CÁLCULO DE VARIACIONES

Transcripción

1 Págin 1 Cpítulo 1 CÁLCULO DE VARIACIONES 1. Introducción. Consideremos los siguientes dos problems. Problem 1. Sen P y Q dos puntos en el plno crtesino. Se requiere encontrr l curv que v de P Q y que teng l longitud mínim. Esto es, se requiere minimizr en donde y = y(x), ẏ = dy/dx y demás 1 + (ẏ)2 dx P = (, y() ) y Q = ( b, y(b) ). Problem 2. Supongmos que P yce en l prte superior del plno crtesino y que Q yce en el eje horizontl. Considere l curv que v de P Q dd por y = y(x). Se g l constnte grvitcionl. Si un cnic de ms igul m se desplz lo lrgo de est curv bjo l cción de l grvedd, entonces l energí cinétic es igul l energí potencil, y por lo tnto Se cumple entonces que 1 2 mv2 = mgy. ds dt = v = 2gy en donde ds = 1 + (ẏ) 2 dx.

2 Págin 2 Se requiere encontrr l curv y = y(x) de descenso más rápido, esto es, se requiere 1 + (ẏ) 2 minimizr dx. y L curv de descenso más rápido de denomin brquistocrom. 2. L ecución de Euler. En los dos problems del prtdo 1, se requiere hllr un función y = y(x) que hg mínin un integrl de l form (3) I(y) = F (x, y, ẏ) dx. Pr hcer énfsis en que el dominio de I(y) es un espcio de funciones, se dice que I(y) es un funcionl. Con más precisión, se debe especificr siempre cuál es el espcio de funciones en donde oper l funcionl I. En los Problems 1 y 2 nteriores, se puede tomr como dominio de l funcionl, el siguiente espcio de funciones con dos derivds continus (4) D = { y C 2 [, b] : P = (, y() ), Q = ( b, y(b) )} en donde P y Q son puntos fijos del plno crtesino. Pr encontrr un condición necesri pr un óptimo de I(y) el siguiente resultdo es útil. El siguiente se llm lem fundmentl del cálculo de vriciones. Lem 5. Se f : [, b] R un función continu. Supongmos que pr tod función η : [, b] R, con derivd η continu y tl que

3 Págin 3 η() = = η(b), se cumple que η(x)f(x) dx =. Entonces f(x) = pr cd x [, b]. Demostrción. Supongmos lo contrrio. Entonces existe ξ (, b) tl que f(ξ). Se puede suponer que f(ξ) >. Puesto que f es continu, entonces existe ɛ > tl que x ξ < 2ɛ implic 1 f(ξ) f(x). 2 Se η(x) un función con derivd continu y no negtiv tl que η(x) = pr cd x [, b] \ (ξ 2ɛ, ξ + 2ɛ). Podemos suponer tmbién que Entonces tenemos η(x) = 1 pr cd x (ξ ɛ, ξ + ɛ). η(x)f(x) dx Esto es un contrdicción. ξ+ɛ ξ ɛ f(x) dx ɛf(ξ) >. L ecución (7) que sigue se llm l ecución de Euler. Teorem 6. Se I(y) como en (3). Se D como en (4). Si I(y) = inf { I(z) : z D } y demás y D, entonces (7) F 2 df 3 dx =. Es frecuente escribir l ecución (7) como F y d ( F ) dx ẏ =.

4 Págin 4 Demostrción del Teorem 6. Supongmos que y es tl que I(y) = inf { I(z) : z D }. Se η(x) un función suficientemente suve y tl que η() = = η(b). Se α un número rel. Se z(x) = y(x) + αη(x). Entonces z D. Consideremos hor l función H : R R, definid medinte H(α) = = F (x, z, ż) dx F ( x, y(x) + αη(x), ẏ(x) + α η(x) ) dx. Puesto que I(y) = inf { I(z) : z D }, entonces H(α) lcnz un extremo en α =. Por lo tnto Ḣ() =. Clculndo l derivd dentro de l integrl, se obiene Por otr prte, Por lo tnto, Ḣ(α) = F (x, z, ż) dx. α F α = F dx 1 dα + F dz 2 dα + F dż 3 dα = F 2η + F 3 η. Ḣ() = { } F 2 (x)η(x) + F 3 (x) η(x) dx =.

5 Págin 5 Integrndo por prtes, se obtiene que b F 3 (x) η(x) dx = η(x)f 3 (x) }{{} es igul cero η(x) d dx F 3(x) dx. El término integrdo es igul cero, y que η() = = η(b). Se cumple entonces que { η(x) F 2 d } dx F 3 dx =. El teorem se sigue hor del Lem Csos especiles. En est sección considermos lgunos csos del problem de optimizr l funcionl I(y) = F (x, y, ẏ) dx. cundo F es de un form especil. Puesto que df 3 dx = F dy 31 + F 32 dx + F d 2 y 33 dx 2 entonces l ecución de Euler tmbién se puede escribir como (8) F 33 d 2 y dx 2 + F 32 dy dx + ( F 31 F 2 ) =.

6 Págin 6 Proposición 9. Si F no depende de x ni de y, entonces l ecución de Euler se reduce F 33 d 2 y dx 2 =. Ejemplo 1. Resolvmos el Problem 1. En este cso F = 1 + (ẏ) 2 no depende ni de x ni de y. Además F 33 = { 1 } (ẏ) 2 Por lo tnto, se cumple que d 2 y dx 2 = y entonces y = c 1 + c 2 x pr lguns constntes c 1 y c 2. Proposición 11. Si F no depende de y, entonces l ecución de Euler se reduce = constnte. Demostrción. En efecto, F 3 = F 2 df 3 dx = df 3 dx. Ejemplo 12. Entre ls curvs que unen los puntos P = (1, 3) y Q = (2, 5) hllr l curv en l cul lcnz un extremo. 2 1 ẏ(1 + x 2 ẏ) dx

7 Págin 7 En este cso, F no depende de y y por lo tnto F 3 = constnte o bien 1 + 2x 2 ẏ = c. L solución de l ecución diferencil ẏ = c 1 2x 2 es y = c 1 x + c 2. L extreml buscd es y = 7 4 x. Proposición 13. Si F no depende de x, entonces l ecución de Euler se reduce F 3 dy dx F = constnte. Demostrción. En efecto, d ( dy ) F 3 dx dx F = df 3 dx dy dx + F d 2 y 3 dx 2 df dx = df 3 dy dx dx + F d 2 y ( 3 dx 2 dy F 1 + F 2 dx + F d 2 y ) 3 dx 2 [ ] df3 = ẏ dx F 2 F 1 = y que l expresión entre préntesis es igul cero por l ecución de Euler y demás F 1 = por hipótesis. Ejemplo 14. He quí l solución del Problem 2. Pr este cso tenemos 1 + (ẏ) 2 F (x, y, ẏ) =. y

8 Págin 8 Por l Proposición 13, se cumple que (ẏ) 2 y 1 + (ẏ) (ẏ) 2 y = constnte. Esto último se reduce y ( 1 + (ẏ) 2) = c. Es un tre fácil verificr que pr culesquier, b y θ, l siguiente es un solución de est ecución diferencil x = + b { t cos(t + θ) } y y = b { 1 + sen(t + θ) }. En efecto, escribiendo S en lugr de sen(t + θ) y demás C en lugr de cos(t + θ), se cumple que 1 + ( dy ) ( 2 C ) 2 2 = 1 + = dx 1 + S 1 + S = 2b y. Ejemplo 15. Consideremos el problem de determinr el consumo que mximiz l utilidd descontd totl sobre un periodo de tiempo T, es decir, queremos (16) mximizr T e δt U { c(t) } dt en donde c(t) es l cntidd consumid l tiempo t. Medinte U(c) se denot l utilidd debid l consumo c. Suponemos que U es creciente y cóncv, de mner que du dc > y d 2 U dc 2 <.

9 Págin 9 L utilidd futur se descuent un ts δ. impciente, δ es grnde. Pr un consumidor El suponer que U(c) es un función creciente, es debido que un myor consumo produce un myor utilidd (o stisfcción). El suponer que U(c) es concv es debido que el consumo de ls primers uniddes (de heldo, por ejemplo) produce un utilidd myor que el consumo de ls últims uniddes. Est es l ley de los rendimientos decrecientes. Si K = K(t) es el cpitl, entonces (17) K(t) = rk(t) + I(t) c(t) en donde I = I(t) es el ingreso determindo de mner exógen. El cpitl gn intereses rzón de r. Pedimos demás que K() = K y K(T ) = K T. Se puede usr l ecución (17) pr eliminr c de (16), y sí queremos mximizr T e δt U ( rk + I K ) dt. Se F (t, K, K) = e δt U(rK + I K). Entonces L ecución de Euler F 2 = re δt U(c) y F 3 = e δt U(c). F 2 = d dt F 3 implic Ü U ċ = r δ.

10 Págin 1 Por hipótesis se cumple que Ü/ U >. Por lo tnto dc dt > r > δ. Supongmos hor que U(c) = log c y tmbién que I(t) = pr cd t T. Supongmos demás que K T =. Entonces ċ c = r δ o bien K rk = c()e (r δ)t. Multiplicndo por e rt, integrndo y usndo K() = K y K(T ) =, se obtiene que { K(t) = e rt K 1 1 } e δt 1 e δt o bien c(t) = δk e (r δ)t 1 e δt. 4. Condición de segundo orden. En est sección se obtiene un condición necesri pr que un extremo se un máximo. Teorem 18. (Legendre). Si F (x, y, ẏ) dx es máximo en y = y, entonces F 33 ( x, y (x), y (x) ) pr cd x [, b]. Demostrción. Se η :[, b] R un función tl que η() = = η(b). Se g(α) = F (t, y + αη, ẏ + α η) dx.

11 Supongmos que g(α) lcnz un máximo en α =. cumple que g() <. Ahor bien, Por otr prte, Por lo tnto g() = 2 g() = { F 22 η 2 + 2F 23 η η + F 33 ( η) 2} dx. F 23 η η dx = η 2 F 23 b }{{} igul η 2 d dx F 23 dx. { η 2( F 22 d ) } dx F 23 + ( η) 2 F 33 dx. Págin 11 Entonces se El teorem se sigue hor del Lem 19 que prece continución. Lem 19. Sen f y g funciones continus tles que { } f(x) η 2 (x) + g(x)η 2 (x) dx pr cd función η. Entonces f(x) pr cd x [, b]. Demostrción. Sin pérdid de generlidd, podemos suponer que (, b) es tl que f() 2. Entonces existe δ > tl que f(x) 1 pr cd x < δ. Se x δ + 1 si 1 δ x, η(x) = x δ + 1 si x 1 δ, en otro cso.

12 Págin 12 Pr est elección de η, cundo δ, tenemos que gη 2 dx +δ δ f η 2 dx +δ δ (1 δ ) 2 dx = 2 δ. Ejemplo 2. Se requiere optimizr 1 (ẏ) 2 dx con y() = y y(1) = 1. En este cso F 33 = 2 <. Por l proposición 9, sbemos que y = x es l solución que hce que 1 (ẏ)2 dx teng un extremo. Por el Teorem 18, sbemos que este extremo es un máximo. 5. Ejercicios. Hllr ls extremles de ls siguientes funcionles. Ejercicio 21. I(y) = Ejercicio 22. I(y) = Respuest. y = senh x senh x. Ejercicio 23. I(y) = 1 (x + (ẏ) 2 ) dx, y() = 1, y(1) = 2. 1 (y 2 + (ẏ) 2 ) dx, y() =, y(1) = 1. (xẏ + (ẏ) 2 ) dx. Respuest. y = c 1 + c 2 x x2 4.

13 Págin 13 Ejercicio 24. Se D = { y C 2 [, π/2] : y() = 1, y(π/2) = 1 }. Pr cd, y D se (25) I(y) = π/2 ( y 2 (ẏ) 2) dx. Muestre que I(y) lcnz un óptimo igul 2 en y (x) = cos x + sen x, esto es, muestre que I(y ) = 2. Ahor considere l funcionl I(y) definid en (25), en donde y es un función de l form y(x) = 1 + αx 2α π x2 con α R. Muestre que en este cso, el óptimo es igul π( 24 + π 2 ) 12( 4 + π 2 ) = Ejercicio 26. Se D = { y C 2 [, π/2] : y(1) =, y(2) = 3 }. Pr cd, y D se (27) I(y) = 2 1 (ẏ) 2 x 3 dx. Muestre que I(y) lcnz un óptimo igul 24 en y (x) = 4 (4/x 2 ), esto es, muestre que I(y ) = 24. Ahor considere l funcionl I(y) definid en (27), en donde y es un función de l form y(x) = 2α 3 + (3 3α)x + αx 2 con α R. Muestre que en este cso, el óptimo es igul

14 Págin 14 Por último, considere l funcionl I(y) definid en (27), en donde y es un función de l form y(x) = 2α+6β 3+(3 3α 7β)x+αx 2 +β x 3 con α, β R. Muestre que en este cso, el óptimo es igul Ejercicio 28. Se F (x, y) = y + xẏ. Muestre que F (x, y) dx no depende de y = y(x). Por lo tnto, el problem de optimizr F (x, y) dx no tiene sentido.

15 Cpítulo 2 Págin 15 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 1. Introducción. L técnic de los multiplicdores de Lgrnge es un herrmient útil en l solución de problems de optimizción bjo restricciones. L técnic de los multiplicdores fue plicd por primer vez por Lgrnge, problems del cálculo de vriciones, en su trtdo de Mecánic Anlític de L C Grd F x Figur 1. Supongmos que queremos mximizr F (x) sujeto l restricción R(x) = r. L restricción R(x) = r define un curv C, ver Figur 1. El grdiente Grd F es l dirección lo lrgo de l cul F se increment lo más rápido posible. Si l proyección de Grd F sobre l tngente L l curv C en el punto x no es nul, entonces el vlor de F se puede incrementr si nos movemos lo lrgo de C en l dirección indicd por l proyección de Grd F sobre l tngente L. Como L es perpendiculr Grd R, entonces existe λ tl que F (x ) = sup { } F (x) : R(x) = r Grd F (x ) = λgrd R(x ).

16 Págin L vrición de Gâteux. En est sección y en todo lo que sigue, medinte X se denot un espcio vectoril normdo. El cso más interesnte pr nosotros, es cundo X es de dimensión infinit. L siguiente definición es por completo nálog l definición de derivd direccionl del cálculo diferencil en R n. Ver por ejemplo, Análisis Mtemático de T. Apostol, Cpítulo 12. Definición 1. Se J : X R un funcionl definid en un espcio linel X. Sen y y η elementos de X. L expresión G[J] y η = d dɛ J(y + ɛη) ɛ= se llm l vrición de Gâteux de J evlud en y y con respecto de η. Ejemplo 2. Clculr l vrición de F (y) = { } 2 y(x) dx. Primero, F (y + ɛη) = { y 2 + 2ɛyη + ɛ 2 η 2} dx. Por lo tnto, d b F (y + ɛη) = 2 y(x)η(x) dx + 2ɛ η 2 (x) dx. dɛ Hciendo que ɛ =, vemos que G[F ] y η = 2 y(x)η(x) dx. L demostrción del siguiente resultdo es fácil y se sugiere que el lector l intente modo de ejercicio por sí mismo.

17 Págin 17 Teorem 3. Se J : X R un funcionl definid en un espcio linel X. Supong que y X es un extremo locl de J. Entonces G[J] y η = pr cd η X. Demostrción. Supongmos que existe η X tl que α := G[J] y η no se nul. Suponemos sin perder generlidd, que α >. Entonces J(y + ɛη) J(y ) = αɛ + o(ɛ) en donde o(ɛ) ɛ cundo ɛ. Nótese hor que ɛ < : αɛ + o(ɛ) < J(y + ɛη) < J(y ), ɛ > : αɛ + o(ɛ) > J(y + ɛη) > J(y ). Por lo tnto J(y ) no es mínimo y no es máximo. En l demostrción del Teorem 6, Cpítulo 1, se probó que G[I] y η = { η(x) F 2 d } dx F 3 dx. El Teorem 3 nterior, implic que G[I] y η =, pr cd η X, es un condición necesri pr que y se un extremo. Pr l discución en torno l Teorem de los Multiplicdores de Lgrnge, l siguiente definición es necesri. Definición 4. Se F un funcionl con vrición G[J], definid en un conjunto bierto D de un espcio vectoril normdo X. Se dice que l

18 Págin 18 l vrición G[J] es debilmente continu en x D, si pr tod η X se cumple que lim y x G[J]y η = G[J] x η. Con más precisión, se requiere que pr tod η X G[J] y η G[J] x η cundo x y en donde es l norm en X. 3. Teorem de Lgrnge. Enuncimos continución el Teorem de l Función Invers. Teorem 5. Se F :R n R n un función de l form F (x) = ( f 1 (x), f 2 (x),..., f n (x) ) con x = (x 1, x 2,..., x n ). Supong que ls derivds prciles f i / x j existen y son continus en un vecindd de x. Supong que el Jcobino de F no se nul en x, esto es, que ( ) fi x det x. j Entonces existe un vecindd biert U de x y un vecindd biert V de y = F (x ) tles que F : U V es biyectiv. Además, l función invers G = F 1 tiene un derivd continu. Pr dr un ide de l demostrción, nótese que un función diferencible F :R n R n se dej proximr muy bien por un función

19 Págin 19 linel. L función linel en cuestión está representd por l mtriz ( f i / x j ). Un función linel es invertible si y sólo si su determinnte no es nulo. Pr los detlles de l demostrción, ver por ejemplo, Análisis Mtemático de T. Apostol, Cpítulo 13. El Teorem 5 requiere que ls derivds prciles f j / x j sen continus en un vecindd del punto x. Pr poder cumplir este requerimiento, pediremos que ls vriciones de nuestrs funcionles sen debilmente continus. Ver l Definición 4. Definición 6. Si R:X R es un funcionl, entonces escribiremos D[R = r] = { x X : R(x) = r }. El siguiente es el Teorem de los Multiplicdores de Lgrnge. Teorem 7. (Lgrnge). Sen F y R funcionles definidos en un conjunto bierto D de un espcio vectoril normdo X. Se r R un número rel tl que D[R = r ]. Se x un vector extremo locl de F en el dominio D[R = r ], de modo que { } F (x ) = sup F (x) : x D[R = r ]. Supong que ls vriciones G[F ] y G[R] son debilmente continus en un vecindd de x. Entonces se cumple l menos un de ls dos posibiliddes siguientes () G[R] x y = pr cd y X. (b) Existe un constnte λ tl que G[F ] x y = λg[r] x y pr cd y X.

20 Págin 2 Demostrción. Probremos que si y, z son elementos de X entonces ( G[F ] x y G[F ] x ) z (8) = det Si existe w X tl que G[R] x w cumple con λ = G[R] x y G[R] x z., entonces (8) implic que (b) se G[F ]x w. G[R] x w Pr probr (8), sen y, z vectores fijos no cero en X. Consideremos ls funciones F (α, β) = F (x + αy + βz), R(α, β) = R(x + αy + βz) definids en un disco U R 2 bierto con centro en el origen del plno crtesino R 2. β V U r α F(x*) Figur 2. Nos gustrí invertir el mpeo (9) (α, β) ( F (α, β), R(α, β) )

21 Págin 21 en el punto ( F (, ), R(, ) ) = ( F (x ), r ). Por el Teorem de l Función Invers, es posible invertir el mpeo (9) en el cso de que (1) det ( ) F1 F2 en donde ls derivds prciles en el determinnte nterior se evlun en (α, β) = (, ). Ahor bien, F (α + ɛ, β) F (α β) F 1 (α, β) = lim ɛ ɛ 1 { } = lim F (x + αy + βz + ɛy) F (x + αy + βz) ɛ ɛ R 1 R2 = G[F ] w y en donde w = x + αy + βz. Hciendo que α y β, se obtiene F 1 (, ) = G[F ] x y. Lo mismo vle pr ls otrs derivds prciles. Por lo tnto, si (8) no se cumple, entonces (1) sí se cumple. En este cso existe el mpeo inverso (9). Consideremos hor el segmento de line rect horizontl que ps por el punto (F (x ), r ). Ahor es clro que x no es un vector que optimiz l funcionl F, y que existen vlores de α y β tles que F (x ) < F (x + αx + βy).

22 Págin 22 β V U r α F(x*) Figur Polític de consumo óptimo. Consideremos el cso de un person con un ingreso conocido I = I(t). El problem es determinr l proporción del ingreso destind l consumo y l proporción destind l horro. Se requiere que l polític de consumo mximice l utilidd totl. Medinte S = S(t) se denot el volumen de l cuent bncri. Medinte c = c(t) el consumo l tiempo t. L ecución que rige l dinámic del problem es (11) Ṡ = I + αs c en donde α es l ts de interés bncri. diferencil (11), obtenemos Resolviendo l ecución (12) S(t) = e αt S + e αt e αξ{ I(ξ) c(ξ) } dξ t en donde S son los horros iniciles.

23 Págin 23 Denotremos medinte S(T ) = S T Aquí T es el tiempo finl del ejercicio. los horros finles desedos. Rerreglndo l ecución (12), tenemos (13) R(c) = r en donde (14) (15) T R(c) = e αt c(t) dt, T r = S e αt S T + e αt I(t) dt. De est mner se h reescrito l condición diferencil (11) de un mner más conveniente pr plicr el Teorem de los Multiplicdores de Lgrnge. Como medid de l utilidd cusd por l polític de consumo c, proponemos J(c) = T F ( t, c(t) ) dt en donde F es un función creciente con respecto l rgumento c(t), de modo que un myor consumo provoque un myor utilidd. Además, F debe ser un función concv con respecto l rgumento c(t). Esto es por l ley de los rendimientos decrecientes. Pr fijr ides, supondremos que F (t, c) = e βt log(1 + c) en donde β es l ts de inflción.

24 Págin 24 Como dominio de ls funcionles R y J tommos D = { c C[, T ] : c(t) > pr cd t [, T ] }. En el espcio vectoril C[, T ] se tom l norm uniforme Puesto c = mx c(t). t T d T e βt log { 1 + c(t) + ɛη(t) } dt = dɛ entonces G[J ] c η = De mner similr, se ve que L desiguldd T e βt T 1 + c η dt T G[R] c η = e βt T T e βt η(t) 1 + c(t) dt. e αt η(t) dt. η(t) 1 + c(t) + ɛη(t) dt e βt η dt 1 + c 1 c c 1 1 β mx η(t) t T muestr que l vrición G[J ] c η es debilmente continu. De mner similr se prueb que G[R] c η es debilmente continu. Tomndo η(t) = 1 pr cd t [, T ], se tiene que G[R] c η = T e αt dt >.

25 Págin 25 Por lo tnto, l primer opción del Teorem de los Multiplicdores de Lgrnge no se cumple pr tod η. Por lo tnto, existe un constnte λ tl que si c D[R = r ] mximiz J(c), entonces G[J ] c η = λg[r] c η pr cd η C[, T ]. Por lo tnto T { e βt 1 + c (t) λe αt} η(t) dt =. Puesto que el inegrndo debe ser igul cero, entonces c (t) = λ exp { (α β)t }. Sustituyendo c en l condición R(c ) = r, se obtiene 1 λ = Por lo tnto { T S e αt S T + e αt I(t) dt + 1 e αt α (16) c (t) = 1 + [r + 1 ]( e αt β ) α 1 e βt } ( β 1 e βt ). e (α β)t es l expresión pr el consumo óptimo, en donde r es como en (15). Ejercicio 17. Pruebe que J r (c ) = λ. 5. Problem isoperimétrico. El problem isoperimétrico trtdo en est sección, nos permite dr un interpretción económic de multiplicdor λ de Lgrnge.

26 Págin 26 Definición 18. Consideremos ls dos funcionles J(y) = F (x, y, ẏ) dx y R(y) = G(x, y, ẏ) dx. Se B un constnte. Un problem isoperimétrico consiste en mximizr J(y) sujeto R(y) = B. En un problem isoperimétrico, podemos proceder como en l demostrción del Teorem 6 del Cpítulo 1, y sí ver que G[J] y η = G[R] y η = { η(x) F 2 d } dx F 3 dx, { η(x) G 2 d } dx G 3 dx. Por el Teorem de Lgrnge, vemos que debe existir un constnte λ tl que pr tod η, se cumple que [( η(x) F 2 d ) ( dx F 3 λ G 2 d )] dx G 3 dx =. Por lo tnto, debe cumplirse que (19) ( F2 λg 2 ) d dx (F 3 λg 3 ) =. Teorem 2. Se y l solución del problem isoperimétrico y se V = F (x, y, ẏ ) dx

27 Págin 27 el vlor de l funcionl. Entonces dv db = λ. y Así pues, λ represent l gnnci contribuid por un unidd mrginl (i.e., un unidd dicionl) del recurso. Demostrción. Escribiremos y en lugr de y. Primero nótese que V (B) = { } F (x, y, ẏ) λg(x, y, ẏ) dx + λb. Entonces dv db = = { F 2 y B + F ẏ 3 B λg y 2 B λg ẏ } 3 dx + λ B { (F2 ) y λg 2 B + ( ) ẏ } F 3 λg 3 dx + λ. B Puesto que y(, B) = = y(b, B) pr cd B, entonces dv db λ = { (F2 ) d ( ) } y λg 2 F3 λg 3 dx B dx. Ahor sólo bst observr que (19), implic que l expresión entre llves que multiplic y/ B, es identicmente cero.

28 Págin 28 Cpítulo 3 PRINCIPIO DEL MÁXIMO DE PONTRYAGIN 1. Formulción del principio. En este cpítulo considermos el importnte Principio del Máximo de Pontrygin pr l solución de problems de control óptimo. Antes de formulr el Pricipio del Máximo, considermos un ejemplo muy simple de problem de control óptimo. Ejemplo 1. Supongmos que el crecimiento de un plnt se puede celerr medinte un luz rtificil. Se x(t) l ltur de l plnt l tiempo t. Entonces dx (2) = 1 + u dt en donde u = u(t) es el exceso de l ts de crecimiento debido l luz rtificil. Supondremos tmbién que (3) x() = y que x(1) = 2. Se J = 1 el costo totl debido l luz rtificil. 1 2 u2 dt El problem es minimizr J sujeto ls condiciones (2) y (3). L solución de (2) que stisfce l primer condición de (3), es x(t) = t ( 1 + u(t) ) dt.

29 L segund condición en (3) implic que 1 Págin 29 u(t) dt = 1. Por lo tnto = 1 J = (u 1)2 dt + 1[ (u 1) 2 + 2u 1 ] dt 2 u(t) dt = 1 2 (u 1)2 dt Vemos entonces que J tom 1/2 como vlor mínimo y este mínimo se lcnz cundo u(t) = 1 pr cd t [, 1]. Problem 4. En un problem de control óptimo, se requiere (5) mximizr T g ( x(t), t, u(t) ) dt sujeto ls siguientes condiciones (6) ẋ = f(x, t, u), x() = x, x(t ) = x 1, u U. Medinte U se denot el conjunto de controles dmisibles que por definición es l clse de funciones reles continus por pedzos u(t) pr cd t [, T ], que stisfcen u(t) U t en donde U t es un intervlo, posiblemente infinito. Definición 7. El Hmiltonino H socido l Problem 4 es l función H = g + λf

30 Págin 3 en donde λ = λ(t) se llm l vrible djunt. Ahor podemos enuncir el Principio del Máximo de Pontrygin. Teorem 8. (Pontrygin). Si u resuelve el Problem 4, entonces se cumple que λ = H x y demás H ( u (t) ) = mx u U t H ( u(t) ) pr cd t [, T ]. En el cso de que x(t ) no esté restringid, entonces λ(t ) =. Además H es constnte lo lrgo de l tryectori óptim y est constnte es igul si T está libre. L condición λ(t ) = se llm condición de trnsverslidd. Si u(t) yce en el interior de U t, entonces u hce máximo H si y sólo si H u =. Ejemplo 9. Consideremos nuevmente el problem trtdo en el Ejemplo 1. En este cso el Hmiltonino es H = 1 2 u2 + λ(1 + u). Puesto que l vrible djunt λ stisfce λ = H x = entonces λ = A en donde A es un constnte. Por otro ldo, H/ u = implic u = λ. Puesto que x stisfce l condición (2) y puesto que u y está determind, entonces ẋ = 1 + A.

31 Págin 31 L solución de est ecución que stisfce ls condiciones inicil y finl (3), es x = 2t en donde A = 1. Por lo tnto, el control óptimo es u(t) = 1 pr t [, 1]. Ejemplo 1. Se requiere sujeto ls condiciones mximizr 1 u 2 (t) dt ẋ = x + u, x() = 1, x(1) =. Nótese que en este cso tenemos que U t = (, ) pr cd t [, 1]. El Hmiltonino socido este problem es H = u 2 + λ(x + u). Por el Principio de Pontrygin, tenemos que λ = H x = λ o bien λ(t) = Ae t. Ahor queremos mximizr el Hmiltonino, = H u = 2u + λ y por lo tnto u = A 2 e t. Puesto que 2 H/ u 2 = 2 <, entonces u = Ae t /2 es un máximo. Puesto que ẋ x = u, entonces ẋ x = A 2 e t o bien x(t) = Be t A 4 e t.

32 Págin 32 Ls condiciones inicil y finl implicn que A = 4e2 1 e 2 y B = 1 1 e 2. A modo de ejercicio, el lector puede verificr que el Hmiltonino es constnte lo lrgo de l tryectori óptim y que est constnte es igul 4e 2 (e 2 1) 2. Ejemplo 11. Se requiere mximizr 1 (x + u) dt sujeto ls condiciones ẋ = 1 u 2, x() = 1, x(1) libre. Nótese que en este cso tenemos que U t = (, ) pr cd t [, 1]. El Hmiltonino socido este problem es H = (x + u) + λ(1 u 2 ). Por el Principio de Pontrygin, tenemos que λ = H x = 1 o bien λ(t) = 1 t y que l condición de trnsverslidd implic que λ(1) =. Ahor queremos mximizr el Hmiltonino, = H u = 1 2λu y por lo tnto u(t) = 1 2(1 t).

33 Págin 33 Se cumple tmbién que 2 H/ u 2 = 2λ < y sí hemos encontrdo el máximo de H. Por último ẋ = 1 1 4(1 t) 2 y x = t 1 4(1 t) y que x() = 1. A modo de ejercicio, el lector puede verificr que el Hmiltonino es constnte lo lrgo de l tryectori óptim y que est constnte es igul 9/4. Ejemplo 12. Se requiere mximizr 2 (2x 3u) dt sujeto ls condiciones ẋ = x + u, x() = 4, x(2) libre, u(t) [, 2]. El Hmiltonino socido este problem es H = (2x 3u) + λ(x + u). Por el Principio de Pontrygin, tenemos que λ = H x = 2 λ o bien λ(t) = Ae t 2. L condición de trnsverslidd λ(2) = implic que λ(t) = 2e 2 t 2. Ahor escribimos el Hmiltonino como H = (2 + λ)x + (λ 3)u

34 Págin 34 y observmos que si λ > 3, entonces H es máximo cundo u = 2. Pero λ > 3 si y sólo si t < τ, en donde (13) τ = 2 log 5 2 = Así tenemos que el control óptimo está ddo por (14) u(t) = { 2 si t < τ, si τ < t 2. Un vez conocido el control óptimo, es posible resolver l ecución diferencil pr x. Tenemos entonces que 6e t 2 si t τ, (15) x(t) = ( 2 ) 6 e t e τ si τ t 2. Verifique el lector que el Hmiltonino es constnte lo lrgo de est tryectori y que el vlor de est constnte es igul 2(6e 2 5). Por último, considere l siguiente expresión (16) τ 2 (2x 3u) dt + (2x 3u) dt τ como función de τ, en donde u, x están ddos en (14) y (15) respectivmente. Verificr que el vlor de τ que mximiz (16) esá ddo por (13). 2. Prueb del principio. En est sección presentmos un prueb intuitiv del Principio de Pontrygin. Este rgumento es correcto cundo se ñden hipótesis

35 Págin 35 dicionles sobre l diferencibilidd de ls funciones implicds. En l práctic, ests hipótesis dicionles no suelen stisfcerse. Consideremos el problem de (17) mximizr J(u) en donde J(u) = t 1 ( ) g x(t), t, u(t) dt t sujeto ls siguientes condiciones (18) ẋ = f ( x, t, u(t) ), x(t ) = x, x(t 1 ) = x 1, u(t) U t. Supondremos que el punto terminl (t 1, x 1 ) está fijo y considermos l punto inicil (t, x ) como vrible. Pr cd punto inicil, definimos w(x, t ) = mx J(u) = J(u ) en donde u es el control óptimo que llev el sistem desde x(t ) = x hst x(t 1 ) = x 1. Se t < t < t 1. Puesto que l tryectori óptim desde x(t) hst x(t 1 ) está contenid en l tryectori óptim desde x(t ) hst x(t 1 ), entonces (19) w(x, t ) = t 1 ( g x (ξ), ξ, u (ξ) ) dξ + w(x (t), t) t en donde x (t) es l tryectori que llev el sistem desde x(t ) = x hst x(t 1 ) = x 1. Tomndo derivd en (19), obtenemos d dt w(x, t) = g(x, t, u ).

36 Págin 36 Aplicndo l regl de l cden l ldo izquierdo, (2) w x (x, t)f(x, t, u ) + w t (x, t) = g(x, t, u ). Considermos hor l siguiente perturbción del control óptimo u(t) = { v pr t t t + h, u v(t) pr t + h < t t 1, en donde u v denot el control óptimo que llev el sistem desde el punto x v (t + h) hst x(t 1 ) y en donde x v (t) denot l respuest bjo el control perturbdo. Puesto que u(t) no es óptimo, entonces = t +h w(x, t ) = J(u ) J(u) ( g(x v, ξ, v) dξ + w xv (t + h), t + h). t Reescribimos est expresión en l form w(x v (t + h), t + h) w(x v (t ), t ) t +h g(x v, ξ, v) dξ. Dividiendo entre h y hciendo que h, obtenemos d dt w(x v(t), t) = g(x, t, v). t= Aplicndo l regl de l cden l ldo izquierdo y escribiendo (x, t) en lugr de (x, t ), tenemos que t (21) w x w (x, t)f(x, t, v) + (x, t) g(x, t, v). t

37 Págin 37 Est últim expresión es válid pr cd x, cd t [t, t 1 ] y tod v U t. Si definimos G(x, t, v) = w x entonces (2) y (21) implicn que () G(x, t, v) pr tod x, t, v. (b) G(x, t, u ) =. w (x, t)f(x, t, v) + (x, t) + g(x, t, v) t Mnteniendo fij x = x, entonces () y (b) implicn que y por lo tnto en donde hemos escrito mx v U G(x, t, v) = G(x, t, u ) H = g + λf es máximo en u, (22) λ(t) = w x (x (t), t). Si mntenemos fij u = u, entonces () y (b) implicn que G es máximo cundo x = x. Suponiendo diferencibilidd, (23) = G x = 2 w x 2 + w f x x + 2 w x t + g x. Puesto que λ = d dt w x = 2 w x w t x

38 Págin 38 entonces (23) implic que λ = ( ) g + λf. x Esto termin l prueb intuitiv del principio de Pontrygin. 3. Interpretción económic. Si H es el Hmiltonino, entonces H dt se puede interpretr como l contribución totl l función objetivo J, producid en un intervlo de tiempo de durción dt. Pr ver que esto en efecto es sí, nótese que (24) H dt = g dt + λf dt = g dt + λ dx en donde hemos utilizdo el hecho de que ẋ = f, ver l condición (6). Es clro que g dt represent l contribución direct l función objetivo. Por (22), vemos que λ = w x = J x. Por lo tnto, λ es el incremento que sufre J cundo x se increment en un unidd. Por lo tnto, λ dx represent el incremento indirecto que sufre J debido un incremento en el nivel de existencis (stock) de tmño dx. Puesto que H dt se puede interpretr como l contribución totl l función objetivo J, entonces es clro que el control u debe mximizr el Hmiltonino H en todo tiempo t.

39 Págin L ecución de Euler. En est sección usmos el Principio del Máximo de Pontrygin pr obtener l ecución de Euler (7) del Cpítulo 1. Pr ésto, consideremos el problem de mximizr F (t, x, u) dt sujeto ls restriciones ẋ = u, x() = x 1, x(b) = x 2, u(t) (, ). El Hmiltonino es H = F + λu. L vrible djunt stisfce (25) λ = H x = F 2. L condición de que u mximiz H implic que = H u = F 3 + λ. Tomndo derivds y utilizndo (25) Est es l ecución de Euler. F 2 d dt F 3 =.

40 Págin 4 Referencis Ching, A.C. Fundmentl methods of mthemticl economics. McGrw-Hill Book Co., 24. Clrk, C.W. Mthemticl bioeconomics. Second edition. John Wiley & Sons, 199. Kmien, M.I.; Schwrtz, N.L. Dynmic optimiztion. North-Hollnd Publishing Co., Simmons, G.F. Differentil equtions with pplictions nd historicl notes. McGrw-Hill Book Co., Smith, D.R. Vritionl methods in optimiztion. Dover Publictions, Inc., Mineol, NY, 1998.