k=0 a ks k y están determinados por los coeficientes Figura 4.14: Circuito RLC.

Transcripción

1 4 Trasformada de Laplace 227 co u deomiador igual a u poliomio de grado N co coeficietes iguales a los de las derivadas de la fució de salida. Los ceros de H(s) so etoces las raíces de M k=0 b ks k y está determiados etoces por los coeficietes de las derivadas de la etrada úicamete. Los polos de H(s) equivale a las raíces de N k=0 a ks k y está determiados por los coeficietes de las derivadas de la salida. Note que esta deducció es válida tambié utilizado la trasformada de Fourier, y se sustituye simplemete s por jω. Ejemplo 4.5 La figura 4.4 muestra u circuito RLC iterpretado como sistema co tesió eléctrica de etrada x(t) y tesió eléctrica de salida y(t). Determie la fució de + R L + x(t) C y(t) Figura 4.4: Circuito RLC. trasferecia del sistema, y evalúe la estabilidad del mismo. Solució: E u codesador y e ua bobia se cumple para su tesioes u(t) y sus corrietes i(t) i(t) = C d dt u(t) u(t) = L d dt i(t) Para el circuito de la figura 4.4 e particular, la tesió e el codesador es y(t) y por tato Además, se cumple que i(t) = C d dt y(t) x(t) = Ri(t) + L d i(t) + y(t) dt = RC d dt y expresado esto e el domiio de Laplace d2 y(t) + LC y(t) + y(t) dt2 X(s) = src Y (s) + s 2 LC Y (s) + Y (s) = Y (s) [ LCs 2 + RCs + ] por lo que para la fució de trasferecia se cumple H(s) = Y (s) X(s) = LCs 2 + RCs + [ ] = LC s 2 + Rs + = LC L LC [ ] (s α )(s α 2 )

2 Trasformada uilateral de Laplace dode α,2 = R 2L ± R 4L 2L R 2 C y puesto que R, L, y C so siempre reales positivos se puede decir que el térmio detro de la raíz es siempre meor que uo, por lo que la parte real de los polos es siempre meor que cero. Puesto que, como sistema real, el circuito es causal, etoces se puede deducir que el sistema es estable al estar icluido e la ROC de H(s) el eje imagiario jω. La respuesta al impulso se puede calcular a partir de H(s), pero su forma depederá del sigo del discrimiate de la ecuació cuadrática aterior, tal y como se mostró e el ejemplo Trasformada uilateral de Laplace Sistemas reales que modifica señales x(t) defiidas e el tiempo so siempre causales. Estos sistemas puede modificar señales solamete a partir del istate e que estas ocurra, pero es imposible reaccioar a ellas ates de que la señal aparezca, o adelatarlas e el tiempo. Estas limitates coduce a que e igeiería se utilice ua modificació de la trasformada de Laplace que igora lo que ocurre ates del istate de tiempo t = 0. Así, se defie la trasformada uilateral de Laplace como L u {x(t)} = 0 x(t)e st dt = L {x(t)u(t)} es decir, la trasformada uilateral de Laplace es idética a la trasformada bilateral de la fució x(t)u(t), o e otras palabras, si x(t) es causal sus trasformadas uilateral y bilateral so idéticas. Ambas trasformadas difiere si x(t) 0 para t < 0. Puesto x(t)u(t) es ua señal derecha, su ROC es siempre u semiplao derecho. Cuado ocurre sigularidades e el istate t = 0, etoces se acostumbra especificar si estas se debe cosiderar, e cuyo caso se itegra desde cero por la izquierda, lo que se idica co 0, o si se desea igorar dicha sigularidad se itegra desde 0 +. Usualmete si o hay idicació explícita respecto a la iclusió o o del cero se asume 0. Esto es de fudametal importacia por ejemplo para el cálculo de la trasformada del delta Dirac δ(t). La tabla 4.3 muestra las trasformadas uilaterales de alguas fucioes elemetales. Nótese que estas fucioes equivale a las fucioes causales de la tabla 4.2 de la págia 28, solo que ahora o es ecesario multiplicarlas por u(t) al estar esto implícito e el ídice iferior de itegració de la trasformada Propiedades Las propiedades de la trasformada uilateral de Laplace se resume e la tabla 4.4. Alguas de ellas so idéticas a sus cotrapartes e la trasformada bilateral, pero otras difiere cosiderablemete. Todas aquellas propiedades que coduce a ua regió de covergecia

3 4 Trasformada de Laplace 229 Tabla 4.3: Trasformadas Uilaterales de Laplace de fucioes elemetales Señal Trasformada ROC δ(t) todo s σ > 0 s t σ > 0 ( )! s e at σ > a s + a t ( )! e at σ > a (s + a) δ(t τ), τ > 0 e sτ todo s s cos(ω 0 t) σ > 0 s 2 + ω0 2 ω 0 se(ω 0 t) σ > 0 s 2 + ω0 2 e at s + a cos(ω 0 t) σ > a (s + a) 2 + ω0 2 e at ω 0 se(ω 0 t) σ > a (s + a) 2 + ω0 2 d dt δ(t) s todo s igual a u semiplao izquierdo del plao s o tiee equivalecia e la trasformada uilateral, puesto que ésta última permite úicamete semiplaos derechos e su ROC. Es por ello que propiedades como iversió, o escalado e el tiempo co magitudes egativas o tiee equivalete e la trasformada uilateral. Liealidad Sea las fucioes e el domiio del tiempo x (t) y x 2 (t) y sus respectivas trasformadas uilaterales de Laplace x (t) X (s), ROC: R x 2 (t) X 2 (s), ROC: R 2 etoces α x (t) + α 2 x 2 (t) α X (s) + α 2 X 2 (s), ROC: R R 2 Esto se puede demostrar utilizado la propiedad de liealidad del operador de itegració.

4 Trasformada uilateral de Laplace Tabla 4.4: Propiedades de la Trasformada Uilateral de Laplace Propiedad Señal e el tiempo Trasformada ROC x(t) = x(t)u(t) X(s) R x (t) = x (t)u(t) X (s) R x 2 (t) = x 2 (t)u(t) X 2 (s) R 2 Liealidad α x (t) + α 2 x 2 (t) α X (s) + α 2 X 2 (s) R R 2 Fució real x(t) IR X(s) = X (s ) R Desplazamieto temporal x(t τ), τ > 0 e sτ X(s) R Desplazamieto e s e s0t x(t) X(s s 0 ) R + s 0 Cojugació x (t) X (s ) R ( s ) Escalamieto e el tiempo x(at), a > 0 a x R/a a Covolució x (t) x 2 (t) X (s)x 2 (s) R R 2 Difereciació dx(t) dt sx(s) x(0 ) R Difereciació múltiple d dt x(t) s X(s) s i x (i ) (0 ) d Difereciació e s tx(t) ds X(s) R t Itegració x(τ) dτ X(s) R {σ > 0} 0 s Teorema de valor iicial x(0 + ) lim sx(s) s Teorema de valor fial lim x(t) lim sx(s) t s 0 Las operacioes aritméticas utilizadas e la ROC se refiere a operacioes aplicadas a cada uo de los elemetos de la regió. Así por ejemplo R + s 0 deota e realidad {s s = r + s 0, r R}. El símbolo e la ROC implica que la regió es al meos la idicada. i= Desplazamieto temporal y e el domiio s El desplazamieto temporal de ua señal x(t) puede teer implicacioes e la causalidad de x(t) y por tato debe tratarse co cuidado cuado se maeja desplazamietos co la trasformada uilateral de Laplace. Si x(t) es causal, es decir x(t) = x(t)u(t), etoces u atraso e el tiempo de x(t) puede expresarse utilizado la propiedad x(t τ) e sτ X(s) dode τ debe ser mayor que cero. Esto se demuestra del mismo modo que para la trasformada bilateral y la trasformada de Fourier. Si x(t) o es causal, el retraso e el tiempo hace que aparezca u uevo segmeto de x(t) e el itervalo [0, τ], o cosiderado e la trasformació uilateral de x(t). E este caso se

5 4 Trasformada de Laplace 23 debe agregar la trasformada para ese uevo térmio fiito: x(t τ) e sτ X(s) + L u {x(t τ)u(τ t)u(t)} dode u(τ t)u(t) es ua vetaa rectagular que recorta el segmeto o cosiderado de x(t). U adelato e el tiempo puede causar que parte de x(t) sea desplazado ates del istate t = 0, lo que o sería cosiderado por la trasformada uilateral. Utilizado la defiició: y co ξ = t + τ, dξ = dt L u {x(t + τ)} = 0 x(t + τ)e st dt = x(ξ)e s(ξ τ) dξ = e sτ x(ξ)e s(ξ) dξ τ τ [ τ ] = e sτ x(ξ)e sξ dξ x(ξ)e sξ dξ 0 = e sτ [X(s) L u {x(t)u(t)u(τ t)}] lo que idica que debe elimiarse la compoete correspodiete al segmeto desplazado ates de t = 0. U desplazamieto e el domiio s tiee u efecto idético al caso de la trasformada bilateral, puesto que o causa igua alteració e la causalidad de la señal x(t): 0 e s 0t x(t) X(s s 0 ) dode la regió de covergecia se desplaza e s 0. Ejemplo 4.6 Calcule la trasformada uilateral de Laplace de ua fució periódica x(t). Solució: Asúmase que { x(t) para 0 t < T ˆx(t) = 0 e el resto es ua fució fiita causal igual al primer periodo T de la fució x(t). Se cumple etoces que x(t)u(t) = ˆx(t T ) =0 y la trasformada uilateral de Laplace es, utilizado la propiedad de desplazamieto y de

6 Trasformada uilateral de Laplace liealidad L u {x(t)} = = = L u {ˆx(t T )} =0 e st L u {ˆx(t)} =0 e st ˆX(s) = ˆX(s) =0 =0 e st Utilizado el resultado del problema 2.64 co z = e st se tiee que N lim N =0 e st e snt = lim N e st = e st para Re{s} = σ > 0, co lo que fialmete se obtiee L u {x(t)} = ˆX(s) e st 4.6 Cojugació Al igual que co la trasformada bilateral se cumple x (t) X (s ) y por tato para fucioes x(t) reales se cumple que si p es u polo complejo co parte imagiaria diferete de cero, etoces p tambié lo es. Obsérvese que la relació X(s) = X (s ) para fucioes reales idica que si se hace u corte paralelo al eje jω de la superficie correspodiete a X(s), etoces la fució e ese corte preseta simetría par. Por otro lado, la fase tiee u comportamieto impar e los cortes paralelos al eje jω. Escalamieto e el tiempo A diferecia de la trasformada bilateral, dode el escalamieto temporal puede realizarse co cualquier valor real, positivo o egativo, e la trasformada uilateral solo tiee setido utilizar valores positivos, puesto que u escalamieto por u valor egativo implica ua iversió temporal, que covierte señales derechas e señales izquierdas, las cuales o tiee represetació válida si se igora todo istate t < 0. Para todo a > 0 se cumple etoces x(at) ( s ) a X a

7 4 Trasformada de Laplace 233 Si X(s) es ua fució racioal, etoces el escalado e el tiempo produce que los polos cambie su compoete real, desplazado tambié la regió de covergecia, tal y como sucede co la trasformada bilateral. Covolució La diferecia fudametal de la propiedad de covolució e el caso de la trasformada uilateral es la restricció de que las dos fucioes ivolucradas e la operació debe ser causales, es decir x (t) x 2 (t) X (s)x 2 (s) siempre y cuado x (t) = x 2 (t) = 0, para todo t meor que cero. De o ser así, e el domiio s aparece uevos térmios producidos por los segmetos de las señales que ocurre ates de t = 0. Difereciació Ua de las propiedades más poderosas de la trasformada uilateral de Laplace es la difereciació, que permite icorporar codicioes iiciales e la solució de ecuacioes difereciales. Si x(t) tiee como trasformada uilateral X(s), y x(t) es cotiua e x(0) y su derivada es de orde expoecial etoces e itegrado por partes L u { d dt x(t) } = 0 d dt x(t)e st dt = x(t)e st + s x(t)e st dt 0 0 = sx(s) x(0 ) Para la seguda derivada se cumple { } d 2 L u dt x(t) d 2 = 2 0 dt 2 x(t)e st dt e itegrado por partes = e st d dt x(t) + s e st d x(t) dt 0 0 dt = d { } d dt t=0 x(t) + sl u dt x(t) = s 2 X(s) sx(0 ) d dt x(t) t=0

8 Trasformada uilateral de Laplace y para ordees superiores esto se geeraliza e { } d L u dt x(t) = s X(s) s x(0 ) s 2 x () (0 )... x ( ) (0 ) = s X(s) s i x (i ) (0 ) dode i= x () (0 ) = d dt x(t) t=0 Itegració Puesto que el uso de la trasformada uilateral se restrige al maejo de fucioes causales, la propiedad de itegració difiere al caso de la trasformada bilateral, e la cual se debía cosiderar que x(t) podría ser diferete de cero para t < 0. E el actual caso, si x(t) es causal, etoces se cumple t 0 x(τ) dτ = x(t) u(t) X(s)U(s) = s X(s) dode debe otarse que la itegració se realiza ahora a partir de 0. Teoremas de valor iicial y valor fial Sea x(t) ua fució causal, es decir, x(t) = x(t)u(t), y si valores sigulares e el orige, como el impulso o su derivada. El teorema del valor iicial establece que Para demostrarlo se parte del hecho que por lo que L u { d dt x(t) } = x(0 + ) = lim s sx(s) 0 e st d dt x(t) dt = sx(s) x(0 ) lim [sx(s) s x(0 )] = lim e st d x(t) dt s 0 dt 0+ = lim e st d x(t) dt + lim s 0 dt s e st d x(t) dt 0 dt + Si x(t) es discotiua e 0 etoces e la vecidad de 0 esta fució puede aproximarse por [x(0 + ) x(0 )]u(t) + x(0 + ) y su derivada será [x(0 + ) x(0 )]δ(t). Por ello, para el primer térmio se cumple 0 + lim e st [x(0 + ) x(0 )]δ(t) dt = x(0 + ) x(0 ) s 0

9 4 Trasformada de Laplace 235 Por otro lado, como la trasformada uilateral de dx(t)/dt existe, etoces debe ser de orde expoecial y e la ROC lim e st d x(t) dt = 0 s 0 dt + co lo que fialmete lim [sx(s) s x(0 )] = x(0 + ) x(0 ) lim sx(s) = s x(0+ ) Ahora, si x(t) es cotiua e 0 etoces y puesto que x(0 + ) = x(0 ) se tiee tambié 0 + lim e st d x(t) dt = 0 s 0 dt lim [sx(s) s x(0 )] = 0 lim sx(s) = s x(0+ ) El problema 4.29 preseta otra alterativa para demostrar este teorema. El teorema del valor fial idica lim x(t) = lim sx(s) t s 0 lo que se puede demostrar tambié a través de la propiedad de difereciació: por lo que lim [sx(s) s 0 x(0 )] = lim e st d x(t) dt = s 0 0 dt = lim x(t) x(0 ) t lim x(t) = lim sx(s) t s 0 0 d dt x(t) dt = x(t) Ecuacioes difereciales Los pricipios utilizados e la solució de ecuacioes difereciales co la trasformada bilateral de Laplace puede ser aplicados co la versió uilateral. Puesto que el equivalete e el domiio s de las derivadas cotiee térmios de x(t) y sus derivadas evaluados e t = 0, esto permite ahora icorporar codicioes iiciales e la solució.

10 Trasformada uilateral de Laplace Ejemplo 4.7 Ecuetre la respuesta de u sistema LTI caracterizado por la ecuació diferecial de segudo orde co coeficietes costates bajo las codicioes iiciales a la etrada x(t) = ζu(t). d 2 dt y(t) + 2α d y(t) + βy(t) = x(t) 2 dt y(0 ) = η d dt y(t) = γ t=0 Solució: Aplicado la trasformada uilateral de Laplace a ambos lados se obtiee: y reagrupado s 2 Y (s) sy(0 ) d dt y(t) t=0 + 2α [ sy (s) y(0 ) ] + βy (s) = X(s) Y (s) [ s 2 + 2αs + β ] = X(s) + sy(0 ) + d dt y(t) t=0 + 2αy(0 ) de dode se obtiee Y (s) = X(s) s 2 + 2αs + β + (s + 2α)y(0 ) + d y(t) dt t=0 s 2 + 2αs + β Aquí se observa claramete que la salida tiee dos compoetes: la primera depede de la etrada X(s) y se cooce como respuesta forzada; la seguda está determiada por las codicioes iiciales y se cooce como respuesta atural del sistema. Si el sistema está e reposo, es decir, todas sus codicioes iiciales so cero, etoces solo presetará respuesta forzada ate la etrada. Por otro lado, si o se aplica igua etrada, etoces el sistema reaccioará depediedo de las codicioes iiciales. Para los valores iiciales dados y la etrada idicada x(t) = ζu(t) X(s) = ζ s se obtiee Y (s) = ζ (s + 2α)η + γ + s(s 2 + 2αs + β) s 2 + 2αs + β El térmio cuadrático fue aalizado e los ejemplos 4. y 4.4. Aquí debe cosiderarse los tres casos aplicables a u sistema causal. Si = 0 etoces co Y (s) = η s2 + 2αs + γ η s + ζ η s(s + α) 2 = A s + A 2 s + α + A 3 (s + α) 2 A = ζ α 2 A 2 = η ζ α 2 A 3 = γ + αη ζ α

11 4 Trasformada de Laplace 237 co lo que y(t) = A u(t) + A 2 e αt u(t) + A 3 te αt u(t) Si > 0 etoces a y a 2 so reales y Y (s) = A s + A 2 s a + A 3 s a 2 por lo que co y(t) = A u(t) + A 2 e a t u(t) + A 3 e a 2t u(t) A = ζ β A 2 = a2 η 2a αη a γ + ζ a (a a 2 ) A 3 = a2 2η + 2a 2 αη + a 2 γ ζ a 2 (a a 2 ) Si < 0 etoces a 2 = a y A 3 = A 2 co lo que ( ) y(t) = A u(t) + 2 A 2 e αt cos t + A2 u(t) 4.7

12 Problemas 4.3 Problemas Los siguietes ejercicios está basados e [8, 4], alguos co leves modificacioes, otros uevos para profudizar e los coceptos itroducidos e este capítulo. Problema 4.. Ecuetre la trasformada de Laplace de. x(t) = cos(at)u(t) 2. x(t) = se(at)u(t) 3. x(t) = sa(at) 4. x(t) = sa(at)u(t) Problema 4.2. Ecuetre las regioes de covergecia de las trasformadas de Laplace de las siguietes fucioes. e 3t u(t) 2. e 3t u( t + 3)u(t + 3) 3. e 3 t 4. e 3t u( t) 5. e 3t 6. e 3 t u( t) Problema 4.3. Dada la señal x(t) = e 3t u(t ) Ecuetre su trasformada de Laplace X(s) y su regió de covergecia. Si g(t) = Ae 3t u( t t 0 ) etoces ecuetre los valores de A y t 0 para los cuales la expresió algebraica de G(s) = L {g(t)} = X(s). Idique la regió de covergecia de G(s) Problema 4.4. Dada la señal x(t) = e 3t u(t) + e βt u(t) ecuetre su trasformada de Laplace y los valores de β C ecesarios para que la regió de covergecia de X(s) sea σ >. Problema 4.5. Ecuetre los polos y regió de covergecia de la trasformada de Laplace de la fució x(t) = e t se(2t)u( t) Problema 4.6. Grafique las fucióes. e αt u(t) para α > 0 2. e αt u(t) para α < 0 3. e αt u(t) para α > 0

13 4 Trasformada de Laplace e αt u(t) para α < 0 5. e αt u( t) para α > 0 6. e αt u( t) para α < 0 7. e αt u( t) para α > 0 8. e αt u( t) para α < 0 Problema 4.7. Ecuetre la trasformada de Laplace de la fució x(t) = x (t) x 2 (t) si x (t) X (s) = s +, x 2 (t) X 2 (s) = ROC: σ >, ROC: σ > (s + )(s + 2) Problema 4.8. Ecuetre la trasformada de Laplace de x(t) = x (t) + x 2 (t) si a IR. x (t) = e at u(t) x 2 (t) = e at u( t) Problema 4.9. Utilizado la propiedad de desplazamieto e el domiio s ecuetre la trasformada de Laplace de x(t) cos(ω 0 t) si L {x(t)} = X(s). Problema 4.0. Utilizado las demostracioes de las propiedades de la trasformada de Fourier como referecia, demuestre todas las propiedades de la trasformada de Laplace. Problema 4.. Demuestre que si Γ represeta el arco circular e el cotoro de Bromwich (figura 4.5), etoces, si se cumple sobre dicho cotoro X(s) < κ R co las costates κ IR, κ > 0, y IN +, etoces X(s)e st ds = 0 lim R Γ Problema 4.2. Demuestre que e la descomposició e fraccioes parciales de u polo de orde > los coeficietes A ik está dados por A ik = lim s ai ( k)! d ( k) ds ( k) [(s a i) X(s)] Problema 4.3. Demuestre que si X(s) es ua fució racioal propia, etoces si tiee u par de polos complejos cojugados a i = a k, etoces los coeficietes correspodietes tambié so complejos cojugados, es decir A i = A k.

14 Problemas Problema 4.4. Demuestre que u par de polos simples complejos cojugados co la expresió algebraica de Trasformada de Laplace: X(s) = A s p + A s p correspode a las expresioes e el tiempo cotiuo dadas por x(t) = 2 A e σ t cos(ω t + A) = 2 Re{A}e σ t cos(ω t) 2 Im{A}e σ t se(ω t) dode p = σ + jω, y se ha asumido que la regió de covergecia es el semiplao derecho Re{s} > σ. Problema 4.5. E el ejemplo 4. se trataro diferetes posibilidades de trasformadas iversas para u térmio de orde cuadrático si ceros fiitos. Idique cuál regió de covergecia o ha sido cosiderada y determie la fució e el tiempo equivalete. Problema 4.6. Demuestre que e u sistema LTI la fució x(t) = e s 0t es tambié ua fució propia, co s 0 = σ 0 + jω 0. (Ayuda: utilice para ello la equivalecia de la trasformada de Laplace como trasformada de Fourier de x(t)e σt ) Problema 4.7. Ecuetre el úmero y ubicació de ceros y polos, fiitos e ifiitos, de las siguietes expresioes algebraicas de trasformadas de Laplace.. s + + s s + s 2 3. s 3 s 2 + s + Problema 4.8. Se sabe que ua señal x(t) es absolutamete itegrable, y su trasformada de Laplace tiee u polo e s = 2. Idique cuáles de las siguietes afirmacioes so ciertas o falsas, y las razoes para ello.. x(t) es de duració fiita 2. x(t) puede ser izquierda 3. x(t) puede ser derecha 4. x(t) puede ser bilateral Problema 4.9. Cuátas señales puede teer ua trasformada de Laplace co expresió algebraica (s ) X(s) = (s + 2)(s + 3)(s 2 + s + ) Problema Si x(t) es ua fució cuya trasformada de Laplace es racioal co exactamete dos polos e s = y s = 3. Se sabe que para otra fució g(t) = e 2t x(t) existe su trasformada de Fourier G(jω). Idique si x(t) es izquierda, derecha o bilateral.

15 4 Trasformada de Laplace 24 Problema 4.2. Calcule la trasformada iversa de Laplace tato co la itegral de Bromwich como por medio de descomposició e fraccioes parciales de X(s) = 2(s + 2) s 2 + 7s + 2, ROC: σ > 3 Problema Para ua señal x(t) se cooce que. x(t) = 0 para todo t < 0 2. x(k/0) = 0 para todo k IN + 3. x(/20) = e 5 Idique cuáles euciados so cogruetes co la iformació proporcioada para x(t), si X(s) es su trasformada de Laplace y se sabe que X(s) es racioal:. X(s) tiee u solo polo fiito. 2. X(s) tiee solo u par de polos fiito. 3. X(s) tiee más de dos polos fiitos Problema Para ua señal g(t) = x(t) + αx( t) co x(t) = βe t u(t), se sabe que su trasformada de Laplace es G(s) = s s 2, < σ < Determie etoces los valores válidos de las costates α y β. Problema Laplace X(s): Se cooce los siguietes datos de la señal x(t) co trasformada de. x(t) es real y par 2. X(s) tiee cuatro polos y igú cero e el plao fiito de s. 3. X(s) tiee u polo e s = 2e jπ/4 4. x(t) dt = Ecuetre etoces la expresió para X(s) y su ROC. Problema Dado el siguiete sistema de ecuacioes difereciales de dos señales derechas x(t) y y(t) dx(t) = 2y(t) + δ(t) dt dy(t) = 2x(t) dt

16 Problemas Ecuetre X(s) y Y (s) juto co sus regioes de covergecia. solucioes e el domiio del tiempo x(t) y y(t). Ecuetre etoces las Problema U sistema LTI causal tiee respuesta al impulso h(t). Ecuetre esta respuesta si el sistema de etrada x(t) y salida y(t) se rige por la ecuació diferecial d 3 y(t) dt 3 + ( + α) d2 y(t) dt 2 + α(α + ) dy(t) dt Determie además para qué valores de α el sistema es estable. Si g(t) = dh(t) + h(t) dt idique cuátos polos tiee su trasformada de Laplace G(s). + α 2 y(t) = x(t) Problema Aalice la existeca de la trasformada de Laplace bilateral de las fucioes x(t) =, x(t) = se(ωt) y x(t) = cos(ωt). Problema Sea co a IR, a > 0. x (t) = e at u(t) y x 2 (t) = e 2a(t+) u(t + ). Determie las trasformadas bilateral y uilateral de x (t) y x 2 (t). 2. Calcule la trasformada bilateral iversa del producto L b {x (t)} L b {x 2 (t)} para ecotrar g(t) = x (t) x 2 (t) 3. Calcule la trasformada uilateral iversa del producto L u {x (t)} L u {x 2 (t)} y compare co el resultado obteido para g(t). Problema Demuestre el teorema del valor iicial para x(t) = x(t)u(t) (es decir, x(t) causal). x(0 + ) = lim s sx(s) Para ello exprese primero x(t) como serie de Taylor cetrada e t = 0 +. Luego, determie la trasformada de Laplace para cada térmio d dt x(t) t! u(t) t=0 + Demuestre etoces que X(s) = =0 d dt x(t) t=0 + s +

17 4 Trasformada de Laplace 243 a partir de lo cual se puede demostrar el teorema. Problema Ecuetre la trasformada uilateral de Laplace para. x(t) = e 2t u(t + ) 2. x(t) = δ(t + ) + δ(t) + e 2(t+3) u(t + ) 3. x(t) = e 2t u(t) + e 4t u(t) Problema 4.3. Resuelva utilizado la trasformada uilateral de Laplace la ecuació diferecial d 2 x(t) + 4 dx(t) + 5x(t) = 8 cos(t) dt 2 dt si x(t) = dx(t)/dt = 0 e t = 0. Problema Resuelva utilizado la trasformada uilateral de Laplace la ecuació diferecial 5 d2 x(t) 3 dx(t) 2x(t) = 6 dt 2 dt si x(t) = y dx(t)/dt = e t = 0.

18 Problemas

19 Capítulo 5 Trasformada z La trasformada z es a los sistemas e tiempo discreto lo que la trasformada de Laplace es a los sistemas e tiempo cotiuo. Ambas represeta herramietas para el aálisis de ciertas propiedades de las señales, que e el domiio del tiempo sólo puede ser evaluadas co mayor dificultad: la covolució es trasformada otra vez e u producto, y las ecuacioes de diferecias, que so el equivalete discreto de las ecuacioes difereciales, puede ser solucioadas de forma más secilla e el domiio de la frecuecia compleja que e el domiio del tiempo discreto. Ates de presetar la trasformada z propiamete, es ecesario itroducir alguos coceptos básicos sobre señales discretas. 5. Fucioes e tiempo discreto E la actualidad muchas aplicacioes de la electróica ivolucra el aálisis digital de datos. Los reproductores de video y soido utiliza desde hace varias décadas tecologías digitales de almaceamieto y reproducció, como por ejemplo e discos compactos y discos versátiles digitales (CD y DVD); la próxima geeració de televisió (HDTV) codifica las señales de audio y vídeo por métodos digitales; la telefoía celular es posible gracias a los complejos algoritmos de compresió implemetados tambié co técicas de procesamieto digital. El aumeto cotiuo del uso de computadoras digitales e prácticamete todos los ámbitos del quehacer humao ha sido e parte soportado por la gra variedad de tipos de datos que puede ser maipulados por medios digitales. Ya e el capítulo se defiió ua señal digital como aquella existete úicamete e ciertos istates e el tiempo, y que además solo puede adquir valores detro de u cojuto fiito de valores. Puesto que el ser humao se desevuelve e u ambiete emietemete aalógico, debe platearse etoces la preguta qué ta factible o ta exacto es utilizar represetacioes digitales para feómeos emietemete aalógicos? El lector podrá iferir de los ejemplos mecioados, que su uso práctico es factible y vetajoso, cosiderado por ejemplo el icremeto otable e la calidad de vídeos y badas sooras de uso doméstico. 245

20 Fucioes e tiempo discreto 5.. Coversió aalógica/digital Coceptualmete e la coversió de ua señal aalógica a ua represetació digital iterviee tres pasos (figura 5.):. Muestreo es la coversió de ua señal de variable cotiua a otra de variable discreta que es el resultado de tomar muestras de la señal de variable cotiua e ciertos istates. Si x a (t) es la etrada al bloque de muestreo, etoces la salida puede ser tomada e istates equidistates x a (T ), dode a T se le deomia el itervalo de muestreo. 2. Cuatificació es la coversió de la señal de variable discreta y valores cotiuos a otra señal de variable discreta pero co valores discretos. El valor de cada muestra es aproximado etoces co u valor de u cojuto fiito de posibles valores. A la diferecia etre el valor cotiuo y su aproximació se le deomia error de cuatificació. 3. Codificació cosiste e la asigació de ua represetació usualmete biaria para los valores cuatificados. Covertidor A/D x a (t) x() x q () c() Muestreo Cuatificació Codificació Señal Aalógica Señal de Variable Discreta Señal Cuatificada Señal Digital Figura 5.: Pasos básicos e la coversió aalógica/digital. Estos pasos e la práctica se realiza e u solo bloque operacioal. Desde u puto de vista de aálisis matemático, usualmete se igora el efecto del segudo paso, asumiedo que el úmero de valores posible es suficietemete elevado, de tal modo que el efecto de la cuatificació solo itroduce u leve ivel de ruido, que puede ser maejado co otras herramietas estadísticas. El último paso es solo de relevacia para los algoritmos de procesamieto propiamete dichos. E otras palabras, el aálisis matemático de señales digitales se simplifica e la práctica realizado solamete u aálisis de señales e tiempo discreto, para el cual solo el primer paso de la digitalizació es relevate. Existe muchas posibilidades de seleccioar las muestras de ua señal e tiempo discreto a partir de ua señal aalógica. Aquí se utilizará el llamado muestreo periódico o uiforme por las facilidades que este brida al aálisis matemático. E él, la relació etre la señal aalógica x a (t) y la señal de variable discreta x() está dada por x() = x a (T ) Z, T IR

21 5 Trasformada z 247 dode la secuecia x() cotiee etoces muestras de la señal aalógica x a (t) separadas por u itervalo T (figura 5.2). Señal Aalógica x a (t) F s = /T Muestreo x() = x a (T ) Señal de variable discreta x a (t) x() x a (t) x() = x a (T ) t Figura 5.2: Muestreo periódico de ua señal aalógica. Las variables t y de las señales de variable cotiua y discreta respectivamete está relacioadas a través del itervalo de muestreo T dode a F s se le deomia tasa de muestreo. t = T = /F s Otros tipos de muestreo más complejos utiliza tasas variables, que se ajusta de acuerdo a la velocidad de cambio de las señales. Estos so utilizados por ejemplo e algoritmos de compresió de señales Represetacioes de fucioes de variable discreta Se ha visto que x() es ua fució defiida para etero. La figura 5.3 preseta u ejemplo de represetació gráfica de ua señal de este tipo. 3 2 x() Figura 5.3: Represetació gráfica de ua fució de variable discreta x(). Se debe isistir e que x() está defiida úicamete para valores eteros. No se debe cometer el error de asigar cero o cualquier otro valor a x(t) para úmeros t reales o eteros

22 Fucioes e tiempo discreto (t IR \ Z), puesto que la señal x() (que es diferete a x a (t)) está defiida exclusivamete para valores eteros. A se le deomia úmero de muestra y a x() la -ésima muestra de la señal. E capítulos previos ya se trabajó co ua fució de variable discreta: el espectro de ua señal periódica obteido por medio de los coeficietes c k de la serie de Fourier, que fuero iterpretados e su ocasió como ua fució de variable discreta c(k). Además de la represetació gráfica para las señales discretas, hay otras tres represetacioes usuales:. Fucioal: para = x() = 5 para el resto Esta es la represetació más usual e el aálisis matemático de fucioes discretas. 2. Tabular x() E programas computacioales para maipulació y modelado digital de sistemas, como por ejemplo el MATLAB TM [3] o el Octave [4], las fucioes se represeta usualmete de esta maera: por u lado co los úmeros de muestra, y por otro co los valores de las muestras x(). 3. Como secuecia. Ua secuecia de duració ifiita co el orige e = 0 (idicado co ) se represeta como x() = {..., 0, 0,, 3, 2,, 0,...} Si la secuecia es 0 para < 0 se puede represetar como x() = {0,, 3, 2,, 0,...} y si es fiita x() = {0,, 3, 2, } = {0,, 3, 2, } dode la flecha se omite si la primera muestra e la secuecia correspode a la muestra e 0. Esta otació es muy útil para iterpretació rápida de los efectos que tiee ciertas operacioes básicas (como desplazamieto, iversió, escalado, etc.) sobre señales de variable discreta. Para el aálisis matemático de señales y sistemas e tiempo discreto es útil represetar la fució muestreada x a (T ) por medio de impulsos de Dirac co áreas modificadas de acuerdo al valor de cada muestra. Así, defíase la fució muestreada ˆx a (t) como ˆx a (t) = x a (t)δ(t T ) = x a (T )δ(t T ) (5.)

23 5 Trasformada z 249 Nótese que esta represetació ya fue utilizada para represetar co la trasformada de Fourier el espectro de ua señal periódica, que es bie sabido tiee u espectro discreto determiado por los coeficietes c k de la serie de Fourier. Esta última represetació es fudametal para la obteció de la trasformada z Señales elemetales de variable discreta Ciertas señales aparece frecuetemete e el aálisis de sistemas y señales discretas. Impulso uitario El impulso uitario δ() está defiido como (figura 5.4a): δ() = { para = 0 0 para 0 Escaló uitario El escaló uitario u() se defie como (figura 5.4b): u() = { 0 para < 0 para 0 Nótese que u() = δ(i) i= Rampa uitaria La rampa uitaria se obtiee de u r () = u(i ) i= lo que resulta e (figura 5.4c) u r () = { 0 para < 0 para 0

24 Fucioes e tiempo discreto δ() u() u r () (a) (b) (c) Figura 5.4: Tres fucioes elemetales (a) Impulso uitario. (b) Escaló uitario. (c) Rampa uitaria Señal expoecial La señal expoecial se defie como x() = a y su comportamieto depede de la costate a. Para valores reales y complejos de a, el comportamieto es estable si a < o iestable si a > (figura 5.5). x().5 x() x().5 (a) (c) x() (b) (d) Figura 5.5: Fucioes expoeciales para valores de a reales. (a) 0 < a < (b) a > (c) < a < 0 (d) a <.

25 5 Trasformada z 25 Si a es complejo etoces puede expresarse como a = re jψ x() = r e jψ es decir, u fasor de magitud r co fase ψ (figura 5.6). x() 3 x() (a) (b) Figura 5.6: Magitud y fase de la fució expoecial compleja co a = re jψ, r < y 0 < ψ < π. (a) Magitud. (b) Fase Utilizado la idetidad de Euler se obtiee x() = r cos(ψ) + jr si(ψ) cuyas partes real e imagiaria se muestra e la figura 5.7. Re{x()} Im{x()} (a) - (b) Figura 5.7: Partes real e imagiaria de la fució expoecial co a compleja. (a) Parte real. (b) Parte imagiaria Nótese que si r = la señal es amplitud costate. Otra represetació de ua señal expoecial compleja se preseta e la figura 5.8, dode el valor de cada muestra se grafica sobre u plao complejo perpedicular al eje, geerádose así u patró fasorial e el tiempo discreto, e el que se aprecia tato las compoetes real e imagiaria, como la magitud y fase de cada muestra.

26 Trasformada z bilateral Im{x()} Re{x()} Figura 5.8: Represetació de muestras complejas e plaos complejos, situados e cada muestra. 5.2 Trasformada z bilateral 5.2. Trasformada z bilateral directa Tómese ahora la represetació ˆx a (t) de ua señal muestreada, tal como se defiió e (5.). Su trasformada de Laplace es [ ] L {ˆx a (t)} = x a (T )δ(t T ) e st dt = = x a (T ) x a (T )e st δ(t T )e st dt Si se defie z = e st y cosiderado que x() = x a (T ) se obtiee Z {x()}! = L {ˆx a (t)} = x()z = X(z) que es la defiició de la trasformada z bilateral para la secuecia discreta x(), que cosidera tato valores positivos como egativos de. La relació etre la secuecia discreta x() y su represetació X(z) e el domiio z se deota como: z x() X(z) ó x() X(z) Como la trasformada z es ua serie ifiita de potecias, ésta existe solo para los valores de z e que la serie coverge. La regió de covergecia (ROC, regio of covergece) de X(z) es etoces el cojuto de valores de z para los que X(z) es fiita.

27 5 Trasformada z 253 Nótese que la sustitució de variable z = e st puede iterpretarse como u mapeo coforme del plao s = σ + jω al plao complejo z. E el ejemplo 2.3 ya se aalizó que, debido a que z = e (σ+jω)t = e σt e jωt etoces ua liea vertical e el plao s, para la cual σ es costate, es trasformada e u círculo de radio e σt. Se deduce que ua bada vertical etre σ mi < σ < σ max es trasformada e u aillo delimitado por u círculo itero de radio e σmit y u círculo extero de radio e σmaxt. Puesto que X(z) correspode a ua trasformada de Laplace cuya ROC es algua bada vertical e el plao s, se cocluye que las regioes de covergecia de la trasformada z equivale a aillos (de posible extesió ifiita) e el plao z. Si la señal es derecha, etoces la ROC será segú lo aterior el exterior de u círculo. Si la señal es izquierda, será el iterior de u círculo. Al igual que co la trasformada bilateral de Laplace, cuado se haga referecia a la trasformada z de ua señal discreta x() debe tambié icluirse su ROC. Ejemplo 5.. x () = {, 2, 5, 7, 0, } 2. x 2 () = {, 2, 5, 7, 0, } 3. x 3 () = δ() 4. x 4 () = δ( + k), k > 0 Solució: Calcule la trasformada z de:. X (z) = + 2z + 5z 2 + 7z 3 + z 5, ROC = z C\{0} 2. X 2 (z) = z 3 + 2z 2 + 5z z 2, ROC = z C\{0, } 3. X 3 (z) =, ROC = z C 4. X 4 (z) = z +k, ROC = z C\{ } La ROC de señales fiitas es todo el plao z excepto z = 0 y/o z =. 5. Ejemplo 5.2 Determie la trasformada z de: x() = ( ) u() 2 Solució: X(z) = x()z = =0 ( ) z = 2 ( z =0 2 ) que coverge si 2 z < z > 2, a: X(z) = 2 z, ROC: z > 2 5.2

28 Trasformada z bilateral Si se expresa z e su forma polar z = re jϕ, co r = z y ϕ = z, etoces: X(z) = x()r e jϕ Detro de la ROC de X(z), X(z) <, por lo que: X(z) = x()r e jϕ es decir, si x()r es absolutamete sumable etoces X(z) es fiita. x()r (5.2) Para ecotrar la ROC se debe etoces ecotrar el rago de valores de r para los que la secuecia x()r es absolutamete sumable. Ahora bie, la ecuació (5.2) puede reescribirse como: X(z) x()r + x()r = =0 x( )r + = x()r y ambas sumatorias debe coverger si X(z) ha de ser fiito. Para la primera suma debe existir valores de r suficietemete pequeños para que x( )r sea absolutamete sumable (r < r ) (figura 5.9). Im{z} =0 Plao z r ROC de = x( )r Re{z} Figura 5.9: Represetació gráfica de la ROC para r suficietemete pequeños. Para que la seguda suma coverja, se ecesita valores de r suficietemete grades para que x()r sea absolutamete sumable. Por ello, la ROC será los putos fuera de ua circuferecia r > r 2 (figura 5.0). Como ambas sumas debe coverger la ROC de X(z) es la regió aular del plao z, r 2 < r < r (figura 5.), lo que cocuerda co el aálisis aterior basado e el mapeo coforme z = e st. Ejemplo 5.3 Determie la trasformada z de: x() = α u()

29 5 Trasformada z 255 Im{z} Plao z r 2 Re{z} Figura 5.0: Represetació gráfica de la ROC para r suficietemete grades. Im{z} Plao z r r 2 Re{z} Figura 5.: Represetació gráfica completa de la ROC. Solució: Se tiee que: X(z) = x()z = α (z ) = =0 que coverge si αz < ( z > α ) a αz. (αz ) Nótese que si α =, se tiee la trasformada z del escaló uitario: x() = u() X(z) = =0 z, ROC: z > 5.3 Ejemplo 5.4 Determie la trasformada z de: x() = α u( ) Solució: X(z) = x()z = α z = α m z m = m= (α z) m m=

30 Trasformada z bilateral que coverge sólo si α z <, es decir, si z < α, a: ( ) X(z) = α z = α z α z = αz Nótese que esta expresió es idética a la obteida para x() = α u(). Se cocluye que la forma compacta de la trasformada z o especifica ua úica señal e el domiio del tiempo. Esto sólo ocurre idicado además la ROC. El térmio trasformada z idica etoces o sólo la expresió X(z), sio tambié su ROC. Lo aterior cumple co que la ROC de ua señal aticausal es el iterior de ua circuferecia, mietras que para señales causales es el exterior de ua circuferecia. 5.4 Ejemplo 5.5 Determie la trasformada z de: Solució: X(z) = x()z = x() = α u() + b u( ) α z + =0 b z = ( ) αz ( + b z ) La primera suma coverge si αz < ( z > α ) y la seguda si b z < ( z < b ). Esto implica que la trasformada z existe si y sólo si b > α y la ROC es u aillo e el plao z. 5.5 La figura 5.2 muestra u resume de lo discutido hasta el mometo e cuato a la relació de la causalidad de ua señal co respecto a la ROC de su trasformada z. Nótese la relació co las ROC de la trasformada de Laplace. La tabla 5. resume alguas trasformacioes importates. Se aprecia que todas las trasformacioes e esta tabla so fucioes racioales. =0 = Propiedades de la trasformada z bilateral Liealidad Si x () X (z) y x 2 () X 2 (z), etoces x() = a x () + a 2 x 2 () X(z) = a X (z) + a 2 X 2 (z). Ejemplo 5.6 Determie la trasformada z de x() = [3(2 ) 4(3 )]u(). Solució: Si x () = 2 u() y x 2 () = 3 u(), etoces x() = 3x () 4x 2 () E el ejemplo (5.3) se derivó: α u(), ROC: z > α αz

31 5 Trasformada z 257 Fucioes de duració fiita Causal z \ {0} Aticausal z \ { } Bilateral z \ {0, } Fucioes de duració ifiita Causal r 2 < z Aticausal z < r Bilateral r 2 < z < r Figura 5.2: Familia de Señales y sus ROC[6].

32 Trasformada z bilateral Tabla 5.: Trasformada z bilateral de alguas fucioes comues Señal x() Trasformada z, X(z) ROC δ() Plao z u() a u() a u() (a )u( ) (a )u( ) cos(ω 0 )u() se(ω 0 )u() a cos(ω 0 )u() a se(ω 0 )u() z z > az z > a az ( az ) 2 z > a az z < a az ( az ) 2 z < a z cos ω 0 2z cos ω 0 + z 2 z > z se ω 0 2z cos ω 0 + z 2 z > az cos ω 0 2az cos ω 0 + a 2 z 2 z > a az se ω 0 2az cos ω 0 + a 2 z 2 z > a co lo que se obtiee: y la trasformada de x() es: X(z) = X (z) =, 2z ROC: z > 2 X 2 (z) =, 3z ROC: z > 3 3 2z 4, ROC: z > 3 3z Nótese que la ROC fial debe ser al meos la itersecció de las dos ROC idividuales. 5.6 Desplazamieto e el tiempo Si x() X(z), etoces x( k) z k X(z). La ROC de z k X(z) es la misma de X(z) excepto z = 0 si k > 0 y z = si k < 0.

33 5 Trasformada z 259 Esto se demuestra fácilmete co u cambio de variable del ídice de la suma: Z {x( k)} = x( k)z y co m = k = m= x(m)z (m+k) = z k x(m)z m m= = z k X(z) Ya que el coeficiete de z es el valor de la muestra e el istate, se aprecia que retrasar ua señal e k muestras (k > 0) es equivalete a multiplicar todos los térmios de la trasformada z por z k. Escalado e el domiio z Si x() X(z), ROC: r < z < r 2, etoces: para todo a C. Demostració: Z {a x()} = a x() X(a z), ROC: a r < z < a r 2 a x()z = x()(a z) = X(a z) dado que la ROC de X(z) es r < z < r 2, etoces para X(a z) se cumple que r < a z < r 2 a r < z < a r 2. ( ) Co a = r 0 e jω 0, z = re jω y ζ = a z = e j(ω ω0), se observa co Z {x()} = X(z) y r 0 r Z {a x()} = X(a z) = X(ζ), que si r 0 > implica ua expasió del plao z, o si r 0 < ua cotracció del plao z, e combiacio co ua rotació (si ω 0 2kπ). Nótese que ζ = a z represeta u mapeo lieal del plao z al plao ζ. Ejemplo 5.7 Determie la trasformada z de la señal a cos(ω 0 )u() Solució: Co la idetidad de Euler se obtiee primero que: cos(ω 0 ) = 2 ejω e jω 0

34 Trasformada z bilateral y co Z {α u()} = se obtiee co α = e ±jω 0 y la liealidad de la trasformació: αz Z {cos ω 0 u()} = { } 2 e + jω 0 z e jω 0 z = { e jω 0 z + e jω 0 } z 2 ( e jω 0 z )( e jω 0 z ) = { 2 z (e jω 0 + e jω 0 } ), (e jω 0 + e jω 0 ) = 2 cos ω 2 e jω 0 z e jω 0 z + z 2 0 por lo que = z cos ω 0 2z cos ω 0 + z 2 ; ROC: z > ejω 0 = Z {a cos(ω 0 )u()} = az cos ω 0 2az cos ω 0 + a 2 z 2, z > a 5.7 Cojugació Si x() tiee como trasformada z a X(z) co ROC R etoces x () X (z ), ROC: R Esto se demuestra utilizado las propiedades de cojugació: Z {x ()} = x ()z = = ( = X (z ) ( x()(z ) ) x()(z ) ) De lo aterior se deduce que si x() es real, etoces X(z) = X (z ), lo que implica que si X(z) tiee u polo o cero e z = z 0, tambié lo tedrá e z = z 0. E otras palabras, los polos y ceros aparece como pares complejos cojugados e la trasformada z de secuecias reales x(). Obsérvese que la relació X(z) = X (z ) para fucioes reales idica que si se hace u corte paralelo al eje Im{z} de la superficie correspodiete a X(z), etoces la fució e ese corte preseta simetría par. Por otro lado, la fase tiee u comportamieto impar e los cortes paralelos al eje Im{z}. Iversió temporal x() X(z), ROC: r < z < r 2 x( ) X(z ), ROC: < z < r 2 r

35 5 Trasformada z 26 Demostració: Z {x( )} = x( )z = x(l)(z ) l = X(z ) l= La ROC de X(z ) sería r < z < r 2 r 2 < z < r Ejemplo 5.8 Solució: Puesto que Determie la trasformada z de u( ). etoces Z {u()} =, ROC: z > z Z {u( )} = z, ROC: z < 5.8 Difereciació e el domiio z Si x() X(z), etoces x() z dx(z) dz. Para demostrar esta propiedad se deriva ambos lados de la defiició co respecto a z: dx(z) = d x()z = x()( )z dz dz Ejemplo 5.9 = z z dx(z) dz (x())z = z Z {x()} = Z {x()} Determie la trasformada z de x() = a u() Solució: Co x () = a u(), etoces x() = x (), y puesto que X (z) = az, ROC z > a, se obtiee: a u() X(z) = z dx (z) dz [ ] az 2 = z = ( az ) 2 az, ROC: z > a ( az ) 2 Co a = se obtiee la trasformació de la rampa uidad: z u() ( z ), ROC: z > 2 5.9

36 Trasformada z bilateral Covolució de dos secuecias Si x () X (z), ROC: R x 2 () X 2 (z), ROC: R 2 etoces: x() = x () x 2 () X(z) = X (z)x 2 (z) la ROC es al meos R R 2. Demostració: x() = k= x (k)x 2 ( k) = x () x 2 () la trasformada z de x() es: X(z) = x()z = ( k= x (k)x 2 ( k) Itercambiado las sumatorias y aplicado la propiedad de desplazamieto e el tiempo se obtiee que: [ ] X(z) = x (k) x 2 ( k)z k= = X 2 (z) k= x (k)z k = X 2 (z)x (z) ) z Teorema del valor iicial Si x() es causal (x() = 0, < 0), etoces: x(0) = lim z X(z) Puesto que x() es causal: X(z) = x()z = x(0) + x()z +... =0 Si z todos los térmios z, z 2, etc. tiede a cero y por tato: x(0) = lim z X(z) Todas las propiedades descritas ateriormete se resume e la tabla 5.2.

37 5 Trasformada z 263 Tabla 5.2: Propiedades de la trasformada z bilateral. Propiedad Domiio Domiio z ROC Notació x() X(z) R = {z r2 < z < r} x() X(z) R x2() X2(z) R2 Liealidad ax() + a2x2() ax(z) + a2x2(z) por lo meos R R2 Desplazamieto e x( k) z k X(z) R \ {0} si k > 0 y R \ { } si k < 0 Escalado e z a x() X(a z) a r2 < z < a r Reflexió e x( ) X(z ) Cojugació x () X (z ) Parte real Re{x()} Parte imagiaria Im{x()} 2 [X(z) + X (z )] 2 [X(z) X (z )] r < z < r2 R Icluye R Icluye R Derivació e z x() z dx(z) dz Covolució x() x2() X(z)X2(z) r2 < z < r Por lo meos R R2 Teorema del valor iicial Si x() es causal x(0) = lim z

38 Trasformada z bilateral Trasformada z iversa Defiició El procedimieto de ecotrar la señal e el domiio del tiempo correspodiete a la expresió algebraica e el domiio z para ua determiada regió de covergecia se deomia trasformada z iversa. Utilizado el teorema itegral de Cauchy y la fórmula itegral de Cauchy se demuestra que se cumple { k = z k dz = (5.3) 2πj C 0 k para u cotoro de itegració C que rodea al orige. A partir de la defiició de la trasformada z para ua señal de variable discreta x(k) X(z) = x(k)z k k= se obtiee multiplicado ambos lados por z, e itegrado e u cotoro cerrado que cotiee al orige, y que está detro de la ROC: X(z)z dz = x(k)z k+ dz C C k= Como la serie coverge detro de C, la itegral y la sumatoria puede ser itercambiadas: X(z)z dz = x(k) z k+ dz C k= que co el resultado e (5.3) sólo es diferete de cero para k =, es decir: x() = X(z)z dz (5.4) 2πj Ejemplo 5.0 Ecuetre la trasformada z iversa de la expresió X(z) = αz si se sabe que la señal correspodiete es causal. Solució: Aplicado (5.4) se obtiee x() = 2πj = 2πj = 2πj = 2πj C C C C C C X(z)z dz αz z dz z z α z dz z z α dz

39 5 Trasformada z 265 Como C debe estar detro de la ROC, y la señal es causal, etoces se escoje ua circuferecia de radio mayor que α. Para > 0 se tiee u cero de orde e z = 0, o igú cero cuado = 0, y e ambos casos hay u polo e z = α. E estos casos se puede aplicar la fórmula itegral de Cauchy para obteer directamete x() = z z=α = α Para < 0 la fució f(z) tiee u polo de orde e z = 0, que tambié está detro de C, por lo que dos polos z = 0 y z 2 = a cotribuye al valor de la itegral. Co = y la fórmula itegral de Cauchy: 2πj z(z a) dz = z a + z=0 z C = a + a = 0 z=a Co = 2: 2πj C z 2 (z a) dz = a 2πj C z + a 2 2 z = 0 a 2 + a 2 = 0 + a 2 z a dz Esto se puede repetir para todo < 2 resultado e x() = 0. Por tato, resumiedo ambos casos e ua ecuació se obtiee: x() = a u() 5.0 La trasformada z iversa mediate expasió e serie de potecias La idea de este método es expadir X(z) e ua serie de potecias de la forma: X(z) = c z = x()z que coverge e la regió de covergecia asociada a X(z). Este método ya se itrodujo e la secció 2.4. sobre series de potecias, dode se observa que ahora se utiliza el caso particular de series de Lauret cetradas e z = 0. Ejemplo 5. Calcule la secuecia e tiempo discreto x() si su trasformada z tiee como expresió algebraica + 2 X(z) = z 3 2 z + 2 z 2 para las regioes de covergecia

40 Trasformada z bilateral. ROC: z > 2. ROC: z < /2 Solució: Debido a que la ROC z > es el exterior de u círculo y X(z) es racioal, etoces x() es ua señal causal. Para calcularla se ordea el umerador y el deomiador del mayor coeficiete al meor y se divide: + 2 z -( 3 2 z + 2 z 2 ) 2z 2 z 2 -( 2z 3z 2 +z 3 ) 5 2 z 2 z 3 -( 5 2 z z z 4 ) 4 z z 4 -( 4 z 3 33 Co lo que se deduce x() = 8 z z 5 ) 23 8 z 4 8 z 5 {, 2, 52, 4, 238,... }. 3 2 z + 2 z 2 + 2z z z z La ROC z < /2 correspode a ua señal aticausal. Para este caso se ordea el umerador y el deomiador de meor a mayor y se divide: 2 z + -( 2 z 3 2 +z) 5 2 z -( z +5z2 ) 3 2 z 5z2 -( 3 2 z 39 2 z2 +3z 3 ) 29 2 z2 3z 3 -( 29 2 z z3 +29z 4 ) 6 2 z3 29z 4 2 z z + z + 5z 2 + 3z z 4 + 6z y fialmete x() = {..., 6, 29, 3, 5,, 0 } 5. Este método o provee la forma cerrada de x() y resulta tedioso si se desea determiar x() para grade. Es además iestable uméricamete si se automatiza para ser calculado e computador. Ejemplo 5.2 Determie la trasformada z iversa de: X(z) = l( + az ), ROC: z > a. Solució: Puesto que la serie de Taylor para l( + x), x < es ( ) + x l( + x) = =

41 5 Trasformada z 267 etoces ( ) + a z X(z) =, = de dode se obtiee directamete x() = ( )+ a u( ) 5.2 La trasformada z iversa mediate expasió e fraccioes parciales Este método es aálogo al ya revisado para la trasformada iversa de Laplace e la secció E él se expresa X(z) como ua combiació lieal: X(z) = α X (z) + α 2 X 2 (z) α k X k (z) dode {X i (z)} so las trasformacioes de las señales {x i ()} dispoibles e tablas. Por liealidad se tedrá que: Si X(z) es ua fució racioal, etoces: x() = α x () + α 2 x 2 () α k x k () X(z) = N(z) D(z) = b 0 + b z b M z M + a z a N z N Nótese que si a 0, lo aterior se puede obteer dividiedo umerador y deomiador por a 0. Como se idicó e el capítulo aterior, esta fució se deomia propia si a N 0 y M < N, es decir, si el úmero de ceros fiitos es meor que el úmero de polos fiitos. Ua fució impropia (M N) siempre se puede represetar como la suma de u poliomio y ua fució racioal propia. Ejemplo 5.3 Exprese la fució impropia: X(z) = + 3z + 6 z z z + 6 z 2 e térmios de u poliomio y ua fució propia. Solució: Para hacer esto, se debe hacer la divisió de tal forma que los térmios z 2 y z 3 sea elimiados, y para esto debe ordearse los divisores de la misma maera que para determiar la expasió e serie de potecias de señales aticausales. 3 z z 2 +3z + -( 3 z z 2 +2z ) 6 z 2 +z + -( 6 z z +) 6 z 6 z z + 2z +

42 Trasformada z bilateral X(z) = + 2z + 6 z z + 6 z 2 E geeral, cualquier fució racioal impropia (M N) se puede expresar como: X(z) = N(z) D(z) = c 0 + c z c M N z (M N) + N (z) D(z) Como la trasformada z iversa de u poliomio e térmios de z se puede calcular fácilmete al correspoder éste directamete co las primeras muestras causales de la señal, se prestará ahora especial ateció a la trasformada de fucioes racioales propias. Sea X(z) ua fució racioal propia: X(z) = N(z) D(z) = b 0 + b z b M z M + a z a N z N co a N 0 y M < N. Multiplicado por z N tato el umerador como deomiador: puesto que N > M etoces X(z) = b 0z N + b z N b M z N M z N + a z N a N X(z) z = b 0z N + b z N b M z N M z N + a z N a N que es siempre propia. Para descompoer esta fució como ua suma de fraccioes simples, se factoriza el deomiador e factores que cotega los polos p, p 2,..., p N de X(z).. Caso: Polos diferetes de primer orde. Si todos los polos so diferetes y de primer orde, etoces se busca la expasió: dode X(z) z = A z p + A 2 z p A k = (z p k ) X(z) z z=pk A N z p N 5.3 Ejemplo 5.4 Ecuetre la descomposició e fraccioes parciales de la compoete propia e el ejemplo 5.3, y co ella la trasformada iversa x() de la fució X(z) e dicho ejemplo, si se sabe que ésta es causal. Solució: Multiplicado por z2 z 2 6 z z z + z 2 6 se obtiee: 6 z z = 2 z 2 + 5z = ( z + 3 z 6 ) ( z + 2 ( z + 3 ) = A ( ) z + 2 ) + A 2

43 5 Trasformada z 269 Nótese que o fue aquí ecesario dividir por z pues la fució racioal resultate fue propia desde u pricipio. Multiplicado ambos lados por (z + /3) y haciedo z /3 se obtiee A = /3. Por otro lado, multiplicado ambos lados por (z + /2) y haciedo z /2 se obtiee A 2 = /2. Se cumple etoces: 3 ( ) + z ( z + 2 ) = ( 3 z + z ) + ( 2 z 3 + z ) 2 3 ( ) u( ) + ( u( ) = 3 2 2) [( ( 3) ) ] u( ) 2 dode se ha hecho uso de las propiedades de liealidad y de desplazamieto e el tiempo. Falta úicamete trasformar los térmios + 2z que correspode e el tiempo discreto a δ() + 2δ( ). De este modo se cumple [( x() = δ() + 2δ( ) + ( 3) ) ] u( ) Ejemplo 5.5 Determie la expasió e fraccioes parciales de. Solució: Multiplicado por z2 z 2 X(z) = se obtiee: + z z + 2 z 2 co los polos p,2 descomposició: X(z) z X(z) = = ± 2 z2 + z z 2 z + 2 X(z) z = z + z 2 z + 2 = ± j = e±j45 se puede realizar la siguiete = A z p + A 2 z p 2 X(z) = A p z + A 2 p 2 z A = (z p ) X(z) z A 2 = (z p 2 ) X(z) z = z + z=p z p 2 = p + = z=p p p 2 2 j 3 2 = = z + z=p2 z p = p 2 + = z=p2 p 2 p 2 + j 3 2 = 0 2 e j7,6 0 2 ej7,6