Experiencias de innovación docente en la enseñanza de la Física Universitaria. (4ª Edición)

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1 Expeiencias de innovación docente en la enseñanza de la Física Univesitaia (4ª Edición) Albacete, abil de 015

2 De cada capítulo, sus autoes El pesente tabajo se distibuye bajo licencia Reconocimiento-Compati Igual (by-sa) - Ceative Commons 3.0 España. Usted es libe de: copia, distibui y comunica públicamente la oba. hace obas deivadas. Bajo las condiciones siguientes: Reconocimiento. Debe econoce los céditos de la oba de la manea especificada po el auto o el licenciado (peo no de una manea que sugiea que tiene su apoyo o apoyan el uso que hace de su oba). Compati bajo la misma licencia. Si altea o tansfoma esta oba, o genea una oba deivada, sólo puede distibui la oba geneada bajo una licencia idéntica a ésta. Al eutiliza o distibui la oba, tiene que deja bien clao los téminos de la licencia de esta oba. Alguna de estas condiciones puede no aplicase si se obtiene el pemiso del titula de los deechos de auto. Nada en esta licencia menoscaba o estinge los deechos moales del auto. ISBN:

3 Capítulo 1: Física didáctica y vótices José Manuel Villalba Montoya Albeto Nájea López Enique Aibas Gade Augusto Beléndez Vázquez 17

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5 Física Didáctica y Vótices Física didáctica y vótices José Manuel Villalba Montoya, Albeto Nájea López Depatamento de Radiología y Medicina Física, Facultad de Medicina, Univesidad de Castilla-La Mancha, Albacete Enique Aibas Gade Depatamento de Física Aplicada, Escuela Supeio de Ingenieía Infomática, Univesidad de Castilla-La Mancha, Albacete Augusto Beléndez Vázquez Depatamento de Física, Ingenieía de Sistemas y Teoía de la Señal, Univesidad de Alicante, Alicante RESUMEN Muchos de los fenómenos que se encuentan en el mundo exteio son vótices. Los huacanes, emolinos, fienados, incluso el sistema sola, que tenemos en mente como los planetas que se mueven alededo del Sol, es un vótice. En este capítulo se descibe la clasificación de los difeentes vótices y se ealiza el estudio del vótice que esulta después de move el agua contenida en un vaso con una cuchaa. Una expeiencia que se puede ealiza en cualquie luga, obteniendo de manea sencilla el pefil de la cuva esultante y la velocidad angula. Se expone una fómula nueva paa la velocidad angula del agua que se mueve en este vótice. Palabas claves vótices, velocidad angula, mecánica de fluidos, expeimentos caseos ABSTRACT Many of the phenomenons that we can find in the outside ae votex. Huicanes, whilpools, fienadoes, o even ou Sola System that we keep in mind as the planets moving aound the sun is a votex. In this chapte, a classification of the josemanuel.villalba@uclm.es Página 19 de 5

6 Villalba, J.M., Nájea, A., Aibas, E., Beléndez, A. diffeent votex is shown and we analyse the votex fomed in swiling wate that was stied with a spoon in a cylindical glass. This expeiment can be done in evey place, obtaining in an easy way, the equation of the decay and the angula velocity. A new equation of the angula velocity is shown. Keywods votex, angula velocity, fluid mechanics, home expeiments. 1 INTRODUCCIÓN Existen fenómenos físicos muy comunes en la supeficie teeste: emolinos de agua mainos, anticiclones, ciclones, tonados, fienados, huacanes, incluso el sistema sola, cuya concepción tenemos en mente como un modelo en el que el Sol está quieto y el esto de los planetas obitan a su alededo, es un vótice, todo el sistema se desplaza a unos km/h dando luga a un sistema helicoidal 1 (Figua 1). Figua 1. Difeentes ejemplos de vótices: Fienado, Huacán y Sistema Sola. Oto fenómeno asociado a los vótices lo encontamos en el cañón de vótices, un cañón que genea un vótice de aie de foma tooidal capaz de deiba objetos a gandes distancias (Figua ). Actualmente, los vótices, tiene un gan inteés paa los científicos en difeentes campos como pueden se la mecánica de fluidos, supeconductividad, supefluidez, popagación de la luz, la condensación de Bose-Einstein, cosmología, biociencia o física del estado sólido 3-7. En este capítulo se va a expone un desaollo de lo que se denominan vótices hidodinámicos, ealizando un expeimento sencillo, que se puede ealiza po cualquie pesona en su casa, consistente en agita con una cuchaa el agua de un vaso de 1000 ml de capacidad y obseva el vótice que se genea unos dos segundos después de la agitación. Página 0 de 5

7 Física Didáctica y Vótices Estudiaemos la elación existente ente el eje de gio z y el adio al eje de otación de este vótice y calculaemos su velocidad angula. Figua. Cañón de vótices. Un vótice estacionaio (steady votex), se foma mientas movemos la cuchaa en cículos, con lo que el vótice se mantiene, es deci, la difeencia en altua z de la supeficie libe del líquido paa dos distancias del eje de otación es más o menos la misma. Cuando paamos de emove con la cuchaa, obsevamos que el movimiento del líquido va disminuyendo y la altua total del vótice decece en función del tiempo debido la ficción pedida de la cuchaa con las patículas de líquido. Esta disipación de enegía es caacteística de los vótices no estacionaios (unsteady votex). z Figua 3. Apoximación de la foma del líquido en otación. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Existen difeentes tipos de vótices según sea la velocidad angula con la que se mueve el fluido. Si la velocidad angula es constante la tayectoia del agua en la supeficie libe del líquido es una paábola y si la velocidad angula no es contante, la tayectoia del agua es paecida a la que se muesta en la figua 3. En este tipo de vótice, el movimiento del Página 1 de 5

8 Villalba, J.M., Nájea, A., Aibas, E., Beléndez, A. agua se caacteiza po una elevada velocidad apoximadamente constante (especto al tiempo) en cada punto del fluido en otación. La ecuación del pefil de la tayectoia que sigue el vótice, z(), es deci, la elación existente ente el eje de gio z y el adio al eje de otación, (gáfica (,z)), se obtiene a pati de la velocidad angula que tiene la masa de agua emovida po la cuchaa. Las ecuaciones existentes en la bibliogafía de la velocidad angula no desciben en su totalidad esta cuvatua o pefil z(). Además, una vez ealizados los cálculos con estas velocidades angulaes, se obtiene un valo del adio del vaso utilizado que difiee del valo eal, lo que nos pemite compoba la bondad de la ecuación utilizada. Finalmente, se popone una ecuación paa la velocidad angula que descibe pefectamente el pefil de la cuvatua y que da un valo paa adio del vaso que se apoxima bastante al valo teóico. La Figua 4 es una fotogafía de la que se tomaán los datos, a pati de los cuales desaollaemos los cálculos. El vaso utilizado paa ealiza este estudio tiene una capacidad de 1000 ml y un adio R=5.5 cm. Según se puede apecia en la foto, el agua gia fomando una especie de cono invetido alededo de un eje, que llamaemos z y que está muy póximo a la línea más oscua que se apecia en el cento de la imagen. Figua 4. Fotogafía del vótice objeto de estudio. 3 ECUACIONES DE MOVIMIENTO Y CLASIFICACIÓN DE LOS VÓRTICES La velocidad del fluido puede se expesada en función de la velocidad angula,,alededo del eje de gio y de la distancia al eje de gio,, en la foma v ω = (0,v,0) tomando la base (u,u,u z) de coodenadas cilíndicas. Tomando la vaiable dependiente en la Página de 5

9 Física Didáctica y Vótices coodenada z y aplicando la ecuación de continuidad v = 0 obtenemos que ves solo función de la distancia al eje de otación 8. La velocidad vque aquí denotaemos simplemente po v, puede se independiente del tiempo t, en cuyo caso se habla de un vótice estacionaio ( v/ t = 0), o dependiente del tiempo, en cuyo caso se habla de un vótice no estacionaio ( v/ t 0) (Figua 5). Las ecuaciones en dos dimensiones del movimiento otacional de un fluido homogéneo e incompesible (con densidad constante), vienen dadas po las ecuaciones de Eule (ecuaciones (1a) y 1(b)) que nos dan el gadiente de pesiones en un fluido estacionaio, y po las ecuaciones de Navie-Stokes (ecuación (1c)) que nos dan la vaiación de la velocidad en un fluido no estacionaio bajo la acción de fuezas de cizalla en fluidos viscosos (con viscosidad 0) 9 P v a n (1a) P z g (1b) v t μ ρ v 1 v v ω ω κ 3 (1c) donde g es la aceleación de la gavedad y es la viscosidad cinética (). La ecuación (1c) pemite establece ota posible clasificación basada en la definición de la voticidad,. El vecto voticidad expesa la otación local de una patícula de fluido alededo de su popio eje y es una medida de la velocidad en la que una masa de fluido cambia de oientación en el espacio En coodenadas cilíndicas la voticidad viene expesada po la siguiente ecuación: v v v u 1 ( ) z u z () De acuedo con esta definición, si 0 vótice seá fozado o otacional., el vótice seá iotacional o libe y si 0, el Página 3 de 5

10 Villalba, J.M., Nájea, A., Aibas, E., Beléndez, A. No confundi voticidad con otación, ya que la otación es la tanslación de la masa del fluido a lo lago de la cuva que descibe su tayectoia 10. Cuiosamente, se puede tene voticidad nula en un líquido cuyas patículas sigan una tayectoia cicula y una voticidad no nula en un líquido que siga una tayectoia lineal (Figua 8). Como se ha comentado anteiomente, si v/ t = 0, nos da luga a un vótice estacionaio. En las efeencias 9,11, encontamos que la solución de la ecuación (1c) paa la velocidad angula del líquido es: () (3) El pime témino coesponde a una velocidad angula constante independiente de la distancia adial y que es debida a la fomación de un vótice fozado (o otacional) y el segundo témino coesponde a una velocidad angula que depende de la invesa al cuadado de la distancia y que es debida a la fomación de un vótice libe (o iotacional). Vótice fozado (o otacional) Rotación de un vaso cilíndico lleno de agua Vótice libe (o iotacional ) o Vótice de Rankine Vaciado de un ecipiente o agitado magnético Vótice fozado no estacionaio Nuesto expeimento Vótice libe no estacionaio Huacanes, emolinos, Figua 5.Clasificación de los difeentes tipos de vótices Página 4 de 5

11 Física Didáctica y Vótices 4 VÓRTICE FORZADO (O ROTACIONAL) ESTACIONARIO A velocidad angula constante, ω=cte., la tayectoia del agua en la supeficie libe del líquido es una paábola (Figua 6). La fueza de Coiolis en cada elemento del fluido se cancela a pequeña escala en el vótice po las pequeñas velocidades, (paa más detalles se puede consulta la Refeencia [1]) y la ecuación que se obtiene paa el pefil de z() es: z() 0 d g 0 0 d g 0 g (4) La ecuación (4) se tata en muchos textos de física geneal 9,11-15 y es muy conocida po muchos alumnos que estudian los efectos de la otación de un fluido con velocidad angula constante en los laboatoios de Física. Figua 6. Rotación de un fluido a velocidad angula constante. 5 VÓRTICE LIBRE (O IRROTACIONAL) ESTACIONARIO O VÓRTICE DE RANKINE Este vótice se foma cuando el agua se vacía de un ecipiente (lavabo, bañea, o tanque) a tavés de un desagüe en su pate infeio fomándose un emolino. Este tipo de vótice (Figua 7), llamado también vótice de Rankine, puede se poducido po la otación a velocidad angula constante 0 de un cilindo con adio 0 lleno de fluido 9, 11. Página 5 de 5

12 Villalba, J.M., Nájea, A., Aibas, E., Beléndez, A. La ecuación de la velocidad angula viene dada po: (5) 0 0 En esta ecuación se puede obseva que hay una discontinuidad en =0 ya que la ecuación (5) no descibe bien la velocidad angula ceca del eje de otación. Paa pofundiza en este tema ecomendamos lee la Refeencia [14]. De foma simila al caso de los vótices fozados estacionaios, se puede obtene el pefil de z() de la supeficie libe del líquido en el vótice libe estacionaio po integación z() d d z 3 g (6) g g donde z es la altua del fluido cuando se aleja del eje de otación Figua 7. Vótice de Rankine 6 VÓRTICE LIBRE NO ESTACIONARIO Existen dos tipos de vótices libes no estacionaios (Figua 9): 1) Vótice libe no estacionaio confinado ) Vótice libe no estacionaio aislado o Vótice de Oseen-Lamb El pime tipo de vótice se genea cuando el fluido está confinado en un ecipiente y el segundo tipo cuando no está confinado en un ecipiente, que seían los tipos de vótices que se genean cuando se foma un huacán, emolino, etc. Página 6 de 5

13 Física Didáctica y Vótices El vótice libe no estacionaio confinado se puede foma de tes maneas: 1) Rotando agua en un lavabo o bañea con el desagüe abieto y después tapándolo. ) Rotando un vaso cilíndico a velocidad angula constante y después paándolo. 3) Con un agitado magnético: Intoduciendo el imán en el inteio del vaso paa que emueva el agua y después paando el oto. z z z o (a) y (b) y x x 4) (c) Figua 8. Pefil de la altua de la supeficie libe del líquido, z() en el vótice fozado estacionaio (a) y en el vótice libe estacionaio (b). Voticidad en el vótice fozado estacionaio (c) y en el vótice libe estacionaio (d). Los palillos muestan una voticidad positiva en el vótice fozado estacionaio y una voticidad ceo en el vótice libe estacionaio. En el vótice libe no estacionaio confinado, Bachelo 9, da la solución de la velocidad v(,t) de un vótice libe no estacionaio fomado después de ota un cilindo con agua y paalo en seco. Estas ecuaciones son muy difíciles, ya que son funciones de vaiable compleja, expesadas como una integal de Fouie-Bessel que envuelve a dos tipos de funciones de Bessel. Afotunadamente, hay una solución paa el decaimiento de un vótice libe aislado, igual que el fomado en un desagüe o el poducido po un agitado magnético (Figua 10), que es conocido desde pincipios del Siglo XX y que se llama vótice de Oseen- Lamb, aunque un atículo eciente ha discutido que el oigen de la solución puede data de la época de Boltzmann 10. En los vétices aislados no estacionaios libes, la velocidad angula decae, y la solución puede se apoximada paa << 0 de la foma: (d) Página 7 de 5

14 Villalba, J.M., Nájea, A., Aibas, E., Beléndez, A. Página 8 de exp 1 4 exp 1 ) ( t (7) donde 0 = 8ty 0= /8t es la velocidad angula paa =0 en un tiempo dado tla ecuación (7) esulta adecuada paa tiempos gandes. Figua 9. Clasificación de los vótices libes no estacionaios Figua 10. Vótice poducido po un agitado magnético. Con la ecuación (7), tendíamos que el pefil paa z(), vendía dado po la ecuación (8):

15 Física Didáctica y Vótices z () d 1 d (8) 4 g g g Si ajustamos los datos obtenidos con Oigin, obtenemos la gáfica 1: z (m) 0,05 0,04 0,03 Data: Data1_B Model: Ossen z 0,0 0,01 Chi^ = 1.984E-6 R^ = a ± b ± c ± ,00 0,000 0,005 0,010 0,015 0,00 0,05 0,030 (m) Gáfica 1. Repesentación de los datos expeimentales ajustados con la ecuación (8). Si ajustamos la cuva de la gáfica 1 a una ecuación de tipo: b b 4 6 z( ) a* c 4 (9) Identificando vaiables: o a = g b= c= A pati del valo de a, se obtiene ω o=53.85 ad s -1. A pati de valo de b, obtenemos o= 0.03 m, siendo adio que tiene el vaso de o=r=0.055 m. Página 9 de 5

16 Villalba, J.M., Nájea, A., Aibas, E., Beléndez, A. El valo de c, tendía que habe salido más póximo a 1/3=0.333 (compaa ecuaciones (8) y (9)) Con lo cual, y aunque las deducciones de Oseen se ajustan bastante a lo deducido en esta páctica (ya que no dejan de se vótices), obtenemos un eo del 40% en la medida del adio del vaso. 7 VÓRTICE FORZADO NO ESTACIONARIO Este vótice es análogo al vótice fomado tas paa en seco la otación de un cilindo y deja que pasen unos segundos hasta que se estabiliza 8. Paa analiza este tipo de vótice tomaemos un vaso de pecipitados de 1000 ml lleno de agua y la agitaemos con una cuchaa. Una vez que se emueve con la cuchaa y deja que el agua ote, se foma un vótice no estacionaio ya que la velocidad de otación del fluido decece con el tiempo ( v/ t<0) y en consecuencia el vótice desapaece. La Figua 4 muesta la fotogafía de un vótice no estacionaio en un vaso cilíndico con agua dos segundos después de emovela con una cuchaa po lo que se foma un emolino. En la efeencia [11] encontamos que la velocidad v(,t), del decaimiento del vótice fozado no estacionaio fomado después de la agitación del agua otando en un vaso cilíndico: α k J 1 0 κα kt v(, t) ω 00 exp (10) k1 αkj0(αk ) 0 donde 0 es la velocidad angula inicial, k son los ceos de la función de Bessel J 1, es la viscosidad cinética, y 0 coesponde al adio del vaso cilíndico de adio R si no son satisfechas las condiciones de contono (v(=r)=0). La solución de la ecuación (10) es muy compleja y paa tiempos gandes sólo sobevive el pime témino debido al incemento de la exponencial dececiente cuando k aumenta siendo la vida media 0 /( 1 ). Simulando la ecuación (10) con el pogama Mathematica, Página 30 de 5

17 Física Didáctica y Vótices hemos encontado que paa tiempos mayoes que la vida media, la velocidad lineal dada po esta ecuación se puede modela mediante un pefil paabólico en centado en 0/ dado po: v(, t) ω 0(t) (11) 0 ecuación: donde 0(t) es la velocidad angula en = 0 en función del tiempo y viene dada po la κα 1 t 14.67κt ω 0(t) ω0exp ω 0exp (1) 0 0 La Figua 11 muesta la compaación de las velocidades lineales obtenidas según la ecuación (10) paa tiempos gandes (línea continua) y con la ecuación (11) (línea discontinua). El eo acumulativo total ente las dos funciones epesentadas po las ecuaciones (10) y (11) ente =0 y = 0 es infeio al 6%. Es de destaca que el pefil v() de la ecuación (11) tiene una foma paabólica con un mínimo en =0 y 0 y un máximo en = 0/. La velocidad lineal paabólica centada en 0/ coesponde a un decaimiento de la velocidad angula del fluido con la distancia adial desde su máximo valo 0 en = 0 hasta el valo de ceo paa = 0 en cualquie instante de tiempo; es deci, ω() ω0 1 si 0, ω() 0 si 0 (13) 0 De esta ecuación (13), supondemos que 0 no depende del tiempo, así al pincipio del expeimento, cuando la cuchaa emueve el líquido del vaso cilíndico, el agua de los bodes desliza po lo que no se satisface la condición de contono paa 0 = R, siendo R el adio del vaso cilíndico. Sin embago, pasado cieto tiempo se satisfaá que el agua del bode del vaso cilíndico no desliza ((no gia) condición de contono) y a pati de entonces se cumpliá que 0 = R, lo cual evidencia que debe habe una dependencia de 0 con el tiempo que había que considea en el análisis tempoal del vótice fozado no estacionaio. Es deci, esta ecuación que se popone, cumple con las siguientes pemisas: La velocidad angula del agua en los puntos centales más póximos al eje de otación gian más depisa mientas que los más alejados gian más despacio. Página 31 de 5

18 Villalba, J.M., Nájea, A., Aibas, E., Beléndez, A. El agua pegada a las paedes del vaso no gia (ω =0) debido a la ficción con las paedes que están quietas. ω 0 es la máxima velocidad angula que se da paa =0 (eje de gio) y ω =0 se obtiene en = 0 0 /4 Linea velocity, v / 0 Figua 11. Compaativa ente las velocidades lineales coespondientes a la solución exacta (consideando valoes supeioes a k=0) del decaimiento del vótice fozado no estacionaio [ec. (10)] paa tiempos gandes (línea continua) y la dependencia paabólica [ec. (11)] (línea discontinua). El eo total en el pefil de v() es meno que el 6%. Una vez obtenida la función de la velocidad angula según la ecuación (13) podemos obtene la función z() que descibe el pefil del líquido de la supeficie libe que satisface dicha distibución adial de la velocidad angula z () d 1 d (14) g g g Con Mathematica el eo acumulado total obtenido paa el pefil de z() usando la ecuación (13) es infeio al 9% del que se obtendía si z() se calculaa a pati de la ecuación (10). Si simulamos con Oigin, una ecuación de la foma: 3 4 z ( ) a * c d (15) b b Página 3 de 5

19 Física Didáctica y Vótices Se obtiene la gáfica con los coeficientes del ajuste z (m) 0,05 0,04 0,03 0,0 0,01 Data: Data1_B Model: z Chi^ = 1.93E-6 R^ = a ± b ±-- c ±-- d ±-- 0,00 0,000 0,005 0,010 0,015 0,00 0,05 0,030 (m) Gáfica. Repesentación de z vs, con el ajuste tipo ecuación (15) Igualando téminos con la ecuación (14): a=0 14. b= c=1.37 d=0.53 Como o a, tomando g=9.8 m s -, obtenemos ad s -1, b= o=0.04 m; el g valo de c=1.37 seía el valo de 4/3=1.33 y el valo c=0.53 seía el valo 1/=0.5. El eo de viene dado po: En esumen ω o = 63 ad s -1 E ( a) E ( ) o abs ( ) o 1 o abs ( a) a b= o =0.04 m c=1.37 fente a 4/3=1.33 d=0.53 fente a 1/=0.5 Página 33 de 5

20 Villalba, J.M., Nájea, A., Aibas, E., Beléndez, A. Ente los valoes obtenidos, destaca el valo de o=0.04 m, siendo el adio eal de vaso utilizado de m, po tanto, el valo hallado es muy apoximado con el eal, teniendo en cuenta que es difícil mantene el emolino de agua agitando con la cuchaa. El valo de ad s -1. Paa compoba el valo de ad s -1, pocedimos a ealiza un método un poco impeciso; peo que nos puede da una idea de si los valoes obtenidos teóicos están en consonancia con los valoes expeimentales. Este pocedimiento no es lo suficientemente peciso debido a las incetidumbes de la técnica de medida que povienen po un lado de la dificultad en foma un vótice unifome y homogéneo al emove el agua con una cuchaa, y po oto lado po el conocido efecto de la taza de té (tea cup effect), ya estudiado po Einstein en Este efecto efleja el hecho de que un objeto flotante en un fluido en otación no descibe cículos concénticos (a constante) debido a la existencia de una fueza neta que tiende a empuja al objeto hacía el eje de otación siendo esta mayo en el eje de otación 14. La velocidad angula o lineal en un líquido se puede medi po intefeometía Dopple o la velocimetía de imágenes de patículas (PIV). Nosotos hemos medido las velocidades del fluido mediante el método de los fotogamas ya que éste puede ealizase con una cámaa de fotos o vídeo digital de foma elativamente sencilla en un laboatoio de Física. Paa ello filmamos con una cámaa digital el poceso de agitación y después se analizó con el pogama infomático Windows Movie Make (figua 13), fotogama o fotogama, en el que se dejó un pequeño plástico ojo po el bode y se calculó en el fotogama el ángulo ecoido ente el tiempo que macaba ente un fotogama y el siguiente y el adio donde se encontaba (figua 1). La tabla I, efleja los datos obtenidos de esta manea, son unos datos poco pecisos, peo nos pueden da una idea de los valoes eales 17. Tabla I. Datos obtenidos gabando el poceso y analizándolo con Windows Movie Make. ω(ad s -1 ) (m) Página 34 de 5

21 Física Didáctica y Vótices Se puede obseva de los valoes de la tabla, que confome nos vamos acecando al eje de gio, la velocidad angula, ω, es póxima a unos 60 ad s -1, valo póximo al que hemos obtenido teóicamente de ad s -1 y confome nos vamos acecando al adio, la velocidad angula tiende a ceo. Figua 1. Toma de adio inicial paa compaativa con el análisis de los fotogamas Figua 13. Vista del poceso de análisis de datos con Windows Movie Make. Repesentando gáficamente y ajustando a una cuva, tipo ecuación (13): a 1 (16) b Página 35 de 5

22 Villalba, J.M., Nájea, A., Aibas, E., Beléndez, A. Se obtiene la gáfica 3 con los coeficientes del ajuste () (ad s -1 ) Data: Data1_B Model: w Chi^ = R^ = a ± b ± ,000 0,005 0,010 0,015 0,00 0,05 0,030 (m) Gáfica 3. Repesentación de los puntos ω() vs. Tabla I. Ecuación tipo (16) Igualando téminos con la ecuación (16): (36 9) (17) La velocidad angula ad s -1 que nos da la ecuación (17), está en consonancia con los valoes de la tabla I. Si lo compaamos con los valoes obtenidos en la gáfica 3 es lógico que el valo de la velocidad angula educido a la mitad se coesponda con un valo de adio educido a la mitad (da un valo de o=0.04 m fente al de la mitad del adio del vaso que es 0.05 m). 8 CONCLUSIONES Se ha ealizado un simple expeimento paa el estudio de los vótices fozados no estacionaios que consiste en agita agua en un vaso cilíndico con una cuchaa y espea unos dos segundos después de la agitación. El pefil que se obtiene es simila al obtenido po la otación a velocidad angula constante de un vaso cilíndico lleno de agua y que se dejan pasa unos segundos hasta que se estabiliza. Paa el estudio de este fenómeno, se tiene que enconta, en pime luga, la ecuación de la velocidad angula, paa después, a continuación, obtene el pefil de la cuva que esulta al pasa unos segundos después de agita el agua con una cuchaa. Página 36 de 5

23 Física Didáctica y Vótices Hasta lo que sabemos po ahoa y en toda la bibliogafía consultada paa la ealización de este estudio, la ecuación de la velocidad angula, ecuación (13), es oiginal de los autoes que fiman el tabajo de la efeencia [18], una ecuación que se puede deduci de la ecuación (10) que se popone en la efeencia [11] y en la que asumimos que la distibución adial de la velocidad angula () decece linealmente con la distancia al eje de otación. Ecuación que ajusta pefectamente los datos expeimentales del pefil de z(). Los valoes hallados teóicamente con estos ajustes coinciden con los valoes expeimentales. También se ha hecho oto estudio, ajustando el pefil de z() de la fotogafía con la velocidad angula que popone la efeencia [9] paa el estudio del decaimiento del vótice libe no estacionaio confinado, y que se denomina vótice de Oseen-Lamb. Los esultados obtenidos con la ecuación que poponen paa la velocidad angula, después de ealiza las apoximaciones opotunas, no concuedan con los valoes eales, como el valo del adio del vaso y aunque el pefil de z() sale con una coelación muy buena (póxima a 1), los datos se ajustan mejo con la ecuación (13) (Refeencia [18]) de la velocidad angula. Como tabajo futuo, se petende ealiza un estudio del decaimiento del vótice fozado no estacionaio, paa obtene con mayo pecisión los datos expeimentales y analiza la bondad de la ecuación (13), mediante el análisis de vídeo, gabando a cámaa lenta la evolución la tayectoia de una patícula que caiga desde el bode del vaso y calculando con el pogama tacke la velocidad angula en función de la distancia. Con estos datos obtendemos la dependencia con 0 y 0 y estamos seguos de que coincidián los valoes expeimentales con los expuestos en este capítulo de libo. 9 BIBLIOGRAFÍA [1] The helical model - ou sola system is a votex. Disponible en [] Votex Cannon. Full TV. BBC1. Disponible en [3] H.J. Lugt, Votex Flow in Natue and Technology (Kiege, Malaba, FL, 1995). [4] L.M. Pismen, Votices in Nonlinea Fields (Claendon, Oxfod, 1999). [5] D.R. Tiley and J. Tiley, Supefluidity and Supeconductivity, (Hilge, Bistol, 1990). [6] M.R. Matthews, B.P. Andeson, P.C. Haljan, D.S. Hall, C.E. Wieman, and E.A. Conell, Votices in a Bose-Einstein Condensate, Phys. Rev. Lett. 83, 498 (1999). Página 37 de 5

24 Villalba, J.M., Nájea, A., Aibas, E., Beléndez, A. [7] A. Feando, M. Zacaés, M.A. Gacía-Mach, J.A. Monsoiu, and P. Fenández de Códoba, Votex tansmutation, Phys. Rev. Lett. 95, (005). [8] J.M. Goodman, Paaboloids and Votices in Hydodynamics, Am. J. Phys. 37, 864 (1969). [9] G.K. Batchelo, An intoduction to Fluid Dynamics (Cambidge Univesity Pess, New Yok, 000). [10] D.J. Titton, Discussion of voticity and otation, Am. J. Phys. 50, 41 (198). [11] T.C. Papanatasiou, G.C. Geogiou, and A.N. Alexandou, Viscous Fluid Flow (CRC Pess, Boca-Raton, 000). [1] H. Oetel (edito), Pandtl s Essentials of Fluid Mechanics (Spinge-Velag, New Yok, 004). [13] Y. Nakayama, Intoduction to Fluid Mechanics (Buttewoth-Heinemann, Oxfod, 1998). [14] T.E. Fabe, Fluid Dynamics fo Physicist (Cambidge Univesity Pess, Cambidge, 1995). [15] É.G. Zvenigoodskii and Yu. D. Kaminskii, Pospects of using lase dopple intefeomety methods fo highly accuate flow measuements, Measuement Techniques 9, 109 (1986). [16] R.J. Adian, Paticle-imaging techniques fo expeimental fluid mechanics, Ann. Rev. Fluid Mech. 3, 61 (1991). [17] J.M. Villalba Montoya, Expeimentos caseos de física paa bachilleato. Altaban ediciones y popula libos S.L. (008). [18] F. J. Manjón, J. M. Villalba, E. Aibas, A. Nájea, A. Beléndez and J.A. Monsoiu, Vótices no estacionaios en un vaso de agua, Revista Basileia de Ensino de Física, 35, n.3, 3304 (013). Página 38 de 5