Tema 11. Integración

Transcripción

1 Tem 11 Integrción El concepto de integrl se remont los orígenes del Cálculo Infinitesiml, cundo Newton y Leibniz descubren que el problem del cálculo de áres puede bordrse medinte l operción invers de l derivción, el cálculo de primitivs, consistente en obtener un función prtir de su derivd. De est form, dos problems geométricos clásicos, el cálculo de l rect tngente un curv y el cálculo de áres, pueden verse cd uno como inverso del otro. L primer definición riguros de integrl, sin bsrse en l resbldiz ide de infinitésimo, se debe Cuchy, y es exctmente l que quí vmos estudir, limitándonos considerr l integrl de un función continu en un intervlo cerrdo y cotdo, unque Cuchy considerb csos lgo más generles. Durnte todo el siglo XIX se estudiron diverss generlizciones de l integrl definid por Cuchy, sin llegr un teorí de l integrción que pudier considerrse cbd. En 1902, el mtemático frncés H. Lebesgue ( ) hizo ver, con su tesis doctorl, que los métodos usdos hst entonces no ern los más decudos, e interpretndo de otr form ls ides de Leibniz, consiguió un concepto de integrl mucho más generl y efectivo que culquier de los nteriores, dndo lugr un teorí de l integrción plenmente stisfctori. Sentó sí ls bses pr el desrrollo del Análisis Mtemático, y de otrs muchs disciplins, todo lo lrgo del siglo XX. Pr estudir l integrl de Cuchy, necesitmos l noción de continuidd uniforme, que discutiremos previmente. En relidd Cuchy no distinguí entre continuidd y continuidd uniforme, sin que ello le condujer error, por rzones que enseguid entenderemos. Aclrd l ide de continuidd uniforme, podremos definir cómodmente l integrl de un función continu en un intervlo cerrdo y cotdo, deduciendo fácilmente sus propieddes básics. Como principl resultdo de este tem probremos el Teorem Fundmentl del Cálculo, cuyo nombre d y ide de su importnci. Estblece precismente l relción entre los conceptos de derivd y de integrl. 125

2 11. Integrción Continuidd uniforme Se f : A R un función rel de vrible rel y supongmos que f es continu en A. Usndo l crcterizción (ε δ) de l continuidd, tenemos: x A ε > 0 δ > 0 : y A, y x < δ = f (y) f (x) < ε (1) Ni que decir tiene, δ depende de ε, pero tmbién del punto x A considerdo. Fijdo ε > 0, unos puntos de A pueden obligrnos tomr δ mucho más pequeño que otros dependiendo, dicho intuitivmente, de l rpidez con que vrí l función f cerc del punto que consideremos. Pues bien, cundo podmos conseguir que un mismo δ, que dependerá sólo de ε, sirv pr todos los puntos del conjunto A, diremos que l función f es uniformemente continu en A. Así pues un función f : A R es uniformemente continu en A cundo verific: ε > 0 δ > 0 : x,y A, y x < δ = f (y) f (x) < ε (2) Obsérvese l sutil diferenci entre (1) y (2): como y hemos explicdo, en (1) permitimos que δ depend de x y de ε, mientrs que en (2) sólo puede depender de ε. Por supuesto, si f es uniformemente continu en A, podemos segurr que f es continu en A, pero vemos enseguid que el recíproco no es cierto, con un contrejemplo nd rebuscdo. L función f : R R dd por f (x) = x 2 pr todo x R no es uniformemente continu en R. Si lo fuese, usndo (2) con ε = 1, existirí δ > 0 verificndo que x,y R, y x < δ = y 2 x 2 < 1 pero esto no es posible, pues pr todo n N, tomndo x = n, y = n+(δ/2), obtendrímos que nδ + (δ 2 /4) < 1, flgrnte contrdicción. Puesto que l función identidd es uniformemente continu en R, vemos que el producto de dos funciones uniformemente continus puede no serlo. El rzonmiento usdo en el ejemplo nterior nos d l pist pr crcterizr l continuidd uniforme medinte sucesiones: Pr un función rel de vrible rel f : A R, equivlen ls siguientes firmciones: (i) f es uniformemente continu en A. (ii) Si {y n } y {x n } son sucesiones de puntos de A tles que {y n x n } 0, entonces { f (y n ) f (x n )} 0. (i) (ii). Est implicción es bstnte evidente. Sen {y n } y {x n } sucesiones de puntos de A tles que {y n x n } 0. Ddo ε > 0, l continuidd uniforme nos proporcion un δ > 0 tl que, pr x,y A con y x < δ, se tiene f (y) f (x) < ε. Existirá entonces m N tl que, pr n m se teng y n x n < δ, luego f (y n ) f (x n ) < ε. Así pues, { f (y n ) f (x n )} 0. (ii) (i). Supongmos que f no es uniformemente continu en A pr probr que no se verific (ii). Existe entonces un ε 0 > 0 tl que, pr cd δ > 0 pueden encontrrse puntos x,y A con y x < δ pero f (y) f (x) ε 0. Si pr cd n N usmos lo nterior con δ = 1/n, obtenemos dos sucesiones {y n } y {x n } de puntos de A que verificn y n x n < 1/n y f (y n ) f (x n ) ε 0, pr todo n N. Es evidente que {y n x n } 0 pero { f (y n ) f (x n )} no converge cero, luego no se verific (ii).

3 11. Integrción Funciones lipschitzins Vemos hor un propiedd que clrmente implic l continuidd uniforme. Se dice que un función f : A R es lipschitzin cundo existe un constnte M 0 verificndo que: f (y) f (x) M y x x,y A (3) Clrmente, existe un mínim constnte M 0 0 que verific l desiguldd nterior, { } f (y) f (x) M 0 = sup : x,y A, x y y x y se dice que M 0 es l constnte de Lipschitz de f, que tom su nombre del mtemático lemán R. Lipschitz ( ). De l desiguldd (3), sin necesidd de que M se exctmente l constnte de Lipschitz, deducimos que bst tomr δ = ε/m pr conseguir f (y) f (x) < ε, siempre que x,y A verifiquen y x < δ. Tenemos por tnto: Tod función lipschitzin es uniformemente continu. El Teorem del Vlor Medio nos proporcion un criterio bien sencillo pr dilucidr si un función derivble en un intervlo es lipschitzin o no, bst ver si l función derivd está o no cotd: Se I un intervlo y f : I R un función derivble en I. Ls siguientes firmciones son equivlentes: (i) f es lipschitzin. (ii) f está cotd, es decir, existe M > 0 tl que f (x) M pr todo x I. Cso de que se verifiquen (i) y (ii), l constnte de Lipschitz de f viene dd por (i) (ii). Si M 0 es l constnte de Lipschitz de f, tenemos M 0 = sup{ f (x) : x I} (4) f (y) f (x) y x M 0 x I, y I \ {x} de donde deducimos clrmente que f (x) M 0 pr todo x I. Por tnto f está cotd y, con vists (4), tenemos y un desiguldd: sup{ f (x) : x I} M 0. (ii) (i). Pongmos M = sup{ f (x) : x I}. Ddos x,y I, el Teorem del Vlor Medio nos proporcion un punto c I que nos permite escribir f (y) f (x) = f (c) y x M y x Esto prueb que f es lipschitzin con constnte de Lipschitz M 0 M, l otr desiguldd que necesitábmos pr probr (4). Como csos prticulres tenemos, por ejemplo:

4 11. Integrción 128 Ls funciones seno, coseno y rco tngente son lipschitzins con constnte de Lipschitz 1 y, por tnto, son uniformemente continus en R. En generl, divinmos un form fácil de segurrse l cotción de l derivd, bst suponer que l derivd es continu y trbjr en un intervlo cerrdo y cotdo, pr poder plicr el Teorem de Weierstrss: Tod función de clse C 1 en un intervlo cerrdo y cotdo es lipschitzin en dicho intervlo. Pr concluir est breve discusión de ls funciones lipschitzins, vemos un ejemplo de un función uniformemente continu que no es lipschitzin. L función ríz cudrd es uniformemente continu, pero no lipschitzin, en R + 0. Pr probr l continuidd uniforme, tommos x,y R + 0 y, suponiendo por ejemplo que x < y, tenemos y x = y x y x = y x y + x y x Luego pr que se y x < ε, bst que se teng y x < ε 2. Por otr prte l función ríz cudrd es derivble en R + pero su derivd no está cotd, luego no es lipschitzin en R +, menos ún en R Teorem de Heine Hemos visto nteriormente que un función de clse C 1 en un intervlo cerrdo y cotdo es uniformemente continu en dicho intervlo. Pero tenemos un resultdo mucho mejor: Teorem. Tod función continu en un intervlo cerrdo y cotdo es uniformemente continu en dicho intervlo. Demostrción. Sen,b R con < b, se f : [,b] R un función continu en [,b], y supongmos que f no es uniformemente continu, pr llegr un contrdicción. Existe ε 0 > 0 tl que, pr cd δ > 0 podemos encontrr x,y [,b] verificndo que y x < δ pero f (y) f (x) ε 0. Como y hemos hecho nteriormente, tommos δ = 1/n con n N pr encontrr dos sucesiones {y n } y {x n } de puntos de [,b] tles que y n x n < 1/n y f (y n ) f (x n ) ε 0 pr todo n N. Por el Teorem de Bolzno-Weierstrss, {y n } dmite un sucesión prcil {y σ(n) } que converge un punto x [,b]. Puesto que {y n x n } 0, tenemos tmbién que {y σ(n) x σ(n) } 0, luego {x σ(n) } x. Aplicndo que f es continu en el punto x obtenemos { f (y σ(n) )} f (x) y tmbién { f (x σ(n) )} f (x), luego { f (y σ(n) ) f (x σ(n) )} 0. Esto es un contrdicción, y que f (y σ(n) ) f (x σ(n) ) ε 0 pr todo n N. Qued hor clro porqué Cuchy no se equivocb l no distinguir entre continuidd y continuidd uniforme: trbjb con funciones definids en intervlos cerrdos y cotdos, pr ls que l continuidd y l continuidd uniforme son propieddes equivlentes. L distinción clr entre mbs propieddes, sí como el teorem nterior, que se tribuye l mtemático lemán H. Heine ( ), son posteriores l trbjo de Cuchy.

5 11. Integrción Breve reseñ históric Sen, b R con < b y f un función continu en [, b]. Pr explicr l form en que Leibniz entendí l integrl, supongmos pr simplificr que f no tom vlores negtivos y pensemos cómo clculr el áre limitd por el eje de bsciss, l gráfic de l función f y ls rects verticles de ecuciones x = y x = b. Buscmos pues el áre del conjunto T = {(x,y) R 2 : x b, 0 y f (x)} que será l interpretción geométric de l integrl de f. Leibniz considerb, pr cd punto x [,b] un intervlo de longitud infinitesiml dx, de form que entre x y x + dx puede dmitirse que l función f se mntiene constntemente igul f (x). Por tnto, el infinitésimo f (x)dx es el áre de un rectángulo, precismente l prte del conjunto T contenido entre ls rects verticles de bsciss x y x+dx. Sumndo ls áres de todos los rectángulos que se obtienen cundo x recorre el intervlo [,b], debemos obtener el áre del conjunto T, de modo que Leibniz entendí l integrl como un sum infinit de infinitésimos. En su tiempo se usb l letr S en lugr de l ctul Σ pr representr un sum, de modo que pr indicr que su integrl er un sum bstnte peculir, Leibniz propone lrgr l S y denotr su integrl por f (x)dx, que es l notción que hoy seguimos usndo. Nos preguntmos entonces cul es l relción entre l integrl sí entendid y el concepto de derivd. Supongmos que disponemos de un primitiv de f, es decir, que f es l derivd de otr función F. Con l notción de Leibniz, escribirímos f (x)dx = df(x) = F(x+dx) F(x). Entonces, l sumr todos estos infinitésimos, como si de un sum finit se trtr, podemos pensr que ls diferencis consecutivs se vn cncelndo y l sum result ser f (x)dx = F(b) F() Est fórmul básic del cálculo integrl permite clculr áres con sorprendente fcilidd. Tmbién l conocí Newton, que l justificb con rgumentos no menos esotéricos y l tribuí su mestro I. Brrow ( ), por lo que suele conocerse como regl de Brrow. Es fácil hor divinr el método usdo por Cuchy pr formlizr rigurosmente ls ides de Newton y Leibniz: igul que con l derivd, sustituir los infinitésimos por cntiddes reles que se hcen tender cero, de form que l integrl se obtiene, no como un misterios sum de infinitos infinitésimos sino como límite de sums finits de números reles. Pr entender tod l discusión que sigue, unque no podemos bsrnos en un noción de áre de l que no disponemos, conviene tener presente l interpretción intuitiv de l integrl como un áre, con un slvedd: permitimos que nuestr función tome vlores negtivos y entendemos que ls áres de regiones situds por debjo del eje de bsciss son negtivs y pueden compensrse con ls áres positivs de regiones situds en el semiplno superior.

6 11. Integrción Definición de integrl En todo lo que sigue, fijmos,b R con < b y un función f : [,b] R continu en [,b]. Nuestro objetivo es definir l integrl de f, un número rel que respond nuestr ide intuitiv de áre, explicd nteriormente. Tomemos un prtición P F[,b], que recordmos es un subconjunto finito de [,b] con,b P, cuyos elementos numermos siempre de menor myor: P = { = t 0 < t 1 <... < t n = b} (5) Tenemos clrmente un estimción por defecto y otr por exceso del áre en l que estmos pensndo: ( I( f,p) = mín f ([tk 1,t k ]) ) (t k t k 1 ) S( f,p) = n k=1 n k=1 ( máx f ([tk 1,t k ]) ) (t k t k 1 ) Decimos que I( f, P) es l sum inferior y S( f, P) l sum superior de f pr l prtición P. Tmbién podemos, pr k = 1,2,...,n, elegir un punto x k [t k 1,t k ] y considerr l sum α = n f (x k )(t k t k 1 ) k=1 Decimos que α es un sum integrl de f con respecto l prtición P. Observmos que ls sums superior e inferior son sums integrles determinds de mner únic, de hecho son respectivmente l máxim y l mínim sums integrles, pues evidentemente se tiene pr culquier sum integrl α. I( f,p) α S( f,p) Como y se h dicho, el áre que buscmos debe myorr tods ls sums inferiores y minorr tods ls sums superiores que se obtienen l vrir l prtición P. Procede ver lo que ocurre l cmbir l prtición, empezndo por ñdirle un solo punto. Sen pues P un prtición del intervlo [,b] dd por (5), c ],b[\p y k {1,2,...,n} tl que t k 1 < c < t k. Al psr de P P = P {c}, todos los sumndos de I( f,p) o S( f,p) se mntienen slvo el k-ésimo, que se sustituye por l sum de dos, con lo que tenemos: I( f,p ) I( f,p) = ( mín f ([t k 1,c]) ) (c t k 1 ) + ( mín f ([c,t k ]) ) (t k c) ( mín f [t k 1,t k ] ) (t k t k 1 ) ( mín f [t k 1,t k ] )[ (c t k 1 ) + (t k c) (t k t k 1 )] = 0 Por tnto, I( f,p) I( f,p ) y nálogmente comprobrímos que S( f,p) S( f,p ). Así que l sum inferior no disminuye, y l superior no ument, l ñdir un punto l prtición considerd. El siguiente pso es un obvi inducción: lo mismo ocurrirá l ñdir un conjunto finito de puntos. Pr P,P F[,b] tenemos por tnto: P P = I( f,p) I( f,p ) S( f,p ) S( f,p)

7 11. Integrción 131 Si hor tommos dos prticiones culesquier P 1,P 2 F[,b] tendremos: I( f,p 1 ) I( f,p 1 P 2 ) S( f,p 1 P 2 ) S( f,p 2 ) sí que tod sum inferior es menor o igul que culquier sum superior. Nos vmos cercndo nuestro objetivo, pues el xiom del continuo y nos segur l existenci de números reles que cumplen lo esperdo pr el áre que buscmos. De form más precis, tenemos: sup { I( f,p) : P F[,b] } ínf { S( f,p) : P F[,b] } (6) Pero, poco que se piense, est desiguldd no es suficiente, necesitmos l iguldd pr que el número rel que buscmos esté determindo de mner únic. Merece l pen detenerse un momento observr que en relidd, en los rzonmientos nteriores no se h usdo l continuidd de f. Ciertmente hemos usdo máximos y mínimos de f en diferentes intervlos, pero todo el rzonmiento se mntiene si los sustituimos por los correspondientes supremos e ínfimos, suponiendo solmente que f está cotd en [, b]. Se obtiene pues l desiguldd (6) pero no se puede segurr que se dé l iguldd, de modo que podrímos decir que l función f es integrble cundo se teng dich iguldd. El problem es que hciendo eso, hbrí funciones muy sencills que no serín integrbles y, lo que es más importnte, se tendrí un teorí de l integrción muy poco stisfctori, como se fue comprobndo lo lrgo del siglo XIX, hst que Lebesgue dio con un plntemiento mucho más efectivo. Aquí nos limitremos probr que cundo f es continu, (6) es un iguldd, y trbjr con l integrl que sí se obtiene. Volvemos pues suponer que f es continu en [,b]. L ide es probr que, tomndo un prtición suficientemente fin, podemos conseguir que l diferenci entre ls sums superior e inferior se tn pequeñ como se quier, lo que clrmente implic que (6) es un iguldd. Llmremos nchur de l prtición P dd por (5) l número positivo definido por P = máx{t k t k 1 : k = 1,2,...,n} e intuitivmente, l prtición será tnto más fin cunto más pequeñ se su nchur. Ddo ε > 0, por ser f uniformemente continu en [, b] (Teorem de Heine), existe δ > 0 tl que f (y) f (x) < ε/(b ) pr x,y [,b] con y x < δ. Supongmos entonces que l prtición P verific que P < δ y, pr k = 1,2,...,n, sen x k,y k [t k 1,t k ] tles que f (x k ) = mín f ([t k 1,t k ]) y f (y k ) = máx f ([t k 1,t k ]). Tenemos entonces y k x k t k t k 1 P < δ, luego f (y k ) f (x k ) < ε b Deducimos inmeditmente que S( f,p) I( f,p) = y hemos demostrdo lo siguiente: n ( f (yk ) f (x k ) ) (t k t k 1 ) < ε k=1 b n k=1 (t k t k 1 ) = ε ε > 0 δ > 0 : P F[,b], P < δ = S( f,p) I( f,p) < ε (7)

8 11. Integrción 132 Pr deducir que se d l iguldd en (6) sólo qued segurrse de que existen prticiones con nchur rbitrrimente pequeñ, lo cul es bien obvio, podemos por ejemplo subdividir el intervlo [, b] en un número suficiente de intervlos de igul longitud. Más concretmente, pr cd n N, l prtición P n dd por P n = { = t 0 < t 1 <... < t n = b} con t k = + verific evidentemente que P n = (b )/n. k(b ) n pr k = 0,1,...,n (8) Se pues {P n } culquier sucesión de prticiones de [,b] que, como l que cbmos de presentr, verifique { P n } 0. Pr cd ε > 0 tenemos δ > 0 ddo por (7), y encontrmos m N de form que pr n m se teng P n < δ, y por tnto, S( f,p n ) I( f,p n ) < ε. Esto prueb que {S( f,p n ) I( f,p n )} 0. Puesto que, pr todo n N, tenemos tmbién ínf{s( f,p) : P F[,b]} sup{i( f,p) : P F[,b]} S( f,p n ) I( f,p n ) el primer miembro de est desiguldd se nul y tenemos l tn desed iguldd. Definición. Si f es un función continu en un intervlo cerrdo y cotdo [, b], l integrl de f en dicho intervlo es, por definición, el número rel ddo por f (x)dx = sup{i( f,p) : P F[,b]} = ínf{s( f,p) : P F[,b]} Pr obtener descripciones más cómods de l integrl que ls dds por est definición, volvmos nuestr sucesión {P n } de prticiones que verifique { P n } 0. Entonces I( f,p n ) f (x)dx S( f,p n ) n N y sbemos que {S( f,p n ) I( f,p n )} 0, luego deducimos que f (x)dx = lím n I( f,p n ) = lím n S( f,p n ) Ests expresiones de l integrl como un límite pueden ser más cómods que l definición como un supremo o un ínfimo, máxime teniendo en cuent l libertd pr elegir l sucesión {P n }, sin más restricción que { P n } 0. Sin embrgo, ls sums superiores e inferiores todví involucrn cálculos de vlores máximos y mínimos de l función en numerosos intervlos, de modo que conviene hcer lgo ún mejor. Si pr cd n N elegimos un sum integrl α n de l función f pr l prtición P n, tenemos I( f,p n ) α n S( f,p n ) n N de donde deducimos que l sucesión {α n } tmbién converge l integrl, culquier que hy sido l form de elegir ls sums integrles. Podemos pues hcer el siguiente enuncido, que d y un cómod descripción de l integrl.

9 11. Integrción 133 Se f un función continu en un intervlo cerrdo y cotdo [,b], se {P n } un sucesión de prticiones de [,b] tl que { P n } 0 y, pr cd n N, se α n culquier sum integrl de f pr l prtición P n. Entonces: f (x)dx = lím n α n Tenemos sí l integrl expresd como límite de sums integrles en ls que sólo precen los vlores de l función en ciertos puntos del intervlo, que demás se pueden elegir con bstnte libertd. Por ejemplo, usndo l sucesión de prticiones definid en (8) tenemos f (x)dx = lím n b n n f k=1 ( + k (b ) n Merece l pen un breve comentrio sobre l notción que usmos pr l integrl. Aprte de respetr el simbolismo de Leibniz, permite referirse de form rápid l integrl de un función sin detenerse definirl por seprdo, pues indic el vlor de dich función en un punto genérico x [, b]. Por ejemplo, podemos escribir 1 0 ) x 2 dx pr referirnos l integrl en el intervlo [0,1] de l función definid por f (x) = x 2 pr todo x [0,1]. En ocsiones, incluso debemos divinr el vlor de l función que se integr en lgún punto x [,b] pr el que l expresión f (x) no tiene en principio sentido, quedndo dicho vlor determindo por el requerimiento de que f se continu. Por ejemplo, podemos escribir 1 0 sen x x pr referirnos l integrl en el intervlo [0,1] de l función f : [0,1] R definid por f (x) = sen x x dx x ]0,1], f (0) = 1 El símbolo dx tiene tmbién su ppel, indic l vrible de integrción x, que como hemos visto represent un punto genérico del intervlo [,b]. Puede ocurrir que l expresión de f (x) involucre otrs vribles, que se suelen llmr prámetros. Clrmente l integrl dependerá del vlor de tles prámetros, pues l cmbir dicho vlor cmbi l función que se integr, pero no dependerá obvimente de x, por lo que suele decirse que l vrible de integrción es un vrible mud, no tiene nd que decir. Consideremos por ejemplo ls integrles: 2 1 x y dx y 2 1 x y dy En l primer x es l vrible de integrción, mientrs que y es un prámetro, nos estmos refiriendo l integrl en el intervlo [1,2] de l función potenci de exponente y, que desde luego dependerá de y. L segund es l integrl en el mismo intervlo de l función exponencil de bse x, que depende obvimente del prámetro x. Más delnte veremos tmbién que el símbolo dx yud recordr l fórmul de cmbio de vrible, un método muy útil pr clculr integrles.

10 11. Integrción Propieddes de l integrl. Vmos probr tres propieddes básics de l integrl recién definid, ls dos primers describen su dependenci respecto de l función que se integr (integrndo) y l tercer lude lo que ocurre l vrir el intervlo de integrción. Linelidd. Si f y g son funciones continus en un intervlo cerrdo y cotdo [,b], y λ,µ R, se tiene: (λ f + µg)(x)dx = λ f (x)dx + µ g(x) dx (9) L comprobción es csi evidente teniendo en cuent l descripción de l integrl como límite de sums integrles. Si {P n } es un sucesión de prticiones de [,b] con { P n } 0 y, pr cd n N, γ n es un sum integrl de l función λ f + µg pr l prtición P n, es clro que γ n = λα n + µβ n donde α n es un sum integrl de f y β n un sum integrl de g, en mbos csos pr l prtición P n. Por tnto, l sucesión {α n } converge l integrl de f y {β n } converge l integrl de g, de donde (λ f + µg)(x)dx = lím γ n = λ lím α n + µ lím n n = λ f (x)dx + µ n β n g(x) dx Podemos ver l integrción como un proceso medinte el cul, cd función continu en un intervlo fijo [,b], signmos un número rel, l integrl de dich función. Tenemos sí un plicción definid en el conjunto C[,b] de tods ls funciones continus en [,b], que tom vlores en R. Simbólicmente: I : C[,b] R, I( f ) = f (x)dx f C[,b] Pr mnejr con fcilidd ls propieddes de l integrl con respecto l integrndo, conviene tener presente l plicción I. Por ejemplo, recordndo que C[, b] es un espcio vectoril sobre R, l propiedd recién demostrd nos dice que I es un plicción linel. Ls plicciones lineles de un espcio vectoril X en el cuerpo sobre el que está construido suelen llmrse funcionles lineles en X. L integrción define por tnto un funcionl linel en C[,b] y no es exgerdo firmr que estmos nte un prototipo de funcionl linel. Positividd. Si f es un función continu en un intervlo cerrdo y cotdo [,b], se tiene: f (x) 0 x [,b] = f (x)dx 0 Est segund propiedd de l integrl es ún más evidente, pues tods ls sums integrles de f, pr culquier prtición, son números reles no negtivos, luego el límite de un sucesión de sums integrles no puede ser negtivo.

11 11. Integrción 135 Pensemos que en el espcio vectoril C[, b] tenemos un relción de orden muy nturl: pr f,g C[,b] bst definir g f g(x) f (x) x [,b] Pues bien, denotndo por 0 l función constntemente igul cero en [,b], es decir, el vector cero en el espcio vectoril C[,b], cbmos de observr que pr f C[,b] con f 0, se tiene I( f ) 0, por lo que suele decirse que el funcionl linel I es positivo. L positividd de l integrl, junto con l linelidd, produce interesntes consecuencis que vmos desgrnr. Si f,g C[,b] verificn que g f tenemos evidentemente f g 0, luego I( f g) 0, es decir, I(g) I( f ). Vemos que l integrl preserv el orden: f,g C[,b], g f = g(x)dx f (x)dx Pr culquier f C[,b] tenemos evidentemente f f f, luego l preservción del orden nos dice que I( f ) I( f ) I( f ), es decir, I( f ) I( f ). Más explícitmente, tenemos f (x)dx f (x) dx f C[,b] Est desiguldd se us muy frecuentemente cundo se quieren obtener cotciones de cierts integrles. Pr f C[,b], pongmos m = mín f ([,b]) y M = máx f ([,b]). Directmente de l definición de integrl, o bien comprndo f con funciones constntes, cuy integrl es bien fácil de divinr, deducimos m(b ) f (x)dx M (b ) Dividiendo por b y plicndo el Teorem del Vlor Intermedio pr funciones continus, obtenemos l que se conoce como propiedd de l medi: f C[,b] = c [,b] : f (x)dx = f (c)(b ) 1 Nótese que el cociente f (x)dx puede verse como un promedio de los vlores de f b en el intervlo [,b]. L propiedd de l medi nos dice que este promedio es efectivmente un vlor de l función f. Combinndo resultdos nteriores tenemos f C[,b] = f (x)dx ( máx{ f (x) : x [,b]} ) (b ) (10) propiedd que puede entenderse como un continuidd de l integrl con respecto l integrndo. Pr explicrlo, conviene plicrl l diferenci entre dos funciones cercns : f,g C[,b], f (x) g(x) < ε x [,b] = f (x)dx g(x) dx < ε(b )

12 11. Integrción 136 Cundo ε es pequeño, l condición f (x) g(x) < ε pr todo x [,b] indic que l función g está muy próxim f y vemos que entonces l integrl de g está tmbién muy próxim l integrl de f. De hecho podemos decir que l integrl de g tiende coincidir con l integrl de f cundo g tiende coincidir con f, lo que evoc clrmente l ide de continuidd. Vemos y l tercer propiedd básic de l integrl, referente l intervlo de integrción. Aditividd. Si f es un función continu en un intervlo cerrdo y cotdo [, b], pr todo c [,b] se tiene: f (x)dx = c f (x)dx + f (x)dx (11) c Pr comprobrlo tommos un prtición P F[,b] y escribimos P {c} = P 1 P 2 donde P 1 F[,c] y P 2 F[c,b]. Tenemos clrmente I( f,p) I( f,p {c}) = I( f,p 1 ) + I( f,p 2 ) c f (x)dx + c f (x)dx donde hemos usdo que ls integrles de f en los intervlos [,c] y [c,b] son myorntes de los respectivos conjuntos de sums inferiores. Puesto que l desiguldd nterior es válid pr tod prtición P F[,b], usndo hor l definición de l integrl en el intervlo [,b] como supremo del conjunto de ls sums inferiores, obtenemos Análogmente tenemos tmbién f (x)dx c f (x)dx + f (x)dx c S( f,p) S( f,p {c}) = S( f,p 1 ) + S( f,p 2 ) de donde deducimos l otr desiguldd: c f (x)dx + c b f (x)dx f (x)dx c f (x)dx + f (x)dx c En el principl resultdo de este tem, que bordremos enseguid, usmos integrles cuyos límites de integrción pueden ser dos puntos rbitrrios de un intervlo. Con más precisión, conviene que l expresión v tmbién un significdo cundo u v. u f (x)dx, que hst hor solo hemos mnejdo con u < v, teng Pr ello, ddos,b R con < b, si f es un función continu en el intervlo [,b], definimos f (x)dx = 0 y b f (x)dx = f (x)dx En relidd, pr l primer de ests definiciones, que son más bien convenios de notción, l función f puede ser perfectmente rbitrri. Nótese que hor, si I es un intervlo y f : I R es continu en I, l expresión v u f (x) dx tiene sentido pr culesquier u, v I.

13 11. Integrción 137 Observemos lo que ocurre con ls propieddes de l integrl en est situción más generl, empezndo por l ditividd con respecto l intervlo de integrción. L iguldd (11) sigue siendo ciert, culquier que se l relción entre los puntos, b y c, siempre que ls tres integrles que en ell precen tengn sentido. Más concretmente, ddos,b,c R, sen α = mín{,b,c}, β = máx{,b,c} y notemos que cundo α = β no hy nd que comprobr, ls tres integrles que precen en (11) son 0. Si α < β y f es un función continu en el intervlo [α,β], ls tres integrles que precen en (11) tienen sentido y queremos comprobr que l iguldd sigue siendo ciert. Pr ello conviene expresrl en form cíclic: f (x)dx + c b f (x)dx + c f (x)dx = 0 Observmos que el primer miembro siempre cmbi de signo, luego l iguldd se mntiene, cundo permutmos dos de los puntos, b, c. Usndo ls permutciones que sen necesris, bstrá que l iguldd se ciert cundo c b. Si = c o c = b l iguldd es evidente, mientrs que si < c < b tenemos el cso y conocido. De form todví más clr, l iguldd (9), que nos db l linelidd de l integrl, sigue siendo ciert con > b, siempre que f y g sen hor funciones continus en el intervlo [b,], pues sus dos miembros cmbin de signo l permutr y b. El cso = b no merece comentrio. Finlmente, l iguldd (10) que nos dio l continuidd de l integrl, sigue siendo ciert con sólo tener en cuent el signo del segundo miembro. Más concretmente, pr,b R, con b, si J es el intervlo cerrdo de extremos y b, y f es un función continu en J, se tiene clrmente que f (x)dx máx{ f (x) : x J} b (12) Teorem Fundmentl del Cálculo H llegdo el momento de relcionr los conceptos de derivd e integrl. Teorem. Se I un intervlo y f : I R un función continu en I. Fijdo un punto I, consideremos l función F : I R definid por: F(x) = x f (t)dt x I Entonces F es derivble en I con F (x) = f (x) pr todo x I. Demostrción. Fijdo x I, deberemos probr que F(y) F(x) lím y x y x = f (x) (13)

14 11. Integrción 138 Pr y I \ {x}, l ditividd de l integrl nos dice que F(y) F(x) = y f (t)dt x f (t)dt = y x f (t)dt Por otr prte, si J y es el intervlo de extremos x e y, integrndo en dicho intervlo l función constntemente igul f (x) tenemos clrmente que f (x)(y x) = y x f (x)dt Restndo ls dos igulddes nteriores y usndo l linelidd de l integrl, obtenemos F(y) F(x) f (x)(y x) = y x ( f (t) f (x) ) dt (14) Acotmos l integrl del segundo miembro usndo l desiguldd (12) y obtenemos: y ( ) f (t) f (x) dt máx { } f (t) f (x) : t J y y x x Enlzndo con (14), y dividiendo por y x = 0, concluimos que F(y) F(x) f (x) y x máx { } f (t) f (x) : t J y (15) El finl de l demostrción puede y divinrse: l continuidd de f en el punto x hce que, tomndo y suficientemente próximo x, podmos conseguir que todos los vlores de f en el intervlo J y estén tn cerc de f (x) como se quier. Más concretmente, ddo ε > 0, por ser f continu en x existe δ > 0 tl que, pr t I con t x < δ se tiene f (t) f (x) < ε. Entonces, si y I verific que 0 < y x < δ, pr todo t J y será tmbién t x < δ, luego f (t) f (x) < ε, y el máximo que prece en el segundo miembro de (15) será menor que ε. Hemos probdo que ε > 0 δ > 0 : y I, 0 < y x < δ = F(y) F(x) y x f (x) < ε de donde l iguldd (13) buscd. Como primer consecuenci obvi del teorem nterior, l integrción nos h permitido probr un resultdo vris veces nuncido: tod función continu en un intervlo es l derivd de otr función, que será de clse C 1 en dicho intervlo. Vemos por tnto que el Teorem del Vlor Intermedio pr funciones continus qued como cso prticulr del Teorem del Vlor Intermedio pr ls derivds. Un obvi inducción permite expresr culquier función continu en un intervlo como derivd n-ésim de otr función: Se I un intervlo, f : I R un función continu en I y n N. Existe un función H C n (I) tl que H (n) = f.

15 11. Integrción 139 Podemos hor probr fácilmente, como tmbién se nunció en su momento, l existenci de funciones con propieddes de derivbilidd concrets. En primer lugr, pr cd n N, podemos plicr el resultdo nterior l función vlor bsoluto, obteniendo un función H C n (R) tl que H (n) (x) = x pr todo x R. Es evidente entonces que H / D n+1 (R). Con culquier otro intervlo hrímos un rzonmiento similr. Por otr prte, conocemos un función f que es derivble en R pero no de clse C 1 en R: f (x) = x 2 sen(1/x) x R, f (0) = 0 Pr n > 1, podemos hor segurr que existe un función H D n 1 (R) tl que H (n 1) = f, luego H D n (R) pero H / C n (R). De nuevo este rzonmiento se puede trsldr culquier otro intervlo y podemos enuncir: Pr culquier intervlo I R, y pr todo n N {0} se tiene que D n (I) C n (I) D n+1 (I) Vemos hor principl plicción práctic del Teorem Fundmentl del Cálculo: Regl de Brrow. Se I un intervlo y f : I R un función continu en I. Se G un primitiv de f, esto es, un función G : I R derivble en I, tl que G (x) = f (x) pr todo x I. Entonces, pr culesquier, b I se tiene: f (x)dx = G(b) G() Demostrción. Nótese que puede perfectmente ser b. En culquier cso, fijdo I, se F : I R l función que prece en el Teorem Fundmentl del Cálculo. Puesto que F y G tienen l mism derivd, existirá un constnte C R tl que F(x) = G(x) + C pr todo x I. Por ser F() = 0, tenemos C = G() de donde, pr todo b I, deducimos que f (x)dx = F(b) = G(b) + C = G(b) G() Como csos prticulres interesntes destcmos los siguientes: x 1 dt t = log x x R + ; x 0 dt = rctgx x R 1 +t 2 Pr comprender l utilidd de ests igulddes, imginemos por un momento que todví no conociésemos ls funciones exponenciles y logrítmics, ni ls funciones trigonométrics y sus inverss. L gm de funciones conocids se reducirí entonces, prácticmente ls funciones rcionles, pero sbrímos que l función t 1/t es continu en R + y que t 1/(1 + t 2 ) es continu en R, pues en mbos csos se trt de funciones rcionles. Podrímos entonces definir el logritmo y el rco tngente medinte ls igulddes nteriores. Lejos de trtrse de un simple curiosidd, este es el procedimiento más cómodo y elegnte pr estudir l función logritmo, y prtir de ell l exponencil y ls potencis, sí como l función rco tngente, y prtir de ell l tngente y el resto de ls funciones trigonométrics. Recorrer todo este cmino, probndo tods ls propieddes y conocids de ests fmilis de funciones, es un trbjo que relmente puede merecer l pen.

16 11. Integrción Cmbio de vrible Mezclndo l regl de Brrow con l regl de l cden, obtenemos fácilmente un fórmul tmbién muy útil pr el cálculo de integrles. Fórmul de cmbio de vrible. Sen I,J intervlos, ϕ : J I un función de clse C 1 en J y f : I R un función continu en I. Pr culesquier c,d J, tomndo = ϕ(c) y b = ϕ(d) se tiene: f (x)dx = d c f ( ϕ(t) ) ϕ (t)dt (16) L demostrción es inmedit, plicndo l regl de l cden y dos veces l regl de Brrow. Se F : I R un función derivble en I tl que F (x) = f (x) pr todo x I, cuy existenci viene segurd por el Teorem Fundmentl del Cálculo. Aplicndo l regl de l cden sbemos que F ϕ es derivble en J con (F ϕ) (t) = F ( ϕ(t) ) ϕ (t) = f ( ϕ(t) ) ϕ (t) t J Aplicndo dos veces l regl de Brrow, tenemos: f (x)dx = F (x)dx = F(b) F() = F ( ϕ(d) ) F ( ϕ(c) ) = como querímos demostrr. d c (F ϕ) (t)dt = d c f ( ϕ(t) ) ϕ (t)dt Obsérvese cómo l notción que usmos pr l integrl permite recordr muy fácilmente l fórmul de cmbio de vrible, pensndo que l iguldd (16) se obtiene sustituyendo l vrible de integrción x por un nuev vrible t, ligds por l iguldd x = ϕ(t). Clro está que debemos entonces sustituir f (x) por f ( ϕ(t) ), pero si recordmos el concepto de diferencil de un función, tmbién result coherente sustituir dx por ϕ (t)dt, que podrímos decir es l diferencil de x vist como función de t. Finlmente, el cmbio en los límites de integrción es igulmente rzonble, bst pensr que y b son los vlores de l vrible x que corresponden los vlores c y d de l vrible t, respectivmente. Como ejemplo de plicción de l fórmul de cmbio de vrible, pr α,β R + vmos clculr el número rel A = 4β α α α 2 x 2 dx 0 que se interpret clrmente como el áre encerrd por l elipse de ecución x2 α 2 + y2 β 2 = 1. Pr usr l fórmul de cmbio de vrible, podemos tomr I = [0,α] y f : I R l función dd por f (x) = α 2 x 2 pr todo x I, que clrmente es un función continu en I. Tommos J = [0,π/2] y ϕ(t) = α sen t pr todo t J, con lo que clrmente ϕ C (J) y ϕ(j) I. Además, y quí se explic l elección de ϕ, tenemos f ( ϕ(t) ) ϕ (t) = (α 2 α 2 sen 2 t) 1/2 α cos t = α 2 cos 2 t t J

17 11. Integrción 141 Finlmente, tenemos 0 = ϕ(0) y α = ϕ(π/2), luego l fórmul de cmbio de vrible nos permite escribir α 0 α 2 x 2 dx = α 2 π/2 0 cos 2 t dt = α2 2 π/2 0 (1 + cos 2t)dt donde tmbién hemos usdo un identidd trigonométric conocid. L integrl resultnte es fácil de clculr, puesto que tomndo G(t) = t + (1/2)sen 2t t R, tenemos G (t) = 1 + cos 2t t R y l regl de Brrow nos d π/2 0 (1 + cos 2t)dt = G(π/2) G(0) = π/2 Encdenndo ls sucesivs igulddes obtenids concluimos finlmente que A = παβ.