Funciones vectoriales

Transcripción

1 057_cop.qd 0/7/08 :7 AM -.qd //09 8:08 Pge 8 Pge 8 Funciones vectoriles Vector-Vlued Functions En cpítulo se introduce el concepto Thiseste chpter introduces the concept of de funciones vectoriles. Tmbién vector-vlued functions. Vector-vlued pueden emplerse pr to estudir functions cn be used stud curvs curves en in el plno en el espcio. Ess funciones the plne nd in spce. These functions tmbién prthe estudir cn lso pueden be usedusrse to stud motionelof movimiento de un objeto lo lrgo de n object long curve. un curv. In this chpter, ou should lern the En este cpítulo, se prenderá: following. n Cómotonlizr bosquejr curv How nlzend sketchun spce en el espcio representd por un curve represented b vector-vlued función vectoril. Cómothe plicr los of function. How to ppl concepts conceptos de límites continuidd limits nd continuit to vector-vlued. ) ls funciones vectoriles. ( functions. (.) n n n n Cómotoderivr e integrr How differentite ndfunciones integrte vectoriles. (. ) vector-vlued functions. (.) How describelthe velocit nd Cómotodescribir velocidd ccelertion ssocited with vectorcelerción socid con unfunción vlued function use vectoril cómond usrhow untofunción vector-vlued to movimiento nlze vectoril pr function nlizr el projectile motion. (. de proectiles. (. ) ) How to find tngent vectors nd norml Cómo encontrr vectores tngentes vectors. (.) vectores normles. (.) How to find the rc length nd curvture Cómo encontrr of curve. (.5)l longitud de rco l curvtur de un curv. (.5) Jerr Driendl/Gett Imges A Ferris wheel constructed using the usndo bsic principles of básicos biccle wheel. cn Un rued de lisfortun está construid los principios de un You biciclet. use vector-vlued function to nlze the motion of Ferris wheel, including its Se puede usr un función vectoril pr nlizr el movimiento de un rued de l position nd velocit. (See P.S. Problem Solving, Eercise fortun, incluids su posición velocidd. (Ver solución de.) problems, ejercicio.) v() v() v() v() v() v() v(0) v(0) v(0) v(0) v() v() v() v() v(0) v(0) v(0) v(0) v() v() () () () () (0) (0) (0) (0) () () (0) (0) () () () () () () (0) (0) A vector-vlued function mpsnúmeros rel numbers use usr vector-vlued to pr represent the motion Un función vectoril mpe relesto vectors. vectores.you Secn puede un funciónfunction vectoril representr el of prticle long curve. In Section., ou will use the first nd second derivtives of position vector to movimiento de un prtícul lo lrgo de un curv. En l sección. se usrán l primer segund derivds find prticle s velocit nd de unvector de posición prccelertion. encontrr l velocidd celerción de un prtícul. 8 8

2 8 CAPÍTULO Funciones vectoriles. Funciones vectoriles Anlizr dibujr un curv en el espcio dd por un función vectoril. Etender los conceptos de límite continuidd funciones vectoriles. Curvs en el espcio funciones vectoriles En l sección 0. se definió un curv pln como un conjunto de pres ordendos ft, gt junto con sus ecuciones prmétrics f t donde f g son funciones continus de t en un intervlo I. Est definición puede etenderse de mner nturl l espcio tridimensionl como sigue. Un curv en el espcio C es un conjunto de tods ls terns ordends f t, gt, ht junto con sus ecuciones prmétrics f t, gt, gt z ht donde ƒ, g h son funciones continus de t en un intervlo I. Antes de ver ejemplos de curvs en el espcio, se introduce un nuevo tipo de función, llmd función vectoril. Este tipo de función sign vectores números reles. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN VECTORIAL Un función de l form rt f ti gtj Plno. o r(t 0 ) r(t ) r(t ) C rt f ti gtj htk Espcio. es un función vectoril, donde ls funciones componentes ƒ, g h son funciones del prámetro t. Alguns veces, ls funciones vectoriles se denotn como rt f t, gt o rt f t, gt, ht. r(t 0 ) r(t ) Curv en un plno z Curv en el espcio r(t ) L curv C es trzd por el punto finl del vector posición r(t) Figur. C Técnicmente, un curv en el plno o en el espcio consiste en un colección de puntos ecuciones prmétrics que l definen. Dos curvs diferentes pueden tener l mism gráfic. Por ejemplo, cd un de ls curvs dds por r t sen t i cos t j r t sen t i cos t j tiene como gráfic el círculo unidd o unitrio, pero ests ecuciones no representn l mism curv porque el círculo está trzdo de diferentes mners. Es importnte segurrse de ver l diferenci entre l función vectoril r ls funciones reles ƒ, g h. Tods son funciones de l vrible rel t, pero r(t) es un vector, mientrs que ƒ(t), g(t) h(t) son números reles (pr cd vlor específico de t). Ls funciones vectoriles juegn un doble ppel en l representción de curvs. Tomndo como prámetro t, que represent el tiempo, se puede usr un función vectoril pr representr el movimiento lo lrgo de un curv. O, en el cso más generl, se puede usr un función vectoril pr trzr l gráfic de un curv. En mbos csos, el punto finl del vector posición r(t) coincide con el punto (, ) o (,, z) de l curv dd por ls ecuciones prmétrics, como se muestr en l figur.. L punt de flech en l curv indic l orientción de l curv puntndo en l dirección de vlores crecientes de t.

3 SECCIÓN. Funciones vectoriles 85 A menos que se especifique otr cos, se consider que el dominio de un función vectoril r es l intersección de los dominios de ls funciones componentes ƒ, g h. Por ejemplo, el dominio de rt ln tit t j tk es el intervlo 0,. EJEMPLO Trzdo de un curv pln Dibujr l curv pln representd por l función vectoril rt cos ti sen sin tj, 0 t. Función vectoril. z (, 0, π ) π r(t) = cos ti sen tj L elipse es trzd en el sentido de ls mnecills del reloj medid que t ument de 0 Figur. Cilindro: + = 6 Solución A prtir del vector de posición r(t), se pueden dr ls ecuciones prmétrics cos t sen t. Despejndo cos t sen t utilizndo l identidd cos t sen t se obtiene l ecución rectngulr. Ecución rectngulr. L gráfic de est ecución rectngulr es l elipse mostrd en l figur.. L curv está orientd en el sentido de ls mnecills del reloj. Es decir, cundo t ument de 0, el vector de posición r(t) se mueve en el sentido de ls mnecills del reloj, sus puntos finles describen l elipse. EJEMPLO Trzdo de un curv en el espcio Dibujr l curv en el espcio representd por l función vectoril rt cos ti sen sin tj tk, 0 t. Función vectoril. (, 0, 0) r(t) = cos ti + sen tj + tk A medid que t crece de 0, se describen dos espirles sobre l hélice Figur. Solución De ls dos primers ecuciones prmétrics cos t sen t, se obtiene 6. Ecución rectngulr. Esto signific que l curv se encuentr en un cilindro circulr recto de rdio, centrdo en el eje z. Pr loclizr en este cilindro l curv, se us l tercer ecución prmétric z t. En l figur., nótese que medid que t crece de 0, el punto,, z sube en espirl por el cilindro describiendo un hélice. Un ejemplo de un hélice de l vid rel se muestr en el dibujo inferior de l izquierd. En los ejemplos se dio un función vectoril se pidió dibujr l curv correspondiente. Los dos ejemplos siguientes se refieren l situción invers: hllr un función vectoril pr representr un gráfic dd. Clro está que si l gráfic se d en form prmétric, su representción por medio de un función vectoril es inmedit. Por ejemplo, pr representr en el espcio l rect dd por t, t z t se us simplemente l función vectoril dd por rt ti tj tk. En 95 Frncis Crick Jmes D. Wtson descubrieron l estructur de doble hélice del ADN. Si no se d un conjunto de ecuciones prmétrics pr l gráfic, el problem de representr l gráfic medinte un función vectoril se reduce hllr un conjunto de ecuciones prmétrics.

4 86 CAPÍTULO Funciones vectoriles t = t = 5 t = t = t = 0 = + H muchs mners de prmetrizr est gráfic. Un de ells es tomr t Figur. EJEMPLO Representción de un gráfic medinte un función vectoril Representr l prábol medinte un función vectoril. Solución Aunque h muchs mners de elegir el prámetro t, un opción nturl es tomr t. Entonces t se tiene rt ti t j. Función vectoril. Nótese en l figur. l orientción obtenid con est elección prticulr de prámetro. Si se hubier elegido como prámetro t, l curv hubier estdo orientd en dirección opuest. EJEMPLO Representción de un gráfic medinte un función vectoril Dibujr l gráfic C representd por l intersección del semielipsoide z, z 0 el cilindro prbólico. Después, hllr un función vectoril que represente l gráfic. Solución En l figur.5 se muestr l intersección de ls dos superficies. Como en el ejemplo, un opción nturl pr el prámetro es t. Con est opción, se us l ecución dd pr obtener t. Entonces z t t t t 6 t t. NOTA Ls curvs en el espcio pueden especificrse de vris mners. Por ejemplo, l curv del ejemplo se describe como l intersección de dos superficies en el espcio. Como l curv se encuentr sobre el plno, h que elegir pr z l ríz cudrd positiv. Así se obtienen ls ecuciones prmétrics siguientes. z 6 t t t, t, 6 L función vectoril resultnte es rt ti t j 6 t t 6 t. Función vectoril. (Obsérvese que el componente k de r(t) implic t. De los puntos (,, 0) (,, 0) que se muestrn en l figur.5, se ve que l curv es trzd medid que t crece de. k, Cilindro prbólico z (0, 0, ) C: = t = t (6 t ) ( t ) Elipsoide z = Curv en el espcio 6 (,, 0) 5 (,, 0) L curv C es l intersección del semielipsoide el cilindro prbólico Figur.5

5 SECCIÓN. Funciones vectoriles 87 Límites continuidd Muchs de ls técnics definiciones utilizds en el cálculo de funciones reles se pueden plicr funciones vectoriles. Por ejemplo, ls funciones vectoriles se pueden sumr restr, multiplicr por un esclr, tomr su límite, derivrls, sí sucesivmente. L estrtegi básic consiste en provechr l linelidd de ls operciones vectoriles etender ls definiciones en un bse, componente por componente. Por ejemplo, pr sumr o restr dos funciones vectoriles (en el plno), se tiene r t r t f ti g tj f ti g tj Sum. f t f ti g t g tj r t r t f ti g tj f ti g tj Rest. f t f ti g t g tj. De mner similr, pr multiplicr dividir un función vectoril por un esclr se tiene crt c f ti g tj Multiplicción esclr. rt c cf ti cg tj f ti g tj, c f t c i g t c j. c 0 División esclr. Est etensión, componente por componente, de ls operciones con funciones reles funciones vectoriles se ilustr más mplimente en l definición siguiente del límite de un función vectoril. DEFINICIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL r(t) L r(t) L O. Si r es un función vectoril tl que rt f ti gtj, entonces lim lím rt Plno. t lím lim f t t i lím lim gt t j siempre que eistn los límites de f g cundo t.. Si r es un función vectoril tl que rt f ti gtj htk, entonces lim lím rt t lim lím f t t i lim lím gt t j lim lím t ht k siempre que eistn los límites de f, g h cundo t. Espcio. L O Si rt tiende l vector L cundo t, l longitud del vector rt L tiende 0. Es decir, r(t) rt L 0 cundo t. A medid que t tiende, r(t) tiende l límite L. Pr que el límite L eist, no es necesrio que r() esté definid o que r() se igul L Figur.6 Esto se ilustr de mner gráfic en l figur.6. Con est definición del límite de un función vectoril, se pueden desrrollr versiones vectoriles de l mor prte de los teorems del límite ddos en el cpítulo. Por ejemplo, el límite de l sum de dos funciones vectoriles es l sum de sus límites individules. Tmbién, se puede usr l orientción de l curv r(t) pr definir límites unilterles de funciones vectoriles. L definición siguiente etiende l noción de continuidd funciones vectoriles.

6 88 CAPÍTULO Funciones vectoriles DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Un función vectoril r es continu en un punto ddo por t si el límite de rt cundo t eiste lím lim rt r. t Un función vectoril r es continu en un intervlo I si es continu en todos los puntos del intervlo. De cuerdo con est definición, un función vectoril es continu en t si sólo si cd un de sus funciones componentes es continu en t. EJEMPLO 5 Continuidd de funciones vectoriles Anlizr l continuidd de l función vectoril rt ti j t k es un constnte. cundo t 0. Solución Cundo t tiende 0, el límite es lím lim rt t 0 lim lím lím t t 0 i lim t 0 j lím lim t 0 t k 0i j k z j k. 6 Como = = r0 0i j k j k 0 se conclue que r es continu en t 0. Medinte un rzonmiento similr, se conclue que l función vectoril r es continu en todo vlor rel de t. 8 6 Pr cd, l curv representd por l función vectoril del ejemplo 5, rt ti j t k es un constnte. = 0 = = Pr todo, l curv representd por l función vectoril rt t i j t k es un prábol Figur.7 es un prábol. Uno se puede imginr cd un de ests prábols como l intersección del plno verticl con el prboloide hiperbólico z como se muestr en l figur.7. TECNOLOGÍA Csi culquier tipo de dibujo tridimensionl es difícil hcerlo mno, pero trzr curvs en el espcio es especilmente difícil. El problem consiste en crer l impresión de tres dimensiones. Ls herrmients de grficción usn diverss técnics pr dr l impresión de tres dimensiones en gráfics de curvs en el espcio: un mner es mostrr l curv en un superficie, como en l figur.7.

7 SECCIÓN. Funciones vectoriles 89. Ejercicios En los ejercicios 8, hllr el dominio de l función vectoril En los ejercicios 9, evlur (si es posible) l función vectoril en cd vlor ddo de t. 9. ) r b) r0 c) rs d) r tr 0. rt cos ti sen sin tj ) r0 b) r c).. r t t i t j tk. rt t i t j 6tk. rt ln ti e t j tk. rt sen sin ti cos tj tk 5. rt Ft Gt where donde Ft cos ti sen sin tj t k, rt Ft Gt where donde Ft ln ti 5tj t k, rt Ft Gt where donde Ft sen sin ti cos tj, rt Ft Gt donde where Ft t i tj tk, rt t i t j d) r6 t r6 rt ln ti j tk t ) r b) r c) rt d) r tr rt t i t j e t k ) r0 b) r c) rc d) r9 tr9 En los ejercicios, hllr. rt t i tj tk. rt sen sin ti cos tj tk En los ejercicios 5 8, representr el segmento de rect desde P hst Q medinte un función vectoril medinte un conjunto de ecuciones prmétrics. 5. P (0, 0, 0), Q (,, ) 6. P (0,, ), Q (, 7, ) 7. P (, 5, ), Q (,, 9) 8. P (, 6, 8), Q (,, 5) Pr pensr En los ejercicios 9 0, hllr rt ut. Es el resultdo un función vectoril? Eplicr. 9. rt t i t j k, 0. rt cos t, sin sent, t, Gt i tj t k Gt sen sin tj cos tk Gt t i j t k t r Gt cos ti sen sin tj rt. ut t i 8j t k ut sen sin t, 6 cos t, t En los ejercicios, socir cd ecución con su gráfic. [Ls gráfics están mrcds ), b), c) d).] ) z b) c) z d). rt ti tj t k, t. rt costi sen sintj t k, t. rt ti t j e 0.75t k, t. rt ti ln tj t 0. t 5 k, 5. Pr pensr Ls cutro figurs siguientes son gráfics de l función vectoril rt cos ti sen sin tj t Asocir cd k. un de ls gráfics con el punto en el espcio desde el cul se ve l hélice. Los cutro puntos son 0, 0, 0, 0, 0, 0, (0, 0, 0) 0, 0, 0. ) z b) Generd con Mthemtic c) d) Generd con Mthemtic 6. Dibujr tres gráfics de l función vectoril vists desde los puntos. ) 0, 0, 0 b) 0, 0, 0 c) 5, 5, 5 z Generd con Mthemtic z z Generd con Mthemtic z rt ti tj k

8 80 CAPÍTULO Funciones vectoriles CAS En los ejercicios 7, dibujr l curv representd por l función vectoril dr l orientción de l curv. t 7. r t 8. r t 5 t i tj i t j 9. rt t i t j 0. rt t ti t tj. r cos i sin sen j. rt cos ti sin sen tj. r sec i tn j. rt cos ti sen sin tj rt t i t j t k rt ti t 5j tk rt cos ti sin sen tj tk 8. r t ti cos tj sen tk 9. rt sin sen ti cos tj e t k 0. rt t i tj tk. rt t, t, t. rt cos t t sin sen t, sen sin t t cos t, t En los ejercicios 6, usr un sistem lgebrico por computdor fin de representr gráficmente l función vectoril e identificr l curv común.. rt t i tj t k. rt ti t j t k 5. rt sin ti sen 6. rt sin sen ti cos tj sin sen tk rt cos ti sin sen tj tk ) ut cos t i sin sen tj tk b) ut cos ti sen sin tj tk c) ut costi sen sintj tk d) ut ti sen sin tj cos tk e) ut 6 cos ti 6 sen sin tj tk rt ti t j t k ) ut ti t j t k b) ut t i tj t k c) ut ti t j t k d) ut ti t j 8t k cos t t j e) ut ti t j t k cos t k CAS Pr pensr En los ejercicios 7 8, usr un sistem lgebrico por computdor fin de representr gráficmente l función vectoril rt. Pr cd ut, conjeturr sobre l trnsformción (si l h) de l gráfic de rt. Usr un sistem lgebrico por computdor pr verificr l conjetur. En los ejercicios 9 56, representr l curv pln por medio de un función vectoril. (H muchs respuests corrects.) En los ejercicios 57 58, hllr funciones vectoriles que describn los límites de l región en l figur. Dr el intervlo correspondiente l prámetro de cd función = 5 En los ejercicios 59 66, dibujr l curv en el espcio representd por l intersección de ls superficies. Después representr l curv por medio de un función vectoril usndo el prámetro ddo. Superficies 59. z, z, z 6., z 6. z 6, z 6. z, z 6. z 0, 65. z, z 66. z 6, 67. Mostrr que l función vectoril rt ti t cos tj t sen sin tk Prámetro se encuentr en el cono z. Dibujr l curv. 68. Mostrr que l función vectoril rt e t cos ti e t sen sin tj e t k se encuentr en el cono z. Dibujr l curv. En los ejercicios 69 7, evlur el límite lím t lím t lím t lím t 0 7. lím t ti cos tj sen tk ti lím t i tj t 0 e t i t i e t i t j t k cos t k t ln t t j t k sen t j e t t k t j t t k t cos t sin sen t z t + = sin sen t sen sin t t (primer first octnt octnte) t (primer first octnt octnte)

9 SECCIÓN. Funciones vectoriles 8 CAS En los ejercicios 75 80, determinr el (los) intervlo(s) en que l función vectoril es continu. 75. rt ti 76. rt t i t j t j rt ti rcsen rcsin tj t k rt e t i e t j lnt k 79. rt e t, t, tn t 80. rt 8, t, t Desrrollo de conceptos 8. Considerr l función vectoril rt t i t j tk. Dr un función vectoril st que se l trnsformción especificd de r. ) Un trslción verticl tres uniddes hci rrib b) Un trslción horizontl dos uniddes en dirección del eje negtivo c) Un trslción horizontl cinco uniddes en dirección del eje positivo 8. Dr l definición de continuidd pr un función vectoril. Dr un ejemplo de un función vectoril que esté definid pero no se continu en t. 8. El borde eterior de un resbldill tiene form de un hélice de.5 metros de rdio. L resbldill tiene un ltur de metros hce un revolución complet desde rrib hci bjo. Encontrr un función vectoril pr l hélice. Usr un sistem lgebrico por computdor pr grficr l función. (Eisten muchs respuests corrects.) Pr discusión 8. Cuál de ls siguientes funciones vectoriles represent l mism gráfic? ) r t cos t )i 5 sen t j k b) r t i cos t )j 5 sen t )k c) r t cos t i 5 sen t j k d) r t cos t i 5 sen t j k 85. Sen rt ut funciones vectoriles cuos límites eisten cundo t c. Demostrr que lim lím rt ut lim lím rt lím lim ut. t c t c t c 86. Sen rt ut funciones vectoriles cuos límites eisten cundo t c. Demostrr que lim lím rt t c ut lim lím rt t c lím lim ut. t c 87. Demostrr que si r es un función vectoril continu en c, entonces r es continu en c. 88. Verificr que el recíproco de lo que se firm en el ejercicio 87 no es verdd encontrndo un función vectoril r tl que r se continu en c pero r no se continu en c. En los ejercicios 89 90, dos prtículs vijn lo lrgo de ls curvs de espcio r(t) u(t). Un colisión ocurrirá en el punto de intersección P si mbs prtículs están en P l mismo tiempo. Colisionn ls prtículs? Se intersecn sus trectoris? 89. r t) t i 9t 0)j t k u t) t i t j 5t k 90. r(t ti t j t k u t) t i 8tj t k Pr pensr En los ejercicios 9 9, dos prtículs vijn lo lrgo de ls curvs de espcio r(t) u(t). 9. Si r(t) u(t) se intersecn, colisionrán ls prtículs? 9. Si ls prtículs colisionn, se intersecn sus trectoris r(t) u(t)? Verddero o flso? En los ejercicios 9 96, determinr si l declrción es verdder o fls. Si es fls, eplicr por qué o dr un ejemplo que pruebe que es fls. 9. Si ƒ, g h son funciones polinomiles de primer grdo, entonces l curv dd por f t, g(t) z ht es un rect. 9. Si l curv dd por f t, g(t) z ht es un rect, entonces ƒ, g h son funciones polinomiles de primer grdo de t. 95. Dos prtículs vijn trvés de ls curvs de espcio r(t) u(t). L intersección de sus trectoris depende sólo de ls curvs trzds por r(t) u(t) en tnto l colisión depende de l prmetrizción. 96. L función vectoril rt t i t sen sin t j t cos t k se encuentr en el prboloide z. PROYECTO DE TRABAJO Bruj de Agnesi En l sección.5 se estudió un curv fmos llmd bruj de Agnesi. En este proecto se profundiz sobre est función. Considérese un círculo de rdio centrdo en el punto (0, ) del eje. Se A un punto en l rect horizontl, O el origen B el punto donde el segmento OA cort el círculo. Un punto P está en l bruj de Agnesi si P se encuentr en l rect horizontl trvés de B en l rect verticl trvés de A. ) Mostrr que el punto A está descrito por l función vectoril r A cot i j, donde es el ángulo formdo por OA con el eje positivo. b) Mostrr que el punto B está descrito por l función vectoril r B sen sin i cos j, c) Combinr los resultdos de los incisos ) b) pr hllr l función vectoril r() pr l bruj de Agnesi. Usr un herrmient de grficción pr representr est curv pr. d) Describir los límites lim lím r lím lim r. 0 0 < 0 < <. e) Eliminr el prámetro determinr l ecución rectngulr de l bruj de Agnesi. Usr un herrmient de grficción pr representr est función pr comprr l gráfic con l obtenid en el inciso c). <

10 8 CAPÍTULO Funciones vectoriles. Derivción e integrción de funciones vectoriles Derivr un función vectoril. Integrr un función vectoril. Derivción de funciones vectoriles En ls secciones..5 se estudin vris plicciones importntes que emplen cálculo de funciones vectoriles. Como preprción pr ese estudio, est sección está dedicd ls mecánics de derivción e integrción de funciones vectoriles. L definición de l derivd de un función vectoril es prlel l dd pr funciones reles. DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL L derivd de un función vectoril r se define como rt t rt rt lím lim t 0 t pr todo t pr el cul eiste el límite. Si r(t) eiste, entonces r es derivble en t. Si r(t) eiste pr tod t en un intervlo bierto I, entonces r es derivble en el intervlo I. L derivbilidd de funciones vectoriles puede etenderse intervlos cerrdos considerndo límites unilterles. NOTA Además de l notción rt, otrs notciones pr l derivd de un función vectoril son D t rt, d dt rt, dr dt. z r(t) Figur.8 r(t + t) r(t) r (t) r(t + t) L diferencición de funciones vectoriles puede hcerse componente por componente. Pr ver esto, considérese l función dd por rt f ti gtj. Aplicndo l definición de derivd se obtiene lo siguiente. rt t rt rt lim lím t 0 t f t ti gt tj f ti gtj lím lim t 0 t lim lím t 0 lím lim t 0 fti gtj f t t f t t i gt t gt t j f t t f t t i lim lím t 0 gt t gt t j Este importnte resultdo se enunci en el teorem de l págin siguiente. Nótese que l derivd de l función vectoril r es tmbién un función vectoril. En l figur.8 se ve que rt es un vector tngente l curv dd por rt que punt en l dirección de los vlores crecientes de t.

11 SECCIÓN. Derivción e integrción de funciones vectoriles 8 TEOREMA. DERIVACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES. Si rt f ti gtj, donde ƒ g son funciones derivbles de t, entonces rt fti gtj. Plno.. Si rt f ti gtj htk, donde ƒ, g h son funciones derivbles de t, entonces rt fti gtj htk. Espcio. 6 r(t) = ti + (t + )j EJEMPLO Derivción de funciones vectoriles 5 r () Pr l función vectoril dd por r(t) ti (t )j, encontrr r(t). Entonces bosquejr l curv pln representd por r(t) ls gráfics de r() r(). (, ) r() Figur.9 Solución Derivr cd un de ls componentes bse pr obtener r(t) i tj Derivd. Del vector de posición r(t), se pueden escribir ls ecuciones prmétrics t t. L ecución rectngulr correspondiente es. Cundo t, r() i j r() i j. En l figur.9, r() se dibuj inicindo en el origen, r() se dibuj en el punto finl de r(). Derivds de orden superior de funciones vectoriles se obtienen por derivción sucesiv de cd un de ls funciones componentes. EJEMPLO Derivds de orden superior Pr l función vectoril dd por rt cos ti sen sin tj tk, hllr ) rt b) rt c) rt rt d) rt rt Solución ) rt sin sen ti cos tj k Primer derivd. b) rt cos ti sen sin tj 0k cos ti sen sin tj Segund derivd. c) rt rt sen sin t cos t sen sin t cos t 0 Producto esclr. 0 i j k d) rt rt sin sen t cos t Producto vectoril. cos t sin sen t cos t sin t 0 i sin t cos t 0 j sin t cos t t sen sen sen cos t sin sen k sen sin ti cos tj k En el inciso c) nótese que el producto esclr es un función rel, no un función vectoril.

12 8 CAPÍTULO Funciones vectoriles L prmetrizción de l curv representd por l función vectoril rt f ti gtj htk es suve en un intervlo bierto I si f, g, son continus en I rt 0 pr todo vlor de t en el intervlo I. h EJEMPLO Intervlos en los que un curv es suve Hllr los intervlos en los que l epicicloide C dd por 6 t = π 6 6 t = π r(t) = (5 cos t cos 5t)i + (5 sen t sen 5t)j t = π t = 0 t = π L epicicloide no es suve en los puntos en los que cort los ejes Figur.0 6 rt 5 cos t cos 5ti 5 sen sin t sen sin 5tj, 0 t es suve. Solución L derivd de r es rt 5 sen sin t 5 sen sin 5ti 5 cos t 5 cos 5tj. En el intervlo 0,, los únicos vlores de t pr los cules rt 0i 0j son t 0,,,,. Por consiguiente, se conclue que C es suve en los intervlos 0,,,,,,, como se muestr en l figur.0. NOTA En l figur.0, nótese que l curv no es suve en los puntos en los que tiene cmbios bruptos de dirección. Tles puntos se llmn cúspides o nodos. L morí de ls regls de derivción del cpítulo tienen sus nálogs pr funciones vectoriles, vris de ells se dn en el teorem siguiente. Nótese que el teorem contiene tres versiones de regls del producto. L propiedd d l derivd del producto de un función rel w por un función vectoril r, l propiedd d l derivd del producto esclr de dos funciones vectoriles l propiedd 5 d l derivd del producto vectoril de dos funciones vectoriles (en el espcio). Nótese que l propiedd 5 sólo se plic funciones vectoriles tridimensionles, porque el producto vectoril no está definido pr vectores bidimensionles. TEOREMA. PROPIEDADES DE LA DERIVADA Sen r u funciones vectoriles derivbles de t, w un función rel derivble de t c un esclr.. D t cr t cr t. D t r t ± u t r t ± u t. D t w t r t w t r t w t r t. D t r t u t r t u t r t u t 5. D t r t u t r t) u t r t u t 6. D t r w t r w t w t 7. Si r t r t c, entonces r t r t 0.

13 SECCIÓN. Derivción e integrción de funciones vectoriles 85 EXPLORACIÓN Se r(t) cos ti sen tj. Dibujr l gráfic de rt. Eplicr por qué l gráfic es un círculo de rdio centrdo en el origen. Clculr r r. Colocr el vector r de mner que su punto inicil esté en el punto finl de r. Qué se observ? Mostrr que rt rt es constnte que rt rt 0 pr todo t. Qué relción tiene este ejemplo con l propiedd 7 del teorem.? DEMOSTRACIÓN rt f ti g tj Pr demostrr l propiedd, se donde f, f, g, son funciones derivbles de t. Entonces, rt ut f tf t g tg t se sigue que D t rt ut f tf t f Ls demostrciones de ls otrs propieddes se dejn como ejercicios (ver ejercicios 77 8 ejercicio 8). EJEMPLO g Pr ls funciones vectoriles Aplicción de ls propieddes de l derivd rt i j ln tk t f t)f t g tg t f rt ut rt ut. ut f ti g tj tf t g tg t g tg t tf t g tg t ut t i tj k hllr ) D t rt ut b) D t ut ut. Solución ) Como rt ut ti j, se tiene t i t k D t rt ut rt ut rt ut t i j ln tk ti j t i t k t i t j k t t. b) Como ut ti j ut i, se tiene D t ut ut ut ut ut 0 ut i j k t t 0 0 t 0 0i j tk j tk. 0 i t 0 j t t 0 k NOTA Hcer de nuevo los incisos ) b) del ejemplo pero formndo primero los productos esclr vectoril derivndo después pr comprobr que se obtienen los mismos resultdos.

14 86 CAPÍTULO Funciones vectoriles Integrción de funciones vectoriles L siguiente definición es un consecuenci lógic de l definición de l derivd de un función vectoril. DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL. Si rt f ti gtj, donde f g son continus en, b, entonces l integrl indefinid (o ntiderivd) de r es rt dt f t dt i gt dt j Plno. su integrl definid en el intervlo t b es b b rt dt f t dt i b gt dt j.. Si rt f ti gtj htk, donde f, g h son continus en, b, entonces l integrl indefinid (o ntiderivd) de r es rt dt f t dt i gt dt j ht dt k Espcio. su integrl definid en el intervlo t b es b b b rt dt f t dt i gt dt j b ht dt k. L ntiderivd de un función vectoril es un fmili de funciones vectoriles que difieren entre sí en un vector constnte C. Por ejemplo, si rt es un función vectoril tridimensionl, entonces l hllr l integrl indefinid rt dt, se obtienen tres constntes de integrción ft dt Ft C, gt dt Gt C, ht dt Ht C donde Ft f t, Gt gt, Ht ht. Ests tres constntes esclres formn un vector como constnte de integrción, rt dt Ft C i Gt C j Ht C k Fti Gtj Htk C i C j C k Rt C donde Rt rt. EJEMPLO 5 Integrción de un función vectoril Hllr l integrl indefinid t i j dt. Solución Integrndo componente por componente se obtiene t i j dt t i tj C.

15 SECCIÓN. Derivción e integrción de funciones vectoriles 87 El ejemplo 6 muestr cómo evlur l integrl definid de un función vectoril. EJEMPLO 6 Integrl definid de un función vectoril Evlur l integrl 0 Solución 0 rt dt t i 0 t j et k dt. rt dt 0 t dt i i ln j e k 0 t dt j e t dt k t i 0 ln t j 0 e t k 0 0 Como ocurre con ls funciones reles, se puede reducir l fmili de primitivs de un función vectoril un sol primitiv imponiendo un condición inicil l función vectoril r., como muestr el ejemplo siguiente. r EJEMPLO 7 L primitiv de un función vectoril Hllr l primitiv de rt cos ti sen sin tj t k que stisfce l condición inicil r0 i i j k. Solución rt rt dt cos t dt i sen sin t dt j sen sin t C i cos t C j rctn t C k Hciendo t 0 usndo el hecho que r0 i j k, se tiene r0 0 C i C j 0 C k i j k. Igulndo los componentes correspondientes se obtiene t dt k C, C, C. Por tnto, l primitiv que stisfce l condición inicil dd es rt sen sin t i cos t j rctn t k.

16 88 CAPÍTULO Funciones vectoriles. Ejercicios En los ejercicios 8, dibujr l curv pln representd por l función vectoril dibujr los vectores rt 0 rt 0 pr el vlor ddo de t 0. Colocr los vectores de mner que el punto inicil de rt 0 esté en el origen el punto inicil de rt 0 esté en el punto finl de rt 0. Qué relción h entre rt 0 l curv?.... r t r t r t r t t i ti t i tj, t t j, t i t 0 j, t 0 t j, t 0 t r t e t, e t, t r t e t, e t, t 0 0 En los ejercicios 9 0, ) dibujr l curv en el espcio representd por l función vectoril, b) dibujr los vectores rt 0 rt 0 pr el vlor ddo de t r t cos ti sen tj, r t) sen ti cos tj, rt cos ti sen sin tj tk, rt ti t j k, t 0 t 0 t 0 En los ejercicios, hllr rt. t 0. r t t i tj. r t t i t j. r t cos t, 5 sen t. r t t cos t, sen t 5. r t 6ti 7t j t k 6. r t t i 6tj t k 7. r t cos ti sen tj k 8. r t t i t t j ln t k 9. r t e t i j 5te t k 0. r t t, cos t, sen t. r t t sen t, t cos t, t. r t rcsen t, rccos t, 0 En los ejercicios 0, hllr ) r(t), b) r(t) c) r(t) r(t).. r t t i t j. r t t t i t t j 5. r t cos ti sen tj 6. r t 8 cos ti sen tj 7. r t t i tj 6 t k 8. r t ti t j t 5 k 9. r t cos t t sen t, sen t t cos t, t 0. r t e t, t, tn t En los ejercicios se dn un función vectoril su gráfic. L gráfic tmbién muestr los vectores unitrios rt rt 0 / rt 0. 0 / rt 0 Hllr estos dos vectores unitrios e identificrlos en l gráfic.. r t cos t i sen t j t k,. r t ti t j e t k, t 0 z Figur pr Figur pr En los ejercicios, hllr el (los) intervlo(s) bierto(s) en que l curv dd por l función vectoril es suve.. rt t i t j r cos i sen sin j r sen sin i cos j r sin sen i cos j rt t t i 8 t 8 t j 9. rt t i t j t k 0. rt e t i e t j tk. rt ti tj tn tk. rt t i t j tk En los ejercicios, usr ls propieddes de l derivd pr encontrr lo siguiente. ) rt b) rt c) D t [r(t ut] d) D t [rt ut] e) D t [rt ut] f). rt ti tj t k, ut ti t j t k. rt ti sin sentj cos tk, ut i sen sin tj cos tk t rt i tj t En los ejercicios 5 6, hllr ) D t [rt ut] b) D t [rt ut] en dos diferentes forms. i) Hllr primero el producto luego derivr. ii) Aplicr ls propieddes del teorem.. 5. rt ti t j t k, ut t k 6. rt cos ti sen sin tj tk, ut j tk En los ejercicios 7 8, hllr el ángulo entre rt rt en función de t. Usr un herrmient de grficción pr representr t. Usr l gráfic pr hllr todos los etremos de l función. Hllr todos los vlores de t en que los vectores son ortogonles. 7. rt sin senti cos tj 8. rt t i tj t 0 z D t [ rt) ], t > 0

17 SECCIÓN. Derivción e integrción de funciones vectoriles 89 En los ejercicios 9 5, usr l definición de l derivd pr hllr rt. 9. rt t i 50. rt t i t j j tk t 5. rt t, 0, t 5. rt 0, sin sen t, t En los ejercicios 5 60, hllr l integrl indefinid. 5. ti j k dt t i j t k dt e t i sen sin tj cos tk dt 59. sec ti 60. e t sin ti e t cos tj dt t j dt sen En los ejercicios 6 66, evlur l integrl definid. 6. 8ti tj k dt ti e t j te t k dt 66. En los ejercicios 67 7, hllr rt pr ls condiciones dds rt e t i e t j, rt t j 6t k, r0 i r0 i j 69. rt j, r0 600i 600j, r rt cos tj sen sin tk, r0 k, r0 j 7. rt te t i e t j k, r0 i j k 7. t i t j t k dt cos ti sen sin tj k dt sec t tn ti tn tj sen sin t cos tk dt rt t i t j t k, t i 6tj t k dt ln ti j k t dt ti t j t k dt ti t j dt 0 r i En los ejercicios 77 8, demostrr l propiedd. En todos los csos, suponer que r, u v son funciones vectoriles derivbles de t, que w es un función rel derivble de t, que c es un esclr. 77. D t crt crt 78. D t rt ± ut rt ± ut 79. D t wtrt wtrt wtrt 80. D t rt ut rt ut rt ut 8. D t rwt rwtwt 8. D t rt rt rt rt 8. D t rt ut vt rt ut vt rt ut vt rt ut vt 8. Si rt rt es un constnte, entonces rt rt Movimiento de un prtícul Un prtícul se mueve en el plno lo lrgo de l curv representd por l función vectoril rt t sen sin ti cos tj. ) Usr un herrmient de grficción pr representr r. Describir l curv. b) Hllr los vlores mínimo máimo de r 86. Movimiento de un prtícul Un prtícul se mueve en el plno z lo lrgo de l curv representd por l función vectoril rt cos tj sin sen tk. ) Describir l curv. b) Hllr los vlores mínimo máimo de r r. 87. Considerr l función vectoril rt e t sen sin ti e t cos tj. Mostrr que rt rt son siempre perpendiculres cd uno. Pr discusión 88. Investigción Considerr l función vectoril r(t) ti ( t )j. ) Trzr l gráfic de r(t). Usr un herrmient de grficción pr verificr su gráfic. b) Trzr los vectores r(), r(.5) r(.5) r() sobre l gráfic en el inciso ). c) Comprr el vector r() con el vector r.5 r..5 r. Desrrollo de conceptos 7. Definir l derivd de un función vectoril. Describir cómo hllr l derivd de un función vectoril dr su interpretción geométric. 7. Cómo se encuentr l integrl de un función vectoril? 75. Ls tres componentes de l derivd de l función vectoril u son positivs en t t 0. Describir el comportmiento de u en t t L componente z de l derivd de l función vectoril u es 0 pr t en el dominio de l función. Qué implic est informción cerc de l gráfic de u? Verddero o flso? En los ejercicios 89 9, determinr si l declrción es verdder o fls. Si es fls, eplicr por qué o dr un ejemplo que muestre que es fls. 89. Si un prtícul se mueve lo lrgo de un esfer centrd en el origen, entonces su vector derivd es siempre tngente l esfer. 90. L integrl definid de un función vectoril es un número rel. 9. d rt rt dt 9. Si r u son funciones vectoriles derivbles de t, entonces D t rt ut rt ut.

18 850 CAPÍTULO Funciones vectoriles. Velocidd celerción Describir l velocidd l celerción relcionds con un función vectoril. Usr un función vectoril pr nlizr el movimiento de un proectil. EXPLORACIÓN Eplorción de velocidd Considérese el círculo ddo por rt cos ti sin sentj. Usr un herrmient de grficción en modo prmétrico pr representr este círculo pr vrios vlores de w. Cómo fect w l velocidd del punto finl cundo se trz l curv? Pr un vlor ddo de w, prece ser constnte l velocidd? Prece ser constnte l celerción? Eplicr el rzonmiento. Velocidd celerción Ahor se combin el estudio de ecuciones prmétrics, curvs, vectores funciones vectoriles fin de formulr un modelo pr el movimiento lo lrgo de un curv. Se empezrá por ver el movimiento de un objeto en el plno. (El movimiento de un objeto en el espcio puede desrrollrse de mner similr.) Conforme un objeto se mueve lo lrgo de un curv en el plno, l coordend l coordend de su centro de ms es cd un función del tiempo t. En lugr de utilizr ƒ g pr representr ests dos funciones, es conveniente escribir t t. Por tnto, el vector de posición rt tom l form rt ti tj. Vector de posición. Lo mejor de este modelo vectoril pr representr movimiento es que se pueden usr l primer l segund derivds de l función vectoril r pr hllr l velocidd l celerción del objeto. (H que recordr del cpítulo nterior que l velocidd l celerción son cntiddes vectoriles que tienen mgnitud dirección.) Pr hllr los vectores velocidd celerción en un instnte ddo t, considérese un punto Qt t, t t que se proim l punto Pt, t lo lrgo de l curv C dd por rt ti tj, como se muestr en l figur.. A medid que t 0, l dirección del vector PQ \ (denotdo por r) se proim l dirección del movimiento en el instnte t. lím lim t 0 r rt t rt r rt t rt t t r t lim lím t 0 rt t rt t Si este límite eiste, se define como el vector velocidd o el vector tngente l curv en el punto de P. Nótese que éste es el mismo límite usdo en l definición de rt. Por tnto, l dirección de rt d l dirección del movimiento en el instnte t. L mgnitud del vector rt rt ti tj t t d l rpidez del objeto en el instnte t. De mner similr, se puede usr rt pr hllr l celerción, como se indic en ls definiciones siguientes. Vector velocidd en el instnte t Vector velocidd en el instnte t t 0 C P r Q r(t) r(t + t) Conforme t 0, r se proim l vector velocidd t Figur.

19 SECCIÓN. Velocidd celerción 85 DEFINICIONES DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN Si son funciones de t que tienen primer segund derivds r es un función vectoril dd por rt ti tj, entonces el vector velocidd, el vector celerción l rpidez en el instnte t se definen como sigue. Velocidd Velocit vt rt ti tj Accelertion Acelerción t rt ti tj Rpidez Speed vt rt t t Pr el movimiento lo lrgo de un curv en el espcio, ls definiciones son similres. Es decir, si rt ti tj ztk, entonces Velocidd Velocit vt rt ti tj ztk Accelertion Acelerción t rt ti tj ztk Rpidez Speed vt rt t t zt. EJEMPLO Hllr l velocidd l celerción lo lrgo de un curv pln NOTA En el ejemplo, nótese que los vectores velocidd celerción son ortogonles en todo punto en culquier instnte. Esto es crcterístico del movimiento con rpidez constnte. (Ver ejercicio 57.) Hllr el vector velocidd, l rpidez el vector celerción de un prtícul que se mueve lo lrgo de l curv pln C descrit por rt sen sin t i cos t j. Solución El vector velocidd es Vector posición. vt rt cos t i sen sin t j. Vector velocidd. L rpidez (en culquier instnte) es Círculo: + = rt cos t sen t sin. El vector celerción es t rt sen sin t i cos t j. Rpidez. Vector celerción. (t) r(t) = sen t t i + cos j v(t) L prtícul se mueve lrededor del círculo con rpidez constnte Figur. Ls ecuciones prmétrics de l curv del ejemplo son sen sin t Eliminndo el prámetro t, se obtiene l ecución rectngulr. Ecución rectngulr. Por tnto, l curv es un círculo de rdio centrdo en el origen, como se muestr en l figur.. Como el vector velocidd vt cos t i sen sin t j cos t. tiene un mgnitud constnte pero cmbi de dirección medid que t ument, l prtícul se mueve lrededor del círculo con un rpidez constnte.

20 85 CAPÍTULO Funciones vectoriles v(0) r(t) = (t )i + tj (0) () = En todo punto en l curv, el vector celerción punt l derech Figur. Sol v() En todo punto de l órbit del comet, el vector celerción punt hci el Sol Figur. EJEMPLO Dibujo de los vectores velocidd celerción en el plno Dibujr l trectori de un objeto que se mueve lo lrgo de l curv pln dd por rt t i t j Vector posición. hllr los vectores velocidd celerción cundo t 0 t. Solución Utilizndo ls ecuciones prmétrics t t, se puede determinr que l curv es un prábol dd por, como se muestr en l figur.. El vector velocidd (en culquier instnte) es vt rt t i j el vector celerción (en culquier instnte) es t rt i. Vector velocidd. Vector celerción. Cundo t 0, los vectores velocidd celerción están ddos por v(0) (0)i j j (0) i. Cundo t, los vectores velocidd celerción están ddos por v() ()i j i j () i. Si el objeto se mueve por l trectori mostrd en l figur., nótese que el vector celerción es constnte (tiene un mgnitud de punt hci l derech). Esto implic que l rpidez del objeto v decreciendo conforme el objeto se mueve hci el vértice de l prábol, l rpidez v creciendo conforme el objeto se lej del vértice de l prábol. Este tipo de movimiento no es el crcterístico de comets que describen trectoris prbólics en nuestro sistem solr. En estos comets, el vector celerción punt siempre hci el origen (el Sol), lo que implic que l rpidez del comet ument medid que se proim l vértice de su trectori disminue cundo se lej del vértice. (Ver figur..) EJEMPLO Dibujo de los vectores velocidd celerción en el espcio Dibujr l trectori de un objeto que se mueve lo lrgo de l curv en el espcio C dd por Curv: r(t) = ti + t j + tk, t 0 rt t i t j tk, t 0 Vector posición. hllr los vectores velocidd celerción cundo t. z 6 (,, ) v() () C 0 Solución Utilizndo ls ecuciones prmétrics t t, se puede determinr que l trectori del objeto se encuentr en el cilindro cúbico ddo por. Como z t, el objeto prte de 0, 0, 0 se mueve hci rrib medid que t ument, como se muestr en l figur.5. Como rt t i t j tk, se tiene vt rt i t j k Vector velocidd. Figur.5 t rt 6tj. Vector celerción. Cundo t, los vectores velocidd celerción están ddos por v() r() i j k () r() 6j.

21 SECCIÓN. Velocidd celerción 85 Hst quí se h trtdo de hllr l velocidd l celerción derivndo l función de posición. En muchs plicciones práctics se tiene el problem inverso, hllr l función de posición dds un velocidd o un celerción. Esto se demuestr en el ejemplo siguiente. EJEMPLO Hllr un función posición por integrción Un objeto prte del reposo del punto P(,, 0) se mueve con un celerción t j k Vector celerción. donde t se mide en pies por segundo l cudrdo. Hllr l posición del objeto después de t segundos. Solución A prtir de l descripción del movimiento del objeto, se pueden deducir ls condiciones iniciles siguientes. Como el objeto prte del reposo, se tiene v0 0. Como el objeto prte del punto,, z,, 0, se tiene r0 0i 0j z0k i j 0k i j. Pr hllr l función de posición, h que integrr dos veces, usndo cd vez un de ls condiciones iniciles pr hllr l constnte de integrción. El vector velocidd es vt t dt j k dt tj tk C Curv: r(t) = i + z ( ) t + j + t k donde C C i C j C k. Hciendo t 0 plicndo l condición inicil se obtiene v0 C i C j C k 0 C C C 0. Por tnto, l velocidd en culquier instnte t es vt tj tk. Vector velocidd. Integrndo un vez más se obtiene v0 0, 6 C rt vt dt tj tk dt 6 r() (,, 0) t = 0 (,, ) t = El objeto trd segundos en moverse del punto (,, 0) l punto (,, ) lo lrgo de C Figur.6 6 donde C C i C 5 j C 6 k. Hciendo t 0 plicndo l condición inicil r(0) i j, se tiene r0 C i C 5 j C 6 k i j Por tnto, el vector posición es rt i t t j t k C j t k. Vector posición. C, C 5, C 6 0. L posición del objeto después de t segundos está dd por r i j k, como se muestr en l figur.6.

22 85 CAPÍTULO Funciones vectoriles Movimiento de proectiles v 0 = velocidd inicil v(t ) v 0 = v(0) Altur inicil Figur.7 v(t ) Ahor se dispone de lo necesrio pr deducir ls ecuciones prmétrics de l trectori de un proectil. Supóngse que l grvedd es l únic fuerz que ctú sobre un proectil después de su lnzmiento. Por tnto, el movimiento ocurre en un plno verticl que puede representrse por el sistem de coordends con el origen correspondiente un punto sobre l superficie de l Tierr (figur.7). Pr un proectil de ms m, l fuerz grvittori es F mgj Fuerz grvittori. donde l constnte grvittori es g pies por segundo l cudrdo, o 9.8 metros por segundo l cudrdo. Por l segund le del movimiento de Newton, est mism fuerz produce un celerción t, stisfce l ecución F m. Por consiguiente, l celerción del proectil está dd por m mgj, lo que implic que gj. Acelerción del proectil. EJEMPLO 5 Obtención de l función de posición de un proectil Un proectil de ms m se lnz desde un posición inicil Hllr su vector posición en función del tiempo. con un velocidd inicil v 0. Solución Se prte del vector celerción t gj se integr dos veces. r 0 vt t dt g j dt gt j C rt vt dt gtj C dt gt j C t C Se puede usr el hecho de que v0 v 0 r0 r 0 pr hllr los vectores constntes C C. Hciendo esto se obtiene C v 0 C r 0. Por consiguiente, el vector posición es rt gt j t v 0 r 0. Vector posición. v 0 = v 0 = rpidez inicil r 0 = h = ltur inicil v 0 j θ i h r 0 = v 0 cos θ = v 0 sen θ Figur.8 En muchos problems sobre proectiles, los vectores constntes r 0 v 0 no se dn eplícitmente. A menudo se dn l ltur inicil h, l rpidez inicil v 0 el ángulo con que el proectil es lnzdo, como se muestr en l figur.8. De l ltur dd, se puede deducir que r 0 hj. Como l rpidez d l mgnitud de l velocidd inicil, se sigue que v 0 v 0 se puede escribir v 0 i j v 0 cos i v 0 sen sin j v 0 cos i v 0 sin senj. Por tnto, el vector posición puede epresrse en l form rt Vector posición. gt j t v 0 r 0 gt j tv 0 cos i tv 0 sen sin j hj v 0 cos ti h v 0 sin t gt j. sen

23 SECCIÓN. Velocidd celerción 855 TEOREMA. FUNCIÓN DE POSICIÓN DE UN PROYECTIL Desprecindo l resistenci del ire, l trectori de un proectil lnzdo de un ltur inicil h con rpidez inicil v 0 ángulo de elevción se describe por medio de l función vectoril rt v 0 cos ti h v 0 sin t gt j sen donde g es l constnte de l grvedd. EJEMPLO 6 L trectori de un pelot de béisbol Figur.9 5 pies 00 pies 0 pies Un pelot de béisbol es golped pies sobre el nivel del suelo 00 pies por segundo con un ángulo de 5 respecto l suelo, como se muestr en l figur.9. Hllr l ltur máim que lcnz l pelot de béisbol. Psrá por encim de un vll de 0 pies de ltur loclizd 00 pies del plto de lnzmiento? Solución Se tienen ddos h, v 0 00, Así, tomndo g pies por segundo l cudrdo se obtiene rt 00 cos 50 ti 50 t 6t j vt rt 50 i 50 tj. L ltur máim se lcnz cundo t 50 t 0 lo cul implic que t 5 6. segundos. Por tnto, l ltur máim que lcnz l pelot es pies. feet. L pelot está 00 pies de donde fue golped cundo 00 t 50 t. Altur máim cundo t. segundos. Despejndo t de est ecución se obtiene t. segundos. En este instnte, l ltur de l pelot es pies. feet. t i 00 sen sin Por consiguiente, l pelot psrá sobre l vll de 0 pies. 5. t 6t j Altur cundo t. segundos.

24 856 CAPÍTULO Funciones vectoriles. Ejercicios En los ejercicios 0, el vector posición r describe l trectori de un objeto que se mueve en el plno. Dibujr un gráfic de l trectori dibujr los vectores velocidd celerción en el punto ddo. Función posición Punto... rt ti t j rt 6 ti tj rt t i tj, 0,,. r t ti t j, 5. r t t i t j, 6. r t t i tj, rt cos ti sin sen tj rt cos ti sin sen tj rt t sen sin t, cos t rt e t, e t,, 0,, En los ejercicios 0, el vector posición r describe l trectori de un objeto que se mueve en el espcio. Hllr velocidd, rpidez celerción del objeto.. r t ti 5tj tk. r t ti t j tk. r t ti t j t. r t ti tj t k k 5. r t ti tj 9 t k 6. r t t i tj t k 7. r t 8. r(t 9. r t t, cos t, sen t cos t, sen t, t e t cos t, e t sen t, e t 0. r t ln t, t, t Aproimción linel En los ejercicios se dn l gráfic de l función vectoril rt un vector tngente l gráfic en t t 0. ) Hllr un conjunto de ecuciones prmétrics pr l rect tngente l gráfic en t t 0. b) Utilizr ls ecuciones de l rect pr proimr rt rt t, t, t, t 0. rt t,5 t,5 t, ( ),, z Figur pr Figur pr t 0 5 z 6 (,, ) 6 En los ejercicios 8, usr l función celerción dd pr determinr los vectores velocidd posición. Después hllr l posición en el instnte t.. t i j k. 5. v0 0, t i k v0 j, t tj tk r0 0 r0 0 v 5j, r 0 6. t k v 0 i j k, t cos ti sen tj v 0 j k, (t) e t i 8k v 0 i j k, Movimiento de proectiles En los ejercicios 9, usr el modelo pr el movimiento de un proectil, suponiendo que no h resistenci del ire. 9. Hllr l función vectoril de l trectori de un proectil lnzdo desde un ltur de 0 pies sobre el suelo con un velocidd inicil de 88 pies por segundo con un ángulo de 0 sobre l horizontl. Usr un herrmient de grficción pr representr l trectori del proectil. 0. Determinr l ltur máim el lcnce de un proectil disprdo desde un ltur de pies sobre el nivel del suelo con velocidd inicil de 900 pies por segundo con un ángulo de 5 sobre l horizontl.. Un pelot de béisbol es golped pies sobre el nivel del suelo, se lej del bte con un ángulo de 5 es cchd por un jrdinero pies sobre el nivel del suelo 00 pies del plto de lnzmiento. Cuál es l rpidez inicil de l pelot qué ltur lcnz?. Un jugdor de béisbol en segund bse lnz un pelot l jugdor de primer bse 90 pies. L pelot es lnzd desde 5 pies sobre el nivel del suelo con un velocidd inicil de 50 mills por hor con un ángulo de 5 con l horizontl. A qué ltur cch l pelot el jugdor de primer bse?. Eliminr el prámetro t de l función de posición pr el movimiento de un proectil mostrr que l ecución rectngulr es 6 sec v tn h. 0. L trectori de un pelot l d l ecución rectngulr r 0 r 0 5j k i r 0 0 Usr el resultdo del ejercicio pr hllr l función de posición. Después hllr l velocidd l dirección de l pelot en el punto en que h recorrido 60 pies horizontlmente.

25 SECCIÓN. Velocidd celerción Modelo mtemático L trectori de un pelot lnzd por un jugdor de béisbol es videogrbd después se nliz l grbción con un cudrícul que cubre l pntll. L cint se detiene tres veces se miden ls posiciones de l pelot. Ls coordends son proimdmente (0, 6.0), (5, 0.6) (0,.). (L coordend mide l distnci horizontl l jugdor en pies l coordend mide l ltur en pies.) ) Usr un herrmient de grficción pr hllr un modelo cudrático pr los dtos. b) Usr un herrmient de grficción pr representr los dtos l gráfic del modelo. c) Determinr l ltur máim de l pelot. d) Hllr l velocidd inicil de l pelot el ángulo l que fue lnzd. 6. Un pelot de béisbol es golped desde un ltur de.5 pies sobre el nivel del suelo con un velocidd inicil de 0 pies por segundo con un ángulo de sobre l horizontl. Usr un herrmient de grficción pr representr l trectori de l pelot determinr si psrá sobre un vll de 0 pies de ltur loclizd 75 pies del plto de lnzmiento. 7. El Rogers Centre en Toronto, Ontrio, tiene un cerc en su cmpo centrl que tiene 0 pies de ltur está 00 pies del plto de lnzmiento. Un pelot es golped pies sobre el nivel del suelo se d el btzo un velocidd de 00 mills por hor. ) L pelot se lej del bte formndo un ángulo de 0 con l horizontl. Dr l función vectoril pr l trectori de l pelot. b) Usr un herrmient de grficción pr representr l función vectoril pr 0 0, 0 5, 0 0, 0 5. Usr ls gráfics pr proimr el ángulo mínimo requerido pr que el golpe se un home run. c) Determinr nlíticmente el ángulo mínimo requerido pr que el golpe se un home run. 8. El mriscl de cmpo de un equipo de fútbol mericno lnz un pse un ltur de 7 pies sobre el cmpo de juego, el blón de fútbol lo cptur un receptor 0 rds un ltur de pies. El pse se lnz con un ángulo de 5 con l horizontl. ) Hllr l rpidez del blón de fútbol l ser lnzdo. b) Hllr l ltur máim del blón de fútbol. c) Hllr el tiempo que el receptor tiene pr lcnzr l posición propid después de que el mriscl de cmpo lnz el blón de fútbol. 9. Un epulsor de pcs consiste en dos bnds de velocidd vrible l finl del epulsor. Su función es lnzr ls pcs un cmión. Al crgr l prte trser del cmión, un pc debe lnzrse un posición 8 pies hci rrib 6 pies detrás del epulsor. ) Hllr l velocidd inicil mínim de l pc el ángulo correspondiente l que debe ser lnzd de l epulsor. b) L epulsor tiene un ángulo fijo de 5. Hllr l velocidd inicil requerid. 0. Un bombrdero vuel un ltitud de pies un velocidd de 50 mills por hor (ver l figur). Cuándo debe lnzr l bomb pr que pegue en el blnco? (Dr l respuest en términos del ángulo de depresión del vión con relción l blnco.) Cuál es l velocidd de l bomb en el momento del impcto? pies Figur pr 0. Un dispro de un rm con un velocidd de 00 pies por segundo se lnz hci un blnco 000 pies de distnci. Determinr el ángulo mínimo de elevción del rm.. Un proectil se lnz desde el suelo con un ángulo de con l horizontl. El proectil debe tener un lcnce de 00 pies. Hllr l velocidd inicil mínim requerid.. Usr un herrmient de grficción pr representr l trectori de un proectil pr los vlores ddos de v 0. En cd cso, usr l gráfic pr proimr l ltur máim el lcnce del proectil. (Suponer que el proectil se lnz desde el nivel del suelo.) ) v 0 66 ftsec pies/s b) v 0 6 pies/s ftsec c) v 0 66 ftsec pies/s d) v 0 6 ftsec pies/s e) v 0 66 ftsec pies/s ƒ) v 0 6 ftsec pies/s. Hllr el ángulo con el que un objeto debe lnzrse pr tener ) el lcnce máimo b) l ltur máim. 0, 5, 60, 50 mph 0, 5, 60, Movimiento de un proectil En los ejercicios 5 6, usr el modelo pr el movimiento de un proectil, suponiendo que no h resistenci. [t 9.8 metros por segundo l cudrdo. ] 5. Determinr l ltur el lcnce máimos de un proectil disprdo desde un ltur de.5 metros sobre el nivel del suelo con un velocidd inicil de 00 metros por segundo con un ángulo de 0 sobre l horizontl. 6. Un proectil se dispr desde el nivel del suelo con un ángulo de 8 con l horizontl. El proectil debe tener un lcnce de 50 metros. Hllr l velocidd mínim necesri. Movimiento cicloidl En los ejercicios 7 8, considerr el movimiento de un punto (o prtícul) en l circunferenci de un círculo que rued. A medid que el círculo rued gener l cicloide rt bt sen sin ti b cos tj, donde es l velocidd ngulr constnte del círculo b es el rdio del círculo. 7. Hllr los vectores velocidd celerción de l prtícul. Usr los resultdos pr determinr los instntes en que l rpidez de l prtícul será ) cero b) máim. 8. Hllr l velocidd máim de un punto de un neumático de utomóvil de rdio pie cundo el utomóvil vij 60 mills por hor. Comprr est velocidd con l velocidd del utomóvil. Movimiento circulr En los ejercicios 9 5, considerr un prtícul que se mueve lo lrgo de un trectori circulr de rdio b descrit por r(t) b cos ti b sen tj donde dudt es l velocidd ngulr constnte. 9. Hllr el vector velocidd mostrr que es ortogonl rt.

26 858 CAPÍTULO Funciones vectoriles 50. ) Mostrr que l rpidez de l prtícul es b. b) Usr un herrmient de grficción en modo prmétrico pr representr el círculo pr b 6. Probr distintos vlores de. Dibuj l herrmient de grficción más rápido los círculos pr los vlores mores de? 5. Hllr el vector celerción mostrr que su dirección es siempre hci el centro del círculo. 5. Mostrr que l mgnitud del vector celerción es Movimiento circulr En los ejercicios 5 5, usr los resultdos de los ejercicios Un piedr que pes libr se t un cordel de dos pies de lrgo se hce girr horizontlmente (ver l figur). El cordel se romperá con un fuerz de 0 librs. Hllr l velocidd máim que l piedr puede lcnzr sin que se romp el cordel. (Usr F m, donde pies Figur pr 5 Figur pr 5 5. Un utomóvil de 00 librs está tomndo un curv circulr de 00 pies de rdio 0 mills por hor (ver l figur). Supuesto que l crreter está niveld, hllr l fuerz necesri entre los neumáticos el pvimento pr que el utomóvil mnteng l trectori circulr sin derrpr. (Usr F m, donde m 00/.) Hllr el ángulo de perlte necesrio pr que ningun fuerz de fricción lterl se ejercid sobre los neumáticos del utomóvil. 55. Lnzmiento de peso L trectori de un objeto lnzdo con un ángulo es rt v 0 cos t i h v 0 sin t gt j donde v 0 es l rpidez inicil, h es l ltur inicil, t es el tiempo en segundos g es l celerción debid l grvedd. Verificr que el objeto permnecerá en el ire t v 0 sin sen v 0 sen sin gh seconds segundos g recorrerá un distnci horizontl de v 0 cos pies. g sen sin sen sin gh v Lnzmiento de peso Un peso es lnzdo desde un ltur de h 6 pies con rpidez inicil v 0 5 pies por segundo con un ángulo de con l horizontl. Hllr el tiempo totl de recorrido l distnci horizontl recorrid..5 m. libr 00 pies 0 mph b. 57. Demostrr que si un objeto se mueve con rpidez constnte, sus vectores velocidd celerción son ortogonles. 58. Demostrr que un objeto que se mueve en líne rect velocidd constnte tiene celerción nul. sen 59. Investigción Un objeto sigue un trectori elíptic dd por l función vectoril rt 6 cos ti sen sin tj. ) Hllr vt, vt, t. b) Usr un herrmient de grficción pr completr l tbl. t 0 Rpidez c) Representr gráficmente l trectori elíptic los vectores velocidd celerción pr los vlores de t ddos en l tbl del inciso b). d) Usr los resultdos de los incisos b) c) pr describir l relción geométric entre los vectores velocidd celerción cundo l rpidez de l prtícul ument cundo disminue. Pr discusión 6. Cundo t 0, un objeto está en el punto (0, ) tiene un vector velocidd v(0) i. Se mueve con celerción (t) sen ti cos t j. Mostrr que l trectori del objeto es un círculo. Verddero o flso? En los ejercicios 65 68, determinr si l declrción es verdder o fls. Si es fls, eplicr por qué o dr un ejemplo que pruebe que es fls. 65. L celerción de un objeto es l derivd de l rpidez. 66. L velocidd de un objeto es l derivd de l posición. 67. El vector velocidd punt en l dirección de movimiento. 60. Considerr un prtícul que se mueve sobre un trectori elíptic descrit por r t cos t i b sen t j, donde d dt es l velocidd ngulr constnte. 68. Si un prtícul se mueve lo lrgo de un líne rect, entonces los vectores velocidd celerción son ortogonles. ) Encontrr el vector velocidd. Cuál es l rpidez de l prtícul? b) Encontrr el vector celerción demostrr que su dirección está siempre hci el centro de l elipse. Desrrollo de conceptos 6. Con ls propis plbrs, eplicr l diferenci entre l velocidd de un objeto su rpidez. 6. Qué se conoce cerc de l rpidez de un objeto si el ángulo entre los vectores velocidd celerción es ) gudo b) obtuso? 6. Redcción Considerr un prtícul que se mueve sobre l trectori r t ti tj ztk. ) Anlizr todo cmbio en l posición, velocidd o celerción de l prtícul si su posición está dd por l función vectoril r t r t. b) Generlizr los resultdos l función posición r t r t.

27 SECCIÓN. Vectores tngentes vectores normles 859. Vectores tngentes vectores normles Hllr un vector unitrio tngente en un punto un curv en el espcio. Hllr ls componentes tngencil norml de l celerción. Vectores tngentes vectores normles En l sección precedente se vio que el vector velocidd punt en l dirección del movimiento. Est observción llev l definición siguiente, que es válid pr culquier curv suve, no sólo pr quells en ls que el prámetro es el tiempo. DEFINICIÓN DEL VECTOR UNITARIO TANGENTE Se C un curv suve en un intervlo bierto I, representd por r. El vector unitrio tngente Tt en t se define como Tt rt rt, rt 0. Como se recordrá, un curv es suve en un intervlo si es continu distint de cero en el intervlo. Por tnto, l suvidd es suficiente pr grntizr que un curv teng vector unitrio tngente. r EJEMPLO Hllr el vector unitrio tngente Hllr el vector unitrio tngente l curv dd por rt ti t j cundo t. Solución L derivd de rt es T() r(t) = ti + t j Por tnto, el vector unitrio tngente es Cundo rt i tj. Tt rt rt i tj. t Derivd de rt. Definición de Tt. Sustituir rt. t, el vector unitrio tngente es L dirección del vector unitrio tngente depende de l orientción de l curv Figur.0 T i j 5 como se muestr en l figur.0. NOTA En el ejemplo, h que observr que l dirección del vector unitrio tngente depende de l orientción de l curv. Por ejemplo, si l prábol de l figur.0 estuvier dd por rt t i t j, unque T tmbién representrí el vector unitrio tngente en el punto,, puntrí en dirección opuest. Trtr de verificr esto.

28 860 CAPÍTULO Funciones vectoriles L rect tngente un curv en un punto es l rect que ps por el punto es prlel l vector unitrio tngente. En el ejemplo se us el vector unitrio tngente pr hllr l rect tngente un hélice en un punto. EJEMPLO Hllr l rect tngente un curv en un punto Hllr Tt hllr después un conjunto de ecuciones prmétrics pr l rect tngente l hélice dd por rt cos ti sen sin tj tk en el punto,,. Curv: r(t) = cos ti + sen tj + tk 6 5 z π (,, ) Rect tngente L rect tngente un curv en un punto está determind por el vector unitrio tngente en el punto Figur. C Solución L derivd de rt es rt sen sin ti cos tj k, lo que implic que rt sen sin t cos t 5. Por consiguiente, el vector unitrio tngente es Tt rt rt Vector unitrio tngente. En el punto,,, t el vector unitrio tngente es T Usndo los números directores, b, c, el punto (,, z ) se obtienen ls ecuciones prmétrics siguientes (dds con el prá-,,, metro s). sen sin ti cos tj k. 5 5 i j k. 5 z z cs s s s bs s i j k Est rect tngente se muestr en l figur.. En el ejemplo h un cntidd infinit de vectores que son ortogonles l vector tngente Tt. Uno de estos vectores es el vector Tt. Esto se desprende de l propiedd 7 del teorem.. Es decir, Tt Tt Tt Tt Tt 0. Normlizndo el vector Tt, se obtiene un vector especil llmdo el vector unitrio norml principl, como se indic en l definición siguiente. DEFINICIÓN DE VECTOR UNITARIO NORMAL PRINCIPAL Se C un curv suve en un intervlo bierto I representd por r. Si Tt 0, entonces el vector unitrio norml principl en t se define como Nt Tt Tt.

29 SECCIÓN. Vectores tngentes vectores normles 86 EJEMPLO Hllr el vector unitrio norml principl Hllr Nt N pr l curv representd por rt ti t j. Solución Derivndo, se obtiene rt i tj rt 9 6t lo que implic que el vector unitrio tngente es Tt rt rt 9 6ti tj. Vector unitrio tngente. Usndo el teorem., se deriv Tt con respecto t pr obtener Curv: r(t) = ti + t j C Tt 6t 9 6tj 9 6t i tj N() = ( i + j) 5 9 6t ti j Tt 9 6t 9 6t 9 6t. T() = (i + j) 5 El vector unitrio norml principl punt hci el ldo cóncvo de l curv Figur. Por tnto, el vector unitrio norml principl es Nt Tt Tt 9 6tti j. Cundo t, el vector unitrio norml principl es Vector unitrio norml principl. N i j 5 como se muestr en l figur.. z C El vector unitrio norml principl puede ser difícil de evlur lgebricmente. En curvs plns, se puede simplificr el álgebr hllndo T N Tt ti tj observndo que Nt debe ser Vector unitrio tngente. N t ti tj o N t ti tj. En todo punto de un curv, un vector unitrio norml es ortogonl l vector unitrio tngente. El vector unitrio norml principl punt hci l dirección en que gir l curv Figur. Como t t, se sigue que tnto N t como N t son vectores unitrios normles. El vector unitrio norml principl N es el que punt hci el ldo cóncvo de l curv, como se muestr en l figur. (vése ejercicio 9). Esto tmbién es válido pr curvs en el espcio. Es decir, si un objeto se mueve lo lrgo de l curv C en el espcio, el vector Tt punt hci l dirección en l que se mueve el objeto, mientrs que el vector Nt es ortogonl Tt punt hci l dirección en que gir el objeto, como se muestr en l figur..

30 86 CAPÍTULO Funciones vectoriles EJEMPLO Hllr el vector unitrio norml principl Hélice: r(t) = cos ti + sen tj + tk z Hllr el vector unitrio norml principl pr l hélice dd por rt cos ti sin sen tj tk. π Solución De cuerdo con el ejemplo, se sbe que el vector unitrio tngente es π Tt sin sen ti cos tj k. 5 Así, Tt está ddo por Vector unitrio tngente. π Tt cos ti sen sin tj. 5 π Como Tt 5, se sigue que el vector unitrio norml principl es Nt Tt Tt cos ti sen sin tj cos ti sen sin tj. Vector unitrio norml principl. Nt es horizontl punt hci el eje z Figur. Nótese que este vector es horizontl punt hci el eje z, como se muestr en l figur.. Componentes tngencil norml de l celerción Ahor se vuelve l problem de describir el movimiento de un objeto lo lrgo de un curv. En l sección nterior, se vio que si un objeto se mueve con rpidez constnte, los vectores velocidd celerción son perpendiculres. Esto prece rzonble, porque l rpidez no serí constnte si lgun celerción ctur en dirección del movimiento. Est firmción se puede verificr observndo que rt rt 0 si rt es un constnte. (Ver l propiedd 7 del teorem..) Sin embrgo, si un objeto vij con rpidez vrible, los vectores velocidd celerción no necesrimente son perpendiculres. Por ejemplo, se vio que en un proectil el vector celerción siempre punt hci bjo, sin importr l dirección del movimiento. En generl, prte de l celerción (l componente tngencil) ctú en l líne del movimiento otr prte (l componente norml) ctú perpendiculr l líne del movimiento. Pr determinr ests dos componentes, se pueden usr los vectores unitrios Tt Nt, que juegn un ppel nálogo i j cundo se representn los vectores en el plno. El teorem siguiente estblece que el vector celerción se encuentr en el plno determindo por Tt Nt. TEOREMA. VECTOR ACELERACIÓN Si rt es el vector posición de un curv suve C Nt eiste, entonces el vector celerción t se encuentr en el plno determindo por Tt Nt.

31 SECCIÓN. Vectores tngentes vectores normles 86 Demostrción Pr simplificr l notción, se escribe T en lugr de Tt, en lugr de Tt, sí sucesivmente. Como T rr vv, se sigue que v vt. Por derivción, se obtiene v D t vt vt D t vt vt T D t vt v T N. Regl del producto. N TT Como se epres medinte un combinción linel de T N, se sigue que está en el plno determindo por T N. T A los coeficientes de T de N en l demostrción del teorem. se les conoce como componentes tngencil norml de l celerción se denotn por T D t v N v T. Por tnto, se puede escribir t T Tt N Nt. El teorem siguiente d lguns fórmuls útiles pr N T. TEOREMA.5 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACIÓN Si rt es el vector posición de un curv suve C [pr l cul Nt eiste], entonces ls componentes tngencil norml de l celerción son ls siguientes. T D t v T v N v T N v v v T Nótese que N 0. A l componente norml de l celerción tmbién se le llm componente centrípet de l celerción. T > 0 T N N T N N T < 0 Ls componentes tngencil norml de l celerción se obtienen proectndo sobre T N. Figur.5 DEMOSTRACIÓN Nótese que se encuentr en el plno de T N. Por tnto, se puede usr l figur.5 pr concluir que, en culquier instnte t, ls componentes de l proección del vector celerción sobre T sobre N están dds por T T, N N., respectivmente. Además, como v T vv, se tiene T T T v v v v. En los ejercicios se pide demostrr ls otrs prtes del teorem. NOTA Ls fórmuls del teorem.5, junto con lguns otrs fórmuls de este cpítulo, se resumen en l págin 877.

32 86 CAPÍTULO Funciones vectoriles EJEMPLO 5 Componentes tngencil norml de l celerción Hllr ls componentes tngencil norml de l celerción pr el vector posición ddo por rt ti tj t k. Solución Pr empezr se hll l velocidd, l rpidez l celerción. vt rt i j tk vt 9 t 0 t t rt k De cuerdo con el teorem.5, l componente tngencil de l celerción es T v v t 0 t como i j k v t i 6j 0 0 l componente norml de l celerción es N v v 6 0 t 0 0 t. Componente tngencil de l celerción. Componente norml de l celerción. NOTA En el ejemplo 5 se podrí hber usdo l fórmul lterntiv siguiente pr. N T 6t 0 0 t 0 t N N = b z b EJEMPLO 6 Hllr pr un hélice circulr T N Hllr ls componentes tngencil norml de l celerción pr l hélice dd por rt b cos ti b sen sin tj ctk, b > 0. Solución vt rt bsen sin ti b cos tj ck vt b sen sin t b cos t c b c t rt bcos ti b sen sin tj De cuerdo con el teorem.5, l componente tngencil de l celerción es T v v b sen sin t cos t b sen sin t cos t 0 0. b c Componente tngencil de l celerción. L componente norml de l celerción es igul l rdio del cilindro lrededor del cul l hélice gir en espirl Figur.6 Como b cos t b sen sin t b, se puede usr l fórmul lterntiv pr l componente norml de l celerción pr obtener N T b 0 b. Componente norml de l celerción. Nótese que l componente norml de l celerción es igul l mgnitud de l celerción. En otrs plbrs, puesto que l rpidez es constnte, l celerción es perpendiculr l velocidd. Ver l figur.6.

33 SECCIÓN. Vectores tngentes vectores normles 865 r(t) = (50 t)i + (50 t 6t )j t = 0 t = L trectori de un proectil Figur.7 5 t = 6 50 EJEMPLO 7 Movimiento de un proectil El vector posición pr el proectil mostrdo en l figur.7 está ddo por rt 50 ti 50 t 6t j. Vector posición. Hllr l componente tngencil de l celerción cundo t 0, 56. Solución vt 50 i 50 tj vt t 6 t t j L componente tngencil de l celerción es T t vt t vt 50 t t 6 t. En los instntes especificdos, se tiene T T T Vector velocidd. Velocidd. Vector celerción. Componente tngencil de l celerción. En l figur.7 se puede ver que, l ltur máim, cundo t 56, l componente tngencil es 0. Esto es rzonble porque en ese punto l dirección del movimiento es horizontl l componente tngencil de l celerción es igul l componente horizontl de l celerción.. Ejercicios En los ejercicios, dibujr el vector unitrio tngente los vectores normles los puntos ddos. En los ejercicios 5 0, hllr el vector unitrio tngente l curv en el vlor especificdo del prámetro rt t i tj, t rt cos ti sen sin tj, 8. rt 6 cos ti sen sin tj, t t 9. rt ti ln tj, t e 0. rt e t cos ti e t j, t 0 rt t i t j, t.. En los ejercicios 6, hllr el vector unitrio tngente Tt hllr un conjunto de ecuciones prmétrics pr l rect tngente l curv en el espcio en el punto P.. rt ti t j tk, P0, 0, 0. rt t i tj k, P,,. rt cos ti sen sin tj tk, P, 0, 0. rt t, t, t, P,, 5. rt cos t, sen sin t,, P,, 6. rt sen sin t, cos t, sen sin t, P,,

34 866 CAPÍTULO Funciones vectoriles CAS En los ejercicios 7 8, usr un sistem lgebrico por computdor pr representr l gráfic de l curv en el espcio. Después hllr Tt un conjunto de ecuciones prmétrics de l rect tngente l curv en el espcio en el punto P. Representr l gráfic de l rect tngente. 7. rt t, t, t, P, 9, 8 8. rt cos ti sin sen tj tk, P0,, Aproimción linel En los ejercicios 9 0, hllr un conjunto de ecuciones prmétrics pr l rect tngente l gráfic en t t 0 utilizr ls ecuciones de l rect pr proimr rt rt t, ln t,t, t 0 0. rt e t, cos t, sin sen t, t 0 0 En los ejercicios, verificr que ls curvs en el espcio se cortn en los vlores ddos de los prámetros. Hllr el ángulo entre los vectores tngentes ls curvs en el punto de intersección.. rt t, t, t, t. En los ejercicios 0, encontrr el vector unitrio norml principl l curv en el vlor especificdo del prámetro.. rt ti t j, t rt ti t j ln tk, t 8. rt ti e t j e t k, t us s, s, s, rt t, cos t, sin sen t, us sen sin s sen sin s, sen sin s sen sin s, sen sin s cos s s, s 0 rt ti 6 j, t t rt ln ti t j, s 8 t 0 r t cos ti sen tj, t rt 6 cos ti 6 sin sen tj k, t r t cos ti sen t j k, t En los ejercicios, hllr vt, t, Tt Nt (si eiste) pr un objeto que se mueve lo lrgo de l trectori dd por l función vectoril rt. Usr los resultdos pr determinr l form de l trectori. Es constnte l rpidez del objeto o cmbinte?. rt ti. rt ti tj. rt t i. rt t j k En los ejercicios 5, hllr Tt, Nt, T, N pr l curv pln t en el instnte rt. 5. rt ti t 6. rt t i tj, t j, 7. rt t t i t j, t 8. rt t ti t j, t 0 t 6 t 9. rt e t i e t j, t 0 0. rt e t i e t j tk, t 0. rt e t cos ti e t sen sin tj, t. rt cos ti b sen sin tj, t 0. rt cos t t sin sen t, sin sen t t cos t,. rt t sen sin t, cos t, t t 0 Movimiento circulr En los ejercicios 5 8, considerr un objeto que se mueve según l función de posición rt cos t i sen sin t j. 5. Hllr Tt, Nt, T, N. 6. Determinr ls direcciones de T N en relción con l función de posición r. 7. Determinr l rpidez del objeto en culquier instnte t eplicr su vlor en relción con el vlor de T. 8. Si l velocidd ngulr se reduce l mitd, en qué fctor cmbi? En los ejercicios 9 5, dibujr l gráfic de l curv pln dd por l función vectoril,, en el punto sobre l curv determind por rt 0, dibujr los vectores T N. Observr que N punt hci el ldo cóncvo de l curv Función rt ti t j rt cos ti sen sin tj rt cos ti sen sin tj Instnte 50. rt t i tj t 0 5. r(t) ti t j t 0 5. r t) t )i t j t 0 En los ejercicios 55 6, hllr Tt, Nt, T N en el instnte ddo t pr l curv espcil rt. [ Sugerenci: Hllr t, T(t) N. Resolver pr N en l ecución t T T N N.] Función N t 0 t 0 t 0 Instnte 55. rt ti tj tk t 56. rt ti tj tk t 57. r t) cos ti sen tj tk t 58. r t) 59. r t ti ti tj t j t k t t t k 60. r t) t i t j tk t 6. r t e t sen ti e t cos tj e t k t 0 6. r t) e t i tj e t k t 0 t t 0

35 SECCIÓN. Vectores tngentes vectores normles 867 CAS En los ejercicios 6 66, usr un sistem lgebrico por computdor representr gráficmente l curv espcil. Entonces hllr Tt, Nt, T N en el instnte ddo t. Dibujr Tt Nt en l curv en el espcio. Función 6. r t ti cos tj sen tk 6. r t cos t i sen t j 65. r t ti t j Instnte 66. r t t i j tk t Desrrollo de conceptos 67. Definir el vector unitrio tngente, el vector unitrio norml principl, ls componentes tngencil norml de l celerción. 68. Cuál es l relción entre el vector unitrio tngente l orientción de un curv? Eplicr. 69. ) Describir el movimiento de un prtícul si l componente norml de l celerción es 0. b) Describir el movimiento de un prtícul si l componente tngencil de l celerción es 0. Pr discusión 7. Movimiento cicloidl L figur muestr l trectori de un prtícul representd por l función vectoril L figur muestr tmbién los vectores vtvt tt en los vlores indicdos de t. t k t k t 70. Un objeto se mueve lo lrgo de l trectori dd por r t r(t) ti tj. Encontrr v(t), (t) T(t) N(t) (si eiste). Cuál es l form de l trectori? Es constnte o vrible l velocidd del objeto? t sen t, cos t. t t 7. Movimiento lo lrgo de un involut de un círculo L figur muestr un prtícul que sigue l trectori dd por r t cos t t sen t, sen t t cos t. L figur muestr tmbién los vectores vt t pr t t. ) Hllr en t t. b) Determinr si l rpidez de l prtícul ument o disminue en cd uno de los vlores indicdos de t. Dr rzones pr ls respuests. En los ejercicios 7 78, hllr los vectores T N, el vector unitrio binorml B T N, de l función vectoril rt en el vlor ddo de t. t 7. r t cos ti sen tj 7. rt ti t j t k k t 0 z T t = N t = Figur pr 7 Figur pr 7 t r t i sen tj cos tk, t r t e t i e t cos tj e t sen tk, t r t sen ti cos tj tk, z t 0 t = ) Hllr en t t t,. T t = N t = b) En cd uno de los vlores indicdos de t, determinr si l rpidez de l prtícul ument o disminue. Dr rzones pr ls respuests. 78. r t cos ti sen tj tk, t Movimiento de un proectil Hllr ls componentes tngencil norml de l celerción de un proectil disprdo con un ángulo con l horizontl con rpidez inicil v 0. Cuáles son ls componentes cundo el proectil está en su ltur máim? 80. Movimiento de un proectil Utilizr los resultdos del ejercicio 79 pr hllr ls componentes tngencil norml de l celerción de un proectil disprdo con un ángulo de 5 con l horizontl con rpidez inicil de 50 pies por segundo. Cuáles son ls componentes cundo el proectil está en su ltur máim?

36 868 CAPÍTULO Funciones vectoriles 8. Movimiento de un proectil Un proectil se lnz con velocidd inicil de 0 pies por segundo desde 5 pies de ltur con un ángulo de 0 con l horizontl. ) Determinr l función vectoril de l trectori del proectil. b) Usr un herrmient de grficción pr representr l trectori proimr l ltur máim el lcnce del proectil. c) Hllr vt, vt, t. d) Usr un herrmient de grficción pr completr l tbl. t Velocidd e) Usr un herrmient de grficción pr representr ls funciones esclres T N. Cómo cmbi l velocidd del proectil cundo T tienen signos opuestos? N 8. Movimiento de un proectil Un proectil se lnz con velocidd inicil de 0 pies por segundo desde un ltur de pies con un ángulo de 5 con l horizontl. ) Determinr l función vectoril de l trectori del proectil. b) Usr un herrmient de grficción pr representr l trectori proimr l ltur máim el lcnce del proectil. c) Hllr vt, vt, t. d) Usr un herrmient de grficción pr completr l tbl. t Velocidd 8. Control del tráfico éreo Debido un torment, los controldores éreos en tierr indicn un piloto que vuel un ltitud de mills que efectúe un giro de 90 sciend un ltitud de. mills. El modelo de l trectori del vión durnte est mniobr es rt 0 cos 0t, 0 sen sin 0t, t, donde t es el tiempo en hors r es l distnci en mills. ) Determinr l rpidez del vión. 8. Movimiento de un proectil Un vión volndo un ltitud de pies con rpidez de 600 mills por hor dej cer un bomb. Hllr ls componentes tngencil norml de l celerción que ctún sobre l bomb. 85. Acelerción centrípet Un objeto, tdo l etremo de un cuerd, gir con rpidez constnte, de cuerdo con l función de posición dd en los ejercicios t 0 CAS b) Usr un sistem lgebrico por computdor clculr T N. Por qué un de ésts es igul 0? ) Si l velocidd ngulr se duplic, cómo se modific l componente centrípet de l celerción? b) Si l velocidd ngulr no se modific pero l longitud de l cuerd se reduce l mitd, cómo cmbi l componente centrípet de l celerción? 86. Fuerz centrípet Un objeto de ms m se mueve con rpidez constnte v siguiendo un trectori circulr de rdio r. L fuerz requerid pr producir l componente centrípet de l celerción se llm fuerz centrípet está dd por F mv r. L le de Newton de l grvitción universl estblece que F GMmd, donde d es l distnci entre los centros de los dos cuerpos de mss M m, G es un constnte grvittori. Usr est le pr mostrr que l rpidez requerid pr el movimiento circulr es v GMr. Velocidd orbitl En los ejercicios 87 90, usr el resultdo del ejercicio 86 pr hllr l rpidez necesri pr l órbit circulr dd lrededor de l Tierr. Tomr GM mills cúbics por segundo l cudrdo, suponer que el rdio de l Tierr es 000 mills. 87. L órbit de un trnsborddor espcil que vij 5 mills sobre l superficie de l Tierr. 88. L órbit de un trnsborddor espcil que vij 5 mills sobre l superficie de l Tierr. 89. L órbit de un stélite de detección térmic que vij 85 mills sobre l superficie de l Tierr. 90. L órbit de un stélite de comunicción que está en órbit geosíncron r mills sobre l superficie de l Tierr. [El stélite reliz un órbit por dí siderl (proimdmente hors, 56 minutos), por consiguiente, prece permnecer estcionrio sobre un punto en l Tierr.] Verddero o flso? En los ejercicios 9 9, determinr si l declrción es verdder o fls. Si es fls, eplicr por qué o dr un ejemplo que muestre que es fls. 9. Si el indicdor de velocidd de un utomóvil es constnte, entonces el utomóvil no puede estr celerndo. 9. Si N 0 en un objeto en movimiento, entonces el objeto se mueve en un líne rect. 9. Un prtícul sigue un trectori dd por r(t) cosh(bt)i senh(bt)j donde b es un constnte positiv. ) Mostrr que l trectori de l prtícul es un hipérbol. b) Mostrr que t b rt. 9. Mostrr que el vector unitrio norml principl N punt hci el ldo cóncvo de un curv pln. 95. Mostrr que en un objeto que se mueve en líne rect el vector Tt es 0. v 96. Mostrr que N. v 97. Mostrr que N T. Preprción del emen Putnm 98. Un prtícul de ms unitri se mueve en líne rect bjo l cción de un fuerz que es función fv de l velocidd v de l prtícul, pero no se conoce l form de est función. Se observ el movimiento se encuentr que l distnci recorrid en el tiempo t está relciond con t por medio de l fórmul t bt ct, donde, b c tienen vlores numéricos determindos por l observción del movimiento. Hllr l función fv pr el rngo de v cubierto en el eperimento. Este problem fue preprdo por el Committee on the Putnm Prize Competition. The Mthemticl Assocition of Americ. Todos los derechos reservdos.

37 SECCIÓN.5 Longitud de rco curvtur Longitud de rco curvtur Clculr l longitud de rco de un curv en el espcio. Utilizr el prámetro de longitud de rco pr describir un curv pln o curv en el espcio. Clculr l curvtur de un curv en un punto en l curv. Utilizr un función vectoril pr clculr l fuerz de rozmiento. EXPLORACIÓN Fórmul pr l longitud de rco L fórmul pr l longitud de rco de un curv en el espcio está dd en términos de ls ecuciones prmétrics que se usn pr representr l curv. Signific esto que l longitud de rco de l curv depende del prámetro que se use? Serí deseble que fuer sí? Eplicr el rzonmiento. Ést es un representción prmétric diferente de l curv del ejemplo. rt t i t j t k Hllr l longitud de rco desde t 0 hst t comprr el resultdo con el encontrdo en el ejemplo. Longitud de rco En l sección 0. se vio que l longitud de rco de un curv pln suve C dd por ls ecuciones prmétrics t t, t b, es b s t t dt. En form vectoril, donde C está dd por rt ti tj, se puede epresr est ecución de l longitud de rco como b s rt dt. L fórmul pr l longitud de rco de un curv pln tiene un etensión nturl un curv suve en el espcio, como se estblece en el teorem siguiente. TEOREMA.6 LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA EN EL ESPACIO Si C es un curv suve dd por rt ti tj ztk, en un intervlo, b, entonces l longitud de rco de C en el intervlo es b s t t zt dt b rt dt. EJEMPLO Hllr l longitud de rco de un curv en el espcio z t = 0 r(t) = ti + t / j + t k C t = A medid que t crece de 0, el vector rt trz un curv Figur.8 Hllr l longitud de rco de l curv dd por rt t i t j t k desde t 0 hst t, como se muestr en l figur.8. Solución Utilizndo t t,t zt t, t, se obtiene t, (t) = t / zt t. Por tnto, l longitud de rco desde t 0 hst t está dd por s t t t zt dt t t dt t dt Fórmul pr longitud de rco. Tbls de integrción (péndice B), fórmul 6. t ln t t 0 ln ln.86.

38 870 CAPÍTULO Funciones vectoriles Curv: r(t) = b cos ti + b sen tj + z t = π b tk EJEMPLO Hllr l longitud de rco de un hélice Hllr l longitud de un giro de l hélice dd por rt b cos ti b sen sin tj b t k como se muestr en l figur.9. Solución Se comienz hllndo l derivd. t = 0 b Un giro de l hélice Figur.9 C b rt bsin sen ti b cos tj b k Derivd. Ahor, usndo l fórmul pr l longitud de rco, se puede encontrr l longitud de un giro de l hélice integrndo rt desde 0 hst. s t 0 rt dt dt. Por tnto, l longitud es b sin sen t cos t b dt uniddes. Fórmul pr l longitud de rco. s(t) = t [ (u)] + [ (u)] + [z (u)] du z Prámetro longitud de rco Se h visto que ls curvs pueden representrse por medio de funciones vectoriles de mners diferentes, dependiendo del prámetro que se elij. Pr el movimiento lo lrgo de un curv, el prámetro decudo es el tiempo t. Sin embrgo, cundo se desen estudir ls propieddes geométrics de un curv, el prámetro decudo es menudo l longitud de rco s. t = C t t = b DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN LONGITUD DE ARCO Se C un curv suve dd por rt definid en el intervlo cerrdo, b. Pr t b, l función longitud de rco está dd por t t st ru du u u zu du. A l longitud de rco s se le llm prámetro longitud de rco. (Ver l figur.0.) Figur.0 NOTA L función de longitud de rco s es no negtiv. Mide l distnci sobre C desde el punto inicil,, z hst el punto t, t, zt. Usndo l definición de l función longitud de rco el segundo teorem fundmentl de cálculo, se conclue que ds rt. dt Derivd de l función longitud de rco. En l form diferencil, se escribe ds rt dt.