Integral de Cauchy y Funciones Regladas

Transcripción

1 Revist Nots de Mtemátic Vol.3(1), No. 251, 2007, pp Comisión de Publicciones Deprtmento de Mtemátics Fcultd de Ciencis Universidd de Los Andes Integrl de Cuchy y Funciones Reglds Nelson Vilori y Reinldo Cdens Resumen Presentmos l integrl de Cuchy como un elegnte lterntiv l integrl de Riemnn. Prtiendo de l formlizción de l teorí de integrción de funciones esclonds, trnsferimos ls propieddes fundmentles l clse de ls funciones reglds. Limitmos el proceso de integrción un ctegorí de funciones suficientemente próxim l de ls funciones continus y lo suficientemente mpli como pr contener los tipos de funciones requerids, desde un punto de vist prgmático. Plbrs y frses clves: Funciones reglds, funciones esclonds, funciones de vrición cotd, integrl de Cuchy, Lem de Cuchy, convergenci uniforme. Abstrct We present the Cuchy integrl s n elegnt lterntive to the Riemnn integrl. Begining from the formliztion on the theory of steps functions integrtions, we trnsfer the fundmentl properties to the kind of ruled functions we limit the integrtion process to ctegory of functions close enough to content the continues functions nd wide enough to content the kinds os needed functions, from the prgmtic point of view. 1 Introducción L clse de funciones Riemnn integrbles es lgo difus (cundo no se consider l Teorí de l Medid), en este sentido utilizremos un ctegorí de funciones completmente crcterizd: el espcio de ls funciones Reglds (G[, b]), con l norm de l convergenci uniforme. En [2], Berberin estudi est clse de funciones desde l óptic frnces (Bourbki-Dieudonné). Nosotros definiremos l integrl de Cuchy pr un función regld como el límite de un sucesión, de integrles de funciones esclonds, que converge uniformemente dich función. A prtir de esto, mostrremos tods ls propieddes usules de un integrl, hciendo más nturl l Teorí de Integrción, pues prtimos de conocimientos simples e intuitivos de l integrl de un función esclond. Ls propieddes de l integrl de Cuchy se trnsfieren de ls propieddes 45

2 46 Nelson Vilori y Reinldo Cdens de ls funciones esclonds. Un presentción bstnte esquemátic de est novedos óptic se encuentr en [3]. Ls funciones reglds y l integrl de Cuchy hn sido propidmente privilegids en el estudio de ls ecuciones en diferenci: [1] y [6], sí como en el de ls ecuciones integrles tipo Volterr-Stieltjes: [7] y [8]. 2 Funciones Esclonds Definición 1 Se [, b] un intervlo cerrdo y cotdo en IR. Un prtición P de [, b] es un conjunto {t 0 = < t 1 < < t n = b}. Escribimos P[, b] = {P : P es un prtición de [, b]}. Note que si P = {t 0,...,t n } P[,b], entonces P gener n sub-intervlos cerrdos y cotdos contenidos en [, b], sber [t 0,t 1 ], [t 2,t 3 ],...,[t n 1,t n ]. Además, si P P[,b] y c [,b], entonces Q = P {c} P[,b]. Así, de mner más generl, cundo P,Q P[,b], entonces P Q P[,b]. Decimos que Q P[,b] es más fin que P P[,b], si P Q. De l definición, se sigue que cd sub-intervlo bierto de Q está contenido en lgún sub-intervlo bierto de P. Definición 2 Un función φ : [, b] IR se llm esclond si existe P P[, b], tl que φ es constnte en cd sub-intervlo bierto de P. Es decir, si P = {t 0,...,t n } pr cd k = 1,n existe φ k IR tl que φ(x) = φ k si t k 1 < x < t k. Not 3 (1) De l definición 2 se sigue que φ debe estr definid en los extremos de los sub-intervlos [t k 1,t k ] (k = 1,n); pero no es necesrio que el vlor que tome en los extremos de cd uno de los sub-intervlos coincid con φ k. (2) Si φ es un función esclond sobre [, b] y φ es constnte en cd sub-intervlo bierto de P P[, b], entonces φ es constnte en cd sub-intervlo bierto de Q, donde Q es un prtición más fin que P.

3 Integrl de Cuchy y Funciones Reglds 47 (3) E[,b] = {φ : [,b] IR; φ es esclond}. Teorem 4 Sen φ,ϕ E[,b]. Entonces () φ + ϕ E[,b] (b) φ ϕ E[,b] Prueb Como φ, ϕ E[, b], entonces existen P, Q P[, b] tles que φ es constnte en cd sub-intervlo de P y ϕ es constnte en cd sub-intervlo de Q. Ahor, debemos hllr un prtición O P[, b] tl que φ + ϕ se constnte en cd uno de los sub-intervlos biertos de O. Definimos O = P Q. Clrmente, O P[,b] y en cd sub-intervlo bierto I de O tnto φ como ϕ son constntes en I. En consecuenci, φ + ϕ es constnte en cd sub-intervlo bierto I de O y sí, φ + ϕ E[,b]. De mner nálog se verific que φ ϕ E[, b]. 3 Funciones Reglds Definición 5 Se I IR un intervlo, un función f : I IR se llm regld si pr cd x I existen f(x ) = lim f(t) y f(x+) = lim f(t). t x t x + Escribimos G[,b]= {f : [, b] IR; f regld}. Not 6 (1) Tod función continu es regld, es decir, G[,b] C[,b] = {f : [,b] IR, f continu}. (2) Dds dos funciones reglds, se puede grntizr que l función compuest de mbs es regld? L respuest es no.

4 48 Nelson Vilori y Reinldo Cdens Ejemplo 7 Dds ls funciones f, g : IR IR medinte x sen(1/x) si x 0 f(x) = y g(x) = 0 si x = 0 1 si x > 0 0 si x = 0 1 si x < 0. Un cálculo simple nos permite concluir que f y g son funciones reglds. Además, f tom vlores positivos y negtivos en culquier intervlo (0, δ) y, en consecuenci, g f tom los vlores 1 y -1; por lo tnto, (g f)(0+) no existe. Así, g f no es regld. (3) Se f : I IR un función regld. Entonces, pr cd conjunto compcto K I, f(k) es un conjunto cotdo. En efecto, como f es regld, pr cd x I existen δ x > 0 y M x > 0 tles que f(t) M x pr cd t (x δ x,x + δ x ) I. Luego, l colección {(x δ x,x + δ x )} x I conjunto K y como K es compcto, existen x 1,...,x n K tles que n K (x i δ xi,x i + δ xi ). Si M = mx{m x1,...,m xn }, entonces 1 cubre l f(x) M x K. Así, f es cotd. (4) Es necesrio destcr que: K compcto no implic que f(k) compcto cundo f es regld. Así, lo muestr el siguiente ejemplo. Ejemplo 8 Se f : [0,1] IR dd por 1 si x = 0 f(x) = ( ] 1/x si x 1 n+1, 1 n ; n IN. Entonces, f es regld en [0, 1] y, sin embrgo, { 1 f([0,1]) = n ; no es compcto, por no ser cerrdo en IR. } n IN

5 Integrl de Cuchy y Funciones Reglds 49 Not 9 De los resultdos básicos de cálculo se sigue que el producto y l sum de funciones reglds son funciones reglds. Lem 10 Sen X,Y IR, f : X IR, g : Y IR con f(x) Y. Sen X y b Y Y. Si lim f(x) = b y lim g(y) = g(b). Entonces lim(g f)(x) = c. x y b x Prueb Se ε > 0, rbitrrio, por l definición de límite existe η > 0 tl que y Y, y b < η = g(y) g(b) < ε. (1) Pr el η hlldo por hipótesis existe δ > 0 tl que x X, 0 < x < δ = f(x) b < η. (2) Por lo tnto, de (2) y (1) se sigue que x X, 0 < x < δ = g(y) g(b) < ε. Así, lim x (g f)(x) = c. Corolrio 11 Si f G[,b] y g C[,b], entonces g f G[,b]. 4 Funciones de Vrición cotd Definición 12 Se f : [,b] IR un función. Si P = {t 0,...,t n } P[,b], escribimos f i = f(t i ) f(t i 1 ) y definimos l vrición de f reltiv l prtición P, como V (f,p) = f i.

6 50 Nelson Vilori y Reinldo Cdens Además, definimos l vrición (totl) de f en [, b], denotd por V (f,, b) (o simplemente V (f) ), medinte: V (f) = sup V (f,p). P P[,b] Un función f : [,b] IR se llm de vrición cotd en [,b] si, y sólo si, V (f) <. Not 13 (1) Tod función monóton en [, b] es de vrición cotd en [, b], y demás V (f) = f(b) f(). (2) Si f : [,b] IR es un función con derivd f cotd en (,b), entonces f es de vrición cotd en [, b]. (3) Un función, f : [, b] IR, puede ser continu sin ser de vrición cotd en [, b], como lo muestr el siguiente ejemplo f : [0,1] IR dd por f(x) = ( π xcos 2x) si x 0 0 si x = 0. 4) Si f : [,b] IR es de vrición cotd en [,b], entonces f es cotd en [,b]. Teorem 14 Si f y g son funciones de vrición cotd, entonces f + g y f g son funciones de vrición cotd. Prueb Se P = {t 0,...,t n } P[,b]. Entonces (f + g) i = f i + g i f i + g i V (f) + V (g). En consecuenci, V (f + g) V (f) + V (g) y, sí, f + g es de vrición cotd en [,b].

7 Integrl de Cuchy y Funciones Reglds 51 Vemos que f g es de vrición cotd en [, b]. Por hipótesis, f y g son cotds, sí, existen A y B tles que f(x) A y g(x) B, (3) pr todo x [,b]. Se h = f g, entonces h i = (f g)(t i 1) (f g)(t i) = f(t i 1 )g(t i 1 ) f(t i )g(t i ) = f(t i 1 )g(t i 1 ) f(t i )g(t i 1 ) + f(t i )g(t i 1 ) f(t i )g(t i ). (4) De (3) y (4), obtenemos que = g(t i 1 ) f i + f(t i ) g i. h i = f(t i ) g i + g(t i 1 ) f i f i g i + g(t i 1 ) f i A g i + B f i A V (g) + B V (f). Así, V (h) A V (g) + B V (f) y por tnto f g es de vrición cotd en [,b]. Teorem 15 (Relción entre funciones reglds y de vrición cotd) Se f : [,b] IR un función de vrición cotd en [,b], entonces f es regld en [,b]. Prueb Se (t n ) [,t) tl que t n t. Pr cd n IN, f i V (f,,t). De donde, 1 (y que s n = f i f i V (f,,t) (5) 1 es monóton creciente y cotd superiormente). Luego, pr cd

8 52 Nelson Vilori y Reinldo Cdens ε > 0, existe n(ε) IN tl que m n n(ε) = f(t m ) f(t n ) = m [f(t i ) f(t i 1 )] i=n+1 m f(t i ) f(t i 1 ). (6) i=n+1 Ahor, si n, entonces m y s n,s m L. Entonces, s m s n 0. (7) Además, como m > n, entonces m s m s n = f i = = f i + m i=n+1 f i f i m f i i=n+1 f i = m i=n+1 f(t i ) f(t i 1 ). (8) Por lo tnto, de (6), (7) y (8), se sigue que l sucesión (f(t n)) es de Cuchy. En consecuenci, existe f(t ). De mner nálog se prueb l existenci de f(t+). 5 Crcterizción de ls Funciones Reglds Teorem 16 (Criterio de Cuchy) Se f : [,b] IR un función. Entonces () Ddo x [, b), existe f(x+) si, y sólo si, ε > 0 δ > 0 : s,t (x,x + δ x ) [,b] = f(s) f(t) < ε.

9 Integrl de Cuchy y Funciones Reglds 53 (b) Ddo x (, b], existe f(x ) si, y sólo si, ε > 0 δ > 0 : s,t (x δ x,x) [,b] = f(s) f(t) < ε. Prueb ( ) Se L x = lim u x + f(u) y se ε > 0 rbitrrio. Entonces, existe δ x > 0 tl que u [,b] (x,x + δ x ) = f(u) L x < ε/2. Luego, si s,t [,b] (x,x + δ x ), entonces f(s) L x < ε/2 y f(t) L x < ε/2. Así, f(s) f(t) f(s) L x + L x f(t) < ε/2 + ε/2 = ε, siempre que s,t [,b] (x,x + δ x ). ( ) Se (x n ) [,b) con x n > x pr cd n IN y x n x [,b). Vemos que (f(x n )) converge. Se ε > 0 rbitrrio, existe δ x > 0 que stisfce l condición de l hipótesis. Ahor, por l convergenci de (x n ); pr el δ x > 0 hlldo existe n 0 IN tl que m,n > n 0 = x n x < δ x x m x < δ x = x m,x n (x,x + δ x ) = f(x m ) f(x n ) < ε. En consecuenci, (f(x n )) es de Cuchy en [,b] y, por l completitud de [,b], se obtiene que (f(x n )) converge. Así, f(x+) existe. De mner similr se verific l existenci de f(x ). Teorem 17 Un función f : [,b] IR es regld si, y sólo si, existe un sucesión de funciones (φ n ) E[,b] tl que φ n f en [,b].

10 54 Nelson Vilori y Reinldo Cdens Prueb ( ) Supongmos que existe un sucesión de funciones (φ n ) E[,b] tl que φ n f en [,b]. (9) Se x 0 [,b] (x 0 y x 0 b). Entonces, por (9), ddo ε > 0 existe n 0 IN tl que n n 0 = φ n (t) f(t) < ε, pr todo t [,b]. Por otro ldo, como φ n0 es un función esclond, φ n0 es regld, en consecuenci, existe φ n0 (x 0 +) y, por el teorem 16, existe δ > 0 tl que s,t (x 0,x 0 + δ) [,b] = φ n0 (t) φ n0 (s) < ε/3. (10) Luego, pr todo s,t (x 0,x 0 + δ) se tiene, por (9) y (10), que f(s) f(t) f(s) φ n0 (s) + φ n0 (s) φ n0 (t) + φ n0 (t) f(t) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. De nuevo por el teorem nterior, f(x 0 +) existe. Procediendo de mner similr probmos que f(x 0 ) existe, y sí, f es regld. ( ) Pr cd n IN y pr cd x [,b], por el teorem nterior existe un bierto I(x) = (y(x),z(x)) que contiene x tl que f(s) f(t) 1 n, (11) siempre que s,t (y(x),x) [,b] o s,t (x,z(x)) [,b]. Puesto que [,b] I(x) y [,b] es compcto, existen x 1,...,x n [,b] tles que x [,b] n [,b] I(x i ). Se (c j ) 0 j m=3n+2 un sucesión creciente, formd por,b,x i,y(x i ) y z(x i ) (i = 1,n). Entonces, o c j+1 I(x i ) o c j+1 [z(x i ),c m ] y que l sucesión es creciente. Esto último implic que c j+1 = z(x i ); pues de lo contrrio c j < z(x i ) < c j+1, pero z(x i ) tmbién es un c k. En consecuenci, (c j,c j+1 ) V (x i ).

11 Integrl de Cuchy y Funciones Reglds 55 Luego, si s,t (c j,c j+1 ), entonces () s,t (y(x i),x i ) [,b] o () s,t (x i,z(x i)) [,b], pues 1) c j (y(x i),x i ) = c j+1 (y(x i),x i ] = () o 2) c j [x i,z(x i)) = c j+1 (x i,z(x i)] = (b). Por lo tnto, si s,t (c j,c j+1 ), entonces por (11) f(s) f(t) 1 n. Definiendo φ n (x) = m j=0 f(ε j )χ (cj,c j+1 ) (x) + donde ε j (c j 1,c j ). Tenemos que (φ n ) E[,b] y x (c j,c j+1 ) x [,b] = x = c j m j=0 f(c j )χ {cj } (x), pr lgún c j f(ε j ) f(x) = g n (x) f(x) = 0 Por lo tnto, φ n f en [,b]. = g n (x) f(x) < 1 n. Not 18 Note que l convergenci uniforme de (φ n ) f, sobre [,b], nos segur que (φ n ) es de Cuchy. Corolrio 19 (Discontinuiddes de ls Funciones Reglds) Se f G[,b]. Entonces el conjunto de puntos donde f es discontinu es numerble.

12 56 Nelson Vilori y Reinldo Cdens Prueb Como f es regld, por el Teorem 17, existe (φ n ) E[,b] tl que φ n f sobre [,b]. Ahor, como cd φ n E[,b], entonces existe un conjunto finito H n [,b] donde φ n es discontinu. Así, cd φ n es continu en T n = [,b] \ H n y, por l convergenci uniforme, f es continu en T n = [,b] \ H n, como H n es numerble, el corolrio qued probdo. 1 n IN n IN 6 Integrl de Funciones Esclonds Se φ un función esclond definid sobre [,b], y se P = {t 0,t 1,...,t n } P[,b]. Así, φ es constnte sobre cd sub-intervlo (t i 1,t i ) (i = 1,n). Designmos por φ i el vlor constnte que tom φ en cd (t i 1,t i ) (i = 1,n); es decir, φ(x) = φ i si x (t i 1,t i ) (i = 1,n). Definición 20 L integrl de un función esclond φ sobre [, b], denotd por el símbolo φ(t)dt, se define medinte donde t i = t i t i 1. Not 21 φ(t)dt = φ i t i, (12) (1) Si [,b] IR es un función constnte, dd por φ(x) = c, entonces por (12) cdt = c t i = c t i c(b ). (13) Obsérvese que si c > 0, entonces el vlor de (13) coincide con el áre de un rectángulo de bse b y ltur c.

13 Integrl de Cuchy y Funciones Reglds 57 (2) Vemos que el vlor de (12) no depende de l elección de l prtición P, mientrs φ se constnte en los sub-intervlos biertos de P. En efecto, Se Q un prtición más fin que P (P Q), que contiene un punto t más que P. Así, t 0 < < t k < t < t k+1 < < t n. Luego, {}}{ φ 1 (t 1 t 0 ) + + φ k (t t k 1 ) + φ k (t t k ) + + φ n (t n t n 1 ) = φ 1 (t 1 t 0 ) + + φ k (t k 1 t k ) + + φ n (t n t n 1 ) = φ i t i. Luego, el vlor de l sum en (12) no cmbi. Por lo tnto, podemos psr de P culquier prtición más fin que Q ñdiendo cd vez puntos de sub-división uno trs otro y en cd pso l sum en (12) no se lter. Por lo cul, el vlor de l integrl es el mismo pr todos los refinmientos de P. Teorem 22 (Propiedd Aditiv) [φ(t) + ϕ(t)]dt = φ(t)dt + ϕ(t)dt. Prueb Consideremos P, Q P[, b], P socid l función φ y Q socid l función ϕ. Entonces T = P Q P[,b] está socid l función φ + ϕ, es decir, φ + ϕ es constnte en cd sub-intervlo bierto de T. Ahor, podemos escribir T = {t 0,...,t n } y definir φ(t)dt y ϕ(t)dt usndo l prtición T. Así, φ(t)dt + ϕ(t)dt = φ i t i + ϕ i t i = (φ i + ϕ i ) t i = (φ(t) + ϕ(t)) t i = [φ(t) + ϕ(t)]dt.

14 58 Nelson Vilori y Reinldo Cdens Teorem 23 (Propiedd Homogéne) Pr todo c IR, se tiene que cφ(t)dt = c φ(t)dt. Prueb Se P = {t 0,...,t n } P[,b] un prtición socid l función φ, y si c IR, entonces cp es tmbién un prtición socid l función cφ y si φ i es el vlor que tom φ en el sub-intervlo (t i 1,t i ) de P, entonces cφ i es el vlor que tom cφ en el sub-intervlo (t i 1,t i ). En consecuenci, c φ(t)dt = c φ i t i = cφ i t i = cφ t i = cφ(t)dt. Teorem 24 (Teorem de Comprción) Si φ(t) ϕ(t) pr todo t [,b], entonces φ(t)dt ϕ(t)dt. (14) Prueb Como φ(t) ϕ(t), entonces ϕ(t) φ(t) 0 pr todo t [,b]. Por otro ldo, de los teorems 22 y 23, [ϕ(t) φ(t)]dt = Luego, pr probr (14), bst mostrr que ϕ(t)dt [ϕ(t) φ(t)]dt 0. φ(t)dt. Ahor, si ψ(t)dt 0, pues ψ(t) = ϕ(t) φ(t) 0, entonces es clro por l definición de ψ(t)dt es l sum de términos no negtivos. ψ(t)dt, que

15 Integrl de Cuchy y Funciones Reglds 59 Teorem 25 (Aditividd Respecto l Intervlo de Integrción) φ(t)dt = c φ(t)dt + c φ(t)dt si < c < b. Prueb Se P = {t 0,...,t n } P[,b], socid l función φ. Podemos sumir que c = t j pr lgún j (1 < j < n) (en otro cso podemos formr Q = P {c} más fin que P.) Así, φ(t)dt = j φ i t i φ i t i + i=j+1 φ i t i. = φ 1 t φ j t j + φ j+1 t j φ n t n = c φ(t)dt + c φ(t)dt. Teorem 26 (Invrinci Frente l Trslción) φ(t)dt = +c +c φ(t c)dt. Prueb Se P = {t 0,...,t n } P[,b], tl que φ(t) = φ i (i = 1,n) y t (t i 1,t i ). Tommos ϕ(t) = φ(t c), siempre que t ( + c,b + c) (c IR). Luego, t c (t i 1,t i ) y ϕ(t) = φ i en (t i 1 + c,t i + c). Así, P = {t 0 + c,...,t n + c} P[ + c,b + c], y ϕ es un función esclond reltiv l prtición P y +c +c φ(t c)dt = φ i [(t i + c) (t i 1 + c)] = φ i t i = φ(t)dt. Teorem 27 (Diltción o Contrcción del Intervlo de Integrción) kb ( ) t b φ dt = k φ(t)dt, k > 0. (15) k k

16 60 Nelson Vilori y Reinldo Cdens Prueb P = {t 0,...,t n } P[,b], tl que φ(t) = φ i pr t (t i 1,t i ), (i = 1,n). ( ) t Se ϕ(t) = φ si k < t < kb. Luego < t k k < b (k > 0) y, entonces, u(t) = φ i si t (kt i 1,kt i ). Así, P = {kt 0,...,kt n } P[k,kb], ϕ es un función esclond reltiv l prtición P kb k φ ( ) t dt = k kb k ϕ(x)dx = φ i (kt i kt i 1 ) = k φ i t i = k φ(t)dt. y Not 28 (1) Ahor nos hce flt extender ls propieddes de l integrl de un función esclond pr b <. Pr eso definimos y tmbién b φ(t)dt = φ(t)dt, si < b φ(t)dt = 0. Con ests convenciones, el teorem 25 vle pr culquier ordención de,b y c. (2) El teorem nterior puede extenderse l cso k < 0. Luego, pr k = 1, (15) se convierte en φ(t)dt = b φ( t)dt. Est propiedd se conoce como Propiedd de Reflexión de l integrl, y que el gráfico de l función ϕ(t) = φ( t) se obtiene de l función φ, por reflexión con respecto l eje y. 7 Integrl de Cuchy o Integrl Regld Teorem 29 Se f : [,b] IR un función regld tl que φ n (φ n ) E[,b]. Entonces, f en [,b], donde

17 Integrl de Cuchy y Funciones Reglds 61 () L sucesión ( ) φ n (t)dt es de Cuchy. (b) Supongmos que (ϕ n ) E[,b] tl que ϕ n existe n 0 IN tl que f en [,b]. Entonces, pr cd ε > 0 n > n 0 = φ n (t) ϕ n (t) < ε t [,b]. (c) lim n Prueb φ n (t)dt = lim n ϕ n (t)dt. () Por l hipótesis, (φ n ) es de Cuchy, sí, ddo ε > 0 existe n 0 IN tl que n,m > 0 = φ n (t) φ m (t) < ε, t [,b]. (16) b Por otro ldo, por (16) y los teorems 22 y 24, obtenemos que b φ n (t)dt φ m (t)dt = (φ n (t) φ m (t))dt < φ n (t) φ m (t) dt ε b dt siempre que m,n > n 0. Así, ( ) φ n (t)dt = ε b b = ε, es de Cuchy. (b) Como φ n f y ϕ n f sobre [,b]. Entonces, ddo ε > 0 existen n 1,n 2 IN tles que, pr todo t [, b], se tiene n > n 1 = φ n (t) f(t) < ε/2 y n > n 2 = ϕ n (t) f(t) < ε/2. Luego, si n 0 = mx{n 1,n 2 } se sigue que n > n 0 = φ n (t) f(t), ϕ n (t) f(t) < ε/2, (17)

18 62 Nelson Vilori y Reinldo Cdens pr todo t [,b]. En consecuenci, si n > n 0 se sigue de (17) que φ n (t) ϕ n (t) φ n (t) f(t) + f(t) ϕ n (t) < ε 2 + ε 2 = ε. (c) Se ε > 0 rbitrrio, entonces por (b) existe n 0 IN tl que n > n 0 = φ n (t) ϕ n (t) < ε b, pr todo t [,b]. Por otro ldo, si n > n 0, entonces φ n (t)dt ϕ n (t)dt < φ n (t) ϕ n (t) dt ε 2(b ) dt (18) Por (18), lim φ n (t)dt y lim n n bsoluto, usndo (18), concluimos que lim n Como ε es rbitrrio, entonces lim n φ n (t)dt = ε 2. ϕ n (t)dt existen. De l continuidd de l función vlor lim n φ n (t)dt = lim n ϕ n (t)dt < ε. ϕ n (t)dt. Ese teorem nos permite definir sin mbigüedd l integrl de un función regld. Definición 30 Se define l integrl de un función regld f, sobre [,b], medinte lim n φ n (t)dt, donde (φ n ) E[,b] y stisfce φ n f, sobre [,b]. Decimos que f es integrble y tl integrl l denotmos por f(t)dt.

19 Integrl de Cuchy y Funciones Reglds 63 Not 31 Es evidente que tod función continu es integrble. Teorem 32 (Propiedd Aditiv) [f(t) + g(t)]dt = f(t)dt + g(t)dt. Prueb Si f,g son funciones reglds, existen sucesiones de funciones esclonds (φ n ),(ϕ n ) tles que φ n f y ϕ n g. De donde, φ n + ϕ n f + g y, por lo tnto, f(t)dt + g(t)dt = lim φ n (t)dt + lim ϕ n (t)dt n n [ = lim φ n (t)dt + n ] ϕ n (t)dt = lim [φ n (t) + ϕ n (t)] dt (Teorem 22) n = [f(t) + g(t)]dt. Teorem 33 (Propiedd Homogéne) Pr todo c IR se tiene que cf(t)dt = c f(t)dt. Prueb Existe un sucesión de funciones esclonds (φ n ) tl que φ n f. Luego, cφ n cf. Así,

20 64 Nelson Vilori y Reinldo Cdens c f(t)dt = clim φ n (t)dt n = lim n c b φ n (t)dt = lim cφ n (t)dt (Teorem 23) n = cf(t)dt. Teorem 34 (De Comprción) Si f(t) g(t) pr todo t [,b], entonces f(t)dt g(t)dt. Prueb Existen sucesiones (φ n ),(ϕ n ) tles que φ n f y ϕ n g. Luego, existe n 0 IN; tl que pr todo n n 0 tenemos que φ n (t) ϕ n (t). Así, por el teorem 24, se tiene que Por lo tnto, Es decir, φ n (t)dt ϕ n (t)dt, n n 0. lim φ n (t)dt lim ϕ n (t)dt. n n f(t)dt g(t)dt. Teorem 35 (Aditividd con respecto l intervlo de integrción) f(t)dt = c f(t)dt + c f(t)dt,

21 Integrl de Cuchy y Funciones Reglds 65 Prueb Existe (φ n ) E[,b] tl que φ n f en [,b]. Luego, φ n f en [,c] y en [c,b]. Así, Por lo tnto, c c f(t)dt = lim φ n (t)dt n f(t)dt = lim φ n (t)dt n y [ c = lim φ n (t)dt + n c c f(t)dt = lim φ n (t)dt. n ] φ n (t)dt c = lim φ n (t)dt + lim φ n (t)dt n n = c f(t)dt + c c f(t)dt. c (Not 28) 8 Teorems Fundmentles del Cálculo Teorem 36 Si f G[,b] y g(t) = g()+ t sobre [, b] (y, por lo tnto, continu sobre [, b] ). f(s)ds, entonces g es uniformemente continu Prueb Como f G[,b] y [,b] es compcto, entonces por l not 6, prte (3), f([,b]) es cotdo y, sí, f es cotd sobre [,b]. En consecuenci, existe M > 0 tl que f(t) M, pr todo t [,b]. Por lo tnto, pr todo x,y [,b] se sigue que g(y) g(x) = = = y g() + f(t)dt g() y y x y x f(t)dt f(t)dt f(t) dt M y x. x f(t)dt x f(t)dt

22 66 Nelson Vilori y Reinldo Cdens Así, g es un función Lipchitz y, de est mner, g es uniformemente continu sobre [, b]. Teorem 37 (Crcterizción de Hönig)[7] Sen f, g : [, b] IR funciones, ls siguientes proposiciones son equivlentes: () f G[,b] y g(t) = g() + t f(s)ds pr cd t [,b]. (b) Pr cd t [,b] existe g +(t) = f(t+) y, pr cd t (,b], existe g (t) = f(t ). (c) f G[, b] y g es un primitiv de f (es decir, g es continu y, fuer de un conjunto numerble de [,b], existe g (t) = f(t)). Prueb () (b) Se t 0 [,b), vemos que g +(t 0 ) = f(t + 0 ) Nótese que 1 h [g(t 0 + h) g(t 0 )] f(t + 0 ) = 1 h = 1 h = 1 h [ g() + t0 +h t0 +h t0 +h t0 f(s)ds g() ] f(s)ds f(t + 0 ) f(s)ds f(t + 0 ) [f(s) f(t + 0 )]ds. (19) Por otro ldo, como f G[, b], entonces ε > 0 δ > 0 : t 0 < s < t 0 + δ = f(s) f(t + 0 ) < ε. (20) Luego, de (19) y (20), se sigue que g +(t 0 ) = f(t + 0 ). De mner similr se prueb que g (t 0) = f(t 0 ). (b) (c) Clrmente, de l hipótesis (b), se tiene que f G[,b].

23 Integrl de Cuchy y Funciones Reglds 67 Ahor vemos que g es un primitiv de f. Como el conjunto de puntos donde un función regld es discontinu es numerble, entonces A = {t [,b) : f(t+) f(t)} y B = {t (,b] : f(t ) f(t)} son numerbles. En consecuenci, en los puntos de los conjuntos [,b] \ A y [,b] \ B f es continu; es decir, f(x) = f(x+) = f(x ) = g + (x) = g (x) = g (x) pr cd x [,b] \ A y pr cd x [,b] \ B. Así, fuer de un conjunto numerble de [,b], existe g y g (t) = f(t). L continuidd de l función g se sigue del teorem 36. (c) () Como f G[,b], entonces existe (φ n ) E[,b] tl que φ n Definimos, ϕ n (t) = g() + Como φ n f en [,b], entonces t φ n (t)dt. f en [,b]. ϕ n ψ(t) = g() + t f(t)dt en [, b]. Por l hipótesis (c), g es continu y, por () (b) (c), ψ es continu, con g() = ψ(). Nuevmente, como () (b) (c), ψ es un primitiv de f y, sí, existe ψ con ψ (t) = f(t) = g (t), fuer de un conjunto numerble de [,b]. En consecuenci, ψ = g. Por lo tnto, () es cierto. Corolrio 38 (Primer Teorem Fundmentl del Cálculo) Sen f G[,b] y g : [,b] IR dd por g(x) = g() + x f(t)dt. Si f es continu en c [, b], entonces g es derivble en c y g (c) = f(c).

24 68 Nelson Vilori y Reinldo Cdens (Si c = o b, entonces g (c) se entiende que represent l derivd por l derech o por l izquierd de F ). Prueb L continuidd de f en c grntiz que f(c+) = f(c ) = f(c) y, sí, por () (b) del teorem 37, se sigue que g (c) = g + (c) = g (c) = f(c). Corolrio 39 (Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo) Se f G[,b] y g : [,b] IR un función tl que g (x) = f(x) pr cd x [,b]. Entonces, f(x)dx = g(b) g(). Prueb Como f G[,b],entonces g es continu en [,b] y g (x) = f(x) pr cd x [,b]. Luego, por el teorem 37, g es un primitiv de f y, sí, g(t) = g() + pr cd t [, b]. En prticulr, g(b) g() = t f(s)ds, f(s)ds. Corolrio 40 Si f : [,b] IR es continu sobre [,b] y f = g pr lgun función g, entonces f(t)dt = g(b) g(). Prueb Bst ver que si f es continu sobre [, b], entonces f G[, b] y, por el corolrio 39, el resultdo es inmedito.

25 Integrl de Cuchy y Funciones Reglds 69 Not 41 (1) Dd l función F(x) = xln x + e x conocemos que F (x) = ln x + e x 1. El corolrio 39 segur que tod derivd F nos d un fórmul pr integrles, sí en nuestro ejemplo (ln x + e x 1)dx = F(b) F() = [bln b e b ] [ln + e ]. (2) Es importnte destcr que el primer teorem fundmentl del cálculo nos dice que tod función f definid sobre [,b] tiene un primitiv sber F(x) = x f(t)dt + f(). 9 Integrción en términos elementles Teorem 42 (Integrción por Prtes) Sen f,g G[,b]. Entonces f(t)g (t)dt = f(b)g(b) f()g() f (t)g(t)dt. (21) Prueb Como (f g) (t) = f (t)g(t) + f(t)g (t). (22) Entonces, por l hipótesis y (22), se sigue que f(t)g (t)dt = Por otro ldo, por el corolrio 40, (f g) (t)dt f (t)g(t)dt. (23) En consecuenci, de (23) y (24), se obtiene (21). (f g) (t)dt = f(b)g(b) f()g(). (24)

26 70 Nelson Vilori y Reinldo Cdens Corolrio 43 (Fórmul usul de Integrción por Prtes) Si f y g son funciones continus sobre [,b], entonces f(t) g(t)dt = f(b)g(b) f()g() f (t)g(t)dt. Prueb Bst recordr que C[,b] G[,b] y plicr el Teorem 42. Teorem 44 (Fórmul de Sustitución) Sen f,g G[,b]. Si f es continu, entonces (f g)(t)g (t)dt = g(b) g() f(u)du. Prueb Se F un primitiv de f, entonces, por el corolrio 40, se tiene que g(b) g() f(u)du = F(g(b)) F(g()). Por otro ldo, como F es un primitiv de f, por l regl de l cden, obtenemos (F g) (t) = (F g)(t)g (t) = (f g)(t)g (t), pr todo t [,b] \ E, E IR numerble. En consecuenci, F g es un primitiv de (f g)g. Por otro ldo, como f C[,b] y g,g G[,b], entonces (f g)g G[,b]. Por lo cul, usndo el corolrio 40, concluimos que (f g)(t)g (t)dt = F(g(b)) F(g()).

27 Integrl de Cuchy y Funciones Reglds 71 Referencis [1] AULBACH, B. nd NEIDHART, L. Integrtion on mesure chins. Proceedings of the Sixth Interntionl Conference on Difference Equtions, , CRC, Boc Rton, FL, [2] BERBERIAN, S. Regulted Functions: Bourbki s Alterntive to the Riemnn Integrl. Americn Mthemticl Monthly, N 86, pgs , [3] CADENAS, R. y VILORIA, N. Integrl de Cuchy: Alterntiv l Integrl de Riemnn. Divulgciones Mtemátics, Vol. 11, No. 1(2003), pp [4] CHAMBADAL, L. nd OVAERT, J. Fonctions d une Vrible Réelle. Dunod Université. Guthier-Villrs, [5] DIEUDONNÉ, J. Fundmentos de Análisis Moderno. Editoril Reverté, S.A. Espñ, [6] HILGER, S. Anlysis on mesure chins - unified pproch to continuous nd discrete clculus-. Results Mth. 18 (1990), no. 1-2, [7] HÖNIG, C. Équtions intégrles générlisées et pplictions. (French) [Generlized integrl equtions nd pplictions ] Hrmonic nlysis: study group on trnsltion-invrint Bnch spces, Exp. No. 5, 50 pp., Publ. Mth. Orsy 83, 1, Univ. Pris XI, Orsy, [8] VILORIA, N. El operdor de Nemytskij en el Espcio de ls Funciones Reglds. Divulgciones Mtemátics, Vol. 12, No. 2(2004), pp NELSON VILORIA Deprtmento de Mtemátics, Fcultd de Ciencis, Universidd de Los Andes Mérid 5101, Venezuel e-mil: nelson@ul.ve REINALDO CADENAS Deprtmento de Medición y Evlución, Fcultd de Humniddes y Educción, Universidd de Los Andes Mérid 5101, Venezuel e-mil: rcden@ul.ve