Cuando el helicópteo uela hacia un incendio a una elocidad constante de 40.0 m/s, el cable foma un ángulo de 40.0 especto de la etical. El ecipiente pesenta un áea de sección tansesal de 3.80 m en un plano pependicula al aie que pasa po él. Detemine el coeficiente de aaste suponiendo que la fueza esistia es popocional al cuadado de la elocidad del ecipiente. 13

25 3. Una masa de 5.00 kg unida a una balanza de esote descansa sobe una supeficie hoizontal sin ficción, como se muesta en la figua. La balanza de esote, unida al lado fontal del agón, egista 18.0 N cuando el agón está en moimiento. (a) Si la balanza de esote maca ceo cuando el agón esta en eposo, detemine la aceleación del agón mientas esta en moimiento. (b) cuál seá la lectua de la balanza del esote si el agón se muee con elocidad constante? (c) Desciba las fuezas sobe la masa según las obsea alguien ubicado en el agón y po alguien en eposo fuea de éste. 4. Una pesona está sobe una balanza en un eleado. Las lectuas máxima y mínima de la balanza son 591 N y 391 N, espectiamente. Suponga que la magnitud de la aceleación es la misma cuando aanca y cuando se detiene, especifique: (a) el peso de la pesona, (b) la masa de la pesona, y (c) la aceleación del eleado. 5. Una plomada no cuelga exactamente a lo lago de una línea diigida al cento de la otación de la Tiea. Cuánto se desía la plomada de la línea adial a 35 latitud note? Suponga que la Tiea es esféica. Moimiento en pesencia de fuezas esistias 6. Suponga que la fueza esistia ejecida sobe un patinado de elocidad es f = -km, donde k es una constante y m es la masa del patinado. Mueste que, después de temina la caea, la elocidad del patinado como función del tiempo es (t) = f /(1 + kt f ) donde f es la elocidad al cuza la meta. 7. Un bote de moto apaga su maquina cuando su elocidad es 10.0 m/s y naega hasta detenese. La ecuación que gobiena el moimiento del bote duante este peíodo es = 0 e -ct, donde es la elocidad en el tiempo t 0, 0 es la elocidad inicial, y c es una constante. En t = 0.0 s la elocidad es 5.00 m/s. (a) Encuente la constante c. (b) cuál es la elocidad en t = 40.0 s? c) Difeenciando la expesión paa (t) demueste que la aceleación del bote es popocional a la elocidad en cualquie tiempo. 8. Un objeto de 9.00 kg que pate del eposo se muee po un medio iscoso y expeimenta una fueza esistia R = -b, donde es la elocidad del objeto. Si esta alcanza la mitad de la elocidad teminal en 5.54 s, (a) detemine la 133

26 elocidad teminal. (b) En que tiempo la elocidad del objeto es igual a 3/4 de la elocidad teminal? (c) Qué distancia ecoe el objeto en los pimeos 5.54 s de moimiento? 9. Debido a que la tiea gia en tono a su eje, un punto sobe el ecuado expeimenta una aceleación centípeta de m/s, en tanto que un punto en los polos no expeimenta aceleación centípeta. (a) Demueste que en el ecuado la fueza gaitacional sobe un objeto (el edadeo peso) debe excede al peso apaente del objeto. (b) cuál es el peso apaente en el ecuado y en los polos de una pesona que tiene una masa de 75.0 kg? (Suponga que la Tiea es una esfea unifome y considee g = 9.80 N/kg.) 30. Un pedazo de masilla se coloca en el punto A sobe el ao de una ueda que gia alededo de un eje hoizontal. La masilla se despende del punto A cuando el diámeto a taés de A es hoizontal. Después se elea eticalmente y egesa a A en el instante en que la ueda temina una eolución. (a) Encuente la elocidad de un punto sobe el ao de la ueda en función de la aceleación de caída libe y del adio R de la ueda. (b) Si la masa de la masilla es m, cuál es la magnitud de la fueza que la mantiene en la ueda? 31. Una cueda bajo una tensión de 50.0 N se usa paa hace gia una oca en un ciculo hoizontal de.50 m de adio a una elocidad de 0.4 m/s. La cueda se jala hacia adento y la elocidad de la oca aumenta. Cuando la cueda tiene 1.00 m de longitud y la elocidad de la oca es de 51.0 m/s, la cueda se eienta. Cuál es la esistencia a la uptua (en Newtons) de la cueda? 3. La figua muesta un cao que ecoe una cua pealtada. El adio de cuatua del camino es R, el ángulo de pealte es θ y el coeficiente de ficción estático es µ (a) Detemine el intealo de elocidades que el cao puede alcanza sin deslizase hacia aiba o hacia abajo del camino. (b) Detemine el alo mínimo paa µ de modo que la elocidad mínima sea ceo. (c) cuál es el intealo de elocidades posible si R = 100 m, θ = 10 y µ = 0.10 (condiciones esbalosas)? 134

27 33. Un aión a escala de 0.75 kg de masa uela en un ciculo hoizontal en el extemo de un alambe de contol de 60 m, con una elocidad de 35 m/s. Calcule la tensión en el alambe si este foma un ángulo constante de 0 con la hoizontal. Las fuezas ejecidas sobe el aión son la tensión hacia el cento del alambe de contol, su popio peso y la sustentación aeodinámica, la cual actúa en 0 hacia adento desde la etical, como se muesta en la figua. 34. El juguete de un niño está compuesto de una pequeña cuña que tiene un ángulo agudo de étice θ. El lado de la pendiente de la cuña no pesenta ficción, y se hace gia la cuña a elocidad constante al ota una baa que esta unida fimemente a ella en un extemo. Demueste que, cuando la masa m asciende po la cuña una distancia L, la elocidad de la masa es = glsenθ. 35. El piloto de un aión ejecuta una piueta de gio completo a elocidad constante en un plano etical. La elocidad del aión es de 300mi/h y el adio del cículo es de 1 00 pies. (a) Cuál es el peso apaente del piloto en el punto más bajo si su peso eal es 160 Ib? (b) cuál es su peso apaente en el punto mas alto? c) Desciba cómo podía expeimenta falta de peso el piloto si se aiaa tanto el adio como la elocidad. (Nota: Su peso apaente es igual a la fueza que el asiento ejece sobe su cuepo.) 36. Paa que un satélite se muea en una obita cicula estable a elocidad constante, su aceleación centípeta debe se inesamente popocional al cuadado del adio de la obita. (a) Mueste que la elocidad tangencial de un satélite es popocional a -I/. (b) Mueste que el tiempo necesaio paa completa una obita es popocional a 3/. 135

28 37. Una estudiante constuye y caliba un aceleómeto con el cual detemina la elocidad de su cao alededo de cieta cua de una autopista. El aceleómeto es una plomada con un tanspotado que la estudiante une al techo del cao. Un amigo que iaja en el cao con ella obsea que la plomada cuelga a un ángulo de 15.0 especto de la etical cuando el cao tiene una elocidad de 3.0 m/s. (a) Cuál es la aceleación centípeta del cao al ecoe la cua? (b) Cuál es el adio de la cua? (c) Cuál es la elocidad del cao si la desiación de la plomada es de 9.0 mientas ecoe la misma cua? 38. Una moneda de 3.1 g descansa sobe un pequeño bloque de 0.0 g sopotado po un disco giatoio. Si los coeficientes de ficción ente el bloque y el disco son 0.75 (estático) y 0.64 (cinético), en tanto que paa la moneda y el bloque son 0.45 (cinético) y 0.5 (estático), cuál es la elocidad máxima del disco en eoluciones po minuto sin que el bloque o la moneda se deslicen sobe el disco? 39. La figua muesta una ueda de la fotuna que gia cuato eces cada minuto y tiene un diámeto de 18.0 m. (a) cuál es la aceleación centípeta de un pasajeo? Qué fueza ejece el asiento sobe un pasajeo de 40.0 kg, (b) en el punto mas bajo del iaje, y (c) en el punto más alto? (d) Qué magnitud y diección tiene la fueza ejecida po el asiento sobe un iajeo cuando éste se encuenta a la mitad ente los puntos más alto y mas bajo? 136

29 40. Un juego de un paque de diesiones se compone de una platafoma cicula giatoia de 8.00 m de diámeto desde la cual se suspenden asientos de 10.0 kg en el extemo de cadenas de.50 m sin masa. Cuando el sistema gia, las cadenas foman un ángulo θ = 8.0 con la etical. (a) Cuál es la elocidad de cada asiento? (b) Si un niño de 40 kg de masa ocupa un asiento, cuál es la tensión en la cadena? 137