Z b. f(x) dx calculando una primitiva de f(x) yluegoaplicando

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1 Tem 4 Métodos numéricos Versión: 9 de septiemre de 016 L mor prte de ls mtemátics estudids hst hor se hn dedicdo desrrollr métodos que nos proporcionen l solución ect de un prolem. Por ejemplo, clculr l solución de un ecución del tipo f() =0relizndo operciones elementles sore l mism pr conseguir despejr l incógnit. Oien,clculrelvlordeunintegrldefinid l Fórmul de Brrow. f() d clculndo un primitiv de f() luegoplicndo Desgrcidmente, en l grn morí de los csos que se presentn en l práctic, estos métodos no son de plicción. Ello puede deerse que el método pr clculr l solución ect se mu complicdo, que no se conozc un método decudo, o incluso que no eist un método que nos permit, medinte cálculos elementles, encontrr l solución. En estos csos es necesrio recurrir métodos numéricos, denomindossíporque,usulmente,consisten en relizr un sucesión más o menos lrg de operciones numérics (normlmente medinte l ud de un ordendor), l co de ls cules encontrmos un vlor numérico que, si ien no es l solución ect del prolem, se le prece mucho, esdecir,proimlsoluciónuscdconunprecisiónrzonlementeuen. 4.1 Resolución numéric de ecuciones Uno de los prolems que más se present en mtemátics es el de clculr l solución de un ecución. En lguns (pocs) ocsiones, esto puede hcerse por métodos nlíticos, es decir, se puede despejr l incógnit pr encontrr el o los vlores que resuelven l ecución. En l grn morí de ls ocsiones con lgún interés práctico esto no es posile es necesrio recurrir un método numérico que, con l ud de un ordendor, nos permit clculr un vlor proimdo de l solución Teorems del Vlor Intermedio de Bolzno Cundo se plnte el prolem de clculr l solución de un ecución como eisten dos cuestiones previs que conviene nlizr: Tiene solución est ecución? f() =0 Dónde está (unque se más o menos) l solución? En los csos en que l solución se puede clculr ectmente por métodos elementles, se tiene l respuest ms pregunts: eiste, puesto que l hemos encontrdo semos dónde está, puesto que semos ectmente su vlor. 153

2 4. Métodos numéricos 154 En muchos de los otros csos, l respuest ests pregunts se otiene con ud de los siguientes teorems. Teorem del Vlor Intermedio Un función continu en un intervlo [, ] tom todos los vlores comprendidos entre f() f(). Figur 4.1: Teorem del Vlor Intermedio: como se puede oservr, l función tom todos los vlores comprendidos entre f() f(). Figur 4.: Teorem del Vlor Intermedio: demás de todos los vlores comprendidos entre f() f() l función f puede tomr otros vlores. Teorem de Bolzno Se f un función continu en un intervlo [, ] tlquef() f() tienen signos opuestos (es decir f()f() < 0). Entonces eiste c (, ) tl que f(c) =0. Figur 4.3: Teorem de Bolzno: como se puede oservr, l función tiene signos opuestos en (f() < 0 f() > 0). En concecuenci, tom el vlor 0 en lgún punto del intervlo (, ) (de hecho lo tom en tres puntos). Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

3 4. Métodos numéricos 155 Ejemplo 4.1 Utilizndo el Teorem de Bolzno, pror que l ecución = tiene l menos un solución rel. En primer lugr, h que escriir l ecución en l form f() =0, luego, encontrr un intervlo [, ] en el cul se verifiquen ls hipótesis del Teorem, pr sí poder concluir que eiste lgún punto en el intervlo en el que l función se nul, es decir, lgun solución de l ecución. Se tiene: = () f() = =0 Est función está definid es continu en todo R. Esfácilverquef(0) = 0 0 = 1 < 0. Porotroldo, teniendo en cuent que cundo tiende +1, lím =0,tmpocoesdifícilcomprenderque,pr!+1 suficientemente grnde, será mor que portnto será positivo. Por ejemplo: f(1) = =1 = 1 > 0 En consecuenci, f verific ls hipótesis del Teorem de Bolzno en el intervlo [0, 1]: escontinuf(0) f(1) tienen signos opuestos. Luego podemos firmr que f() tiene l menos un cero en el intervlo (0, 1). O, lo que es lo mismo, que l ecución = tiene l menos un solución en dicho intervlo. Ejemplo 4. Utilizndo el Teorem de Bolzno, pror que l ecución 4 =1+3e tiene l menos un ríz rel. Rzonndo como en el ejercicio nterior, se tiene 4 =1+3e () f() = 4 1 3e =0 L función f() está definid es continu en todo R. Setiene,porejemplo,f(0) = 1 3= 4 < 0. Por otro ldo, igul que en el ejemplo nterior, 4 1 tiende +1 cundo! +1 mientrs que lím 3e =0,noresultdifícilcomprenderque,pr suficientemente grnde, 4 1 será mor que!+1 3e portnto 4 1 3e será positivo. Por ejemplo, recordndo que e < 1 8 >0, en consecuenci, que 3e < 3 8 >0, setiene f() = 4 1 3e = 15 3e > 1 > 0 Luego, por el Teorem de Bolzno, f() tiene, l menos, un cero en el intervlo (0, ), esdecir,lecución dd tiene, l menos, un ríz en dicho intervlo Resolución numéric de ecuciones: método de isección Se present quí un método sencillo, sdo directmente en el Teorem de Bolzno, que permite, en determinds circunstncis, clculr l solución de un ecución. H que comenzr por decir que culquier ecución en un vrile se puede siempre escriir ( no de mner únic) en l form de un equivlente (es decir, que tiene ls misms soluciones) pero con segundo miemro nulo f() =0 Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

4 4. Métodos numéricos 156 Ejemplo 4.3 L ecución = se puede tmién escriir =0. Tmién se tiene =, = 1, =1,luegotmiénsepuedeescriir 1=0. Dd f :[, ] R 7! R, continu,seplnteelprolemdeencontrrunsolución(tmiénllmdríz)de l ecución f() =0. Desde el punto de vist geométrico, esto signific encontrr, en [, ], un punto de corte de l gráfic de l función = f() con el eje de sciss (ver l Figur 4.4). Figur 4.4: L gráfic de = f() cort l eje de sciss en un punto [, ], loquesignific que es un solución de l ecución f() =0. Los métodos de proimción de rices de ecuciones necesitn conocer, o ien un intervlo que conteng sólo un ríz, o ien un punto inicil que esté suficientemente cerc de ell. Por tnto, como pso previo l plicción de un método de proimción, es necesrio loclizr l ríz, es decir encontrr un intervlo que l conteng seprr l ríz, es decir encontrr un intervlo que sólo conteng dich ríz. Esto se hce por métodos nlíticos, gráficos, en lgunos csos, empíricos. Ejemplo L función = = f() está representd en l Figur pr [ 1, 1]. Seoservquehunúnico punto [0, 1] en que l curv cort l eje OX, esdecir,quehunúnicrizde =0en [0, 1]. ( f(0) = 0 0 = 1 < 0, f(1) = =1 = 1 > 0. Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

5 4. Métodos numéricos 157 Los métodos pr proimr ríces de ecuciones son, en generl itertivos, es decir consisten en construir un sucesión de vlores 1,, 3, 4...medinte un relción de recurrenci, esto es, se clcul cd uno de ellos prtirdelnterior: 1!! 3! 4,etc. Cundo l sucesión de vlores 1,, 3...tiende hci l ríz de f (es decir, se cerc cd vez más ell, tnto como se quier: lím n!1 n = ), se dice que el método itertivo es convergente. Método de isección Sin much precisión, el método de isección consiste en lo siguiente: 1. Sudividir en dos prtes el intervlo en que se se que l función cmi de signo tiene un sol ríz.. Averigur, utilizndo el Teorem de Bolzno, en cul de ls dos mitdes se encuentr l riz descrtr l otr mitd del intervlo. 3. Reinicir este proceso con el suintervlo elegido. 4. Continur con este proceso hst que el suintervlo elegido teng un longitud lo suficientemente pequeñ como pr que culquier de sus puntos se un proimción ceptle de l solución. L elección óptim como proimción es, entonces, el punto medio del suintervlo. 1 3 Figur 4.5: Tres etps del método de dicotomí. En cd iterción se descrt l mitd del intervlo que no contiene l ríz (en l que f no cmi de signo). El intervlo donde se encuentr l ríz es cd vez más pequeño, su punto medio se cerc cd vez más l solución uscd. Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

6 4. Métodos numéricos 158 Ejemplo 4.5 Utilizndo el método de dicotomí, proimr l solución de l ecución =0en el intervlo [0, 1] Se f() =. Intervlo Punto medio [0, 1] f(0) < 0 f(1) > 0 0 = 0+1 [0.5, 1] f(0.5) < 0 1 = =0.5 [0.5, 0.75] f(0.75) > 0 = [0.65, 0.75] f(0.65) < 0 3 = [0.65, ] f(0.6875) > 0 4 =. = =0.65 = = Por lo que un proimción de l solución es , otenidplicndoelprocesodesudivisión4 veces eligiendo como proimción el punto medio del último suintervlo. Osérvese que, si se elige como proimción 0,elerrormáimoquesecometeeslmitddellongitud del intervlo inicil e 0 =.Siseeligecomoproimción 1,elerrormáimoeslmitddelnterior e 1 = e 0 =.Reiterndoesterzonmiento,siseeligecomoproimción n,elerrormáimoese n = n+1. Esto permite ser, priori, cunts iterciones h que relizr pr conseguir un proimción con un error tn pequeño como se quier. En efecto, si en el intervlo [, ] h un solución, quénúmeron de veces h que plicr el proceso de sudivisión pr conseguir que el error cometido no se mor que un cntidd dd "? Se h visto que, si se plic n veces, el error máimo que se comete tomndo n como proimción es e n = En consecuenci hrá que elegir n de form que se teng n+1 < ", " < n+1, ln n+1 < (n + 1) ln(), n +1> " ln " ln() Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

7 4. Métodos numéricos 159 Ejemplo 4.6 Cuánts iterciones del método de isección h que relizr pr proimr l solución de l ecución =0, prtiendo del intervlo [0, 1], con un error menor que un centésim? Se dese que el error se e<0.01. Porlfórmulnterior,hquetomr 1 ln ln " 0.01 n +1> = = ln(100) 6.64 () n>6.64 1=5.64 ln() ln() ln() Luego h que relizr 6 iterciones. Si se hiciern ests 6 iterciones se otendrí como proimción 6 =0.6484, cusdosprimerscifrs decimles son ects, por lo tnto, el error de proimción es menor que Ejemplo 4.7 Utilizndo el método de dicotomí, proimr l solución de l ecución del Ejercicio 4., 4 =1+3e, en el intervlo [0, ] con un error menor que Se f() = 4 1 3e. Como se puede oservr en l figur, f tiene un únic ríz en [0, ]. Puestoquese dese un error menor que 0.05, hrá que tomr ln ln " 0.05 n +1> = = ln(40) 5.3 () n>4.3 ln() ln() ln() Luego h elegir n =5(es decir, elegir como proimción 5 ). intervlo pto. medio error [0, ] f(0) < 0 f() > 0 0 = 0+ [1, ] f(1) < 0 1 = 1+ [1, 1.5] f(1.5) > 0 = [1, 1.5] f(1.5) > 0 3 = [1.15, 1.5] f(1.15) < 0 4 = [1.15, ] f(1.1875) > 0 5 = =1 1 = = = = = Por lo que un proimción de l solución es con un error menor o igul que 0.05 Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

8 4. Métodos numéricos Resolución numéric de ecuciones: método de Newton El método de isección, presentdo en l sección nterior, sólo hce uso de los vlores que tom l función f cus ríces se quieren clculr. En est sección se present un método que utiliz demás los vlores que tom l derivd de f. Nturlmente, esto requiere que f se derivle. Se, pues, f :[, ] R un función continu, derivle con derivd continu. Se supone que l ecución f() =0tiene en el intervlo (, ) un únic solución, quenoseconocesedeseproimr:! R f( ) =0, (, ) Se recuerd que es un punto de corte de l gráfic de = f() con el eje OX. L ide del método de Newton consiste en sustituir, en determindos puntos, l gráfic de l función por l de su rect tngente en dichos puntos. Se comienz eligiendo un punto inicil 0 [, ], quedeeestrcercdelsolución que se quiere proimr. L ecución de l rect tngente = f() en el punto ( 0,f( 0 )) es (ver Figur 4.6) = f( 0 )+f 0 ( 0 )( 0 ) (0,f(0)) (0,f(0)) Figur 4.6: L rect tngente l curv = f() en el punto ( 0,f( 0 )) tiene de ecución = f( 0 )+f 0 ( 0 )( 0 ). Figur 4.7: L rect tngente l curv = f() en el punto ( 0,f( 0 )) cort l eje OX en 1 = 0 f( 0 ) f 0 ( 0 ). Est rect cort l eje OX en el punto de scis 1 = 0 f( 0 ) f 0 ( 0 ) Prece clro que el punto 1 está más cerc de que el punto inicil 0. Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

9 4. Métodos numéricos 161 (0,f(0)) (0,f(0)) (1,f(1)) (1,f(1)) Figur 4.8: L rect tngente l curv = f() en el punto ( 1,f( 1 )) tiene de ecución = f( 1 )+f 0 ( 1 )( 1 ). Figur 4.9: L rect tngente l curv = f() en el punto ( 1,f( 1 )) cort l eje OX en = 1 f( 1 ) f 0 ( 1 ). Se repite hor el proceso nterior, pero comenzndo en el punto 1. El método de Newton consiste en reiterr este proceso, prtiendo cd vez del punto clculdo en l etp nterior. Esto proporcionrá puntos cd vez más cercnos l solución. Método de Newton Consiste en lo siguiente: 1. Elegir un punto 0 que esté cerc de l solución.. Clculr sucesivmente los puntos f( n ) n+1 = n f 0, pr n =0, 1,,... ( n ) hst conseguir un proimción lo suficientemente uen de. Oservciones: 1. En l descripción nterior h dos indefiniciones clrs: ) Cómo se elige un punto 0 que esté cerc de l solución? No h un respuest generl est pregunt. Puede que se conozc, por ejemplo, por rzones empírics o por nálisis previo. Si no, un posiilidd es utilizr previmente el método de isección comenzr el método de Newton en l solución proporciond por quél. ) Cómo se se si un proimción es lo suficientemente uen? En l práctic, lo que se suele hcer cundo se utiliz este método con un ordendor, es detenerse cundo dos proimciones consecutivs están mu cercns: n+1 n < un cntidd mu pequeñ previmente fijd, por ejemplo Como se h visto, en el método de Newton h que dividir por el vlor de l derivd de f en determindos puntos, que están cercnos l solución. Nturlmente, es imprescindile, pues, que l derivd f 0 no se nule cerc de l solución. 3. Este método utiliz much más informción sore l función f que el método de isección, que se vió en el Tem 3, que hce uso de l derivd. Es por ello lógico que se mejor, es decir más rápido en llegr l solución. De hecho es mucho más rápido. Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

10 4. Métodos numéricos 16 Ejemplo 4.8 Determinr el número de soluciones en R de l ecución siguiente utilizr el método de Newton pr proimr l mor de ells. e + =0 ) Denotemos f() =e +. Semosquef es derivle en R f 0 () =e +1 > 0 8 R lo cul signific que f es creciente en R. Tmién se tiene lím f() =+1 lím f() = 1!+1! 1 Gráficmente deducimos que f sólo tiene un ríz, es decir, l ecución f() =0tiene un únic solución R. Como f(0) = 1 < 0 f(1) = e 1 > 0, porelteorem de Bolzno se tiene que l ríz está en el intervlo (0, 1) = e ) Utilizmos hor el método de Newton pr proimr. Tommoscomoprimerpunto 0 =0.Setiene: Prtiendo de 1,clculmos Repetimos el proceso clculmos Repetimos el proceso un vez más otenemos f( 0 ) 1 = 0 f 0 ( 0 ) =0 e 0 +0 e 0 = 1 +1 =0.5 f( 1 ) = 1 f 0 ( 1 ) =0.5 e e = f( ) f 0 ( ) = 3 f( 3 ) f 0 ( 3 ) Oservmos que ls 6 primers cifrs decimles de ls dos últims proimciones son igules: , de mner que se tiene: 4 3 = = < 10 6 Tommos, pues 4 = como proimción de l solución. Oservción: Hcer estos cálculos mno no es sencillo. Pero sí lo es hcerlos con un hoj de cálculo EXCEL. Es interesnte hcerlo como ejercicio. Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

11 4. Métodos numéricos 163 Ejemplo 4.9 Utilizndo el método de Newton, proimr l solución de l ecución =0en el intervlo [0, 1]. Denotemos f() =.Semosquef es derivle en R f 0 () = 1 + ln() Utilizmos hor el método de Newton pr proimr l solución de l ecución. Tommos como primer punto 0 =0.Setiene: f( 0 ) 1 = 0 f 0 ( 0 ) = ln() Prtiendo de 1,clculmos Repetimos el proceso clculmos Repetimos el proceso un vez más otenemos = 1 f( 1 ) f 0 ( 1 ) = f( ) f 0 ( ) = 3 f( 3 ) f 0 ( 3 ) Oservmos que ls 7 primers cifrs decimles de ls dos últims proimciones son igules: De hecho esto indic, en generl, que dichs 7 primers cifrs son ects (en este cso, en concreto, tods ls cifrs de 4 son ects). Se tiene: 4 3 = = < 10 8 Tommos, pues 4 = como proimción de l solución. Oservción: Est mism ecución fue resuelt, en el Ejercicio 4.5, porelmétododeisección,encontrándose llí l proimción trs 4 iterciones. Est proimción sólo tiene un cifr deciml ect: 0.6. Con el método de Newton hemos encontrdo un proimción con 9 cifrs decimles ects en 4 iterciones. Result ovio, pues, que este método es (mucho) más rápido que el de isección (de hecho es el más rápido). Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

12 4. Métodos numéricos Nociones de integrción numéric Como se h visto ntes, si se conoce un primitiv F de l función f, sepuedeclculrelvlordelintegrl definid medinte l Regl de Brrow: f() d = F () En l morí de los csos, sin emrgo, no se puede utilizr est fórmul, que no se conoce dich primitiv. Es posile, por ejemplo, que no se conozc l epresión mtemátic de l función f, sinosólosusvloresen determindos puntos, recogidos de un eperimento. Pero tmién h funciones (de prienci sencill) pr ls que se puede demostrr que no tienen ningun primitiv que pued escriirse en términos de funciones elementles (por ejemplo e ) F (). L integrción numéric es un herrmient de ls mtemátics que proporcion fórmuls técnics pr clculr proimciones de integrles definids. Grcis ell se pueden clculr, ien es cierto que de form proimd, vlores de integrles definids que no pueden clculrse nlíticmente, sore todo, se puede relizr ese cálculo en un ordendor. L ide ásic pr proimr el vlor de clculr l sum de ls áres de los rectángulos que recuren el áre. f() d sin utilizr un primitiv de f se epuso en l sección 3.6: =f() =f() =f() Figur 4.10: L integrl definid f() d,queeselvlordelárejolcurvsomredenlprimer figur, se puede proimr por el resultdo de sumr ls áres de los rectángulos. Como result evidente, se comete un error, que se desprecin en este cso ls áres de ls pequeñs zons tringulres comprendids entre l curv los rectángulos. En el cso prticulr de l función representd en ls figurs, el vlor de l proimción es menor que el vlor ecto. Pero en otros csos puede ser mor; vése, por ejemplo, l figur siguiente. Figur 4.11: En este cso,l sum de ls áres de los rectángulos proporcion un vlor mor que el vlor ecto, pero igulmente es un proimción. Como tmién result evidente, se puede demostrr mtemáticmente, el error que se comete es más pequeño (en vlor soluto, es decir, sin tener en cuent el signo del mismo) cunto más estrechos sen los rectángulos, es decir, cunto mor cntidd de ellos se usen. Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

13 4. Métodos numéricos 165 Cómo se clcul l sum de ls áres de los rectángulos? Se supone que se usn 5 rectángulos, como en l Figur 4.1 sedenotn 1 =,, 3, 4, 5 6 = los puntos que determinn los 5 suintervlos. Se supone tmién, pr hcer ls coss más fáciles, que estos puntos están regulrmente espcidos, es decir, que l distnci entre cd dos puntos consecutivos, que se denot h, es siempre l mism. El áre de los distintos rectángulos es (recordndo áre = se ltur): etc. Are(R 1 )=Longitud del segmento [ 1, ] Altur del rectángulo =( 1 ) f( 1 )=hf( 1 ) Are(R )=Longitud del segmento [, 3 ] Altur del rectángulo =( 3 ) f( )=hf( ) Sumndo tods se tiene: Are(R 1 )+ + Are(R 5 )=hf( 1 )+hf( )+hf( 3 )+hf( 4 )+hf( 5 ) = h f( 1 )+f( )+f( 3 )+f( 4 )+f( 5 ) estúltimepresiónproporcionunproimción(esverddquenomuuen,demomento)delvlorde l integrl: f() d h f( 1 )+f( )+f( 3 )+f( 4 )+f( 5 ) Oservmos hor que, puesto que h 5 suintervlos de igul longitud, dee ser luego, l fórmul nterior quedrí h = f() d 5 Longitud del intervlo [, ] 5 = 5 f( 1 )+f( )+f( 3 )+f( 4 )+f( 5 ) =f() f( 4 ) f( 5 ) f( 3 ) f( ) f( 1 ) R 1 R R 3 R 4 h R 5 = = Figur 4.1: L ltur del rectángulo de se [ 1, ] es f( 1 ),el vlor de f en 1 ;ldelrectángulodese[, 3 ] es f( );etc. Si, en lugr de 5, tuviérmos 6 suintervlos, entonces tendrímos 7 puntos: 1 =,, 3, 4, 5, 6 7 = lproimciónseescriirí: f() d 6 f( 1 )+f( )+f( 3 )+f( 4 )+f( 5 )+f( 6 ) (osérvese que el último punto 7 no se utiliz en est epresión). Si el número de suintervlos utilizdos fuer mu grnde, por ejemplo, 100 (es decir, 101 puntos), se podrí escriir f() d 100 f( 1 )+f( )+ + f( 100 ) Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

14 4. Métodos numéricos 166 Es preferile más usul, sin emrgo, utilizr l epresión siguiente f() d 100 El símolo P (letr grieg sigm múscul) es mu utilizdo en mtemátics: se denomin sumtorio sirve pr escriir de form escuet un sum con un número mu grnde o indetermindo de sumndos. L epresión X100 i=1 X100 i=1 f( i ) f( i ) se lee : sum de f( i ) desde i =1hst i = 100. Y podemos, pues, escriir de form generl l proimción de l integrl pr un número indetermindo de suintervlos. Fórmul de los rectángulos Se f un función continu en [, ] sen 1 =,, 3,..., n+1 =, n+1 puntos que definen un prtición del intervlo [, ] en n suintervlos, todos de l mism longitud h = n. Entonces l integrl definid de f entre se puede proimr por f() d n nx f( i ) i=1 En l deducción de est fórmul se h proimdo el áre jo l curv en cd suintervlo por el áre del rectángulo con l mism se ltur igul l vlor de l función en el etremo inferior del suintervlo, como en l Figur Perotmiénsepodríherutilizdoelvlordelfuncióneneletremosuperior,comose ve en l Figur Figur 4.13: Se tom como ltur del rectángulo el vlor de f en el etremo inferior, 1. Figur 4.14: Se tom como ltur del rectángulo el vlor de f en el etremo superior,. Así se otendrí un vrinte de l Fórmul de los Rectángulos. Ams fórmuls dn resultdos similres desde el punto de vist del error que se comete en l proimción. Fórmul de los rectángulos (vrinte) Se f un función continu en [, ] sen 1 =,, 3,..., n+1 =, n+1 puntos que definen un prtición del intervlo [, ] en n suintervlos, todos de l mism longitud h = n. Entonces l integrl definid de f entre se puede proimr por f() d n nx f( i+1 )= n i=1 n+1 X i= f( i ) Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

15 4. Métodos numéricos 167 Otr posiilidd, es tomr como ltur del rectángulo el vlor de l función en el punto medio del suintervlo, como se muestr en l Figur Figur 4.15: En l Fórmul del punto medio, se proim el áre jo l curv por el áre del rectángulo de ltur igul l vlor de l función en el punto medio del suintervlo. Fórmul del punto medio Se f un función continu en [, ] sen 1 =,, 3,..., n+1 =, n+1 puntos que definen un prtición del intervlo [, ] en n suintervlos, todos de l mism longitud h = n. Entonces l integrl definid de f entre se puede proimr por Est fórmul es de orden 1. f() d n nx i + i+1 f i=1 =f() =f() = = 6 = = 6 Figur 4.16: Fórmul de los rectángulos tomndo como ltur el vlor de f en el etremos superior de cd suintervlo. Figur 4.17: En l Fórmul del punto medio elige como ltur de los rectángulos en vlor de l función los puntos medios de cd suintervlo. Orden de un fórmul de integrción numéric Se dice que un fórmul de integrción es de orden k cundo es ect pr polinomios de grdo k, esdecir, que cundo el integrndo es un polinomio de grdo k, lfórmulproporcionelvlor ecto de l integrl. El orden de un fórmul de integrción numéric nos d un medid de su ondd. L Fórmul de los rectángulos es de orden 0. Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

16 4. Métodos numéricos 168 Ejemplo 4.10 Z 1 Aproimr el vlor de l integrl definid con 8 suintervlos. e 1 d utilizndo l fórmul de los rectángulos Se construe un prtición de [ h = 1 ( 1) 8 1, 1] en 8 suintervlos, de form que = 8 = 1 4 =0.5 lospuntosdelsoportedelprticiónson: =e 1 = 1 = 1 6 = 1+5h=0.5 = 1+h = = 1+6h=0.5 3 = 1+h= = 1+7h= = 1+3h= = 1+8h=1 5 = 1+4h= 0 Según l Fórmul de los Rectángulos nterior: = = 9 Z 1 e 1 d h 8X i=1 e i Con ud de un clculdor, se tiene: Z 1 1 e d = H que insistir en que el vlor clculdo es sólo un proimción del vlor de l integrl definid. Otr posiilidd es proimr el áre jo l curv en cd suintervlo por el áre del trpecio que se muestr en l Figur =f() f ( ) f ( 1 ) h 1 = = Figur 4.18: En el suintervlo [ 1, ],por ejemplo, el áre jo l curv se proim por el áre del trpecio, que tiene un se de longitud f( 1 ),otrsedelongitudf( ),ltur h = 1. Figur 4.19: En l Fórmul de los trpecios, se proim el vlor de l integrl definid por l sum de ls áres de los trpecios. Recordndo que el áre de un trpecio es = de l Figur 4.18 es sum de ls ses f( 1 )+f( ) h ltur, se tiene que el áre del trpecio quelsumdelsáresdetodoslosdelfigur4.19, esdecirlproimcióndelintegrl,es Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

17 4. Métodos numéricos 169 f() d f( 1)+f( ) h + f( )+f( 3 ) h + + f( 5)+f( 6 ) h f( 1 )+f( )+f( )+f( 3 )+ + f( 5 )+f( 6 ) = h = f( 1 )+f( )+f( 3 )+f( 4 )+f( 5 )+f( 6 ) 5 Osérvese que, en est sum, el vlor de f en los etremos ( 1 = 6 = ) preceunsolvez,mientrs que el vlor en los puntos internos (, 3, 4 5 )precedosveces. Generlizndo esto l cso generl, con un número indetermindo de suintervlos, se tiene: Fórmul de los trpecios Se f un función continu en [, ] sen 1 =,, 3,..., n+1 =, n+1 puntos que definen un prtición del intervlo [, ] en n suintervlos, todos de l mism longitud h = n. Entonces l integrl definid de f entre se puede proimr por Z! f() d nx f()+ f( i )+f() n Est fórmul es de orden 1. i= Ejemplo 4.11 Aproimr el vlor de l integrl definid con 5 suintervlos. Z 1 0 sen(e ) d utilizndo l fórmul de los trpecios Se consider un prtición de [0, 1] en 5 suintervlos, de form que h = 1 5 =0. lospuntosdelsoportedelprticiónson: 1 =0 1 =0 =0. = =0.4 3 = =0.6 4 = =0.8 5 = =1 6 =1 L Fórmul de los trpecios nterior: " Se tiene: Z 1 0 sen(e ) d h sen(e 0 )+ # 5X sen(e i )+sen(e 1 ) =0.1 sen(e 0 )+sen(e 0.04 )+sen(e 0.16 )+sen(e 0.36 )+sen(e 0.64 )+sen(e 1 ) Z 1 1 i= = = 6 h i sen e d = H que insistir en que el vlor clculdo es sólo un proimción del vlor de l integrl definid. Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

18 4. Métodos numéricos Interpolción juste de dtos En ciencis eperimentles con frecuenci es necesrio trjr con conjuntos discretos de vlores de lgun mgnitud que depende de otr vrile. Pueden proceder de muestreos, de eperimentos o incluso de cálculos numéricos previos. Por ejemplo, se puede disponer de unos vlores otenidos eperimentlmente sore el número de individuos de un determind especie de peces en un lgo, otenidos en distintos momentos lo lrgo de un ño. En ocsiones, pr utilizr estos vlores en cálculos posteriores es preciso «drles form» de función, es decir: es preciso disponer de un función dd por un epresión mtemátic que «coincid» con dichos vlores. Por ejemplo, se puede querer ser el número de peces que hí en el lgo en un momento intermedio pr el que no se dispone de dtos. Eisten ásicmente dos enfoques pr conseguir esto: Interpolción es el proceso de determinr un función que tome ectmente los vlores ddos pr los vlores decudos de l vrile independiente, es decir que pse ectmente por unos puntos ddos. Por ejemplo, determinr un polinomio de grdo 4 que pse por 5 puntos ddos, como en l figur de l derech. Ajuste de dtos es el proceso de determinr l función, de un tipo determindo, que mejor se proime los dtos («mejor se juste»), es decir tl que l distnci los puntos (medid de lgun mner) se lo menor posile. Est función no psrá necesrimente por los puntos ddos. Por ejemplo, determinr un polinomio de grdo 1 que proime lo mejor posile unos dtos, como se muestr en l figur djunt. Cundo se trt de interpolr por un polinomio de un determindo grdo, se hl de interpolción polinómic. Interpolción linel Es sido que por dos puntos ddos del plno, ( 1, 1 ) (, ),con 1 6=,psunsollínerect.Se = + su ecución. Se trt de determinr los vlores que deen tener pr que, efectivmente, es rect pse por esos puntos. Pr ello se tiene que verificr: 1 = 1 + = + L solución de este sistem linel de dos ecuciones con dos incógnits proporcion los vlores decudos de los coeficientes. (, ) ( 1, 1) Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

19 4. Métodos numéricos 171 Interpolción cudrátic En generl, por tres puntos ddos del plno, ( 1, 1 ), (, ) ( 3, 3 ),psunúnicpráol(polinomiode grdo ). Se = + + c su ecución. Pr clculr los vlores decudos de los coeficientes h que resolver el sistem linel de ecuciones < : 1 = c = + + c 3 = c que, en form mtricil es susolución(únic)proporcionloscoeficientesquedeterminnlfuncióninterpolnte. 5 4 c 5 = ( 3, 3) ( 1, 1) (, ) Interpolción polinómic glol En generl, ddos N puntos ( k, k ), k =1,...,N,con k todos distintos, eiste un único polinomio de grdo N 1 que ps ectmente por estos puntos. Este polinomio se puede epresr de l form verificquep( k )= k pr k =1,...,N,esdecir: 8 >< >: p() =c 1 N 1 + c N + + c N 1 + c N 1 = c 1 N c N c N c N = c 1 N 1 + c N + + c N 1 + c N... N = c 1 N 1 N + c N N + + c N 1 N + c N L resolución de este sistem proporcion los vlores de los coeficientes c 1, c,...c N. Este procedimiento se conoce como interpolción glol de Lgrnge. 1 ( 1, 1) (, ) ( 3, 3) ( N, N ) Los vlores de los coeficientes del polinomio se clculn hitulmente con ud de lgún progrm informático. En el ejemplo siguiente se eplic cómo hcerlo con MATLAB. 1 Joseph Louis Lgrnge ( ), fue un mtemático, físico strónomo itlino ncido en Turín, unque vivió csi siempre en Frnci Rusi. Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

20 4. Métodos numéricos 17 Ejemplo 4.1 L tempertur del ire cerc de l tierr depende de l concentrción K del ácido crónico (H CO 3 ) en él. En l tl de más jo se recoge, pr diferentes ltitudes L sore l tierr pr el vlor de K = 0.67, l vrición K de l tempertur con respecto un ciert tempertur de referenci. Clculr el polinomio de interpolción socido estos dtos. L K Aquí, l mgnitud K es l vrile dependiente, L es l vrile independiente: L! K! Se desen clculr, con MATLAB, los coeficientes del polinomio de grdo 4 ( que h 5 dtos) que tom dichos vlores, es decir, encontrr un polinomio 8 p( 11) = 7 >< p( 7) = p() =c c 3 + c 3 + c 4 + c 5 que verifique p(5) = 3 p(8) = 4 >: p(1) = 5 Pr ello, st escriir ls siguientes órdenes en MATLAB: =[-11,-7,5,8,1] =[-7,,-3,4,-5] c=polfit(,,4) Con esto se otendrá: c = lo que signific que el polinomio interpolnte es: p() = L interpolción polinómic glol no tiene mucho interés práctico (unque sí lo tiene teórico), sore todo cundo ument el número de dtos que se quieren interpolr. Ls rzones principles son dos: Es inestle, es decir, un pequeñ vrición en los dtos puede producir un grn diferenci en los polinomios de interpolción. Esto es mu importnte cundo los dtos proceden de mediciones, que es inevitle cometer errorres. Cundo ument el número de puntos interpolr h que recurrir polinomios de grdo cd vez mor, los polinomios de grdos ltos tienden ser mu oscilntes, normlmente no representn ien los vlores de un función sin grndes vriciones. Este fenómeno se oserv mu ien en el Ejemplo Mucho más interés práctico tiene l interpolción trozos, que se eplic más delnte. Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

21 4. Métodos numéricos 173 Ejemplo 4.13 Pr interpolr los vlores: =(0,, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 1, 14, 15), = (10, 0, 30, 10, 10, 10, 10.5, 15, 50, 60, 85) es necesrio un polinomio de grdo 10 ( que h 11 dtos). Los puntos el polinomio están representdos en l figur siguiente: Se oserv que el procedimiento de interpolción glol es, en generl inestle, que los polinomios tienden hcerse oscilntes l umentr su grdo eso puede producir grndes desviciones sore los dtos. Interpolción linel trozos Hlndo en términos mu imprecisos, l interpolción linel trozos consiste en unir con segmentos rectos los pres de puntos consecutivos que se quieren interpolr. Considermos N puntos ( k, k ), k =1,...,N,conlosvloresde k todos diferentes ordendos en orden creciente o decreciente. Se llm interpolnte linel trozos lpoligonlquesorecdintervloformdo por dos vlores de consecutivos [ k, k+1 ], k =1,...,N 1, estádefinidporelsegmentoqueunelospuntos ( k, k ) ( k+1, k+1 ),comoenlfigur Figur 4.0: Interpolnte linel trozos. Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

22 4. Métodos numéricos 174 Ejemplo 4.14 Con los mismos dtos del Ejercicio 4.13, =(0,, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 1, 14, 15), = (10, 0, 30, 10, 10, 10, 10.5, 15, 50, 60, 85) l interpolción linel trozos drí como resultdo l función poligonl de l figur: Compárese l diferenci de vlores que se encontrrí si se clculr el vlor de l función en =1con cd uno de los interpolntes: con el interpolnte polinómico del Ejercicio 4.13 se otendrí el vlor = , mientrs que el interpolnte linel trozos se otendrí = 10. Ajuste de dtos L técnic de interpolción que hemos eplicdo ntes requiere que l función que interpol los dtos pse ectmente por los mismos. En ocsiones esto no d resultdos mu stisfctorios, por ejemplo si se trt de muchos dtos. Tmién sucede con frecuenci que los dtos vienen fectdos de lgún error, por ejemplo porque provienen de mediciones. No tiene mucho sentido, pues, oligr l función que se quiere construir «psr» por unos puntos que de por sí no son ectos. Otro enfoque diferente es construir un función que no tom ectmente los vlores ddos, sino que «se les prece» lo más posile, por ejemplo minimizndo el error, medido éste de lgun mner. Cundo lo que se minimiz es l sum de ls distncis de los puntos l curv hlmos de juste por mínimos cudrdos. Ldescripcióndetllddeestemétodoseescpdelosojetivosdeestsnots. En el siguiente Ejemplo se muestr cómo clculr con MATLAB l rect l práol que mejor se justn unos dtos. (0.9, 0.9) (1.5, 1.5) (3,.5) (4, 5.1) (6, 4.5) (8, 4.9) (9.5, 6.3) Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

23 4. Métodos numéricos 175 Ejemplo 4.15 Se dese clculr l rect l práol que mejor se justn los dtos siguientes: Cálculo de l rect = + que mejor se just los siguientes dtos. Dich rect se llm rect de regresión. En MATLAB, escriir ls órdenes siguientes: Se otendrá =[0.9, 1.5, 3, 4, 6, 8, 9.5] =[ 0.9, 1.5,.5, 5.1, 4.5, 4.9, 6.3] c=polfit(,,1) c = (0.57, 1) lo que signific que l rect uscd es = Si lo que se dese es clculr l práol de regresión: Se otendrá =[0.9, 1.5, 3, 4, 6, 8, 9.5] =[ 0.9, 1.5,.5, 5.1, 4.5, 4.9, 6.3] c=polfit(,,) c = ( 0.06, 1., 0.06) lo que signific que l práol uscd es = Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill