MATEMÁTICAS IV MATEMÁTICAS IV CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN

Transcripción

1 COLEGIO DE BACHILLERES COORDINACIÓN DE ADMINISTRACIÓN ESCOLAR Y DEL SISTEMA ABIERTO CUADERNO DE ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN DE LA ASIGNATURA MATEMÁTICAS IV

2 MATEMÁTICAS IV Coordindor Generl del Proyecto Álvro Álvrez Brrgán Dirección Técnic Uriel Espinos Robles Coordinción: Luis Antonio López Villnuev Elborción: Jun Pérez Rodríguez Revisión de Contenido: Mrlo Ulises Alvrdo Hernández Pedro Arrzol Clv Joel Díz Gudrrm Ricrdo Grnic Juárez Dniel González Frís José Crlos López Jiménez Miguel Ángel Mrrufo Chn Sergio Muñoz Mrtínez Conrdo Octvino Pcheco Gsc Jvier Tecupetl Díz Asesorí Pedgógic: Blnc Cruz Guerrero Diseño Editoril Ros Mri Cedillo Aguilr Juli Mry Sorino Sáenz Copyright en trámite pr el Colegio de Bchilleres, México. Colegio de Bchilleres, México Rncho Vist Hermos No. 05 Ex-Hciend Cop, 0490, México, D.F. L presente obr fue editd en el procesdor de plbrs Word 97. Word 97, es mrc registrd por Microsoft Corp. Ningun prte de est publicción, incluido el diseño de l cubiert, puede reproducirse, lmcenrse o trnsmitirse en form lgun, ni tmpoco por medio lguno, se este eléctrico, electrónico, químico, mecánico, óptico, de grbción o de fotocopi, sin l previ utorizción escrit por prte del Colegio de Bchilleres, México.

3 ÍNDICE PRESENTACIÓN 4 INTRODUCCIÓN 5 I. OBJETIVOS DE EVALUACIÓN SUMATIVA 6 II. TEMAS FUNDAMENTALES 8 III. RETROALIMENTACIÓN Y VERIFICACIÓN DE APRENDIZAJES 9. COMPENDIO FASCÍCULO 0 RELACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN LINEAL, LUGAR GEOMÉTRICO Y SISTEMAS DE REFERENCIA. COMPENDIO FASCÍCULO 6 CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA. COMPENDIO FASCÍCULO 90 ELIPSE E HIPÉRBOLA IV. HOJA DE COTEJO DE LA EVALUACIÓN V. EVALUACIÓN MUESTRA 5 5. HOJA DE RESPUESTA 5 5. HOJA DE COTEJO DE LA EVALUACIÓN MUESTRA 5 VI. SIMBOLOGÍA 54 VII. GLOSARIO 55 BIBLIOGRAFÍA 56

4 PRESENTACIÓN El presente Cuderno de Actividdes de Consolidción y Retrolimentción h sido elbordo tomndo en cuent los diferentes spectos que crcterizn los estudintes del Sistem de Enseñnz Abiert del Colegio de Bchilleres. El cuderno h sido estructurdo de tl form que fcilite l verificción de los prendizjes obtenidos trvés del estudio de tu compendio fsciculr. Los elementos didácticos que estructurn l cuderno son los siguientes: Objetivos de evlución sumtiv que te inform cerc de lo que se pretende logrr con el estudio del compendio fsciculr. Tems fundmentles donde se mencionn los contenidos que nivel generl se bordn en el Cuderno. Retrolimentción y verificción de prendizjes en el cul encontrrás instrucciones generles y del compendio fsciculr l síntesis de cd tem, ejemplos y evlución contestr. Hoj de cotejo de evlución en l cul identificrás ls respuests corrects de l evlución que respondiste. Evlución muestr donde se te presentn rectivos semejntes los que te vs encontrr en tu evlución finl de l signtur. Bibliogrfí que te poy en l mplición del conocimiento compendio fsciculr. Esperndo te sirv de poyo pr tu prendizje: TE DESEAMOS SUERTE! 4

5 INTRODUCCIÓN El Deprtmento de Evlución de l CAESA como prte de su ctividd y bsdo en l concepción de evlución que se puede sintetizr...como un proceso integrl, sistemático, continuo y flexible, que vlor spectos y elementos... por medio de l plicción de distints técnics, procedimientos e instrumentos que proporcionn informción... que permite tomr decisiones..., h elbordo el siguiente Cuderno de Actividdes de Consolidción y Retrolimentción. El Cuderno tiene el propósito de poyr l estudinte en su proceso de prendizje que desrroll en el Sistem de Enseñnz Abiert, en él se d cuent de l totlidd de objetivos de evlución sumtiv de l signtur l que está dirigid; (cbe señlr que es un documento pr uso del estudinte y del sesor). Asimismo tiene como finlidd poyr el prendizje del estudinte, demás de preprrlo pr l evlución sumtiv, y que resolviendo los ejercicios que se presentn, se refirmrán e identificrán quellos vnces y/o problemátics que se tienen de uno o más contenidos de l signtur. L signtur de Mtemátics IV tiene como intención, plicr el conocimiento mtemático en l profundizción de l geometrí euclidin y l trigonometrí, fcilitndo el vnce en el dominio de ls funciones trigonométrics y dquiriendo hbiliddes en el mnejo de ls propieddes geométrics que le permitn generr en el estudinte un metodologí de estudio propio y útil en el desempeño cdémico generl. Mtemátics IV integr junto con Mtemátics I, II y III l mteri de Mtemátics que su vez tiene relción con Cálculo Diferencil e Integrl I y II, Estdístic Descriptiv e Inferencil I y II, sí como el lbortorio de Informátic I y II. Mtemátics IV recibe servicio de l signtur de Tller de Lectur y Redcción y Métodos de Investigción en el desrrollo de hbiliddes pr el mnejo y comprensión del lenguje, sí como el mnejo de l lógic y el estudio del método científico. A su vez d servicio ls signturs del Áre de Ciencis Nturles (Físic, Químic y Biologí) en el poyo de desrrollo de procedimientos, hbiliddes de nálisis, observciones y bstrcción del conocimiento. Con bse lo nterior, éste Cuderno de Actividdes de Consolidción y Retrolimentción poyrá: Al sesor. Pr empler ls propuests del Cuderno como un poyo más pr el proceso formtivo de los estudintes, conjuntmente con los compendios fsciculres y mteriles que hy desrrolldo como prte de su práctic eductiv. ESPERAMOS LE SEA DE UTILIDAD! Al estudinte. Pr utilizrlo como un poyo en su estudio independiente, procesos formtivo y su evlución sumtiv. ÉXITO! COLEGIO DE BACHILLERES, L Evlución del Aprendizje en el SEA. Documento Normtivo CAESA, 988, Pág.. 5

6 I. OBJETIVOS DE EVALUACIÓN SUMATIVA COMPENDIO FASCÍCULO. Mnejrá el sistem de referenci rectngulr (x,y) en l ubicción de pres ordendos.. Determinrá l distnci entre dos puntos, coordends del punto medio y coordends del punto que divide un segmento en un rzón dd prtir del mnejo lgebrico y geométrico de ls coordends rectngulres.. Mnejrá el sistem de referenci polr (r,θ) en l trnsformción de coordends rectngulres polres y vicevers..4 Encontrrá l ecución del lugr geométrico determindo por cierts condiciones dds en el sistem de referenci rectngulr..5 Obtendrá l pendiente y el ángulo de inclinción de l rect determind por dos puntos..6 Representrá l función linel en su form simplificd prtir de su gráfic, su pendiente y su ordend l origen..7 Representrá lgebricmente ls distints forms de l ecución de l rect, tles como punto-pendiente, simétric (intersección con los ejes) y generl..8 Aplicrá el concepto de prlelismo y perpendiculridd en l relción existente entre ls pendientes de dos rects y sus ecuciones..9 Representrá l función linel en el sistem de coordends polres, tnto el modelo como su gráfic..0 Resolverá diversos ejercicios y problems por medio del modelo de l desiguldd de primer grdo con un incógnit, su solución lgebric y su representción gráfic.. Interpretrá l representción gráfic de un desiguldd linel como función linel.. Resolverá diversos ejercicios y problems por medio del modelo de un sistem de desigulddes lineles con dos vribles, su solución lgebric y su representción gráfic.. Resolverá diversos ejercicios y problems, plicndo l metodologí de l progrmción linel. 6

7 COMPENDIO FASCÍCULO. Obtendrá l generción de ls cónics prtir de un plno de corte y un superficie cónic de revolución.. Identificrá y determinrá ls crcterístics más notbles, sus puntos principles y prámetros de ls cónics, prtir de su construcción gráfic.. Determinrá l ecución ordinri y generl de l circunferenci con centro en el origen y fuer de él, sí como sus puntos y rects notbles de dich curv..4 Obtendrá l ecución y los elementos correspondientes de l circunferenci en ls distints plicciones de ést curv..5 Determinrá l ecución ordinri y generl de l prábol con centro en el origen y fuer de él, sí como sus puntos y rects notbles de dich curv..6 Obtendrá l ecución y los elementos correspondientes de l prábol en ls distints plicciones de ést curv. COMPENDIO FASCÍCULO. Determinrá l ecución ordinri y generl de l elipse con centro en el origen y fuer de él, sí como sus puntos y rects notbles de dich curv.. Obtendrá l ecución y los elementos correspondientes de l elipse en ls distints plicciones de ést curv.. Determinrá l ecución ordinri y generl de l hipérbol con centro en el origen y fuer de él, sí como sus puntos y rects notbles de dich curv..4 Obtendrá l ecución y los elementos correspondientes de l hipérbol en ls distints plicciones de ést curv. 7

8 II. TEMAS FUNDAMENTALES COMPENDIO FASCÍCULO I. EL LUGAR GEOMÉTRICO EN DIFERENTES SISTEMAS DE REFERENCIA. II. III. FUNCIÓN LINEAL: COMO LUGAR GEOMÉTRICO EN DIFERENTES SISTEMAS DE REFERENCIA. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES LINEALES. COMPENDIO FASCÍCULO IV. EXPLORANDO LAS CÓNICAS. V. MODELO ANALÍTICO Y APLICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA. VI. MODELO ANALÍTICO Y APLICACIÓN DE LA PARÁBOLA. COMPENDIO FASCÍCULO VII. VIII. MODELO ANALÍTICO Y APLICACIÓN DE LA ELIPSE. MODELO ANALÍTICO Y APLICACIÓN DE LA HIPÉRBOLA. 8

9 III. RETROALIMENTACIÓN Y VERIFICACIÓN DE APRENDIZAJES A continución se present el nombre de cd tem con sus crcterístics generles y uno o más ejemplos dependiendo de su mplitud. Dentro de cd ejemplo se especificn los psos, propieddes y leyes que se plicn en el desrrollo pr llegr l solución correct. Es importnte estblecer que l geometrí nlític corresponde un curso de inicición pr el estudinte de bchillerto, donde se combin el álgebr y l geometrí, por lo tnto, los ejemplos de los contenidos se bordn estbleciendo mutus relciones entre el método gráfico y el lgebrico. Fundmentlmente se trtrá con dos tipos de problems de l geometrí nlític:. A prtir de un ecución, interpretrl geométricmente y obtener su puntos notbles.. A prtir de un figur geométric o l condición que deben cumplir sus puntos notbles, obtener el modelo de l ecución. Posteriormente, en el prtdo de evlución se present un serie de ejercicios correspondientes los tems especificdos; es importnte señlr que pr resolver dichos ejercicios, debiste hber dquirido los conocimientos, hbiliddes y ctitudes necesrios de los contenidos temáticos de tu compendio fsciculr; si no fue sí te pedimos que consultes dicho compendio y tu sesor de contenido. En este mismo prtdo podrás verificr tus respuests y resultdos que te proporcionmos en l hoj de cotejo. Por último, debes contestr l evlución muestr eligiendo l respuest correct de cd rectivo, dich evlución es semejnte l evlución globl de l signtur. Al finl podrás verificr tus resultdos en l hoj de respuests. Ls fórmuls que se plicn lo lrgo del contenido, únicmente se mencionn y se plicn, y que sus deducciones ls puedes consultr en tu compendio fsciculr. 9

10 .. COMPENDIO FASCÍCULO RELACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN LINEAL, LUGAR GEOMÉTRICO Y SISTEMAS DE REFERENCIA En el compendio fscículo, prendiste interpretr el lugr geométrico de puntos y rects en el sistem de referenci rectngulr y polr; tmbién nlizste l relción existente entre l representción gráfic y el modelo lgebrico de ls igulddes y desigulddes lineles. LUGAR GEOMÉTRICO. Es l representción gráfic de uno o un conjunto de puntos que stisfcen un propiedd común y pueden ser ubicdos en un sistem de referenci tnto rectngulr como polr. UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL SISTEMA DE REFERENCIA DE COORDENADAS RECTANGULARES. El sistem de referenci rectngulr es el plno crtesino donde se ubicn los puntos P(x,y) llmdos pres ordendos conformdos por dos coordends (bscis x y ordend y ). L posición del punto P se define especificndo ls distncis ortogonles de sus coordends hci los ejes del plno. EJEMPLO * Ubicr ls coordends de los siguientes puntos en el plno rectngulr e indicr el cudrnte donde qued ubicdo cd uno de ellos. 9 A (, ), B (, ), C ( 0, 4), D (0,0), E,, F,, G (, ) y H (, ) - Se gráfic cd punto P(x,y) en el plno rectngulr, ubicndo primero l bscis y después l ordend, posteriormente se unen ls coordends siguiendo un dirección prlel cd uno de los ejes. Y X A E F B 0 D X De l representción de los puntos en el plno, se estblece que el punto B y E se encuentrn en el ο Cudrnte, el F en el ο Cudrnte, el A y G en el ο Cudrnte, el H en el 4ο Cudrnte, el D G C H en el Origen del Plno y el C en l prte negtiv del Eje YY '. Y 0

11 * Resolver los siguientes ejercicios por medio del nálisis de l loclizción de puntos en el sistem rectngulr. A) Cuál coordend es nul de un punto culquier ubicdo en el eje YY '? B) Cuáles son ls coordends de un punto, cuy ordend es y su bscis es 4 uniddes menor que su ordend? Solución. A) Un punto culquier ubicdo en el eje YY ', está conformdo por ls coordends P(0,y), donde su bscis x es nul. B) Si l ordend del punto P(x,y) es y = y su bscis es 4 uniddes menor que su ordend, es decir x = 4 = 6; entonces ls coordends del punto son P( 6, ). REPRESENTACIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA EN EL SISTEMA RECTANGULAR. Un segmento es un prte de rect comprendid por lo puntos P (x,y ) y P (x,y ), l cul se le obtienen sus proyecciones, su longitud (distnci entre los dos puntos que lo comprenden), ls coordends del punto que lo divide en un rzón dd y ls coordends de su punto medio. Proyecciones de un Segmento de Rect. Un segmento tiene un proyección horizontl y un verticl que se obtienen con ls fórmuls P ' ' P x x = y P P = y y. EJEMPLO '' '' * Determin ls proyecciones horizontl y verticl del segmento P P comprendido por los puntos P (,) y P (4, 5). - Se ubicn los puntos P y P en el plno rectngulr y se unen pr obtener el segmento P P. Posteriormente se obtienen sus proyecciones con ls fórmuls correspondientes. Y Proyección horizontl: X P P P P X P ' ' P x x ' ' ' ' = = P P = 4 ( ) P P 7 Proyección verticl: P -5 P P '' '' P y y '' '' ' ' = P P = 5 P P = 7 Y

12 Distnci Entre Dos Puntos. L distnci que existe entre los puntos P (x,y ) y P (x,y ), se obtiene con l fórmul ( x x ) + ( y ) d = que se origin por el teorem de Pitágors. y ) EJEMPLO * Determinr l distnci que existe entre cd uno de los siguientes pres de puntos. A) M (6,5) y M (,9) B) P ( 5, 4) y Q (, ) C) K, y L, 4 D) P ( 5, ) y P ( 4 5,6) Solución. - Se sustituyen ls coordends de cd punto en l fórmul de l distnci y se desrrolln ls operciones correspondientes pr obtener l distnci rel existente entre cd pr de puntos. Inciso A B C D Asignción de puntos P (x,y ) y P (x,y ) Sustitución en l fórmul d = (x x ) + (y y ) y desrrollo de operciones M(6,5) y M (,9 ) d = ( 6) + (9 5) = ( ) + (4) = = 5 d = 5 u P( 5, 4) y (, ) K, y, 4 Q d = [ ( 5) ] + [ ( 4) ] = ( ) + ( ) = 8 = 4() L = + = + ( 0) 9 d = d = u P ( 5, ) y P ( 4 5,6) d = ( 4 5 5) + [ 6 ( ) ] = ( 5) + ( 8) = Distnci d = u d =0.44 u * Resolver los siguientes ejercicios por medio de l distnci entre dos puntos. A) Demostrr que el triángulo cuyos vértices son P (7, 8), P (,0) y P (, 9) es isósceles. B) Obtener el perímetro del cudrilátero cuyos vértices son A(0,), B(,), C(, 4) y D(, ). Solución. A) Pr que el triángulo se isósceles debe tener dos ldos igules y l longitud de cd ldo se obtiene con l distnci que existe entre cd pr de vértices: Ldo P P ; distnci de P (7, 8) P (,0) d = ( 7) + [0 ( 8)] = 8 P P 8 u =. Ldo P P ; distnci de P (7, 8) P (, 9) d = ( 7) + [ 9 ( 8)] = 8 P P 8 u =. Ldo P P ; distnci de P (,0) P (, 9) d = [ ( )] + ( 9 0) = 8 P P 8 u =. Como ls longitudes de los ldos P P y P P son igules, entonces se demuestr que el triángulo es isósceles.

13 B) El perímetro de un cudrilátero es l sum de ls longitudes de sus ldos y l longitud de cd ldo se obtiene con l distnci existente entre cd pr de vértices consecutivos: Ldo AB ; distnci de A(0,) B(,) d = ( 0) + ( ) = AB = u. Ldo BC ; distnci de B(,) C(, 4) d = ( ) + ( 4 ) = 7 BC = 7 u. Ldo CD ; distnci de C(, 4) D(, ) d = ( ) + [ ( 4)] = 5 CD = 5 u. Ldo DA ; distnci de D(, ) A(0,) d = [0 ( )] + [ ( )] = 5 DA = 5 u. - Se obtiene el perímetro del cudrilátero sumndo ls longitudes de los 4 ldos: P = AB + BC + CD + DA P = u + 7 u + 5 u + 5 u P cudrilátero = 8 u. División de un Segmento de Rect en un Rzón Dd. Un segmento P P lo divide un punto P(x,y) en dos prtes, por medio de un rzón de división r = P P : PP. Si r > 0, el punto de división qued comprendido en el segmento; si r < 0, el punto de división es exterior l segmento. El punto P(x,y) que divide l segmento en un rzón dd, se obtiene con ls siguientes fórmuls. r r = = x x x y x y y y x y = = x y + rx + r + ry + r P(x,y) con r EJEMPLO * Si un segmento está comprendido por los puntos P (,0) y P (8,5); entonces encontrr ls coordends de los puntos que dividen l segmento en ls rzones: r = /, r = / y r = /. - Se obtienen ls coordends de los puntos que dividen l segmento en cd un de ls rzones estblecids, medinte l sustitución de ls coordends en ls fórmuls correspondientes. Pr r = / r r = = x x x y x y y y + ( / )(8) x = = + ( / ) 0 + ( / )(5) y = = + ( / ) A(,) Como r = /, entonces el punto A(,) divide l segmento originl en dos segmentos, donde uno de ellos es dos tercers prtes de l longitud del otro.

14 Pr r = / + ( / )(8) x = = 4 + ( / ) 0 + ( / )(5) y = = + ( / ) B(4,) Como r = /, entonces el punto B(4,) divide l segmento originl en dos segmentos, donde uno de ellos es tres medios myor de l longitud del otro. Pr r = / + ( / )(8) x = = + ( / ) 0 + ( / )(5) y = = 0 + ( / ) C(, 0) Como r = / y menor que cero, entonces el punto C(, 0) que divide l segmento originl en dos segmentos, qued ubicdo fuer de dicho segmento originl. Los puntos A, B y C se representn gráficmente en el siguiente plno. Y 5 P X X P A B C -0 Y Punto Medio de un Segmento de Rect. El punto medio de un segmento es un cso prticulr de l división del segmento en un rzón dd y se present cundo l rzón r = / que indic l división en dos prtes igules. Ls coordends del punto medio se obtienen con ls siguientes fórmuls. x + ( ) x x = + y + ( ) y y = + x + x x m = y + y y m = P m (x m,y m ) 4

15 EJEMPLO * Determinr ls coordends del punto medio que existe entre cd uno de los siguientes pres de puntos. A) M (,7 ) y N (,5) B) K (, 4) y L ( 5, ) D) P, 4 5 y P,6 ; Solución. - Se sustituyen ls coordends de cd punto en ls fórmuls del punto medio y se desrrolln ls operciones correspondientes pr obtener el punto medio existente entre cd pr de puntos. Inciso A B D Sustitución en l fórmul y desrrollo de operciones Asignción de puntos Punto Medio P x + x y + y (x,y ) y P (x,y ) y m = ; y m = P m (x m,y m ) M(,7) y N (,5 ) x m = = = ; y m = = 6 P m ) (,6 K(, 4) y L ( 5, ) + ( 5) ( ) 5 5 x m = = = 4 ; y m = P m 4, P, y 4 5 P, x = 4 = 4 6 m = ; y 5 = 5 P m, m = * Si uno de los extremos de un segmento es el punto ( 4,) y su punto medio es (, ); entonces, obtener ls coordends del otro extremo del segmento. - Del enuncido se estblece que P (x,y ) es P ( 4,) y P m (x m,y m ) es P m (, ). - Se sustituyen ls coordends de P y P m en ls fórmuls del punto medio y se despej l coordend correspondiente pr obtener ls coordends del otro extremo del segmento. x + x x 4 + x m = = x = () + 4 = 6 y + y y m = + y = y = ( ) = 8 De los vlores obtenidos, se estblece que el otro extremo del segmento es el punto P (6, 8). * Resolver el siguiente problem por medio de ls crcterístics de un segmento de rect. Un móvil se desplz con movimiento uniformemente rectilíneo medido en Km. Si l posición inicil del recorrido es en el punto P(,) y su posición finl en Q(,); entonces obtener: A) L distnci recorrid por el movil. B) Ls coordends del punto cundo h relizdo l mitd de su recorrido. C) Ls coordends del punto cundo h recorrido los primeros 5 Km de distnci. 5

16 Solución. A) L distnci recorrid por el móvil, se obtiene sustituyendo ls coordends del punto inicil y finl en l fórmul de distnci entre dos puntos y relizndo ls operciones correspondientes. Posición inicil P (x,y ) = P(,) Posición finl P (x,y ) = Q(,) d ( x x ) + ( y ) = ( ) + ( ) 5 = y = Del resultdo obtenido, se estblece que l distnci recorrid por el movil es de 5 Km. B) L ubicción del movil l mitd de su recorrido, se obtiene sustituyendo ls coordends del punto inicil y finl en l fórmuls del punto medio y relizndo ls operciones correspondientes. Posición inicil P (x,y ) = P(,) Posición finl P (x,y ) = Q(,) x m y m = = x y + x + y + = = 7 + = = P m 7, Del resultdo obtenido se estblece que ls coordends del punto donde el móvil h relizdo l mitd de su recorrido, es P 7,. C) Si l distnci totl recorrid por el móvil es de 5 Km, entonces el punto cundo h recorrido 5 Km es un punto que divide l segmento en un rzón dd, 5 r = =. 0 - Se sustituye el vlor de l rzón y ls coordends de los puntos inicil y finl en l fórmul de división de un segmento en un rzón dd y se relizn ls operciones correspondientes. Posición inicil P (x,y ) = P(,) Posición finl P (x,y ) = Q(,) Rzón r = ½ x = y = x y + rx + r + ry + r + (/ )() = = 5 + (/ ) + (/ )() = = 5 + (/ ) P m ( 5,5 ) Del resultdo obtenido se estblece que ls coordends del punto donde el móvil h recorrido los primeros 5 Km, es P(5,5). SISTEMA DE REFERENCIA DE COORDENADAS POLARES. Es un plno formdo por un eje polr (rect horizontl fij) y un origen fijo llmdo polo, en el plno se gener un rotción de ejes que formn ángulos vectoriles con respecto l eje polr. EJEMPLO * Construir el sistem de referenci polr, especificndo sus crcterístics. 6

17 - Se ubic el polo y se trz el eje polr prtir de éste con un dirección dirigid hci l izquierd. Considerndo como inicio el eje polr, se trz un rotción de ejes y un conjunto de circunferencis con centro en el polo. Ejes Rottorios 0 Eje polr Cd circunferenci es l mgnitud de un distnci dirigid hci el polo llmd rdio vector r formndo un ángulo vectoril θ con respecto l eje polr. Polo Ubicción de Puntos en el Sistem de Referenci Polr. Un punto polr P(r,θ) tiene por coordends un rdio vector r (medido en uniddes lineles) que es l dirección dirigid hci el polo y un ángulo vectoril θ (medido tnto en grdos como en rdines) que es l inclinción del rdio vector con respecto l eje polr. L dirección de θ es positiv cundo su giro es en sentido contrrio ls mnecills del reloj y negtiv cundo su giro es en el sentido de dichs mnecills. EJEMPLO * Ubicr ls coordends de los siguientes puntos en el plno polr. 7 A (,45 ), B( 4.5, π rd ), C 7, πrd y D, Se representn los puntos en el plno polr, ubicndo primero el ángulo vectoril y después l mgnitud del rdio vector A 80 B C 0 D

18 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES Y VICEVERSA. Trnsformción de Coordends Rectngulres Polres. P(x,y) P(r,θ) y Un punto rectngulr se trnsform polr, plicndo ls expresiones r = x + y y θ = tn. x Pr obtener el ángulo vectoril θ, se plicn ls siguientes condiciones dependiendo de l posición del punto rectngulr en el plno. PUNTOS RECTANGULARES ο Cudrnte P(x,y) ο Cudrnte P( x,y) ο Cudrnte P( x, y) 4ο Cudrnte P(x, y) PUNTOS POLARES 0 <θ<90 90 <θ<80 80 <θ<70 70 <θ<60 El ángulo vectoril se obtiene directmente de l expresión. θ P(r,θ) P(r,θ) θ P(r,θ) El ángulo vectoril se obtiene sumándole 80 l ángulo de l expresión. θ θ P(r,θ) El ángulo vectoril se obtiene sumándole 60 l ángulo de l expresión. EJEMPLO * Representr el punto rectngulr P(4,) en coordends polres. - Se sustituyen ls coordends x y y en ls fórmuls correspondientes de trnsformción y se represent el punto polr P(r,θ). r θ = x + y = tn y x = = tn (4) + () = 5 = 5 = = 6 5'" 4 P(5,6 5 ) * Determinr ls coordends polres del punto rectngulr P(,). - Se sustituyen ls coordends x y y en ls fórmuls correspondientes de trnsformción. y r = x + y = ( ) + () = 8 = =.8 ; θ = tn = tn = 45 x Como el punto P(,) se ubic en el ο cudrnte, entonces l vlor de θ se le sumn 80. θ = = 5 = π rd. 4 De los resultdos obtenidos, se estblece que el punto polr se puede representr de ls siguientes forms: P(.8,5 ) ; P (,5 ) ; P, π rd ó P.8, π rd

19 * Determinr ls coordends polres del punto rectngulr P( 8, 6). - Se sustituyen ls coordends x y y en ls fórmuls correspondientes de trnsformción. r = x + y = ( 8) + ( 6) = 00 = 0 θ = tn y x = tn 6 = = 6 5'" 8 Como el punto P( 8, 6) se ubic en el ο cudrnte, entonces l vlor de θ se le sumn 80. θ = = 6 5. De los resultdos obtenidos, se estblece que el punto polr, es: P(0,6 5 ). * Determinr ls coordends polres del punto rectngulr P(, ). - Se sustituyen ls coordends x y y en ls fórmuls correspondientes de trnsformción. r = x + y = () + ( ) = 8 = = 4.4 θ = tn y x = tn = 45 Como el punto P(, ) se ubic en el 4ο cudrnte, entonces l vlor de θ se le sumn 60. θ = = 5 = 7 π rd. 4 De los resultdos obtenidos, se estblece que el punto polr se puede representr de ls 7 7 siguientes forms: P(4.4,5 ) ; P (,5 ) ; P, π rd ó P 4.4, π rd 4 4 Trnsformción de Coordends Polres Rectngulres. P(r,θ) P(x,y) Un punto polr se trnsform rectngulr, plicndo ls expresiones, x = r cos θ y y = r sen θ que se obtienen por el concepto de ls funciones trigonométrics. EJEMPLO * Representr el punto polr P(4,60 ) en coordends rectngulres. - Se sustituyen ls coordends r y θ en ls fórmuls correspondientes de trnsformción y se represent el punto rectngulr P(x,y). x = r cos θ = 4 cos 60 = 4 (0.5) = y = r sen θ = 4 sen 60 = 4 (0.866) =.46 P(,.46) 9

20 * Hllr ls coordends rectngulres del punto polr P ( 5,5 ). - Se sustituyen ls coordends r y θ en ls fórmuls correspondientes de trnsformción y se represent el punto rectngulr P(x,y). x = r cos θ = 5 cos 5 = 5 y = r sen θ = 5 sen 5 = 5 P( 5, 5) LUGAR GEOMÉTRICO DE UN CONJUNTO DE PUNTOS RECTANGULARES. Un conjunto de puntos stisfcen un propiedd común expresd por medio de un ecución que represent un curv definid en el plno. Lugr Geométrico de l Rect. L unión de dos puntos formn el lugr geométrico de un rect. Entre los lugres geométricos de l rect se encuentr l meditriz de un segmento (lugr geométrico de un conjunto de puntos equidistntes los extremos de un segmento) y l bisectriz de un ángulo (lugr geométrico de un conjunto de puntos que dividen l ángulo formdo por dos rects en dos ángulos igules). EJEMPLO * Determinr l ecución y = mx + b que stisfce l lugr geométrico del conjunto de puntos P(x,y) que equidistn de los puntos P (,) y P (, ). - Se represent el lugr geométrico en el plno rectngulr. Y y = mx + b P d P(x,y) X X 0 d P Y Como el conjunto de puntos P(x,y) son equidistntes l punto P y P, entonces están l mism distnci tnto de P como de P, por lo tnto ls distncis son igules, es decir: d = d. d = d ( x x ) + ( y y ) = ( x x ) + ( y ) y 0

21 - Se susutituyen ls coordends de los puntos P y P en l iguldd de distncis, se elevn l cudrdo ls ríces, se desrrolln los binomios, se trsponen y se simplificn términos pr obtener l ecución y = mx + b que stisfce l conjunto de puntos equidistntes l segmento P P. [ ( ) ] + ( y ) = ( x ) + [ y ( )] x y = x + L ecución que se obtuvo, corresponde l lugr geométrico de l meditriz, tl como se muestr en el siguiente plno. Y y = x + P d P(x,y) X X 0 d P Y * Determinr l ecución y = mx + b que stisfce l lugr geométrico del conjunto de puntos P(x,y) que equidistn de ls rects y = x y y = x +. - Se represent el lugr geométrico en el plno rectngulr, grficndo ls rects y y y. Y y P(x,y) d d d P(x,y) d y y = x y = x + x y x y X Y X En l gráfic se observ que l interceptrse dos rects, ésts formn dos pres de ángulos opuestos por el vértice, por lo tnto se estblecen dos lugres geométricos que son equidistntes ls dos rects.

22 Como el conjunto de puntos P(x,y) son equidistntes ls rects y y y, entonces están l mism distnci tnto de y como de y, por lo tnto ls distncis son igules, es decir: d = d ; pero como son dos lugres geométricos, entonces l iguldd es d = ± d. L distnci de un punto un rect se obtiene con l fórmul Ax + By + C d =. A + B Al igulr ls distncis, se obtiene l expresión: d = ± d Ax + By A + B + C Ax = ± + By A + B + C Pr sustituir ls rects y y y en l iguldd de distncis, ésts se trnsformn su form Ax + By + C = 0 trsponiendo términos en cd un de ells. y = x x y = 0 ; y = x + x y + 4 = 0 - Se sustituyen ls ecuciones nteriores en l iguldd de distncis, se reliz l trsposición de términos y se simplificn éstos pr obtener ls ecuciones y = mx + b que stisfcen l conjunto de puntos que son equidistntes ls rects y y y. x y + = ± x y ( ) x y + x y + = + = x y ( ) + ( ) x y + 4 y = x + 5 y = x + Ls ecuciones nteriores corresponden l lugr geométrico de ls bisectrices, tl como se muestr en el siguiente plno. y = x + 5 Y y y = x + d P(x,y) P(x,y) d d y d X X Y

23 Lugr Geométrico de l Circunferenci. L circunferenci es el lugr geométrico del conjunto de puntos equidistntes un punto fijo llmdo centro. EJEMPLO * Hllr l ecución que stisfce l lugr geométrico del conjunto de puntos P(x,y) que se mueven de tl form que sus distncis l origen del plno es siempre 5 uniddes. - Se represent el lugr geométrico en el plno rectngulr. Y P(x,y) d = 5 x X X 0 y Con ls condiciones del lugr geométrico se form un triángulo rectángulo, l cul se le plic el teorem de Pitágors pr obtener l expresión x + y = d. - Se sustituye el vlor de l distnci en l expresión del teorem y se obtiene l ecución del lugr geométrico. x + y = (5) x + y = 5 Y * Hllr l ecución que stisfce l lugr geométrico de todos los puntos P(x,y) cuy distnci l punto P(, ) es siempre uniddes. - Se represent el lugr geométrico en el plno rectngulr, hciendo énfsis de ls trslciones que reliz el punto P(, ) con referenci l origen de dicho plno. Y x X X 0 k h x - y d = y P(x,y) Y Con ls condiciones del lugr geométrico se form un triángulo rectángulo, que l plicrle el teorem de Pitágors, se obtienen ls siguientes expresiones. x + y = d (x h) + (y k) = d - Se sustituye el vlor de l distnci y ls coordends h y k del punto P en l expresión del teorem y se obtiene l ecución del lugr geométrico. (x ) + [y ( )] = () (x ) + (y + ) = 9

24 Lugr Geométrico de l Prábol. L prábol es el lugr geométrico del conjunto de puntos que equidistn de un punto fijo llmdo foco un rect fij llmd directriz. EJEMPLO * Hllr l ecución del lugr geométrico de l tryectori de un punto P(x,y) que se mueve de tl form que equidist siempre del punto fijo Q(,0) y de un rect prlel uniddes l izquierd del eje Y. - Por el concepto de prábol, se tiene que el foco es el punto fijo Q y l directriz es l rect prlel l eje Y x = - Se represent el lugr geométrico en el plno rectngulr, prtir de los dtos nteriores. D(,y) Y P(x,y) Como P es equidistnte tnto Q como x =, entonces se estblece l iguldd PQ = PD. Se obtiene l longitud de los segmentos PQ y PD por el concepto de distnci entre dos puntos. X X 0 Q(,0) Rect Prlel x = Y PQ = ( x ) + ( y 0) PD = [ x ( ) ] + ( y y ) Se iguln ls distncis, se elevn l cudrdo ls ríces, se desrrolln los binomios y se simplificn términos pr obtener l ecución del lugr geométrico. ( x ) + y = ( x + ) y = 8x Lugr Geométrico de l Elipse. L elipse es el lugr geométrico del conjunto de puntos, tles que l sum de ls distncis de cd uno de ellos dos puntos fijos llmdos focos es constnte. EJEMPLO * Obtener l ecución del lugr geométrico de un punto P(x,y) que se mueve de tl form que l sum de sus distncis los dos puntos fijos Q(,0) y R(,0) es siempre igul 6 uniddes. - Por el concepto de elipse, se estblece que los focos de l curv son los puntos Q y R. - Se represent el lugr geométrico en el plno rectngulr, prtir de los dtos nteriores. 4

25 Y P(x,y) X X R 0 Q Por el concepto de elipse se estblece l iguldd, PR + PQ =. Se obtiene l longitud de los segmentos PR y PQ por el concepto de distnci entre dos puntos. [ x ( ) ] + ( 0) PR = y PQ = ( x ) + ( y 0) Y Se estblece l sum de ls distncis y se despej un de ells. ( x + ) + y + ( x ) + y = 6 ( x + ) + y = 6 ( x ) + y - Se elevn l cudrdo mbos miembros de l iguldd, se desrrolln los binomios, se trsponen y se simplificn los términos pr obtener l ecución del lugr geométrico. 5x + 9y = 45 Lugr Geométrico de l Hipérbol. L hipérbol es el lugr geométrico del conjunto de puntos, tles que l diferenci de ls distncis de cd uno de ellos dos puntos fijos llmdos focos es constnte. EJEMPLO * Obtener l ecución del lugr geométrico de un punto P(x,y) que se mueve de tl form que l diferenci de sus distncis los dos puntos fijos A(,0) y B(,0) es siempre igul 4 uniddes. - Por el concepto de hipérbol, se estblece que los focos de l curv son los puntos A y B. - Se represent el lugr geométrico en el plno rectngulr, prtir de los dtos nteriores. Y P(x,y) X X B 0 A Por el concepto de hipérbol se estblece l iguldd, PB PA =. Se obtiene l longitud de los segmentos PB y PA por el concepto de distnci entre dos puntos. [ x ( ) ] + ( 0) PB = y PA = ( x ) + ( y 0) Y 5

26 - Se estblece l diferenci de ls distncis y se despej un de ells. ( x + ) + y ( x ) + y = 4 ( x + ) + y = 4 + ( x ) + y - Se elevn l cudrdo mbos miembros de l iguldd, se desrrolln los binomios, se trsponen y se simplificn los términos pr obtener l ecución del lugr geométrico. 5x 4y = 0 ESTUDIO DE LA RECTA. L rect es el lugr geométrico descrito por un ecución que puede estr en su form crtesin (simplificd, simétric y generl), norml o polr. PENDIENTE DE LA RECTA. L pendiente m es l inclinción de l rect con respecto l eje X positivo. y y Si un rect ps por los puntos P (x,y ) y P (x,y ), entonces su pendiente es m =. x x Si m > 0 l rect se inclin hci l derech del eje; si m = 0, l rect es prlel l eje y si m < 0, l rect se inclin hci l izquierd de dicho eje. EJEMPLO * Determinr l pendiente de ls rects que psn por los siguientes pres de puntos. A) P (,) y Q (7,) B) P ( 5, ) y P (6,0) C) 5 Q, y Q 0, 4 4 Solución. - Se sustituyen ls coordends de cd punto en l fórmul de l pendiente y se desrrolln ls operciones correspondientes pr obtener l pendiente de cd rect. Inciso A B C Sustitución en l fórmul y desrrollo de operciones Asignción de puntos P (x,y ) y P (x,y ) y y Pendiente m = x x P (,) y Q (7, ) m = = = m = ( ) P ( 5, ) y P (6,0) m = = = m = 6 ( 5) 5 Q, y Q 0, 4 4 m = ( ) 4 = = 5 m = 5 6

27 * Resolver el siguiente problem, plicndo el concepto de pendiente de un rect. ½ lt de pintur tiene un costo de $.75; si se comprn 4 lts, su costo es de $74.00 y si se requiere de un bote de 0 lts, su costo será $ De cuerdo con esto; Cuál es l rzón entre el umento de l cntidd de litros de pintur y el umento en su costo? Solución. - Del enuncido se estblece que l vrible independiente x es l cntidd de litros y l vrible dependiente y es el costo de los litros. - L rzón entre el umento de los litros y su costo, se obtiene con l expresión de l pendiente, y que ést relcion el umento entre mbs vribles m = = m = Este vlor indic el cmbio de costo por cd litro de umento de pintur. Ángulo de Inclinción de l Rect. L inclinción de l rect es el ángulo θ que form con el eje X positivo y se obtiene con l expresión tn θ = m, donde θ = tn (m) con 0 θ < 80. L dirección positiv de θ es en dirección contrri ls mnecills del reloj medid prtir del eje X. EJEMPLO * Hllr l pendiente y el ángulo de inclinción de ls siguientes rects: A) Rect que ps por los puntos P (,0) y P (, ). B) Rect que ps por los puntos A(,4) y B(, 8). Solución. A) Se sustituyen ls coordends de los puntos P y P en l expresión de m y se desrrolln ls operciones pr obtener el vlor de l pendiente; posteriormente se sustituye el vlor de m en l expresión de θ y se plic l tngente invers pr obtener el ángulo de inclinción. m = y x y x 0 m = m = ; θ = tn ( m) θ = tn θ = 60 B) Se sustituyen ls coordends de los puntos A y B en l expresión de m y se desrrolln ls operciones pr obtener el vlor de l pendiente; posteriormente se sustituye el vlor de m en l expresión de θ y se plic l tngente invers pr obtener el ángulo de inclinción. y y m = x x 8 4 m = m = ; tn θ = ( m) θ = tn ( ) θ = ( ) Cundo m < 0, θ se le sumn 80, y que l rect se inclin hci l izquierd y su ángulo de inclinción es myor de 90 ; es decir: θ = θ = ó θ =

28 * Obtener l pendiente y el ángulo de inclinción de l rect que ps por el origen del plno y bisec éste en su ο Cudrnte. - Como l rect bisec en el ο cudrnte, entonces su ángulo de inclinción es θ = L pendiente de l rect se obtiene con l expresión tn θ = m, donde tn 45 = m m = ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA PUNTO PENDIENTE. Es l expresión y y = m (x x ) que está representd por un punto P(x,y ) donde ps l rect y por su pendiente m de ést. EJEMPLO * Estblece l ecución en su form punto pendiente de l rect que ps por el punto P(, 8) y su pendiente es m =. - Se sustituyen ls coordends del punto y el vlor de l pendiente en l expresión correspondiente pr obtener l ecución punto pendiente. y y = m (x x ) y ( 8) = (x ) y + 8 = (x ) * Hllr l ecución en su form punto pendiente de l rect que prece en el siguiente plno. 7 Y Q(,7) - Se sustituyen ls coordends de los puntos P y Q en l expresión de m y se determin l pendiente de l rect. m = y x y x 7 ( ) = = ( ) 9 = X - 0 X - Se sustituyen ls coordends de uno de los puntos y el vlor de l pendiente en l expresión punto pendiente pr obtener l form de l ecución (culquier punto que se sustituy es vlido pr obtener l ecución, en este cso se sustituye Q. P(-,-) - Y y y = m (x x ) y 7 = (x ) * Obtener l ecución en su form punto pendiente de l rect que ps por los puntos M(,) y N(, ). 8

29 - Se determin l pendiente de l rect con ls coordends de M y N y y m = = = = x x ( ) 6 - Se sustituyen ls coordends de uno de los puntos (en este cso se sustituye M ). y el vlor de l pendiente m en l expresión punto pendiente pr obtener l form de l ecución. y y = m( x x ) y = [ x ( ) ] y = ( x + ) DIFERENTES FORMAS ALGEBRAICAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA. L ecución de l rect se puede representr en su form simplificd, simétric y generl, dichs forms se obtienen prtir de l ecución punto pendiente y de ls crcterístics de cd un de ells. ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA SIMPLIFICADA. Es l función linel representd por el modelo f(x) = mx + b ó y = mx + b, donde m es l pendiente de l rect y b es l ordend l origen en el punto P(0,b). EJEMPLO * Hllr l ecución de l rect en su form simplificd, cuy pendiente es m = y su ordend l origen b = 5. - Se sustituye el vlor de m y b en l ecución de l rect en su form simplificd. y = mx + b y = x + ( 5) y = x 5 * Obtener l ecución de l rect en su form simplificd, cuy pendiente es m = y ps por el punto P(,). - Con l pendiente y el punto por donde ps l rect, se obtiene su ecución en l form punto pendiente. y y = m (x x ) y = (x ) - L form punto pendiente se trnsform su form simplificd relizndo el producto del segundo miembro, trsponiendo el término constnte y simplificndo l expresión. y = (x ) y = x + 6 y = x y = x + 9 9

30 * Estblecer l ecución en su form simplificd de l rect que prece en el siguiente plno. Y 4 Q(0,4) - Se determin l pendiente de l rect con ls coordends de los puntos P y Q. y m = x y x 7 = = 0 ( 4) 4 = X -4 P(-4,) 0 Y X - Se obtiene l ecución de l rect en su form simplificd, sustituyendo el vlor de m y l ordend l origen (ordend del punto Q ). y = mx + b y = x + 4 * Resolver el siguiente problem por medio de l función linel. Un fábric de dulces cristlizdos se sujet en l vent de su producto l siguiente norm: precio por piez l público, igul l triple del costo de l mteri prim utilizd, más $.00 de impuestos. De cuerdo con esto, Cuál es l ecución simplificd que expres el costo de un piez de dulce cristlizdo? Solución. - Del enuncido se deduce que l vrible independiente x es el costo de l mteri prim, l cul se debe multiplicr por tres (triple) y este costo se le debe sumr $.00 (impuesto); todo esto es el costo rel de l piez de dulce que se represent con l vrible dependiente y. Trduciendo lo nterior l lenguje lgebrico, se obtiene l ecución simplificd: y = x + Gráfic de l Función Linel Prtir de su Pendiente y su Ordend l Origen. Con l pendiente m y l ordend l origen b se obtienen el ο y ο punto que l unirse, formn l gráfic de l función linel. El ο punto es l ordend l origen P (0,b) y por el concepto de y y pendiente y m = = se obtiene el ο punto P ( x,b) y el ο punto P ( x,b+ y). x x x EJEMPLO * Obtener ls coordends de ο, ο y ο punto, y l gráfic de l función linel f(x) = x +. - Se obtienen ls coordends de los puntos, prtir de l pendiente de l función linel y su ordend l origen. 0

31 Función f(x) = mx + b f(x) = x + Rzón de l Pendiente Ordend l Origen ο Punto P (0,b) ο Punto P ( x,b) ο Punto P ( x,b+ y) y m = = b = P (0,) P (,) P (,5) x - Se ubicn en el plno los puntos y se une el ο con el ο pr obtener l gráfic de l función. Y f(x) 5 P P P X 0 X Y * Obtener ls coordends de ο, ο y ο punto, y l gráfic de l función linel f ( x ) = x. - Se obtienen ls coordends de los puntos, prtir de l pendiente de l función linel y su ordend l origen. Función f(x) = mx + b f ( x ) = x Rzón de l Pendiente Ordend l Origen ο Punto P (0,b) ο Punto P ( x,b) ο Punto P ( x,b+ y) y m = = b = P (0, ) P (, ) P (, ) x - Se ubicn en el plno los puntos y se une el ο con el ο pr obtener l gráfic de l función. Y X f(x) 0 X - P P - P Y

32 ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA SIMÉTRICA. Es l expresión que permite conocer ls intersecciones de l rect con los ejes coordendos; su x y modelo es + =, donde es l bscis l origen P(,0) y b l ordend l origen P(b,0). b EJEMPLO * Hllr l ecución en su form simétric de l rect cuy bscis l origen es = 4 y su ordend l origen es b = 7. - Se sustituyen los vlores de y b en el modelo correspondiente pr obtener l ecución simétric de l rect. x + b y = x 4 + y 7 = * Obtener l ecución en su form simétric de l rect representd en el siguiente plno. Y De l gráfic se observ que l rect intersect con los ejes coordendos en los puntos P(5,0) y P(0, ). X 0 5 X De ls intersecciones se obtiene que l bscis y ordend l origen son = 5 y b =. - Se sustituyen los vlores de y b en el modelo correspondiente pr obtener l ecución simétric de l rect. Y x + b y = x y + = 5 x y = 5 * Representr l ecución en su form simétric de l rect que ps por el punto P(, 4) y su ángulo de inclinción es de Con el ángulo de inclinción se obtiene l pendiente de l rect: tn θ = m tn 45 = m m = - Con l pendiente y el punto de l rect, se obtiene l ecución en su form punto pendiente. y y = m (x x ) y ( 4) = [x ( )] y + 4 = x + - Se trnsform l ecución punto pendiente su form simétric medinte l trsposición de términos y l división de l iguldd entre el término constnte. x + y = 4 x + y = x y + = x y =

33 * Representr l ecución en su form simétric de l rect que ps por los puntos P (, 5) y P (.). - Con los dos puntos de l rect se obtiene su pendiente: y y m = x x ( 5) m = m = - Con l pendiente y el punto P se obtiene l ecución de l rect en su form punto pendiente. y y = m (x x ) y ( 5) = (x ) y + 5 = (x ) - Se trnsform l ecución punto pendiente su form simétric medinte l relizción del producto, l trsposición de términos y l división de l iguldd entre el término constnte. y + 5 = x + x + y = 5 x y + = x y = / ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA GENERAL. Es l expresión Ax + By + C = 0, donde A, B y C son constntes y y se A o B diferentes de cero. EJEMPLO * Hllr l ecución generl de l rect que ps por el punto P(,) y su pendiente es m =. - Con l pendiente y el punto de l rect se obtiene l ecución en su form punto pendiente. y y = m (x x ) y = (x ) - Se trnsform l ecución punto pendiente l form generl, medinte l relizción del producto, l trsposición de términos y multiplicndo l iguldd por ( ). y = x 6 x + y + 6 = 0 [ x + y + 4 = 0] ( ) x y 4 = 0 * Obtener l ecución generl de l rect que está representd en el siguiente plno rectngulr. Y X - 0 P (-,-) - Y 5 P (5,) X Se obtiene l pendiente de l rect con ls coordends de los puntos P y P : y y m = x x ( ) m = 5 ( ) 5 m =. 6 Con l pendiente y el punto P se obtiene l ecución de l rect en su form punto pendiente. 5 y y = m (x x ) y = ( x 5) 6

34 - Se trnsform l ecución punto pendiente su form generl, suprimiendo préntesis, multiplicndo l iguldd por 6, trsponiendo términos y multiplicndo por. 5 5 y = x (6) 6y 8 = 5x 5 ( 5x + 6y 8 + 5) ( ) 5x 6y 7 = * Los vértices de un triángulo son los puntos A(,), B(, ) y C(,4). De cuerdo con esto, obtener l ecución generl de l medin del vértice B. - Se represent el lugr geométrico del triángulo en el plno rectngulr. Y Punto Medio del ldo AC 4 C A MEDIANA (Segmento de rect que v del vértice de un triángulo l punto medio de su ldo opuesto) X 0 - X - B Y - Se obtienen ls coordends del punto medio del ldo AC, y que es el punto por donde ps l medin del vértice B. x + x + P m (x m,y m ) x m = = = ; y + y y m = = = P 5 m AC, - Con el vértice B y el punto medio del ldo AC, se obtiene l pendiente de l medin. y y m = x x 5 ( ) m = 9 m =. 4 - Con el vértice B y l pendiente, se obtiene l ecución de l medin en su form puntopendiente. 9 9 y y = m (x x ) y ( ) = ( x ) y + = ( x ) L ecución de l medin en su form punto-pendiente se trnsform l form generl suprimiendo préntesis, multiplicndo l iguldd por 4 y trsponiendo términos. 9 7 y + = x + (4) 4y + 8 = 9x + 7 9x + 4y = 0 9x + 4y 9 =

35 TRANSFORMACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA DE UNA FORMA A OTRA. L ecución de l rect se puede representr en su form simplificd, simétric y generl; demás se puede trnsformr de un form otr por medio de procesos lgebricos. SIMPLIFICADA GENERAL SIMÉTRICA De simplificd simétric. EJEMPLO * Resolver el siguiente problem por medio de l ecución de l rect en sus distints forms. El consumo de gu en un hotel es proximdmente de 400 lts por dí. Si l cistern tiene un cpcidd de 000 lts, entonces Cuál es l ecución simétric que relcion el tiempo trnscurrido con l cntidd de gu consumid en dicho hotel? - Del enuncido se estblece que l vrible independiente x es el tiempo trnscurrido en dís, l cul se debe multiplicr por los litros consumidos dirimente y lo obtenido se le debe restr l cpcidd de l cistern; todo esto corresponde l cntidd de gu que qued en dich cistern que se represent con l vrible dependiente y. - Trduciendo lo nterior l lenguje lgebrico, se obtiene l ecución simplificd del problem. y = x y = 400x Se trnsform l ecución simplificd l form simétric trsponiendo los términos de ls vribles l ο miembro y dividiendo l iguldd entre el término constnte. 400x + y = x 000 y = x y + = De simétric generl. EJEMPLO * Resolver el siguiente problem por medio de l ecución de l rect en sus distints forms. Un rect ps por el punto P(, 6) y su bscis l origen es el recíproco de su ordend l origen. De cuerdo con esto, estblecer ls dos ecuciones generles que cumplen con ls condiciones del problem. - L ordend l origen de l rect es el punto P(0,b) y l bscis l origen es el recíproco de l ordend b, es decir: P(/b,0); con ésts condiciones se estblece l ecución simétric de l rect y se sustituye el punto P(, 6) en dich ecución pr obtener los vlores de b. x + b y = 6 + = b 6 = b 6 = b / b b b b = b = / 5

36 - Con los vlores de b se estblecen ls ecuciones simétrics de ls rects y se trnsformn l form generl multiplicndo ls igulddes por su común denomindor y trsponiendo términos. x / y / = x y = (6) 9 x 4y = 6 9x + 4y + 6 = 0 x + y = ( / x + y = ) 4 x + y = 4x + y = 0 Ls dos ecuciones generles cumplen con ls condiciones del problem, y que mbs rects psn por el punto P(, 6) y sus bsciss l origen son recíprocs sus ordends l origen. De generl simplificd. EJEMPLO * Obtener l ordend l origen y l pendiente de l rect que tiene por ecución generl l expresión, x + y 6 = 0. - L ecución generl se trnsform su form simplificd despejndo l vrible y. x + y 6 = 0 y = x + 6 y = x + De l ecución simplificd, se estblece que l pendiente y l ordend l origen de l rect, son: m = y b = ó P(0,). De simplificd generl. EJEMPLO * Trnsformr l ecución de l rect, y = x + su form generl. 5 - Se trnsform l ecución simplificd generl, multiplicndo l iguldd por 5 y trsponiendo los términos l ο miembro. y = x + (5) 5 5y = x + 5 x + 5y 5 = 0 6

37 De generl simétric. EJEMPLO * Trnsformr l ecución de l rect, 5x y + 9 = 0 su form simétric y estblecer su bscis y ordend l origen. - Se trnsform l ecución generl simétric, trsponiendo el término constnte l ο miembro y dividiendo l iguldd entre dicho término. 5x y = 9 5x y 9 9 = 9 9 x y + = 9 / 5 De l ecución simétric se estblece que l bscis y l ordend l origen, son: 9 = y b =. 5 De simétric simplificd. EJEMPLO * Hllr l ecución simétric y simplificd de l rect cuy bscis y ordend l origen, son = y b = 5. - Con l bscis y ordend l origen se obtiene l ecución de l rect en su form simétric. x + b y = x + y 5 = - Se trnsform l ecución simétric su form simplificd, multiplicndo l iguldd por su común denomindor y despejndo l vrible y. x + y = (0) 5 5x + y = 0 y = 5x y = x + 5 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD. Dos rects son prlels (//) si sus pendientes son igules; m = m. Dos rects son perpendiculres ( ) si su pendientes son recíprocs con signo contrrio y el producto de mbs es ; (m )( /m ) =. 7

38 EJEMPLO * Anlizr ls siguientes ecuciones e indicr si ls rects son prlels o perpendiculres entre sí. I. y = 7x + ; II. y = x + ; III. y = x ; IV. y = x Ls ecuciones II y IV, representn dos rects prlels, y que sus pendientes son igules. Ls ecuciones I y III, representn dos rects perpendiculres, y que sus pendientes son recíprocs y de signo contrrio. * Obtener l ecución simplificd de l rect que ps por el punto P(, ) y es prlel l rect que ps por los puntos A(,0) y B(0,). - Se obtiene l pendiente de l rect que ps por lo punto A y B. y y 0 m = = m = x x 0 Como ls rects son prlels, entonces tienen l mism pendiente, es decir, l rect que ps por el punto P y su pendiente es m =. - Se sustituye P y m en l ecución punto-pendiente: y y = m (x x ) y ( ) = [x ( )] y + = (x + ) - L ecución punto-pendiente se trnsform l form simplificd relizndo el producto y despejndo l vrible y. y + = x y = x * Los vértices de un rombo son los puntos A(, 5), B(,), C(5,7) y D(4, ). De cuerdo con esto, obtener ls pendientes de sus digonles. - Se represent el lugr geométrico del rombo en el plno rectngulr. Y Digonl myor AC 7 C Se obtiene l pendiente de l digonl AC, plicndo l fórmul de m. B Digonl menor BD y y 7 ( 5) m = = x x 5 ( ) m AC = X X D -6 A Y Como ls digonles de un rombo son perpendiculres entre sí, entonces ls pendientes de ésts son recíprocs y de signo contrrio, es decir, l pendiente de l digonl BD es: m BD =. 8

39 ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA POLAR. L ecución de l rect en su form rectngulr se trnsform su form polr plicndo ls expresiones: x = r cos θ y y = r sen θ. EJEMPLO * Trnsformr ls siguientes ecuciones de l rect su form polr. A) y = x B) x + y = 0 C) y = (x ) - Se sustituyen ls vribles x y y por ls relciones correspondientes, se igul l ecución polr cero y se fctoriz el rdio vector r. Inciso Ecución Sustitución de ls vribles Ecución rectngulr x = r cos θ, y = r sen θ polr A) y = x r sen θ = r cos θ = 0 r sen θ r cos θ = 0 r (sen θ cos θ) = 0 B) x + y = 0 r cos θ + r sen θ = 0 r (cos θ + sen θ) = 0 C) y = (x ) r sen θ = (r cos θ ) r sen θ r cos θ = 0 r (sen θ cos θ) = 0 * Trnsformr ls siguientes ecuciones de l rect su form polr y representr l rdio vector r en función del ángulo vectoril θ. A) y = x + B) x + y 6 = 0 C) x y = 4 - Se sustituyen ls vribles x y y por ls relciones correspondientes y se represent l ecución polr fctorizndo y despejndo l rdio vector r. Inciso Ecución rectngulr Sustitución de ls vribles x = r cos θ, y = r sen θ A) y = x + r senθ = r cosθ + r senθ r cosθ = B) x + y 6 = 0 r cosθ + r senθ 6 = 0 r cosθ + r senθ = 6 C) x y r cosθ r senθ = = 4 4 r cosθ r senθ = 4 Ecución Polr r = sen θ cosθ 6 r = cosθ + senθ 4 r = cos θ senθ 9